2012高考物理总复习机械能知识点归纳和例题详解

2012高考物理总复习机械能知识点归纳和例题详解

‎2012 高考物理复习机械能专题（知识点归纳和例题详解）‎  ‎●考点指要 知识点 要求程度 ‎1.功、功率 Ⅱ ‎2.动能.做功跟动能改变的关系 Ⅱ ‎3.重力势能.做功跟重力势能改变的关系 Ⅱ ‎4.弹性势能 Ⅰ ‎5.机械能守恒定律及其应用 Ⅱ ‎6.动量知识和机械能知识的应用 Ⅱ ‎●复习导航 功和能的概念是物理学中重要的概念.功和能量转化的关系不仅为解决力学问题开辟了一条新的重要途径，同时它也是分析解决电磁学、热学等领域中问题的重要依据.运用能量的观点分析解决有关问题时，可以不涉及过程中力的作用细节，关心的只是过程中的能量转化的关系和过程的始末状态，这往往更能把握住问题的实质，使解决问题的思路变得简捷，并且能解决一些用牛顿定律无法解决的问题. 综观近几年高考，对本章考查的热点包括：功和功率、动能定理、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律.考查的特点是灵活性强、综合面大、能力要求高.如变力功的求法以及本章知识与牛顿运动定律、圆周运动、动量定理、动量守恒定律及电磁学（电场、磁场、电磁感应）、热学知识的综合应用等等.功、能关系及能的转化和守恒定律贯穿整个高中物理，能的观点是解决动力学问题的三个基本观点之一，且常与另外两个观点（力的观点、动量观点）交叉综合应用.涉及本章知识的命题不仅年年有、题型全（选择题、填空题、实验题、论述计算题）、份量重，而且多年的高考压轴题均与本章的功、能知识有关.这些试题的共同特点是，物理情景设置新颖，物理过程复杂，条件隐蔽，是拉开得分的关键，对学生的分析综合能力，推理能力和利用数学工具解决物理问题的能力要求均很高.解题时需对物体或系统的运动过程进行详细分析，挖掘隐含条件，寻找临界点，综合使用动量守恒定律、机械能守恒定律和能的转化和守恒定律求解.还需指出的是“弹性势能”在“高考说明”中只要求定性了解，是I级要求，但在近几年的高考中常出现弹性势能参与的能的转化和守恒试题，如1997年全国高考25题，2000年全国高考22题.对涉及弹性势能与其他形式的能相互转化的过程，一定要真正明了，不可掉以轻心. 本章分为三个单元组织复习：(Ⅰ)功.功率.(Ⅱ)动能定理·机械能守恒定律.(Ⅲ)动量和能量. 第Ⅰ单元 功·功率 ‎●知识聚焦 一、功 ‎1.物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功. 力和在力的方向上发生的位移是做功的两个不可缺少的因素. ‎2.计算功的一般公式： W＝Fscosα 其中F在位移s上应是恒力，α是F与位移s的夹角. 若α＝90°，则F不做功；若0°≤α＜90°，则F做正功；若90°＜α≤180°，则力F做负功(或说物体克服F做了功). ‎3.功是标量 功的正、负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，前者取正，后者取负. 当物体同时受到几个力作用时，计算合外力的功有两种方法： 一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据W＝F合scosα计算功.注意α应是合外力与位移s间的夹角. 二是先分别求各个外力的功： W1＝F1scosα1，W2＝F2scosα2，…再把各个外力的功代数相加. 二、功率 ‎1.功率是表示物体做功快慢的物理量.功跟完成这些功所用时间的比叫做功率. ‎2.公式：①P＝.这是物体在t时间内的平均功率. ‎②P＝Fvcosα.当v是瞬时速度，P则是瞬时功率；若v是平均速度，P则是平均功率.α是F与v方向间的夹角. ‎3.发动机铭牌上的额定功率，指的是该机正常工作时的最大输出功率.并不是任何时候发动机的功率都等于额定功率.实际输出功率可在零和额定值之间取值. 发动机的功率即是牵引力的功率，P＝Fv.在功率一定的条件下，发动机产生的力F跟运转速度成反比. ‎●疑难解析 ‎1.功的正、负的含义. 功是标量，所以，功的正、负不表示方向.功的正、负也不表示功的大小，比较功的大小时，要看功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少.功的正、负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说功的正、负表示是力对物体做了功，还是物体克服这个力做了功.从动能定理的角度理解，力对物体做正功，使物体的动能增加，力对物体做负功，使物体的动能减少，即功的正、负与物体动能的增、减相对应. ‎2.功和冲量的比较 ‎（1）功和冲量都是表示力和累积效果的过程量，但功是表示力的效果在一段位移上的累积效应，而冲量则是表示力的效果在一段时间内的累积效应. ‎（2）功是标量，其正、负号表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功.冲量是矢量，其正、负号表示方向. ‎（3）做功的多少由力的大小、位移的大小及力和位移的夹角三个因素决定.冲量的大小只由力的大小和时间两个因素决定.力作用在物体上一段时间，力的冲量一定不为零，但力对物体做的功可能为零. ‎（4）一对作用力、反作用力的冲量一定大小相等，方向相反；但一对作用力、反作用力做的功却没有确定的关系.由于相互作用的两个物体可能都静止，也可能同方向运动，还可能反方向运动，甚至是一个运动另一个静止，正是由于相互作用的两物体的位移关系不确定，使得一对作用力、反作用力做的功没有确定关系.可能都不做功，可能一个力做正功另一个力做负功，也可能两个力都做正功或都做负功，还可能一个力做功而另一个力不做功. ‎3.有些情况直接由力和位移来判断力是否做功会有困难，此时也可以从能量转化的角度来进行判断. 若有能量的转化，则必定有力做功.此法常用于两个相联系的物体.如图6—1—1，斜面体a放在光滑水平面上，斜面光滑，使物体b自斜面的顶端由静止滑下.若直接由功的定义式判定a、b间弹力做功的情况就比较麻烦.从能量转化的角度看，当b沿斜面由静止滑下时，a即由静止开始向右运动，即a的动能增大了，因而b对a的弹力做了正功.由于a和b组成的系统机械能守恒，a的机械能增加，b的机械能一定减少，因而a对b的支持力对b一定做了负功. 图6—1—1‎ ‎4.变力功的计算.一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与始末位置有关，这类力对物体做正功，物体势能减少；物体克服这类力做功，物体的势能增加.因此，可以根据势能的变化求对应变力做的功. 另一类如滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积.之外，有些变力的功还可以用动能定理或能的转化守恒定律来求. ‎●典例剖析 ‎［例1］质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点在木板上前进了L，而木板前进s，如图6—1—2所示.若滑块与木板间摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少? 图6—1—2‎ ‎【解析】在计算功的时候，首先要分析物体的受力情况，然后再确定物体相对于地的位移，剩下的工作才是代入公式进行计算.滑块受力情况如图6—1—3(甲)所示，滑块相对于地的位移为(s+L)，摩擦力对滑块做的功为 图6—1—3‎ W1＝－μmg（s＋L）. 木板受力如图6—1—3(乙)，物体相对于地的位移为s.摩擦力对木板做的功为W2＝μmgs.‎ ‎【思考】 (1)滑动摩擦力是否一定做负功?静摩擦力是否一定不做功? ‎(2)作用力和反作用力大小相等、方向相反，它们做的功是否也大小相等，一正一负?试举例说明有哪些可能情况. ‎【思考提示】（1）滑动摩擦力一定与相对运动方向相反，但不一定与运动方向相反，所以，滑动摩擦力可能做正功、也可能做负功，还可能不做功.产生静摩擦力的两物体保持相对静止，但不一定都处于静止状态，所以，静摩擦力可能对物体做功. ‎（2）作用力、反作用力由于分别作用于两个不同物体，它们的位移没有确定关系，所以，它们所做的功也就没有确定关系. ‎【设计意图】 通过本例说明（1）求力对物体做的功时，W=Fscosα中的s是力F所作用的物体质点的位移；（2）摩擦力既可做正功，也可做负功；（3）一对作用力、反作用力做的功没有确定关系. ‎［例2］质量m=5.0 kg的物体，以10 m/s的速度水平抛出.求抛出后第1 s内重力做功的平均功率和抛出后第1 s末重力的瞬时功率. ‎【解析】根据功率的概念，重力的功率等于重力与重力方向上速度的乘积，水平方向分速度的大小与功率无关.P=Fv中的速度v是物体竖直方向的平均速度时，所对应的P则是平均功率；当v 是瞬时速度时，所对应的P则是瞬时功率.物体平抛后在竖直方向上做的是自由落体运动.所以第1 s内竖直方向的平均速度为： ‎ m/s=5 m/s 所以第1 s内物体所受重力的平均功率为： ‎ W=250 W 物体第1 s末竖直方向的瞬时速度为： v=gt=10×1 m/s=10 m/s 所以第1 s末重力的瞬时功率为： P=mgv=5.0×10×10 W=500 W ‎【说明】 在计算平均功率时首选公式应是P=，其实P=和P=Fv都可以计算平均功率，也都可以计算瞬时功率.