2012优化方案高考数学理总复习北师大版课时卷911章
作业 56
第 9 章 算法初步、框图
§9.1 算法与程序框图
1．(2010 年高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于( )
第 1 题 第 2 题
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选 C.当 i＝1 时，a＝1×2＝2，s＝0＋2＝2，i＝1＋1＝2；由于 2>11 不成立，故 a
＝2×22＝8，s＝2＋8＝10，i＝2＋1＝3；由于 10>11 不成立，故 a＝3×23＝24，s＝10＋24＝
34，i＝3＋1＝4；34>11 成立，故输出的 i＝4.
2．(2010 年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，若输出 s 的值为－7，则判断框内可
填写( )
A．i<3 B．i<4
C．i<5 D．i<6
解析：选 D.由题意可知 i＝1，s＝2→s＝1，i＝3→s＝－2，i＝5→s＝－7，i＝7，因此判
断框内应为 i<6.
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是( )
第 3 题 第 4 题
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选 A.k＝0，S＝0，S<100，S＝0＋2 0＝1；k＝1，S<100，S＝1＋2 1＝3；k＝2，
S<100，S＝3＋23＝11；k＝3，S<100，S＝11＋211＝2059；k＝4，S>100，输出 k＝4.故选 A.
4．(2010 年高考浙江卷)某程序框图如图所示，若输出的 S＝57，则判断框内为( )
A．k>4 B．k>5
C．k>6 D．k>7
解析：选 A.第一次执行后，k＝2，S＝2＋2＝4；第二次执行后，k＝3，S＝8＋3＝11；
第三次执行后，k＝4，S＝22＋4＝26；第四次执行后，k＝5，S＝52＋5＝57，此时结束循环，
故判断框中填 k>4.
5．给出如图的程序框图，那么输出的 S 等于( )
第 5 题 第 6 题
A．2450 B．2550
C．5050 D．4900
解析：选 A.按照程序框图计数，变量 i≥100 时终止循环，累加变量 S＝0＋2＋4＋…＋98
＝2450，故选 A.
6．程序框图如图所示，其输出结果是________．
解析：由程序框图可知，a 的值依次为 1,3,7,15,31,63,127，故输出结果为 127.
答案：127
7．(2010 年高考江苏卷)如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是________．
第 7 题 第 8 题
解析：由算法流程图知，当 n＝1 时，S＝1＋21＝3；当 n＝2 时，S＝3＋22＝7；当 n＝3
时，S＝7＋23＝15；当 n＝4 时，S＝15＋24＝31；当 n＝5 时，S＝31＋25＝63>33，循环结束，
故输出 S 的值是 63.
答案：63
8．(2010 年高考北京卷)已知函数 y＝Error!如图表示的是给定 x 的值，求其对应的函数
值 y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．
解析：由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为 y＝2－x，故此处应填写
x<2，则②处应填写 y＝log2x.
答案：x<2 y＝log2x
9．设{an}是斐波那契数列，则 a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，试画出求斐波那契数
列前 20 项的算法框图．
解：
10．已知 f(x)＝x2－2x－3.求 f(3)、f(－5)、f(5)，并计算 f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解
决该问题的一个算法，并画出程序框图．
解：算法如下：
第一步，令 x＝3.
第二步，把 x＝3 代入 y1＝x2－2x－3.
第三步，令 x＝－5.
第四步，把 x＝－5 代入 y2＝x2－2x－3.
第五步，令 x＝5.
第六步，把 x＝5 代入 y3＝x2－2x－3.
第七步，把 y1，y2，y3 的值代入 y＝y1＋y2＋y3.
第八步，输出 y1，y2，y3，y 的值．
该算法对应的程序框图如下图所示：
11．(探究选做)某居民区的物管部门每月向居民按以下方法收取卫生费：3 人和 3 人以下
的住户，每户收取 5 元；超过 3 人的住户，每超出 1 人加收 1.2 元．
(1)如何设计算法，根据输入的人数计算每户应收取的费用？
(2)根据算法画出其流程图．
解：(1)算法的自然语言如下：
第一步：输入 n；
第二步：若 n≤3，则 c＝5，否则 c＝5＋1.2×(n－3)；
第三步：输出 c.
(2)流程图如下所示：
作业 57
§9.2 算法基本语句、算法案例
1．(2011 年安徽黄山质检)对于如图所给的算法中，执行循环的次数是( )
S＝0
For i＝1 To 1000
S＝S＋i
Next
输出 S
A．1000 B．999
C．1001 D．998
答案：A
2．给出以下四个问题：
(1)输入一个数 x，输出它的绝对值；
(2)求函数 f(x)＝Error!的函数值；
(3)求面积为 6 的正方形的周长；
(4)求三个数 a，b，c 中的最大数．
其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
答案：A
3．在求函数 y＝Error!的值的算法中不可能用到的语句或算法为( )
A．输入语句 B．复合 If 语句
C．输出语句 D．排序
答案：D
4．给出下列程序，如果输入－10，－26,8 时，那么输出的是( )
输入 a，b，c
If a>b Then
a＝b
End If
If a>c Then
a＝c
End If
输出 a
End
A．－10 B．－26
C．8 D．0
答案：B
5．如果以下程序运行后输出的结果为 132，那么在程序中 While 后面的条件表达式为
( )
s＝1
i＝12
While 条件表达式
s＝s * i
i＝i－1
Wend
Print s
End
A．i>11 B．i≥11
C．i≤11 D．i<11
答案：B
6．下面是求 1＋1
2＋1
3＋…＋ 1
1000的程序，在横线上应填写的是________．
i＝1
S＝0
Do
S＝S＋1
i
i＝i＋1
Loop While________
输出 S
解析：该语句是 Do Loop 语句，当满足条件时执行循环体，且到 1
1000结束．
答案：i≤1000
7．已知算法程序如下，则输出结果 S＝________.
i＝0
S＝0
Do
i＝i＋2
S＝S＋i2
Loop While i<6
Print S
解析：第一步：i＝2，S＝4，第二步：i＝4，S＝4＋16，第三步：i＝6，S＝4＋16＋36＝
56，所以，输出 56.
