2015高考数学(文)(证明不等式的基本方法)一轮复习学案

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2015高考数学(文)(证明不等式的基本方法)一轮复习学案

学案77 不等式选讲 ‎(二)证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式.‎ 自主梳理 ‎1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a,b,c>0,那么_________________________,当且仅当a=b=c时等号成立.‎ ‎2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即≥,当且仅当__________________时等号成立.‎ ‎3.二维形式的柯西不等式及推论:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立;≥|ac+bd|,当且仅当ad=bc时等号成立;≥|ac|+|bd|,当且仅当________________时等号成立.‎ ‎4.证明不等式的常用五种方法 ‎(1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小.‎ ‎(2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法.‎ ‎(3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法.‎ ‎(4)反证法 ‎①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.‎ ‎②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾.‎ ‎(5)放缩法 ‎①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.‎ ‎②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键.‎ 自我检测 ‎1.已知M=a2+b2,N=ab+a+b-1,则M,N的大小关系为(  )‎ A.M>N B.Mb≥0,p=-,q=,那么(  )‎ A.p≤q B.p≥q C.pQ ‎4.已知a>b>0,n∈N*,则使不等式a2-n≥成立的n的最大值为(  )‎ A.4 B.‎8 ‎ C.10 D.16‎ ‎5.(2011·南阳月考)已知a,b,c>0,且a+b>c,设M=+,N=,则M与N的大小关系是__________________________________________________________.‎ 探究点一 比较法证明不等式 例1 已知a>0,b>0,求证:+≥+.‎ 变式迁移1 (2011·福建)设不等式|2x-1|<1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M;‎ ‎(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.‎ 探究点二 用综合法证明不等式 例2 设a、b、c均为正数,求证:‎ ++≥++.‎ 变式迁移2 设x是正实数,求证:‎ ‎(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.‎ 探究点三 用分析法证明不等式 例3 (2011·武汉模拟)已知a>b>0,求证:<-<.‎ 变式迁移3 已知a>0,求证: -≥a+-2.‎ 转化与化归思想的应用 例 (10分)已知f(x)=x2+px+q.求证:‎ ‎(1)f(1)+f(3)-‎2f(2)=2;‎ ‎(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.‎ 多角度审题 已知f(x),要证f(1)+f(3)-‎2f(2)=2,只须化简左边式子,看是怎样的形式,然后才能视情况而定如何证明.求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于包括:‎ ‎|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于,其余两个小于;三个中有2个大于等于,另一个小于;三个都大于等于.如果从正面证明,将有7种情况需要证明,非常繁杂,可考虑用反证法证明.‎ ‎【答题模板】‎ 证明 (1)f(1)+f(3)-‎2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.[2分]‎ ‎(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,‎ 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,[4分]‎ 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-‎2f(2)|‎ ‎=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,与假设矛盾.[9分]‎ ‎∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.[10分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 根据正难则反的证明原则,|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一个不小于的反面为|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,所以用反证法证明只有一种情况,如果这一种情况不成立,则原命题成立.‎ ‎【易错点剖析】‎ 在证明(2)中如果不知道用反证法证,而是从正面分七种情况证明,往往会出现这样或那样的失误.‎ ‎1.证明不等式的常用方法有五种,即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法.‎ ‎2.应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤:(1)分清命题的条件和结论;(2)作出与命题结论相矛盾的假设;(3)由条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真,于是原结论成立,从而间接地证明了命题为真.