匀速行驶的汽车，用P=算出的牵引力的功率，既是t时间的平均功率，也是任一时刻的瞬时功率.在计算瞬时功率时的首选公式应是P=Fv，从本题求解也可看出，对于恒力做功的功率，P=Fv在计算平均功率和瞬时功率时也是等效的. ‎【设计意图】 通过本例说明求瞬时功率和平均功率的方法. ‎［例3］人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kg的物体，如图6—1—4所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s=2 m而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功? 图6—1—4‎ ‎【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s又是人沿水平方向走的距离，所以无法利用W＝Fscosα直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力.这种转换研究对象的办法也是求变力功的一个有效途径. 设滑轮距地面的高度为h，则： h(cot30°-cot60°)=sAB ① 人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即： Δh＝ ②‎ 人对绳子做的功为 W＝Fs＝GΔh ③ 代入数据可得：‎ W≈732 J ‎【思考】 (1)重物匀速上升的过程中，人对地面的压力如何变?摩擦力大小如何变? ‎(2)重物匀速上升时，人的运动是匀速吗?若人由A以速度v匀速运动到B，人对绳做的功还是732 J吗? ‎【思考提示】 （1）压力逐渐增大，摩擦力逐渐增大.（2）重物匀速上升时，人的速度为v′=，随着α减小，人的速度逐渐减小.若人从A到B匀速运动，则物体加速上升，人对绳做的功大于732 J. ‎【设计意图】 通过本例说明可以利用等效法改变研究对象求变力的功. ‎［例4］汽车发动机的额定牵引功率为60 kW，汽车质量为5 t,汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，试问： ‎（1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？ ‎（2）若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ ‎【解析】（1）汽车受力如图6—1—5所示，汽车一开始就保持额定功率，那么它运动中的各个量（牵引力、加速度、速度）是怎样变化呢？下面是这个动态过程的简单方框图. 图6—1—5‎ 所以汽车达到最大速度时，a=0,此时，‎ vm=p/μmg=6.0×105/0.1×5×103×10 m/s=12 m/s. ‎（2）汽车以恒定加速度起动后的各个量（牵引功率、牵引力、加速度、速度）的变化如下（方框图所示）： ‎ ‎ 所以v在达到最大值之前已经历了两个过程：匀加速变加速. 匀加速运动的加速度a=(F-μmg)/m, 所以F=m(a+μg)=5×103×(0.5+0.1×10)N=7.5×103 N. 设保持匀加速的时间为t，匀加速能达到的最大速度为v1，则：v1=at. 汽车速度达到v1时：P=F·v1. 因为t=P/F=6.0×104/7.5×103×0.5 s=16 s.‎ ‎【说明】 通过过程分析，弄清两种加速过程各物理量的变化特点，抓住物体从一种运动状态到另一种运动状态转折点的条件是解答本题的关键. ‎【设计意图】 通过本例说明汽车两种启动过程的特点及分析方法，帮助学生掌握利用动态分析的方法分析物体的运动过程. ‎●反馈练习 ‎★夯实基础 ‎1.用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升.如果前后 两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则 A.加速过程中拉力的功比匀速过程中拉力的功大 B.匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C.两过程中拉力的功一样大 D.上述三种情况都有可能 ‎【解析】 物体匀加速上升过程中，设加速度为a，上升时间为t，则拉力F＝ma＋mg.上升高度为h＝at2.所以拉力的功W＝（ma＋mg）at2.物体匀速上升过程中，拉力F′＝mg.上升高度h′＝at2.所以拉力的功W′＝F′h′＝mgat2，因为ma大小不定，‎ 则可能W＞，W＜或W＝.故D项正确. ‎【答案】 D ‎2.如图6—1—6所示，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F1、F2、F3的功率关系为 图6—1—6‎ A.P1＝P2＝P3 B.P1＞P2＝P3 C.P3＞P2＞P1 D.P1＞P2＞P3 ‎【解析】 F1、F2、F3分别作用于物体时，沿斜面向上的分力分别都等于（mgsinα＋ma），所以三个力的瞬时功率都是（mgsinα＋ma）at. ‎【答案】 A ‎3.如图6—1—7所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 图6—1—7‎ A.垂直于接触面，做功为零 B.垂直于接触面，做功不为零 C.不垂直于接触面，做功为零 D.不垂直于接触面，做功不为零 ‎【解析】 小物块在下滑过程中受到斜面所给的支持力FN，此力垂直于斜面.如图所示，物块相对地面的位移为，由于方向与斜面不平行，所以物块所受支持力与物块位移方向不垂直，由此可知，支持力做功不为零. ‎【答案】 B ‎4.飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中如图6—1—8，飞行员受重力的瞬时功率变化情况是 图6—1—8‎ A.一直增大 ‎ B.一直减小 C.先增大后减小 ‎ D.先减小后增大 ‎【解析】 根据P＝Gvcosθ（θ是杆与水平方向夹角），θ＝0时v＝0，P＝0；θ＝90°，cosθ＝0，P＝0，其他情况P＞0. ‎【答案】 C ‎5.一个小孩站在船头，按图6—1—9所示两种情况用同样大小的拉力拉绳，经过相同的时间t(船未碰)小孩所做的功W1、W2及在时刻t小孩拉绳的瞬时功率P1、P2的关系为 图6—1—9‎ A.W1＞W2，P1＝P2 B.W1＝W2，P1＝P2 C.W1＜W2，P1＜P2 D.W1＜W2，P1＝P2 ‎【解析】 小孩所做的功在第一种情况是指对自身(包括所站的船)做的功.在第二种情况除对自身做功外，还包括对另外一船所做的功.由于两种情况下人对自身所做的功相等，所以W1＜W2.设t时刻小孩所站船的速率为v1，(两种情况下都是v1)，空船速率为v2，则P1＝Fv1，P2＝F（v1＋v2），所以C项正确. ‎【答案】 C ‎6.一个质量m=10 kg的物块，沿倾角α=37°的光滑斜面由静止下滑，当它下滑4 s时重力的功率是______，这4 s重力做的功是______，这4 s重力的平均功率是______. ‎【解析】 由瞬时功率P＝mgvsinα可得4 s末重力的功率为１.44×１03 W.由W＝mgh可求这4 s重力做的功是2.８８×１03 J.由可求4 s内平均功率是7.2×１02 W. ‎【答案】 １.44×１03 W；2.８８×１03 J，7.2×１02 W ‎7.一架质量为2000 kg的飞机，在跑道上匀加速滑行500 m后以216 km/h的速度起飞，如果飞机滑行时受到的阻力是它自重的0.02倍，则发动机的牵引力是______N，飞机离地时发动机的瞬时功率是______. ‎【解析】 飞机起飞时的加速度a＝＝3.6 m/s2，发动机牵引力F＝ma＋0.02mg＝7.6×１03 N，离地时发动机的瞬时功率P＝F·v＝4.56×１05 W. ‎【答案】 7.6×１03；4.56×１05 W ‎8.如图6—1—10所示，A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移，用FT、FAB和FBA分别表示绳子中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力.则 图6—1—10‎ A.F做正功，FAB做负功，FBA做正功，FT不做功 B.F和FBA做正功，FAB和FT做负功 C.F做正功，其他力都不做功 D.F做正功，FAB做负功，FBA和FT都不做功 ‎【解析】 据功的计算公式可选D. ‎【答案】 D ‎9.在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜上拉力，第二次是斜下推力，两次力的作用线与水平方向的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同，则 A.力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同 B.力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同 C.