答案：56
8．下面是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序，若 x 依次取数列{ n
100－1}(n∈N
＋)中的前 200 项，则所得 y 值中的最小值为________．
Read x
If x>0 Then
y＝1＋x
Else
y＝1－x
End If
Print y
解析：1≤n≤200，所以－ 99
100≤ n
100－1≤1，
当 0
800 Then
y＝0.8x
Else
If x>500 Then
y＝0.9x
Else
y＝x
End If
End If
输出 y.
作业 58
第 10 章 计数原理、概率
§10.1 两个计数原理
1．现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，
则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
答案：B
2．火车上有 10 名乘客，要在沿途的 5 个车站下车，问乘客下车的所有可能情况共有( )
A．510 种 B．105 种
C．50 种 D．以上都不对
答案：A
3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )
A．24 种 B．16 种
C．12 种 D．10 种
答案：C
4．(2010 年高考广东卷)2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王
五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵
只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．36 种 B．12 种
C．18 种 D．48 种
答案：A
5．从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入
选的不同选法的种数是( )
A．85 B．56
C．49 D．28
答案：C
6．有四位老师，在同一年级的 4 个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位
老师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是______种．
解析：设 4 个班分别为一班、二班、三班、四班，任课老师分别为甲、乙、丙、丁．以
甲为例来研究监考安排，甲有三个班可供选择．若甲在二班监考，则乙有三个班可供选择．甲
在哪个班监考，相应老师均有三个班可供选择，而剩余两位老师的监考位置是确定的．由分
步乘法计数原理得，监考安排的方法有 3×3×1×1＝9(种)．
答案：9
7．(2011 年亳州质检)如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，
那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
解析：当相同的数字不是 1 时，有 C 13个；当相同的数字是 1 时，共有 C13C 13个，由分类
加法计数原理得共有“好数”C13＋C13C13＝12(个)．
答案：12
8．已知集合 A＝{－1,5}，B＝{－3,6,7}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中依次取一个元素
构成空间直角坐标系中点的坐标，则三个坐标都大于零的点的个数为________．
答案：6
9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地
上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？
解：(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种，种在三块地上，有 4×3×2＝24(种)，其中不种黄
瓜有 3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法 24－6＝18(种)．
10．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众的来
信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸
运之星，再从两信箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同的结果？
解：分两类：
第 1 类，幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱中各抽一名幸运观众有
30×29×20＝17400(种)；
第 2 类，幸运之星在乙箱中抽，有 20×19×30＝11400(种)．
∴共有不同结果 17400＋11400＝28800(种)．
11.(探究选做)将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两
个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
解：给出区域标记号 A、B、C、D、E(如图)，则 A 区域有 4 种不同的涂色方法，B 区域
有 3 种，C 区域有 2 种，D 区域有 2 种，但 E 区域的涂色依赖于 B 与 D 所涂的颜色，如果 B
与 D 颜色相同，有 2 种，如果不相同，则只有一种，因此应先分类后分步．
(1)当 B 与 D 同色时，有
4×3×2×1×2＝48(种)；
(2)当 B 与 D 不同色时，有
4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有 48＋24＝72(种)不同的涂色方法．
作业 59
§10.2 排列、组合
1．(2010 年高考四川卷)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五
位数的个数是( )
A．36 B．32
C．28 D．24
答案：A
2．将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标
号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12 种 B．18 种
C．36 种 D．54 种
答案：B
3．(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从
中共选 3 门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30 种 B．35 种
C．42 种 D．48 种
答案：A
4．某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班，每天安排 2 人，
每人值班 1 天．若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有( )
A．30 种 B．36 种
C．42 种 D．48 种
答案：C
5．(2010 年高考天津卷)如图，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，
D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个
端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．288 种 B．264 种
C．240 种 D．168 种
答案：B
6．(2010 年高考江西卷)将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世
博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
解析：分配方案有C25C23C11
A22 ·A33＝10 × 3 × 6
2 ＝90(种)．
答案：90
7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表．要
求数学课排在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．
解析：先在前 3 节课中选一节安排数学，有 A 13种安排方法；
在除了数学课与第 6 节课外的 4 节课中选一节安排英语课，有 A 14种安排方法；
其余 4 节课无约束条件，有 A 44种安排方法．根据分步乘法计数原理 ，不同的排法种数
为 A13·A14·A44＝288.