‎ ‎3.放缩法证明不等式时,常见的放缩法依据或技巧主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子,分式值增大;缩小分子、扩大分母,分式值减小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和.‎ ‎4.放缩法的常用措施:(1)舍去或加上一些项,如2+>2;(2)将分子或分母放大(缩小),如<,>,<,> (k∈N*且k>1)等.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2011·烟台月考)已知a、b、m∈R+且a>b,则(  )‎ A.> B.= C.< D.与间的大小不能确定 ‎2.(2010·黄冈期中)设a、b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有(  )‎ A.abba C.a3>a2-a+1 D.(+)m2< 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎5.(2011·湖南)设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为________.‎ ‎6.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8x=lg 2,则+的最小值为________.‎ ‎7.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-‎4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件为__________________.‎ 三、解答题(共43分)‎ ‎8.(10分)已知x,y,z均为正数,求证:‎ ++≥++.‎ ‎9.(10分)(2011·包头模拟)已知正数a、b、c满足a+b<‎2c,求证:‎ c-(x+y+z).‎ 学案77 不等式选讲 ‎(二)证明不等式的基本方法 自主梳理 ‎1.≥ 2.a1=a2=…=an 3.ad=bc且abcd≥0 4.(1)差 商 (2)公理 定理 (3)充分 (5)①放大 缩小 自我检测 ‎1.C [∵M-N=a2+b2-ab-a-b+1‎ ‎=(‎2a2+2b2-2ab-‎2a-2b+2)‎ ‎=[(a2-2ab+b2)+(a2-‎2a+1)+(b2-2b+1)]‎ ‎=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时“=”成立.∴M≥N.]‎ ‎2.A [p2-q2=a+b-2-a+b ‎=2(-)≤0.∴p≤q.]‎ ‎3.C [Q=·= ‎= ‎≥=+=P.∴P≤Q.]‎ ‎4.B [∵n≤a2+,b(a-b)≤ (2≥0).‎ ‎∴a2+≥a2+≥2=8(a=2,b=1时取“=”).‎ 即a2+的最小值为8,∴nmax=8.]‎ ‎5.M>N 解析 ∵a,b,c>0,且a+b>c,‎ ‎∴M=+>+= 设f(x)= (x>0),∵f′(x)==>0,‎ 即f(x)在(0,+∞)上为增函数,‎ ‎∴f(a+b)>f(c),即>,∴M>N.‎ 课堂活动区 例1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式,可用作差或作商比较法,也可用分析法、综合法.‎ 证明 ∵+-(+)‎ ‎= ‎=,‎ 又+>0,>0,(-)2≥0,‎ ‎∴+-(+)≥0.故+≥+.‎ 变式迁移1 解 (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,‎ 解得00,‎ 故ab+1>a+b.‎ 例2 解题导引 本例不等式中的a、b、c具有同等的地位,证明此类型不等式往往需要通过系数的变化,利用基本不等式进行放缩,得到要证明的结论.‎ 证明 ∵a、b、c均为正数,‎ ‎∴≥≥,‎ 当且仅当a=b时等号成立;‎ 同理:≥≥,‎ 当且仅当b=c时等号成立;‎ ≥≥,‎ 当且仅当a=c时等号成立.‎ 三个不等式相加即得 ++≥++,‎ 当且仅当a=b=c时等号成立.‎ 变式迁移2 证明 x是正实数,由基本不等式知,‎ x+1≥2,1+x2≥2x,x3+1≥2,‎ 故(x+1)(x2+1)(x3+1)‎ ‎≥2·2x·2=8x3 ‎ ‎(当且仅当x=1时等号成立).‎ 例3 解题导引 当要证的不等式较复杂,已知条件信息量太少,已知与待证间的联系不明显时,一般可采用分析法.分析法是步步寻求不等式成立的充分条件,而实际操作时往往是先从要证的不等式出发,寻找使不等式成立的必要条件,再考虑这个必要条件是否充分,这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力,也是分析问题、解决问题时常用的思考方法.‎ 证明 欲证<-<,‎ 只需证<<.‎ ‎∵a>b>0,‎ ‎∴只需证<<,‎ 即<1<.欲证<1,‎ 只需证+<2,即<.该式显然成立.‎ 欲证1<,‎ 只需证2<+,即<.该式显然成立.‎ ‎∴<1<成立,且以上各步均可逆.‎ ‎∴<-<成立.‎ 变式迁移3 证明 要证 -≥a+-2,‎ 只需证 +2≥a++,‎ ‎∵a>0,∴只须证2≥2,‎ 从而只要证2 ≥,‎ 只要证4≥2,‎ 即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.‎ 课后练习区 ‎1.A [∵-==>0,‎ ‎∴>.]‎ ‎2.C [当a>0,b>0时,2=a+b>2,∴02,>1,又a≠b.∴选C.]‎ ‎3.A [只有a2+≥2>1,故选A.]‎ ‎4.D [取a=b=1,显然有=4·44‎ ‎=-4=16>1,∴48>84,A不成立;‎ ‎∵=a·b=a-b,‎ 当ay,得a2b2+5-2ab+a2+‎‎4a ‎=(ab-1)2+(a+2)2>0,所以有ab≠1或a≠-2.‎ ‎8.证明 因为x,y,z均为正数,‎ 所以+=≥,‎ 同理可得+≥,+≥,(5分)‎ 当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,‎ 得++≥++.(10分)‎ ‎9.证明 要证c-0,只需证a+b<‎2c,‎ 这就是已知条件,且以上各步都可逆,‎ ‎∴c-++=(x+y+z), ‎ 即++ ‎>(x+y+z).(13分)‎
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