力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同 D.力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同 ‎【解析】 根据恒力做功的公式W=F·scosθ，由于F、s、θ都相同，故力F做功相同.求合力功时，先进行受力分析，受力图如图所示，可用两种方法求合力做的功. 方法一：由于斜上拉和斜下推物体而造成物体对地面的压力不同，从而使滑动摩擦力Ff=μFN的大小不同，因而合力F合=Fcosθ-Ff不同，所以W合=F合scosθ知W合不相同； 方法二：因重力和支持力不做功，只有F和Ff做功，而F做功WF=F·scosθ相同，但摩擦力做功Wf=-Ffs，因Ff不同而不同，所以由W合=WF+Wf知W合不相同. ‎【答案】 B ‎10.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为f，则从抛出至回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为 A.0 B.-fh C.-2fh D.-4fh ‎【解析】 很多同学错选A答案，原因是他们认为整个运动过程的位移为零，由公式W=F·scosα可得Wf =0.造成这一错误的原因是没有真正掌握应用公式W=F·scosα直接计算功时，F必须是恒力（大小和方向均不变），另外缺乏对物理过程的分析，正确的分析是：物体在上升和下降过程，空气阻力大小不变方向改变但都是阻碍物体运动，亦即上升过程和下降过程都是做负功，所以全过程空气阻力对物体做功： Wf=Wf上+Wf下=-fh+(-fh)=-2fh. ‎【答案】 C ‎★提升能力 ‎11.某同学在跳绳比赛中，1 min跳了120次，若每次起跳中有4/5时间腾空，该同学体重50 ｋｇ，则他在跳绳中克服重力做功的平均功率是______W，若他在跳绳的1 min内，心脏跳动了60次，每次心跳输送1×１0-4 m3的血液，其血压(可看作心脏血液压强的平均值)为2×１04 Pa，则心脏工作的平均功率是______W. ‎【解析】 跳一次时间是t0＝ s＝ s，人跳离地面做竖直上抛，人上抛到最高点的时间t＝×× s＝ s.此过程中克服重力做功W＝mg（ｇt2）＝100 J.跳绳时克服重力做功的平均功率＝200 W.把每一次输送的血液简化成一个正方体模型，输送位移为该正方体的边长L则＝W／Δt＝F·L／Δt＝PΔv／Δt＝ W＝2 W.‎ ‎【答案】 200；2 ‎12.额定功率为80 kW的汽车，在某平直的公路上行驶的最大速度为20 m/s，汽车的质量m=2×103 kg.如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2.运动过程中阻力不变.求：(1)汽车所受的恒定阻力是多大?(2)3 s末汽车的瞬时功率多大?(3)匀加速直线运动的时间多长?(4)在匀加速直线运动中，汽车的牵引力做的功多大? ‎【解析】 (1)当F＝Ff时，速度最大，所以，根据vm＝P额／Ff得 Ff＝ N＝4×103 N ‎(2)根据牛顿第二定律，得 F－Ff＝ma ① 根据瞬时功率计算式，得 P＝Fv＝Fat ② 所以由式①、式②得 P＝（Ff＋ma）at ‎＝（4×103＋2×103×2）×2×3 W ‎＝4.８×104 W ‎(3)根据P＝Fv可知：随v的增加，直到功率等于额定功率时，汽车完成整个匀速直线运动过程，所以P额＝Fatm ③ 将式①代入式③得tm＝ s＝5 s ‎(4)根据功的计算式得 WF＝Fs＝F·atm2 ‎＝（Ff＋ma）·atm2 ‎＝（4×103＋2×103×2）××2×52 J ‎＝2×105 J ‎【答案】 （1）4×103 N(2)4.8×104 W (3)5 s (4)2×105 J ‎※13.如图6—1—11所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是 图6—1—11‎ A.W1＞W2 B.W1＝W2 C.W3＝0 D.W3＜W1＋W2 ‎【解析】 小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球做水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力FN提供的，由于转动半径R始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即FN减小，而Ff＝μFN，滑动摩擦力Ff也减小，即由关系：FN＝Fn＝m，m、R不变，v减小，则FN减小，Ff＝μFN，FN减小，则Ff减小，W＝－FfπR，Ff减小，则W减小，所以W1＞W2，W1、W2都为负功，因此W3＝W1＋W2. ‎【答案】 A ‎※[HT5”]14.如图6—1—12，用恒力F通过光滑定滑轮，把静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮离水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为θ1和θ2，求绳的拉力对物体做的功.‎ 图6—1—12‎ ‎【解析】 物体从A运动到B，滑轮右侧绳子增加的长度为： Δs＝h／sinθ1－h／sinθ2 所以绳的拉力对物体做的功为： W＝F·Δs＝Fh（） ‎【答案】 Fh（） ‎※15.如图6—1—13所示，一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道做特技表演，若车运动的速率恒为20 m/s，人车质量之和为200 kg，轮胎与轨道间动摩擦因数为μ＝0.1，车通过最低点A时发动机功率为12 kW.求车通过最高点B时发动机的功率?（ｇ＝10 m/s2） 图6—1—13‎ ‎【解析】 依题意，车做匀速圆周运动，车所受合力全部充当向心力，切向力为零，A、B两点向心力满足 FN1－mg＝，FN2＋mg＝，又，可得PB＝4 kW.‎ ‎【答案】 4 kW 第Ⅱ单元 动能定理·机械能守恒定律 ‎●知识聚焦 一、动能 ‎1.物体由于运动而具有的能量叫做动能. ‎ Ek＝mv2 ‎2.动能是一个描述物体运动状态的物理量.是标量. 二、动能定理 ‎1.外力对物体所做的总功等于物体动能的变化.这个结论叫动能定理. ‎2.动能定理适用于单个物体.外力对物体做的总功即合外力对物体所做的功，亦即各个外力对物体所做功的代数和.这里，我们所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他的力.物体动能的变化指的是物体的末动能和初动能之差. ‎3.应用动能定理解题的基本步骤： ‎(1)选取研究对象，明确它的运动过程. ‎(2)分析研究对象的受力情况和各个力做功情况：受哪些力?每个力是否做功?做正功还是做负功?做多少功?然后求各个外力做功的代数和. ‎(3)明确物体在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2. ‎(4)列出动能定理的方程W合＝Ｅk2－Ek1，及其他必要的解题方程，进行求解. ‎4.恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的，用动能定理求解一般比用牛顿定律和运动学公式简便.用动能定理还能解决一些用牛顿定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动问题等. 三、势能 ‎1.由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量叫做势能.如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等. ‎2.重力势能： ‎(1)物体由于受到重力作用而具有重力势能.一个质量为m的物体，被举高到高度为h处，具有的重力势能为：Ep＝mgh. ‎(2)重力势能Ep＝mgh是相对的，式中的h是物体的重心到参考平面(零重力势能面)的高度.若物体在参考平面以上，则重力势能为正；若物体在参考平面以下，则重力势能取负值.通常，选择地面作为零重力势能面. 我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量.重力势能的变化量与零重力势能面的选取无关. ‎(3)重力势能的变化与重力做功的关系： 重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少.重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少.即WG＝ΔEp. ‎3.弹性势能：物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能. 四、机械能守恒定律 ‎1.动能和势能(重力势能和弹性势能)统称为机械能：E＝Ek＋Ep. ‎2.在只有重力(和系统内弹簧的弹力)做功的情形下，物体的动能和重力势能(及弹性势能)发生相互转化，但机械能的总量保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律. ‎3.