答案：288
8．将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
________种(用数字作答)．
解析：选出两人看成整体，再全排列，有 C24A33＝36(种)方案．
答案：36
9．某校为庆祝 2010 年元旦，安排了一场文艺演出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节
目，按下面要求安排节目单，有多少种方法？
(1)3 个舞蹈节目互不相邻；
(2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
解：(1)先安排 4 个小品节目，有 A44种排法，4 个小品节目中和两头共 5 个空，将 3 个舞
蹈节目插入这 5 个空中，共有 A 35种排法．
所以共有 A44·A35＝1440(种)排法．
(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在 1,3,5,7 位，舞蹈排在 2,4,6 位，
安排时可分步进行．
先安排 3 个舞蹈节目在 2,4,6 位，有 A 33种排法；再安排 4 个小品节目在 1,3,5,7 位，共 A
44种排法，故共有 A33·A44＝144(种)排法．
10．某地发生了区域性的“手足口病”，某疾病防控中心从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔
赴该地区，其中这 10 名专家中有 4 名是皮肤科专家．
(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是皮肤科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有 2 名皮肤科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有 2 名皮肤科专家的抽调方法有多少种？
解：(1)分步：首先从 4 名皮肤科专家中任选 2 名，有 C24种选法，再从除皮肤科专家的 6
人中选取 4 人，有 C 46种选法，所以共有 C24·C46＝90(种)抽调方法．
(2)(间接法)不考虑是否有皮肤科专家，共有 C 610种选法，考虑选取 1 名皮肤科专家参加，
有 C14·C 56种选法；没有皮肤科专家参加，有 C 66种选法，所以共有：
C 610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．
(3)“至多 2 名”包括“没有”、“有 1 名”、“有 2 名”三种情况，分类解答．
①没有皮肤科专家参加，有 C 66种选法；
②有 1 名皮肤科专家参加，有 C14·C 56种选法；
③有 2 名皮肤科专家参加，有 C24·C 46种选法．
所以共有 C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．
11．(探究选做)用 n 种不同颜色为下侧两块广告牌着色(如图甲、乙所示)，要求在①、
②、③、④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．
(1)若 n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
(2)若为乙着色时共有 120 种不同方法，求 n.
解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法
数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此：
(1)为①着色有 6 种方法，为②着色有 5 种方法，为③着色有 4 种方法，为④着色也只有
4 种方法．
∴共有着色方法 6×5×4×4＝480(种)．
(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是 n(n－
1)(n－2)(n－3)．
由 n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，
∴n2－3n－10＝0，
∴n＝5.
作业 60
§10.3 二项式定理
1．(2010 年高考陕西卷)(x＋a
x)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数 a 等于( )
A．－1 B.1
2
C．1 D．2
答案：D
2．(x－ 1
3 x)12 展开式中的常数项为( )
A．－1320 B．1320
C．－220 D．220
答案：C
3．若 C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn 能被 7 整除，则 x，n 的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
答案：C
4．在二项式(x2－1
x)5 的展开式中，含 x4 的项的系数是( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
答案：B
5．(1＋ax＋by)n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243，不含 y 的项的系数绝对
值的和为 32，则 a、b、n 的值可能是( )
A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
答案：D
6．(2010 年高考湖北卷)在(1－x2)10 的展开式中，x4 的系数为________．
解析：展开式的通项 Tr＋1＝C r10·110－r·(－x2)r＝C r10·(－1)r·x2r，由 2r＝4 得 r＝2，∴x4 的系
数为 C 210·(－1)2＝45.
答案：45
7．(2010 年高考四川卷)(x－2
x)4 的展开式中的常数项为__________．(用数字作答)
解析：Tr＋1＝Cr4x4－r(－2
x)r＝(－2)rCr4x4－2r.当 r＝2 时，第 3 项为常数项，T3＝(－2)2·C24＝
24.
答案：24
8．(2010 年高考安徽卷)( x
y
－ y
x)6 的展开式中，x3 的系数等于__________．
解析：设含 x3 项为第(r＋1)项，则 Tr＋1＝Cr6·( x
y)6－r·(
－y
x)r＝Cr6·x6－r·yr－6
2 ·(－y)r·x－r
2
＝Cr6·x6－r－r
2·yr－6
2 ·(－y)r，
∴6－r－r
2＝3，即 r＝2，
∴T3＝C26·x3· 1
y2·y2＝C26·x3，
系数为 C26＝6 × 5
2 ＝15.
答案：15
9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a7＋a6＋…＋a1；
(2)a7＋a5＋a3＋a1；
(3)a6＋a4＋a2＋a0；
(4)|a7|＋|a6|＋…＋|a0|.
解：(1)令 x＝0，则 a0＝－1；
令 x＝1，则 a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
∴a7＋a6＋…＋a1＝129.
(2)令 x＝－1，
则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7.②
由
①－②
2 得：
a7＋a5＋a3＋a1＝1
2[128－(－4)7]＝8256.
(3)由
①＋②
2 得：
a6＋a4＋a2＋a0＝1
2[128＋(－4)7]＝－8128.
(4)∵(3x－1)7 展开式中，a7、a5、a3、a1 均大于零，而 a6、a4、a2、a0 均小于零，
∴|a7|＋|a6|＋…＋|a0|
＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)
＝8256－(－8128)＝16384.
10．在(3x－2y)20 的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
解：(1)二项式系数最大的项是第 11 项．
T11＝C1020·310·(－2)10x10y10＝C1020·610·x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第 r＋1 项，于是
Error!，
化简得Error!，
解之得 72
5≤r≤82
5.
因为 r∈N，所以 r＝8，
即 T9＝C 820·312·28x12y8 是系数绝对值最大的项．
(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第 2r－1 项系数最大(r∈N*)，于是
Error!，
化简得Error!，
解之得 r＝5，即第 2×5－1＝9 项系数最大．
T9＝C 820·312·28x12y8.
