2015高考数学（文）（证明不等式的基本方法）一轮复习学案

2015高考数学（文）（证明不等式的基本方法）一轮复习学案

学案77　不等式选讲 ‎(二)证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．‎ 自主梳理 ‎1．三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ ‎2．基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当__________________时等号成立．‎ ‎3．二维形式的柯西不等式及推论：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立；≥|ac＋bd|，当且仅当ad＝bc时等号成立；≥|ac|＋|bd|，当且仅当________________时等号成立．‎ ‎4．证明不等式的常用五种方法 ‎(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小．‎ ‎(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．‎ ‎(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．‎ ‎(4)反证法 ‎①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．‎ ‎②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．‎ ‎(5)放缩法 ‎①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．‎ ‎②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．‎ 自我检测 ‎1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为(　　)‎ A．M>N B．Mb≥0，p＝－，q＝，那么(　　)‎ A．p≤q B．p≥q C．pQ ‎4．已知a>b>0，n∈N*，则使不等式a2－n≥成立的n的最大值为(　　)‎ A．4 B．‎8 ‎ C．10 D．16‎ ‎5．(2011·南阳月考)已知a，b，c>0，且a＋b>c，设M＝＋，N＝，则M与N的大小关系是__________________________________________________________.‎ 探究点一　比较法证明不等式 例1　已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.‎ 变式迁移1　(2011·福建)设不等式|2x－1|<1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M；‎ ‎(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．‎ 探究点二　用综合法证明不等式 例2　设a、b、c均为正数，求证：‎ ＋＋≥＋＋.‎ 变式迁移2　设x是正实数，求证：‎ ‎(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.‎ 探究点三　用分析法证明不等式 例3　(2011·武汉模拟)已知a>b>0，求证：<－<.‎ 变式迁移3　已知a>0，求证： －≥a＋－2.‎ 转化与化归思想的应用 例　(10分)已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：‎ ‎(1)f(1)＋f(3)－‎2f(2)＝2；‎ ‎(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.‎ 多角度审题　已知f(x)，要证f(1)＋f(3)－‎2f(2)＝2，只须化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于包括：‎ ‎|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于，其余两个小于；三个中有2个大于等于，另一个小于；三个都大于等于.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明．‎ ‎【答题模板】‎ 证明　(1)f(1)＋f(3)－‎2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.[2分]‎ ‎(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，‎ 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，[4分]‎ 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－‎2f(2)|‎ ‎＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，与假设矛盾．[9分]‎ ‎∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.[10分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 根据正难则反的证明原则，|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一个不小于的反面为|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立．‎ ‎【易错点剖析】‎ 在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．‎ ‎1．证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法．‎ ‎2．应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．‎ ‎3．放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．‎ ‎4．放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如2＋>2；(2)将分子或分母放大(缩小)，如<，>，<，> (k∈N*且k>1)等．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2011·烟台月考)已知a、b、m∈R＋且a>b，则(　　)‎ A.> B.＝ C.< D.与间的大小不能确定 ‎2．(2010·黄冈期中)设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)‎ A.abba C．a3>a2－a＋1 D．(＋)m2< 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎5．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．‎ ‎6．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8x＝lg 2，则＋的最小值为________．‎ ‎7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－‎4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为__________________．‎ 三、解答题(共43分)‎ ‎8．(10分)已知x，y，z均为正数，求证：‎ ＋＋≥＋＋.‎ ‎9．(10分)(2011·包头模拟)已知正数a、b、c满足a＋b<‎2c，求证：‎ c－(x＋y＋z)．‎ 学案77　不等式选讲 ‎(二)证明不等式的基本方法 自主梳理 ‎1.≥　2.a1＝a2＝…＝an　3.ad＝bc且abcd≥0　4.(1)差　商　(2)公理　定理　(3)充分　(5)①放大　缩小 自我检测 ‎1．C　[∵M－N＝a2＋b2－ab－a－b＋1‎ ‎＝(‎2a2＋2b2－2ab－‎2a－2b＋2)‎ ‎＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－‎2a＋1)＋(b2－2b＋1)]‎ ‎＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，当且仅当a＝b＝1时“＝”成立．∴M≥N.]‎ ‎2．A　[p2－q2＝a＋b－2－a＋b ‎＝2(－)≤0.∴p≤q.]‎ ‎3．C　[Q＝·＝ ‎＝ ‎≥＝＋＝P.∴P≤Q.]‎ ‎4．B　[∵n≤a2＋，b(a－b)≤ (2≥0)．‎ ‎∴a2＋≥a2＋≥2＝8(a＝2，b＝1时取“＝”)．‎ 即a2＋的最小值为8，∴nmax＝8.]‎ ‎5．M>N 解析　∵a，b，c>0，且a＋b>c，‎ ‎∴M＝＋>＋＝ 设f(x)＝ (x>0)，∵f′(x)＝＝>0，‎ 即f(x)在(0，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴f(a＋b)>f(c)，即>，∴M>N.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法．‎ 证明　∵＋－(＋)‎ ‎＝ ‎＝，‎ 又＋>0，>0，(－)2≥0，‎ ‎∴＋－(＋)≥0.故＋≥＋.‎ 变式迁移1　解　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，‎ 解得00，‎ 故ab＋1>a＋b.‎ 例2　解题导引　本例不等式中的a、b、c具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论．‎ 证明　∵a、b、c均为正数，‎ ‎∴≥≥，‎ 当且仅当a＝b时等号成立；‎ 同理：≥≥，‎ 当且仅当b＝c时等号成立；‎ ≥≥，‎ 当且仅当a＝c时等号成立．‎ 三个不等式相加即得 ＋＋≥＋＋，‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ 变式迁移2　证明　x是正实数，由基本不等式知，‎ x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，‎ 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)‎ ‎≥2·2x·2＝8x3 ‎ ‎(当且仅当x＝1时等号成立)．‎ 例3　解题导引　当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法．分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法．‎ 证明　欲证<－<，‎ 只需证<<.‎ ‎∵a>b>0，‎ ‎∴只需证<<，‎ 即<1<.欲证<1，‎ 只需证＋<2，即<.该式显然成立．‎ 欲证1<，‎ 只需证2<＋，即<.该式显然成立．‎ ‎∴<1<成立，且以上各步均可逆．‎ ‎∴<－<成立．‎ 变式迁移3　证明　要证 －≥a＋－2，‎ 只需证 ＋2≥a＋＋，‎ ‎∵a>0，∴只须证2≥2，‎ 从而只要证2 ≥，‎ 只要证4≥2，‎ 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．‎ 课后练习区 ‎1．A　[∵－＝＝>0，‎ ‎∴>.]‎ ‎2．C　[当a>0，b>0时，2＝a＋b>2，∴02，>1，又a≠b.∴选C.]‎ ‎3．A　[只有a2＋≥2>1，故选A.]‎ ‎4．D　[取a＝b＝1，显然有＝4·44‎ ‎＝－4＝16>1，∴48>84，A不成立；‎ ‎∵＝a·b＝a－b，‎ 当ay，得a2b2＋5－2ab＋a2＋‎‎4a ‎＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，所以有ab≠1或a≠－2.‎ ‎8．证明　因为x，y，z均为正数，‎ 所以＋＝≥，‎ 同理可得＋≥，＋≥，(5分)‎ 当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得＋＋≥＋＋.(10分)‎ ‎9．证明　要证c－0，只需证a＋b<‎2c，‎ 这就是已知条件，且以上各步都可逆，‎ ‎∴c－＋＋＝(x＋y＋z)， ‎ 即＋＋ ‎>(x＋y＋z)．(13分)‎