判断机械能守恒的方法一般有两种： ‎(1)对某一物体，若只有重力(或系统内弹簧的弹力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代数和为零)，则该物体的机械能守恒. ‎(2)对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能产生)，则系统的机械能守恒.‎ ‎4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤： ‎(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统) ‎(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件. ‎(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的起始状态和末了状态的机械能(包括动能和重力势能). ‎(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解. ‎●疑难解析 ‎1.动能和动量的区别和联系 ‎（1）联系：动能和动量都是描述物体运动状态的物理量，都由物体的质量和瞬时速度决定，物体的动能和动量的关系为p=或Ek=. ‎（2）区别：①动能是标量，动量是矢量.所以动能变化只是大小变化，而动量变化却有三种情况：大小变化，方向变化，大小和方向均变化.一个物体动能变化时动量一定变化，而动量变化时动能不一定变化.②跟速度的关系不同：Ek=mv2,p=mv.③变化的量度不同，动能变化的量度是合外力的功，动量变化的量度是合外力的冲量. ‎2.用动能定理求变力做功：在某些问题中由于力F大小的变化或方向变化，所以不能直接由W＝Fscosα求出变力F做功的值，此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F所做的功. ‎3.在用动能定理解题时，如果物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的分过程(如加速、减速的过程)，此时，可以分段考虑，也可对全程考虑.如能对整个过程列式则可能使问题简化.在把各个力的功代入公式：W1＋W2＋…＋Wn＝mv末2－mv初2时，要把它们的数值连同符号代入，解题时要分清各过程中各个力做功的情况. ‎4.机械能守恒定律的推论 根据机械能守恒定律，当重力以外的力不做功，物体（或系统）的机械能守恒.显然，当重力以外的力做功不为零时，物体（或系统）的机械能要发生改变.重力以外的力做正功，物体（或系统）的机械能增加，重力以外的力做负功，物体（或系统）的机械能减少，且重力以外的力做多少功，物体（或系统）的机械能就改变多少.即重力以外的力做功的过程，就是机械能和其他形式的能相互转化的过程，在这一过程中，重力以外的力做的功是机械能改变的量度，即WG外=E2-E1. ‎5.功能关系的总结 做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度，在本章中，功和能的关系有以下几种具体体现： ‎（1）动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功是物体动能变化的量度，即W总=Ek2-Ek1. ‎（2）重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重力做的功量度了重力势能的变化，即WG=Ep1-Ep2. ‎（3）重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能转化的过程，重力以外的力做的功量度了机械能的变化，即WG外=E2-E1 ‎（4）作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积，在数值上等于系统内能的增量.即“摩擦生热”：Q＝F滑·s相对，所以，F滑·s相对量度了机械能转化为内能的多少. 可见，静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生. ‎ ‎●典例剖析 ‎［例1］如图6—2—1所示ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的.BC是与AB和CD都相切的一段圆弧，其长度可以略去不计.一质量为m的小滑块在A点从静止滑下，最后停在D点.现用一沿着轨道方向的拉力拉滑块，使它缓缓地由D点回到A点，则拉力对滑块做的功等于多少?(设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ) 图6—2—1‎ A.mgh B.2mgh C.μmg(s＋) D.μmgs＋μmghcotθ ‎【解析】滑块由始状态A从静止滑到末状态D的过程中，重力做正功WG＝mｇh；摩擦阻力做功为-Wf；支持力不做功 由动能定理：mgh-Wf＝0 得Wf＝mgh 由D返回到A，拉力做功为WF；摩擦阻力做功仍为-Wf；重力做功为WG＝－mgh 由动能定理：WF－Wf－mgh＝0 得WF＝Wf＋mgh＝2mgh 本题正确选项是B. ‎【思考】 (1)若不拉物体，仅在D点给物体一初速度v0，则v0多大时恰能使物体沿原路径回到A点? ‎(2)若拉力的方向具有任意性，则拉力对物体做功至少为多大? ‎(3)本题能否用牛顿第二定律结合运动学公式求解?用动能定理解题具有哪些优点? ‎【思考提示】（1）根据动能定理得 ‎-mgh-Wf=0-mv02 ‎ v0=2‎ ‎（2）mgh ‎（3）本题可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解.需把物体的运动分为两段研究.用动能定理求解的优点是，解题时只关心过程中合外力的功及初、末状态物体的动能，不必研究运动过程的细节. ‎【设计意图】通过本例说明应用动能定理解题的方法和优越性. ‎［例2］质量为500 t的机车以恒定的功率由静止出发，经5 min行驶2.25 km，速度达到最大值54 km/h,设阻力恒定且取g=10 m/s2.问：（1）机车的功率P多大？（2）机车的速度为36 km/h时机车的加速度a多大？ ‎【解析】因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做功，由动能定理结合P=Ff·vm，可求出机车的功率.利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根据F=，求出36 km/h时的牵引力，再根据牛顿第二定律求出机车的加速度a. ‎（1）以机车为研究对象，机车从静止出发至达速度最大值过程，根据W=ΔEk，有 P·t-Ff·s=mvm2, ① 当机车达到最大速度时，F=Ff.所以 P=F·vm=Ff·vm. ② 联立（1）、（2）式有 P==3.75×105 W.‎ ‎（2）由Ff=可求出机车受到的阻力 Ff==2.5×104 N. 当机车速度v=36 km/h时机车的牵引力 F= N=3.75×104 N. 根据F合=ma可得机车v=36 km/h时的加速度 a= m/s2=2.5×10-2 m/s2. ‎【说明】 机车以恒定功率起动，直到最大速度，属于变力做功的问题.由于阻力恒定，所以机车在任一时刻运动的加速度a=,由于速度增大导致加速度减小，汽车做加速度逐渐减小而速度逐渐变大的变加速运动.此类问题应用牛顿第二定律求解，在中学物理范围内是无法求解的.但应用动能定理求解变力做功，进而求解相关物理量是一种简捷优化的解题思路与方法. ‎【设计意图】 （1）通过本例题说明如何应用动能分析解决机车以恒定功率启动的问题.‎ ‎［例3］如图6—2—2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端相齐.当略有拉动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间的速度多大? 图6—2—2‎ ‎【解析】铁链在运动过程中只有重力做功，机械能守恒.若设铁链单位长度的质量为ρ，且选滑轮最高点所在水平面为参考平面，则初态机械能 E1＝－2·ρρｇL2， 末态机械能为 E2＝－ρLｇ·ρLv2 由机械能守恒定律得：E1＝E2 即：‎ 所以v＝. ‎【说明】 (1)对绳索、链条之类的物体，由于常发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的.能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键.一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能.至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末态重力势能便于表示为宜. ‎(2)此题也可运用等效方法求解：铁链要脱离滑轮时重力势能的减少等效于将图6—2—2中的一半铁链移至另一半铁链的下端时重力势能的减少.