11．(探究选做)求(x
2＋1
x＋ 2)5 的展开式的常数项．
解：(x
2＋1
x＋ 2)5＝(x2＋2 2x＋2
2x )5
＝[(x＋ 2)2]5
(2x)5
＝
(x＋ 2)10
(2x)5 .
因此本题可以转化为二项式问题，即将求原来式子的常数项，转化为求分子(x＋ 2)10 中
含 x5 的项的系数．而分子中含 x5 的项为 T6＝C 510·x5·( 2)5.
所以常数项为C 510·( 2)5
25 ＝63 2
2 .
作业 61
§10.4 随机事件的概率
1．(2011 年焦作质检)在一对事件 A、B 中，若事件 A 是必然事件，事件 B 是不可能事件，
那么 A 和 B( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，但不是互斥事件
C．既是互斥事件，又是对立事件
D．既不是互斥事件，又不是对立事件
答案：C
2．现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书，从中任取 1 本，取出的是理科书的概
率为( )
A.1
5 B.2
5
C.3
5 D.4
5
答案：C
3．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b，c，则方程 x2＋bx＋c＝0 有实根
的概率为( )
A.19
36 B.1
2
C.5
9 D.17
36
答案：D
4．(2010 年高考湖北卷)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”
为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是( )
A. 5
12 B.1
2
C. 7
12 D.3
4
答案：A
5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三
次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表
示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模
拟产生了如下 20 组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
答案：B
6．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体，其底面落于桌面，
记所得的数字分别为 x，y，则x
y为整数的概率是________．
解析：将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字 x，y 记作有序实数对(x，y)，
共包含 16 个基本事件，其中x
y为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，
(4,2)，共 8 个基本事件，故所求概率为 8
16＝1
2.
答案：1
2
7．(2011 年亳州质检)甲盒子中装有 3 个编号分别为 1,2,3 的小球，乙盒子中装有 5 个编
号分别为 1,2,3,4,5 的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两小球编号之积
为奇数的概率为________．
解析：从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，共有 3×5＝15(种)取法．记取出两小球
编号之积为奇数为事件 A，则 A 包含 2×3＝6(个)基本事件，故 P(A)＝ 6
15＝2
5.
答案：2
5
8．现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取
2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________．
解析：从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的情况是：(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，
(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6，2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，即基本事件总数为
10，它们的长度恰好相差 0.3 m 的事件数为 2，分别是：(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，故从中一次随机
抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 2
10＝0.2.
答案：0.2
9.(2011 年南阳质检)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的
某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机
抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件 A，则事件 A 的概
率 P(A)＝12
20＝3
5.
(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件 B，则事件 B 的概率为 P(B)＝1－P(B)＝1－ 2
20
＝ 9
10.
10．从 1、2、3、4、5、8、9 这 7 个数中任取三个数，共有 35 种不同的取法(两种取法
不同，指的是一种取法中至少有一个数与另一种取法中的三个数都不相同)．
(1)求取出的三个数能够组成等比数列的概率；
(2)求取出的三个数的乘积能被 2 整除的概率．
解：(1)从 1、2、3、4、5、8、9 这 7 个数中任取三个数，每一种不同的取法为一个基本
事件，由题意可知共有 35 个基本事件．设取出的三个数能组成等比数列的事件为 A，A 包含
(1,2,4)、(2,4,8)、(1,3,9)共 3 个基本事件．
由于每个基本事件出现的可能性相等，所以 P(A)＝ 3
35.
(2)设取出的三个数的乘积能被 2 整除的事件为 B，其对立事件为 C，C 包含(1,3,5)、
(1,3,9)、(1,5,9)、(3,5,9)共 4 个基本事件．
由于每个基本事件出现的可能性相等，所以 P(C)＝ 4
35.
所以 P(B)＝1－P(C)＝1－ 4
35＝31
35.
11．(探究选做)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指头，若和为偶
数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以 A 表示和为 6 的事件，求 P(A)．
(2)现连玩三次，若以 B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问 B
与 C 是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)基本事件与点集 S＝{(x，y)|x∈N ＋，y∈N＋，1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对
应．
因为 S 中点的总数为 5×5＝25(个)，所以基本事件总数为 n＝25.事件 A 包含的基本事件
数共 5 个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，所以 P(A)＝ 5
25＝1
5.
(2)B 与 C 不是互斥事件，因为事件 B 与 C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事
件．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为 13 个；所以甲赢的概率为13
25，
乙赢的概率为12
25，
所以这种游戏规则不公平．
作业 62
§10.5 古典概型、几何概型
1.(2011 年宿州质检)如图，正方形 ABCD 的边长为 2，△EBC 为正三角形．若向正方形
ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )
A.
3
2 B.
3
4
C.1
2 D.1
4
答案：B
2．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人同住一间房的概率是( )
A.1
4 B.1
3
C.1
2 D.2
3
答案：C
3．(2011 年宿州联考)连掷两次骰子分别得到点数 m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的
夹角 θ>90°的概率是( )
A. 5
12 B. 7
12
C.1
3 D.1
2
答案：C
4．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任
意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A.1
4 B.1
3
C.1
2 D.2
3
答案：A
5．(2009 年高考安徽卷)考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把
剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )
A．1 B.1
2
C.1
3 D．0
答案：A
6．已知集合 A＝{x|－10}，在集合 A 中任取一个元素 x，则事件“x
∈A∩B”的概率是________．
解析：由题意得 A＝{x|－1p2 D．以上三种情况都有可能
答案：B
6．(2010 年高考重庆卷)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至
多命中一次的概率为16
25，则该队员每次罚球的命中率为________．
解析：设此队员每次罚球的命中率为 p，则 1－p2＝16
25，∴p＝3
5.