然后由ΔEp＝ΔEk列方程解.用ΔEp＝ΔEｋ列方程的优点是：不需选取参考平面且便于分析计算，在今后解题中可以大胆使用.‎ ‎【设计意图】 （1）通过本例说明应用机械能守恒定律解题的方法.（2）说明对于重心相对自身不固定的物体，如何确定重心位置，求出重力势能，以及如何用等效法分析解决这类问题. ‎※例4轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球.AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动.现将杆置于水平位置，如图6—2—3所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，试求： 图6—2—3‎ ‎(1)AB杆转到竖直位置瞬时，角速度ω多大? ‎(2)AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能增量多大? ‎【解析】(1)在AB杆由释放转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有： mg2L+2mg(2L)=mgL+m(ωL)2+·2m(ω2L)2 解得角速度ω＝‎ ‎(2)在此过程中，B端小球机械能的增量为 ΔEB＝E末－E初＝·2m（ω·2L）2－2mg（2L）＝mgL ‎【说明】 利用机械能守恒定律解题时，经常会遇到相关联的多个物体的情况，这时对研究对象的选取一定要慎重，否则一切都无从谈起. ‎【设计意图】 通过本例说明利用机械能守恒定律分析解决由多个物体组成系统的问题的方法.‎ ‎●反馈练习 ‎★夯实基础 ‎1.关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是 A.如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对物体做的功一定为零 B.如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零 C.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化 D.物体的动能不变，所受的合外力必定为零 ‎【解析】 合外力为零，由W=Fscosα知，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，合外力却不一定为零，故A选项对，B选项错.物体在合外力作用下做变速运动，合外力不一定做功，物体的速率不一定变化，动能不一定变化（例如匀速圆周运动），同样，物体的动能不变，它所受的合外力也不一定为零，C、D选项均错. ‎【答案】 A ‎2.在抗洪救灾中，一架直升飞机通过绳索用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，‎ ‎①力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量 ‎②木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量 ‎③力F、重力、阻力，三者的合力所做的功等于木箱重力势能的增量 ‎④力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量 上述说法正确的有 A.只有① B.②④ C.①④ D.只有② ‎【解析】 物体受重力mg，空气阻力，拉力F，设物体上升高度为h，由动能定理知：‎ WF－WF′－mgh＝ΔEk.所以③错，木箱克服重力做功为mgh，‎ 即为木箱重力势能增量，所以②对.由WF－WF′＝mgh＋ΔEk，所以④对①错,选B. ‎【答案】 B ‎3.质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h，不计空气阻力，则 ‎①物体的重力势能减少2 mgh ‎②物体的机械能保持不变 ‎③物体的动能增加2 mgh ‎④物体的机械能增加mgh 以上说法正确的是 A.①② B.③④ C.①③ D.只有④ ‎【解析】 物体所受合外力为2mg，则由动能定理知ΔEk=2mgh,③对.除重力外，物体还受到F=mg的外力，它做的功为mgh，故物体的机械能增加了mgh，④对，故选B. ‎【答案】 B ‎4.某运动员臂长L，将质量为m的铅球推出，铅球出手的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则该运动员对铅球所做的功是 A. B.mgl＋mv02 C. mv02 D.mgl＋mv02 ‎【解析】 运动员对铅球的作用力为F，由动能定理知：WF－mgLsin30°＝mv02 所以WF＝mgL＋mv02 ‎【答案】 A ‎5.质量为1 kg的物体在水平面上滑行，且动能随位移变化的情况如图6—2—4所示，取ｇ＝10 m/s2，则物体滑行持续的时间是______. 图6—2—4‎ ‎【解析】 由图可求得μmg＝2 N，物体加速度大小a＝2 m/s2，滑行时间t＝，t＝5 s.‎ ‎【答案】 5 s ‎6.如图6—2—5所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为 图6—2—5‎ A.0 B.2πμmgR C.2μmgR D.μmgR／2 ‎【解析】 当物块随转台匀速运动时，μmg＝m知，mv2＝μmgR.由动能定理知：摩擦力Ff的功Wf＝mv2－0＝μmgR. ‎【答案】 D ‎7.甲、乙两球质量相同，悬线一长一短，如将两球从图6—2—6所示位置，同一水平面无初速释放，不计阻力，则小球通过最低点的时刻 图6—2—6‎ ‎①甲球的动能较乙球大 ‎②两球受到的拉力大小相等 ‎③两球的向心加速度大小相等 ‎④相对同一参考平面，两球机械能相等 以上说法正确的是 A.只有① B.只有②③ C.只有①④ D.①②③④ ‎【解析】 由动能定理得 mgl=mv2 (1) 由于l甲＞l乙，故mv甲2＞mv乙2，①对. 在最低点F-mg=m (2) 由（1）、（2）得F=3mg，与l无关，②对. 向心加速度为a==2g,与l无关，③对. 对同一参考面，甲、乙两球初状态的机械能相同、且在运动过程中机械能守恒.故④对.应选D. ‎【答案】 D ‎8.如图6—2—7所示，在一个光滑水平面的中心开一个小孔O，穿一根细绳，在其一端系一小球，另一端用力F向下拉着，使小球在水平面上以半径r做匀速圆周运动，现慢慢增大拉力，使小球运动半径逐渐减小，当拉力由F变为8F时，小球运动半径由r变成，在此过程中，拉力对小球做的功为 图6—2—7‎ A.0 B.Fr C.4.5Fr D.1.5Fr ‎【解析】 由向心力公式得 F= ① ‎8F= ② 由动能定理得 W= ③ 由①②③求得W=1.5Fr ‎【答案】 D ‎9.如图6—2—8所示，在倾角为30°的斜面上，沿水平方向抛出一小球，抛出时小球动能为6 J，则小球落回斜面时的动能______J. 图6—2—8‎ ‎【解析】 设物体水平抛出初速度为v0，落到斜面上用的时间为t，由平抛运动规律可求得下落高度H＝2v02／3ｇ.以斜面上落点所在平面为参考面，由机械能守恒定律得Ek＝mgH＋mv02，Ek＝14 J. ‎【答案】 14 J ‎10.质量m=5.0 kg的物体静止于水平面内，现给物体施加一水平恒力F＝20 N，使物体由静止开始运动10 m后撤去F，物体在水平面上继续滑行了15 m后停止，求物体运动过程中所受的摩擦阻力. ‎【解析】 对物体运动全过程运用动能定理得：Fs1－Fμ（s1＋s2）＝0，求得Fμ＝８ N.‎ ‎【答案】 ８ N ‎★提升能力 ‎11.有一半径为R的圆形台球桌，在桌的圆心处放一个球，用球杆击一下球，球便运动起来.设球与桌边间碰撞时无机械能损失，球与桌面间的动摩擦因数是μ，球最终紧靠桌边停下来，则球的初速度v0=______. ‎【解析】 设球与桌面边相碰ｎ次，球通过的路程s＝（2n＋1）R、（n＝0，1，2…），由动能定理得：μmgs＝mv02求出v0. ‎【答案】 （n＝0，1，2…） ‎12.如图6—2—9所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度大小为____.‎ 图6—2—9‎ ‎【解析】 液面相平时，等效于把右管中h的液柱移到左管中，由机械能守恒定律得 mgMv2 ① m=ρ ② M=ρ4hS ③ 由①②③求得v=‎ ‎【答案】 (或) ‎13.如图6—2—10所示，物体以100 J的初动能从斜面的底端向上运动，当它通过斜面上的M点时，其动能减少80 J，机械能减少32 J.如果物体能从斜面上返回底端，则物体到达底端时的动能为 . 图6—2—10‎ ‎【解析】 因物体从斜面底端到达M点过程中机械能减少32 J，即摩擦生热32 J，从M点到最高点，动能减少20 J，摩擦生热８ J，所以上滑过程摩擦生热等于40 J，物体返回斜面底端时机械能损失等于８0 J，此时动能应为100 J－８0 J＝20 J. ‎【答案】 20 J ‎14.如图6—2—11所示是一同学打秋千的示意图.人最初直立静止的站在B点，绳与竖直方向成θ角，人的重心到悬点O的距离为L1.