答案：3
5
7．在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取
一件，则在第一次取到不合格品后，第二次又取到不合格品的概率为________．
解析：设 A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则 P(AB)＝ C25
C 2100，所
以 P(B|A)＝P(AB)
P(A) ＝
5
100 × 4
99
5
100
＝ 4
99.
答案： 4
99
8．(2010 年高考安徽卷)甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，
3 个白球和 3 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取
出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是
红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝2
5；
②P(B|A1)＝ 5
11；
③事件 B 与事件 A1 相互独立；
④A1，A2，A3 是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与 A1，A2，A3 中究竟哪一个发生有关．
解 析 ： 对 于 ① ， P(B) ＝ P(BA1) ＋ P(BA2) ＋ P(BA3) ＝ P(B|A1)P(A1) ＋ P(B|A2)·P(A2) ＋
P(B|A3)P(A3)＝ 5
11×1
2＋ 4
11×1
5＋ 4
11× 3
10＝ 9
22.
∴①⑤不正确．
对于②，P(B|A1)＝ 5
11，正确．
对于③，事件 A1 的发生对事件 B 发生的概率有影响，显然③不正确．
对于④，显然成立．
答案：②④
9．在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰
炸．已知甲击中目标的概率是3
4；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为 1
12；乙、丙同
时轰炸一次，都击中目标的概率是1
4.
(1)求乙、丙各自击中目标的概率；
(2)求目标被击中的概率．
解：(1)记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为 A、B、C.则由已知，得 P(A)＝3
4，
P( A
－
C
－
)＝P(A)P(C)＝1
4[1－P(C)]＝ 1
12，
∴P(C)＝2
3.
由 P(BC)＝P(B)P(C)＝1
4，
得 2
3P(B)＝1
4，P(B)＝3
8.
(2)目标被击中的概率为 1－P( A
－
B
－
C
－
)
＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝1－(1－3
4)(1－3
8)(1－2
3)＝91
96.
10.如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落到 A 或 B
或 C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，
C，则分别设为 1,2,3 等奖．
(1)已知获得 1,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随机变
量 ξ 为获得 k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量 ξ 的分布列；
(2)若有 3 人次(投入 1 球为 1 人次)参加促销活动，记随机变量
η 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P(η＝2)．
解：(1)由题意得 ξ 的分布列为
ξ 50% 70% 90%
P 3
16
3
8
7
16
(2)由(1)可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 3
16＋3
8＝ 9
16.
由题意得 η～B(3， 9
16)，
则 P(η＝2)＝C23( 9
16)2(1－ 9
16)＝1701
4096.
11．(探究选做)袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为1
7.现有甲、
乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一
人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 ξ 表示取球终止时所需要
的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量 ξ 的概率分布；
(3)求甲取到白球的概率．
解：(1)设袋中原有 n 个白球，由题意知
1
7＝C2n
C27＝
n(n－1)
2
7 × 6
2
＝n(n－1)
7 × 6 ，
所以 n(n－1)＝6，解得 n＝3(舍去 n＝－2)，
即袋中原有 3 个白球．
(2)由题意，ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝3
7，
P(ξ＝2)＝4 × 3
7 × 6＝2
7，
P(ξ＝3)＝4 × 3 × 3
7 × 6 × 5＝ 6
35，
P(ξ＝4)＝4 × 3 × 2 × 3
7 × 6 × 5 × 4＝ 3
35，
P(ξ＝5)＝4 × 3 × 2 × 1 × 3
7 × 6 × 5 × 4 × 3＝ 1
35.
所以，取球次数 ξ 的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 3
7
2
7
6
35
3
35
1
35
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球”的
事件为 A，
则 P(A)＝P(“ξ＝1”或“ξ＝3”或“ξ＝5”)，
因为事件“ξ＝1”、“ξ＝3”、“ξ＝5”两两互斥，
所以 P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)
＝3
7＋ 6
35＋ 1
35＝22
35.
作业 65
§10.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1．(2010 年高考课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于
没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
答案：B
2．已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(2≤X≤4)＝0.6826，则 P(X>4)＝( )
A．0.1588 B．0.1587
C．0.1586 D．0.1585
答案：B
3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且 Eξ＝6.3，则 a 的值为( )
ξ 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B．6
C．7 D．8
答案：C
4．(2010 年高考山东卷)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，σ2)，若 P(ξ>2)＝0.023，则
P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
答案：C
5．两封信随机投入 A、B、C 三个空信箱，则 A 信箱内信件数 X 的数学期望 EX 等于( )
A.4
9 B.9
4
C. 1
10 D.2
3
答案：D
6．(2010 年高考湖北卷)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知 ξ 的期望 Eξ＝8.9，则 y 的值为________．
解析：依题意得
Error!.
即Error!，由此解得 y＝0.4.