从B点向最低点A摆动的过程中，人由直立状态自然下蹲，在最低点A人下蹲状态时的重心到悬点O的距离为L2.到最低点后人又由下蹲状态突然变成直立状态且保持直立状态不变，直到摆向另一方的最高点C(设人的质量为m,踏板质量不计，任何阻力不计).求： 图6—2—11‎ ‎(1)当人刚摆到最低点A且处于下蹲状态时，绳子中的拉力为多少? ‎(2)人保持直立状态到达另一方最高点C时，绳子与竖直方向的夹角α为多大?(用反三角函数表示) ‎【解析】 (1)人由B摆到A的过程中机械能守恒，即有：设在A点时人的速度为v，则 mg（L2－L1cosθ）＝mv2 ①‎ 在最低点A时，设绳子的拉力为FT，据牛顿第二定律F＝ma 得FT－mg＝mv2／L2 ②‎ 联立①②式解得：FT＝mg（3－2L1cosθ／L2） ‎(2)人保持直立状态由A摆到C的过程中机械能守恒，即有mv2＝mg（L1－L1cosα）③‎ 联立①③式解得α＝arccos（1＋cosθ－L2／L1） ‎【答案】 （1）mg(3-);(2)arccos(1+cosθ-)‎ ‎※15.随着人类能量消耗的迅速增加，如何有效地提高能量利用率是人类所面临的一项重要任务.图6—2—12是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度.请你从提高能量利用效率的角度，分析这种设计的优点. 图6—2—12‎ ‎【答案】 列车进站时，利用上坡使部分动能化为重力势能，减少因为刹车而损耗的机械能；列车出站时利用下坡把储存的重力势能又转化为动能，起到节能作用. ‎※16.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中（如图6—2—13）小球克服空气阻力所做的功为 图6—2—13‎ A. mgR B. mgR C. mgR D.mgR ‎【解析】 在最低点有7mg-mg=m ① 在最高点有mg= ② 由动能定理得 ‎-mg·2R-Wf=mv22-mv12 ③ 由①、②、③得Wf=mgR. ‎【答案】 C ‎※17.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由落下到弹簧上端，如图6—2—14所示，经几次反弹以后小球落在弹簧上静止于某一点A处，则 图6—2—14‎ A.h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大 B.弹簧在A点的压缩量与h无关 C.小球第一次到达A点时的速度与h无关 D.h愈小，小球第一次到达A点时的速度愈大 ‎【解析】 小球静止在A点时，小球受重力和弹簧对它的支持力，且mg＝kx，故B对. ‎【答案】 B ‎※18.如图6—2—15所示，轻杆两端各系一质量为m的小球A、B，轻杆可绕过O的光滑水平轴在竖直面内转动.A球到O的距离为L1，B球到O的距离为L2，且L1＞L2，轻杆水平时无初速释放小球.不计空气阻力，求杆竖直时两球的角速度大小. 图6—2—15‎ ‎【解析】 设杆竖直时A、B两球速度分别为vA和vB，A、B系统机械能守恒：0＝mgL2＋mvB2－mgL1＋mvA2，又vA＝ωL1，vB＝ωL2，得 ω＝. ‎【答案】 ‎ ‎※19.如图6—2—16所示，轻质长绳水平地跨在相距为2l的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上的O点，O与A、B两滑轮的距离相等.在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F＝mg ‎.先托住物块，使绳处于水平拉直状态，静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变. 图6—2—16‎ ‎(1)当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零? ‎(2)在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少? ‎(3)求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H. ‎【解析】 (1)当物体所受合外力为零时，其加速度为零.此时物块下降距离是h.因绳中拉力F恒为mg，所以此时悬点所受的三个拉力的方向成夹角2θ＝120°.由图可知h＝l·tan30°＝‎ ‎(2)物块下落h时，C端上升距离h′＝，克服C端恒力F做功W＝Fh′＝mg（）＝（）mgl ‎(3)由动能定理，拉力和重力对物体做的功等于物块动能的增量.当物块下落ｘ时，有mv2＝mgｘ－2mg（） ① 物块在下落过程中先加速后减速，因此当物块加速度为零时，速度达最大值.以x＝h＝代入①式，解得最大速度vm＝，物块下落最大距离H时，速度v＝0，由①式 mgH＝2mg（）， H（3H－4l）＝0，H＝0舍去 得H＝l ‎【答案】 (1) （2）（）mgl ‎（3），l 第Ⅲ单元 动量和能量 ‎●知识聚焦 处理力学问题的基本思路方法有三种：一是牛顿定律，二是动量关系，三是能量关系.若考查有关物理量的瞬时对应关系，须应用牛顿定律，若考查一个过程，三种方法都有可能，但方法不同，处理问题的难易、繁简程度可能有很大的差别.若研究对象为一个系统，应优先考虑两大守恒定律，若研究对象为单一物体，可优先考虑两个定理，特别涉及时间问题时应优先考虑动量定理，涉及功和位移问题时应优先考虑动能定理.因为两个守恒定律和两个定理只考查一个物理过程的始末两个状态有关物理量间关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处.特别对于变力做功问题，在中学阶段无法用牛顿定律处理时，就更显示出它们的优越性. ‎●疑难解析 两个守恒定律的比较 动量守恒定律和机械能守恒定律所研究的对象都是相互作用的物体组成的系统，且研究的都是某一物理过程.但两者守恒的条件不同：系统动量是否守恒，决定于系统所受合外力是否为零；而机械能是否守恒，则决定于是否有重力以外的力(不管是内力还是外力)做功.所以，在利用机械能守恒定律处理问题时要着重分析力的做功情况，看是否有重力以外的力做功；在利用动量守恒定律处理问题时着重分析系统的受力情况(不管是否做功)，并着重分析是否满足合外力为零.应特别注意：系统动量守恒时，机械能不一定守恒；同样机械能守恒的系统，动量不一定守恒，这是因为两个守恒定律的守恒条件不同必然导致的结果.如各种爆炸、碰撞、反冲现象中，因F内》F外，动量都是守恒的，但因很多情况下有内力做功使其他形式的能转化为机械能而使其机械能不守恒.‎ 另外，动量守恒定律表示为矢量式，应用时必须注意方向，且可在某一方向独立使用；机械能守恒定律表示为标量式，对功或能量只需代数加减，不能按矢量法则进行分解或合成.‎ ‎●典例剖析 ‎［例1］A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动.A球的动量是5 kg·m/s，B球的动量是7 kg·m/s，当A球追上B球时发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是 A.pA＝6 kg·m/s，pB＝6 kg·m/s B.pA＝3 kg·m/s，pB＝9 kg·m/s C.pA＝－2 kg·m/s，pB＝14 kg·m/s D.pA＝－5 kg·m/s，pB＝15 kg·m/s ‎【解析】A、B两球在光滑水平面上发生碰撞，所以碰撞前后的总动量守恒，因此D选项不正确.A球能够追上B球发生碰撞，说明A球的速度大于B球，即＞.所以A选项给出的动量值不符合实际运动情况，(同向运动时后面的物体碰后速度不可能比前面物体速度大)，因此A选项也不正确.对B、C选项，可以同时满足动量守恒和动能不增加的原则，则本题正确选项为BC. ‎【思考】 (1)若将D选项改为pA＝－5 kg·m/s，pB＝17 kg·m/s，那么此选项是否正确?‎ ‎(2)若mA＝1 kg，mB＝2 kg，则碰撞后A球速度范围如何? ‎【说明】 判断本类题目一般情况下有三条依据：①碰撞前后动量守恒；②碰撞过程动能不增加(爆炸等除外)；③碰后前面物体的速度较大(同向). ‎【思考提示】（1）不正确，因碰撞后动能增加. ‎（2）若两球碰后具有相同速度，则有 ‎（mA+mB）v=12 kg·m/s ① 解得v=4 m/s 若两球碰后动能不变，则有 mAvA+mBvB=12 kg·m/s ② ‎ ③ 即 J ④ 由②④解得vA=3 m/s,vB=4.5 m/s 故A、B的速度范围为3 m/s≤vA≤4 m/s，4 m/s≤vB≤4.5 m/s. ‎【设计意图】 通过本例说明如何判断碰撞可能发生的几种情况，并总结判断的依据. ‎［例2］如图6—3—1所示，质量为m1=16 kg的平板车B原来静止在光滑的水平面上，另一质量m2=4 kg的物体A以5 m/s的水平速度滑向平板车的另一端，假设平板车与物体间的动摩擦因数为0.5，g取10 m/s2，求：①如果A不会从B的另一端滑下，则A、B最终速度是多少?②要保证不滑下平板车至少要有多长? 图6—3—1‎ ‎【解析】 物体A在平板车B上滑动的过程中，由于摩擦力的作用，A做匀减速直线运动，B为初速度变为零的匀加速直线运动.