答案：0.4
7．设服从二项分布 B(n，p)的随机变量 X 的期望与方差分别是 2.4 与 1.44，则二项分布
的参数 n，p 的值为________．
解析：由 EX＝2.4＝np，DX＝1.44＝np(1－p)，可得 1－p＝1.44
2.4 ＝0.6，p＝0.4，n＝2.4
0.4＝
6.
答案：6,0.4
8．有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中任取 3 件，若 ξ 表示取到次品的个
数，则 Eξ＝________.
解析：ξ 的取值为 0,1,2,3，则
P(ξ＝0)＝C 312
C 316＝11
28；P(ξ＝1)＝C 212C14
C 316 ＝33
70；
P(ξ＝2)＝C 112C24
C 316 ＝ 9
70；P(ξ＝3)＝ C34
C 316＝ 1
140.
∴Eξ＝0×11
28＋1×33
70＋2× 9
70＋3× 1
140＝3
4.
答案：3
4
9．(2009 年高考安徽卷)某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有
A 到过疫区．B 肯定是受 A 感染的．对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是
假定他受 A 和受 B 感染的概率都是1
2，同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是1
3.在这种
假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量．写出 X 的分布列(不要求
写出计算过程)，并求 X 的均值(即数学期望)．
解：随机变量 X 的分布列是
X 1 2 3
P 1
3
1
2
1
6
X 的均值 EX＝1×1
3＋2×1
2＋3×1
6＝11
6 .
10．(2010 年高考重庆卷)在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每
个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为
1,2，…，6)，求；
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ξ 的分布列与期望．
解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号均为
偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得
P(A)＝1－P(A)＝1－C23
C26＝1－1
5＝4
5.
(2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，
且 P(ξ＝0)＝ 5
C26＝1
3，
P(ξ＝1)＝ 4
C26＝ 4
15，P(ξ＝2)＝ 3
C26＝1
5，
P(ξ＝3)＝ 2
C26＝ 2
15，P(ξ＝4)＝ 1
C26＝ 1
15.
从而知 ξ 的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P 1
3
4
15
1
5
2
15
1
15
所以，Eξ＝0×1
3＋1× 4
15＋2×1
5＋3× 2
15＋4× 1
15＝4
3.
11．(探究选做)某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概
率为4
5，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p、q(p＞q)，且不同课
程是否取得优秀成绩相互独立．记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
P 6
125 a b 24
125
(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求 p，q 的值；
(3)求数学期望 Eξ.
解：(1)事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题意知 P(A1)＝4
5，P(A2)
＝p，P(A3)＝q.
由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至
少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1－P(ξ＝0)＝1－ 6
125＝119
125.
(2)由题意知
P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝1
5(1－p)(1－q)＝ 6
125，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝4
5pq＝ 24
125.
整理得 pq＝ 6
25，p＋q＝1.
由 p＞q，可得 p＝3
5，q＝2
5.
(3)由题意知 a＝P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
＝4
5(1－p)(1－q)＋1
5p(1－q)＋1
5(1－p)q＝ 37
125.
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝ 58
125.
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝9
5.
作业 66
第 11 章 统 计
§11.1 随机抽样
1．(2010 年高考重庆卷)某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，
老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样
本中的青年职工为 7 人，则样本容量为( )
A．7 B．15
C．25 D．35
解析：选 B.设样本容量为 n，则依题意有350
750×n＝7，n＝15.
2．在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品 60 个．用分层抽样方法抽取
样本，抽到的一级品、三级品共 14 个，则二级品抽取的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选 B.由已知抽样比为 14
24＋60＝1
6，设二级品抽取了 x 个，则 x
36＝1
6，所以 x＝6.
3．某学校为调查高三年级的 240 名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的
方式：第一种由学生会的同学随机抽取 24 名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学
生进行编号，从 001 到 240，抽取学号最后一位为 3 的同学进行调查，则这两种抽样方法依
次为( )
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
解析：选 D.结合简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的定义可知选 D.
4．某全日制大学共有学生 5600 人，其中专科有 1300 人、本科有 3000 人、研究生有 1300
人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为 280 人，
则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取( )
A．65 人，150 人，65 人 B．30 人，150 人，100 人
C．93 人，94 人，93 人 D．80 人，120 人，80 人
解析：选 A.抓住分层抽样比例抽取的特点有5600
280 ＝1300
x ＝3000
y ＝1300
z ，∴x＝z＝65，y＝
150，即专科生、本科生与研究生应分别抽取 65 人，150 人，65 人．
5．某学校在校学生有 2000 人，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中
一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
跑步人数 a b c
登山人数 x y z
其中 a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的1
4.为了了解学生对本次活动的
满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个 200 人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的
学生中应抽取( )
A．15 人 B．30 人
C．40 人 D．45 人
解析：选 D.由题意：全校参加跑步的人数占总人数的3
4，高三年级参加跑步的总人数为3
4
×2000× 3
10＝450(人)，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取 1
10×450＝
45(人)，故选 D.
6．(2011 年阜阳调研)某校有老师 200 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人．现用分层抽
样的方法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为 80 人，则 n
＝______.
解析：由题意知 80
1000＝ n
200＋1200＋1000，解之得 n＝192.
答案：192
7．某单位 200 名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取 40 名职工作样本．用系统
抽样法．将全体职工随机按 1～200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号，6～10
号，…，196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是________．若
用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取________人．
解析：由分组可知，抽号的间隔为 5，又因为第 5 组抽出的号码为 22，所以第 6 组抽出
的号码为 27，第 7 组抽出的号码为 32，第 8 组抽出的号码为 37.