由于系统的合外力为零，所以总动量守恒.如果平板车足够长，二者总有一个时刻速度变为相同，之后摩擦力消失，A、B以相同的速度匀速运动.在此过程中，由于A、B的位移不同，所以滑动摩擦力分别对A和B做的功也大小不等，故整个系统动能减小内能增加总能量不变，要求平板车的最小长度，可以用动能定理分别对A和B列方程，也可以用能的转化和守恒定律对系统直接列方程. ‎(1)设A、B共同运动的速度为v，A的初速度为v0，则对A、B组成的系统，由动量守恒定律可得：‎ m2v0=(m1+m2)v 解得v= m/s＝1 m/s ‎(2)设A在B上滑行的距离为l，小车从开始运动至速度刚增到1 m/s时位移大小为s，则由动能定理可得： 对A：‎ Ff(l+s)=m2v02-m2v2 ① 对B：‎ Ff s=m1v2 ② 又 Ff=μm2g ③ 由①②③代入数据可解得：l=2 m 故要保证A不滑下平板车至少应有2 m长. 亦可直接取A、B系统为研究对象，由于内能的增加等于系统动能的减少，根据能的转化和守恒定律有： μm2gl=m2v02- (m1+m2)v2 ④‎ 解得 l=2 m ‎【说明】 在用动能定理Fs=mv22-mv12列方程时，一定要注意式中的位移s，速度v1和v2必须相对于同一参考系(一般均相对于大地).认真分析能量的转化情况，然后根据能量守恒列方程(如④式)，也是求解该类问题简便有效的方法. ‎【设计意图】 通过本例说明综合利用动量守恒和能量守恒分析解决问题的方法.并进一步明确由于“摩擦生热”而损失的机械能为“Ffs相对”. ‎※［例3］有光滑圆弧轨道的小车总质量为M，静止在水平地面上，轨道足够长，下端水平，有一质量为m的小球以水平初速度v0滚上小车(如图6—3—2) 图6—3—2‎ 求：(1)小球沿圆形轨道上升的最大高度h. ‎(2)小球又滚回来和M分离时两者的速度? ‎【解析】 (1)小球滚上小车的过程中，系统水平方向上动量守恒.小球沿轨道上升的过程中，球的水平分速度从v0开始逐渐减小，而小车的同向速度却从零开始逐渐增大.若v球＞‎ v车，则球处于上升阶段；若v球＜v车，则球处于下滑阶段(v球为球的水平分速度).因此，小球在最大高度时二者速度相等.设二者速度均为v，根据动量守恒定律有 mv0=(M+m)v ① 又因为整个过程中只有重力势能和动能之间的相互转化，所以系统的机械能守恒.根据机械能守恒定律有 mv02= (M+m)v2+mgh ②‎ 解①②式可得球上升的最大高度 h=‎ ‎(2)设小球又滚回来和M分离时二者的速度分别为v1和v2，则根据动量守恒和机械能守恒可得： mv0=mv1+Mv2 ③ mv02=mv12+Mv22 ④‎ 解③④可得：小球的速度v1=wv0 小车的速度：v2=v0 ‎【说明】 (1)解答本题关键是找出“最大高度”的隐含的条件：球、车速度相等. ‎(2)有些同学认为小球本身机械能守恒，而列出了mv02=mgh的错误表达式.如果不便由做功确定小球本身的机械能是否守恒，那么你可以想一想，小车的动能是哪来的? ‎(3)由小球速度的表达式可讨论：若m＞M，则v1‎ ‎＞0，表示小球离开小车后相对于地向前做平抛运动；若m=M,则v1=0，表示小球离开小车后做自由落体运动；若m＜M，则v1＜0，表示小球离开小车后向后做平抛运动. ‎【设计意图】 通过本例说明（1）如何分析临界问题，找出临界条件.（2）如何根据动量守恒和系统的机械能守恒分析解决问题. ‎●反馈练习 ‎★夯实基础 ‎1.以下说法中，正确的是 A.一个物体所受的合外力为零，它的机械能一定守恒 B.一个物体所受合外力的冲量不为零，它的机械能可能守恒 C.一个物体做匀速直线运动，它的机械能一定守恒 D.一个物体所受的合外力对它不做功，这个物体的动量一定不发生变化 ‎【解析】 物体所受合外力为零，速度不变，其动能不变，但势能可能变化，所以机械能不一定守恒.故A、C错，物体动量是矢量，动量变，动能不一定变，同样动能不变，动量也可能变.故B对，D错.‎ ‎【答案】 B ‎2.半径相等的两个小球甲和乙，在光滑水平面上沿同一直线相向运动.若甲球质量大于乙球质量，碰撞前两球的动能相等，则碰撞后两球的运动状态可能是 ‎①甲球速度为零，而乙球速度不为零 ‎②乙球速度为零，而甲球速度不为零 ‎③两球速度方向均与原方向相反，两球动能仍相等 ‎④两球速度均不为零 以上判断正确的是 A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ ‎【解析】 由p=知，碰前甲的动量大，即系统的总动量的方向跟甲碰前的运动方向相同，所以①可能发生，②不可能发生.若两球碰后速度均反向且动能仍相等，则碰后总动量的方向跟碰前的相反.不符合动量守恒，故③不可能发生.④可能发生，应选A ‎【答案】 A ‎3.质量为m的小球A，沿光滑水平面以速度v0与质量为2m的静止小球B发生正碰，碰撞后，A球的动能变为原来的，那么小球B的速度可能是 ‎①v0 ②v0 ‎ ‎③v0 ④v0‎ 以上正确的是 A.①② B.③④ C.只有① D.只有② ‎【解析】 设碰后A球速度为vA′，B球速度为vB′，因EkA′＝ EkA，mvA′2＝·mv02,所以vA′＝± v0，A、B两球组成系统动量守恒.由动量守恒定律：‎ mv0＝mvA′＋2mvB′‎ 所以vB＝v0或vB＝v0 ‎【答案】 A ‎4.如图6—3—3，小球A和小球B质量相同，球B置于光滑水平面上，当球A从高为h处由静止摆下，到达最低点恰好与B相撞，并粘合在一起继续摆动，它们能上升的最大高度是 图6—3—3‎ A.h B.h ‎ C. h D. h ‎【解析】 A球从高h处摆到最低点过程中，机械能守恒：mgh＝mv2…① A、B相碰过程，动量守恒：mv＝2mv′…② A、B一起上摆到最高点过程中，由能量守恒：2mv′2＝2mgH…③ 联立①②③式可得H＝h ‎【答案】 C ‎5.矩形滑块由不同材料的上、下两层粘在一起组成，将其放在光滑的水平面上，如图6—3—4所示.质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击上层，则子弹刚好不穿出，若射击下层，则子弹整个儿刚好嵌入，则上述两种情况相比较 图6—3—4‎ ‎①两次子弹对滑块做的功一样多 ‎②两次滑块所受冲量一样大 ‎③子弹嵌入下层过程中对滑块做功多 ‎④子弹击中上层过程中，系统产生的热量多 以上判断正确的是 A.①④ B.②③ C.②③④ D.①② ‎【解析】 设滑块的质量为M.由动量守恒定律得mv＝（Ｍ＋m）v′，两种情况滑块获得的速度相同，滑块动能的增加量和动量的增加量均相同，所以，子弹对滑块做的功一样多，滑块所受的冲量一样大，①②选项正确，③选项错.由于两种情况系统初、末状态的动能均相同，机械能的损失也相同，产生的热量相同，④选项错. ‎【答案】 D ‎6.质量为20 kg的小孩，平推一质量为4 kg的物体使它得到对地4 m/s的速度.若小孩靠着墙，则小孩做功为______，若小孩站在光滑的冰面上，则小孩做的功将是______. ‎【解析】 小孩靠着墙时，仅使物体获得动能，则小孩做的功为 W1=mv2=×4×42 J=32 J 小孩站在光滑的冰面上，小孩做功使物体和他自己均获得动能，由动量守恒定律得 mv-MV=0 小孩后退的速度为 V=×4 m/s=0.8 m/s 小孩做的功为 W2=mv2+MV2=×4×42 J+×20×0.82 J=38.4 J ‎【答案】 32 J;38.4 J ‎7.如图6—3—5所示，在光滑的水平面上，依次有质量为m,2m,3m，…10m的10个小球，排成一条直线，彼此间有一定的距离.开始时，后面的九个小球是静止的，第一个小球以初速度v0向着第二个小球碰去，结果它们先后全部粘合在一起向前运动.由于连续地碰撞，系统损失的机械能为 . 图6—3—5‎ ‎【解析】 系统总动量守恒：mv0＝（m＋2m＋…＋10m）v＝55mv 因此系统损失的机械能E损＝mv02－×55mv2＝mv02. ‎【答案】 mv02 ‎8.如图6—3—6所示，质量为m的物块A静止在光滑水平面上，有一轻弹簧固定在它上面，与A质量相同的物块B，以速度v0向A撞击，当系统动能最小时，物块B损失的动能为______. 图6—3—6‎ ‎【解析】 系统动量守恒：mv0＝2mv；B损失的动能ΔE＝mv02－mv2＝mv02 ‎【答案】 mv02 ‎★提升能力 ‎9.如图6—3—7所示，质量为m的物体(可视为质点)以水平速度v0滑上原来静止在光滑水平面上质量为M的小车上，物体与小车的动摩擦因数为μ，小车足够长，求：‎ 图6—3—7‎ ‎(1)物体从滑上小车到相对小车静止所经历的时间； ‎(2)物体相对小车滑行的距离； ‎(3)到物体相对小车静止时，小车通过的距离. ‎【解析】 物体与小车组成系统动量守恒：mv0＝（M＋m）v.则v＝v0.(1)物体在小车上滑动时，加速度a＝μｇ，由运动学公式：v＝v0－at得t＝‎ ‎(2)由能量守恒定律得：μmgΔs＝mv02－（M＋m）v2 Δs＝‎ ‎（3）由动能定理得：μmgs＝Mv2 ‎ s＝‎ ‎【答案】 （1）t＝‎ ‎(2) Δs＝‎ ‎（3）s＝‎ ‎10.