40 岁以下年龄段的职工人数为 200×0.5＝100，则应抽取的人数为 40
200×100＝20.
答案：37 20
8．(2010 年高考安徽卷)某地有居民户，其中普通家庭 99000 户，高收入家庭 1000 户．从
普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100
户进行调查，发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房，其中普通家庭 50 户，高收入家
庭 70 户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家
庭所占比例的合理估计是__________．
解析：所抽取的 990 户普通家庭中有 50 户拥有 3 套或 3 套以上住房，所抽取的 100 户高
收入家庭中 70 户拥有 3 套或 3 套以上住房，那么 99000 户普通家庭中就有 5000 户拥有 3 套
或 3 套以上住房，1000 户高收入家庭中就有 700 户拥有 3 套或 3 套以上住房．那么该地拥有
3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例为5000＋700＝5700＝5.7%.
答案：5.7%
9．某单位有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取一个容量为 n 的
样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则
在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1 个个体，求样本容量 n.
解：总体容量为 6＋12＋18＝36.
当样本容量是 n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36
n ，分层抽样的比例是 n
36，抽取的工
程师人数为 n
36·6＝n
6，技术员人数为 n
36·12＝n
3，技工人数为 n
36·18＝n
2，所以 n 应是 6 的倍数，36
的约数，即 n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是 35 人，系统抽样的间隔为 35
n＋1，因为 35
n＋1必须是整
数，所以 n 只能取 6.即样本容量 n＝6.
10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加
了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占 42.5%，中年人占 47.5%，老年人占 10%.登山
组的职工占参加活动总人数的1
4，且该组中，青年人占 50%，中年人占 40%，老年人占 10%.
为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活
动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本．
(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为 x，在游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为 a、
b、c，则有
x × 40%＋3xb
4x ＝47.5%，x × 10%＋3xc
4x ＝10%，
解得 b＝50%，c＝10%.
故 a＝100%－50%－10%＝40%，
即在游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为 40%、50%、10%.
(2)在游泳组中，抽取的青年人人数为
200×3
4×40%＝60(人)；
抽取的中年人人数为 200×3
4×50%＝75(人)；
抽取的老年人人数为 200×3
4×10%＝15(人)．
11．(探究选做)为了考查某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本年度的
考试成绩进行考查．已知该校高三年级共有 14 个班，并且每个班内的学生都已经按随机方式
编好了学号，假定该校每班人数都相同．为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行：
①从全年级 14 个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取 14 人，考查他们的考试成
绩；
②每个班都抽取 1 人，共计 14 人，考查这 14 个学生的考试成绩；
③把学校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取 100 名学生
进行考查(若按成绩分，则该校高三年级的优秀学生有 105 名，良好学生有 420 名，普通学生
有 175 名)．
根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？按每一种抽取方式抽取的样
本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式各自采用了何种方法抽取样本？
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．
(4)比较上面三种方法，哪种抽样方法能较好地考查出该校的教学水平？
解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三年级全体学生本年度的考试成绩，个
体都是指该校高三年级每个学生本年度的考试成绩．第一种抽取方式中样本为所抽取的 14 名
学生本年度的考试成绩，样本容量为 14；第二种抽取方式中样本为所抽取的 14 名学生本年
度的考试成绩，样本容量为 14；第三种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本年度的考试
成绩，样本容量为 100.
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的
方法是系统抽样和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤为：
S1 首先在这 14 个班中用抽签法任意抽取一个班．
S2 然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 14 名学生，考查他们的考试成
绩．
第二种方式抽样的步骤为：
S1 首先在一个班中用简单随机抽样法任意抽取一名学生，记其学号为 x.
S2 然后在其余 13 个班中选取学号为 x 的学生，共计 14 人，考查他们的考试成绩．
第三种方式抽样的步骤为：
S1 首先进行分层．因为该校高三年级的优秀生共 105 人，良好生共 420 人，普通生共
175 人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分为三个层次．
S2 然后确定在各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体的个数比为 100∶700＝1∶7，
所以在每个层次
抽取的个体数依次为105
7 ，420
7 ，175
7 ，即 15,60,25.
S3 再按层次分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法或系统抽样法抽取 15 人，在良
好生中用系统抽样法抽取 60 人，在普通生中用简单随机抽样法或系统抽样法抽取 25 人，共
计 100 人，考查他们的考试成绩．
(4)因总体容量较大，且个体间差异较大，故第三种抽样方法能较好地考查出该校的教学
水平．
作业 67
§11.2 用样本估计总体
1．(2010 年高考山东卷)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为
1，则样本方差为( )
A. 6
5 B.6
5
C. 2 D．2
解析：选 D.由题可知样本的平均值为 1，所以a＋0＋1＋2＋3
5 ＝1，解得 a＝－1，所以样
本的方差为1
5[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选 D.
2．设矩形的长为 a，宽为 b，其比满足 b∶a＝ 5－1
2 ≈0.618，这种矩形给人以美感，称
为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加
工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是( )
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
答案：A
3．(2010 年高考山东卷)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8
解析：选 B.去掉一个最高分 95 分与一个最低分 89 分后，所得的 5 个数分别为 90、90、
93、94、93，
所以x＝90＋90＋93＋94＋93
5 ＝460
5 ＝92，
s2＝2 × (90－92)2＋2 × (93－92)2＋(94－92)2
5 ＝14
5
＝2.8，故选 B.
4．(2010 年高考陕西卷)如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均
数分别为 xA 和 xB，样本标准差分别为 sA 和 sB，则( )
A.xA>xB，sA>sB
B.xAsB
C.xA>xB，sAsB，故选 B.
5．(2010 年高考福建卷)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这
组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5 和 91.5 B．91.5 和 92
C．91 和 91.5 D．92 和 92
解析：选 A.中位数为1
2(91＋92)＝91.5；平均数为1
8(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝
91.5.故选 A.
6．样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示．
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在
[2,10)内的概率约为________．
解析：200×0.08×4＝64，样本数据落在[6,10)内的频数为 64，又 4×(0.02＋0.08)＝0.4，
即数据落在[2,10)内的概率约为 0.4.
答案：64 0.4
7．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.
解析：甲组数据从小到大排序后，最中间的数是 45，即甲组数据的中位数为 45；乙组数
据从小到大排序后，最中间的数是 46，即乙组数据的中位数是 46.
答案：45 46
8.(2010 年高考江苏卷)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了 100 根棉花纤
维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布
直方图如图所示，则在抽测的 100 根中，有________根棉花纤维的长度小于 20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于 20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故
抽测的 100 根中，棉花纤维的长度小于 20 mm 的有 0.3×100＝30(根)．
答案：30
9．为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行了
一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：
组别 频数 频率
145.5～149.5 1 0.02
149.5～153.5 4 0.08
153.5～157.5 20 0.40
157.5～161.5 15 0.30
161.5～165.5 8 0.16
165.5～169.5 m n
合计 M N
(1)求出表中 m，n，M，N 所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图；
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在 161.5 以
上的概率．
解：(1)M＝ 1
0.02＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1，n＝m
M＝ 2
50＝0.04.
(2)作出直角坐标系，组距为 4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下
图．
(3)在 153.5～157.5 范围内的人数最多，估计身高在 161.5 以上的概率为 P＝10
50＝0.2.
10．(2010 年高考安徽卷)某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的监测数据
如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,4
5.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在 0～50 之间时，空气质量为优；在 51～100 之间时，为良；
在 101～150 之间时，为轻微污染；在 151～200 之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
解：(1)频率分布表：
分组 频数 频率
[41,51) 2 2
30
[51,61) 1 1
30
[61,71) 4 4
30
[71,81) 6 6
30
[81,91) 10 10
30
[91,101) 5 5
30
[101,111) 2 2
30
(2)频率分布直方图：
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的 1
15；有 26 天处于良的
水平，占当月天数的13
15；处于优或良的天数为 28，占当月天数的14
15.说明该市空气质量基本良
好．
②轻微污染有 2 天，占当月天数的 1
15；污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15
天，加上处于轻微污染的天数 17 天，占当月天数的17
30，超过 50%；说明该市空气质量有待
进一步改善．
11．(探究选做)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽
取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：102 101 99 98 103 98 99
乙：110 115 90 85 75 115 110
(1)这种抽样方法是哪一种？
(2)将这两组数据用茎叶图表示；
(3)比较两组数据，说明哪个车间产品较稳定？
解：(1)因为间隔时间相同，故是系统抽样．
(2)茎叶图如图所示．
(3)甲车间：
平均值：x1＝1
7(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，
方差：s21＝1
7[(102－100)2＋(101－100)2＋…＋(99－100)2]≈3.4286；
乙车间：
平均值：x2＝1
7(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，
方差：s22＝1
7[(110－100)2＋(115－100)2＋…＋(110－100)2]≈228.5714.
∵x1＝x2，s216.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地
区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老
年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽
样方法更好．
11．(探究选做)已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量 x (kg)与每单位面积蔬菜年平
均产量 y (t)之间的关系有如下数据：
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95
y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
x(kg) 92 108 115 123 130 138 145
y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
(1)求 x 与 y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；
(2)若线性相关，求蔬菜产量 y 与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施
肥 150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量．
解：(1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 70 74 80 78 85 92 90 95
yi 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0
xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140
i 9 10 11 12 13 14 15
xi 92 108 115 123 130 138 145
yi 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
xiyi 1058 1188 1357 1500.6 1625 1766.4 1885
x
－
＝1515
15 ＝101， y
－
＝151.7
15 ＝10.11，
Σ
15
i＝1x2i＝， Σ
15
i＝1y2i＝1628.55， Σ
15
i＝1xiyi＝16076.8.
故蔬菜产量与使用氮肥量的相关系数 r＝
16076.8－15 × 101 × 10.11
(－15 × 1012)(1628.55－15 × 10.112)
≈0.8643.
由于 n＝15，故自由度 15－2＝13.由相关系数检验的临界值表查出与显著水平 0.05 及自
由度 13 的相关系数临界值 r0.05＝0.514，则 r＞r0.05，从而说明蔬菜产量与使用氮肥量之间存
在着线性相关关系．
(2)设所求的回归直线方程为 y＝bx＋a，则
b＝
Σ
15
i＝1xiyi－15 x
－
y
－
Σ
15
i＝1x2i－15 x
－
2
＝16076.8－15 × 101 × 10.11
－15 × 1012
≈0.0937，
a＝ y
－
－b x
－
＝10.11－0.0937×101≈0.6463，
∴回归直线方程为 y＝0.0937x＋0.6463.
每单位面积施肥 150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量
y＝0.0937×150＋0.6463＝14.701(t)．