如图6—3—8所示，一轻弹簧左端固定在长木块M的左端，右端与小物块m连接，且m与M及M与地面间接触光滑，开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，从两物体开始运动以后的整个过程中，对m、M和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度，M足够长），正确的说法是 图6—3—8‎ A.由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒 B.由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统动量不断增大 C.由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统机械能不断增大 D.当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M动能最大 ‎【解析】 在F1、F2作用下，m与M先分别向右、向左做加速运动（F1=F2＞kx时），再做减速运动（F1=F2＜kx时），速度同时减小到零后再分别沿原来的反方向先做加速运动，再做减速运动，速度同时减小到零后重复上述过程，显然，在F1=F2=kx时，m与M的速度最大，动能最大.在整个活动过程中，F1与F2既有做正功的过程，也有做负功的过程，所以，机械能既有增加的过程，又有减少的过程.但由于系统所受外力之和为零，总动量始终为零.‎ ‎【答案】 D ‎11.球A追上并与B球正碰，碰前两球动量分别为pA=5 kg·m/s,pB=7 kg·m/s,碰后B球动量pB′=10 kg·m/s.则两球质量mA、mB可能有 A.mB=mA B.mB=2mA C.mB=4mA D.mB=6mA ‎【解析】 若碰后vA′=vB′,则有 ‎=5 即时≤5 由于 ≥ 解得 ≥‎ 故 ≤≤5,选项C正确. ‎【答案】 C ‎12.如图6—3—9所示，一个质量为M、内有半径为R的半圆形轨道的长方形槽体放在光滑水平面上，左端紧靠一台阶，其半圆形轨道左半部AB光滑，右半部BC粗糙，一可视为质点的物体质量为m，由离A高为R处自由下落，由A进入轨道，刚好到达右侧的最高点C.求此过程中两物体增加的内能为多少?(M＞m) 图6—3—9‎ ‎【解析】 由机械能守恒，mg2R＝ ①‎ 由动量守恒定律，mvB＝（m＋M）vC ② 由能量转化与守恒，ΔE＝－mgR－ ③ 解得ΔE＝‎ ‎【答案】ΔE＝ ‎※13.如图6—3—10所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上.然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为mA、mB，且mA＜mB.‎ 图6—3—10‎ 求：(1)被压缩的弹簧具有的弹性势能Ep. ‎(2)试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻? ‎【解析】 (1)设弹簧第一次恢复自然长度时B的速度为vB，A以A、B弹簧为系统动量守恒 ‎(mA＋mB)v0＝mB·vB ①‎ 机械能守恒 ‎（mA＋mB）v02＋Ep＝mB·vB2 ② 由①、②解出 Ep＝ ③ ‎(2)设以后运动过程中B的速度为0时，A的速度为vA，此时弹簧的弹性势能为Ep′.由动量守恒 ‎（mA＋mB）v0＝mA·vA ④ 由机械能守恒有 ‎（mA＋mB）v0＋Ep＝mAvA2＋Ep′ ⑤ 由④、⑤有 Ep′＝‎ 因mA＜mB 所以Ep′＜0 弹性势能小于0是不可能的，所以B的速度没有等于0的时刻. ‎【答案】 （1）‎ ‎(2)小车B没有速度为零的时刻.‎ 章末综合讲练 ‎●知识网络 ‎●高考试题 一、功、功率 ‎1.(1998年上海高考)人的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m3的血液，正常人血压(可看作心脏压送血液的压强)的平均值为1.5×104 Pa,心跳约每分钟70次.据此估测心脏工作的平均功率约为______W. ‎【解析】 把每一次输送的血液简化成一个正方体模型，输送位移为该正方体的边长L，则 W＝1.4 W ‎【答案】 1.4  ‎2.（2002年广东、广西、河南高考）竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度则 A.上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功 B.上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功 C.上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率 D.上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率 ‎【解析】 由W=mgh知，上升过程克服重力做的功和下降过程重力做的功相等，A错，B对.由于上升过程中加速度大于下降过程的加速度（a上＞a下），由h=at2知，t上＜t下，故上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率，C对，D错.选BC.‎ ‎【答案】 BC 二、动能定理、机械能守恒定律 ‎3.(1998年上海高考)在光滑水平面上有质量均为2 kg的a、b两质点，a质点在水平恒力Fa=4 N作用下由静止出发移动4 m，b质点在水平恒力Fb=4 N作用下由静止出发移动4 m.比较两质点所经历的过程，可以得到的正确结论是 A.a质点的位移比b质点的位移大 B.a质点的末速度比b质点的末速度小 C.力Fa做的功比力Fb做的功多 D.力Fa的冲量比力Fb的冲量小 ‎【解析】 Fa的冲量Ia＝Fat＝4×4 N·s＝16 N·s 由动量定理mva＝Ia va＝＝８ m/s.由动能定理Fa做的功是Wa＝mva2＝×2×８2 J＝64 J.‎ 由Wa＝Fasa，得a质点的位移是sa＝ m＝16 m.对B质点，Fb做功Wb＝Fasb＝4×4 J＝16‎ ‎ J，由动能定理Wb＝mvb2，得vb＝4 m/s，Fb的冲量Ib＝mvb＝2×4 N·s＝８ N·s，对比以上计算结果，选项A、C正确. ‎【答案】 AC ‎4.(2000年春季高考)一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图6—1所示.让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长则 图6—1‎ A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C.环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关 D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功 ‎【解析】 A选项中，由于碰撞时间极短，弹簧形变来不及变化，只有环套和板相互作用，重力作用也忽略不计，故动量守恒，A选项正确.环与板碰撞若要机械能守恒必须是完全弹性碰撞，但碰后环与板以相同的速度向下运动，是完全非弹性碰撞，故机械能不守恒，板的新平衡位置应是弹簧对板的弹力F＝（m＋M）g的位置，只与环和板的重力有关，C对.在碰后板和环下落的过程中，板和环的动能先增加，到达新的平衡位置后再减少，整个过程中，弹簧、板、环组成的系统的机械能守恒，板和环机械能的减少等于克服弹簧弹力所做的功，转化为弹性势能，而不是环和板动能的减少转化为弹性势能，故D错.‎ ‎【答案】 AC ‎5.(2001年上海高考)跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是 A.空气阻力做正功 B.重力势能增加 C.动能增加 D.空气阻力做负功 ‎【解析】 跳伞运动员跳离飞机，在尚未打开降落伞的这段时间内，运动员向下运动，重力对运动员做正功，重力势能减小，空气阻力对运动员做负功，由于重力大于空气阻力，运动员向下做加速运动其动能增加，故AB错，CD对. ‎【答案】 CD 三、动量和能量 ‎6.(2003年上海高考）一个质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑水平面上以6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同.则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为 A.Δv=0 B.Δv=12 m/s C.W=0 D.W=10.8 J ‎【解析】 根据现象提出猜想和假设，再进一步通过实验验证，这是科学研究中的“假说”方法. ‎【答案】 BC ‎7.（2002年全国高考）质点所受的力F随时间变化的规律如图6—2所示，力的方向始终在一直线上.已知t=0时质点的速度为零.在图示的t1、t2、t3和t4各时刻中，哪一时刻质点的动能最大 图6—2‎ A.t1 B.t2 ‎ C.t3 D.t4 ‎【解析】 由F-t图象知0-t2时间内力F的冲量最大，0-t4时间内F的冲量为零，由动量定理知，物体在t2时刻动量最大，动能最大. ‎【答案】 B ‎8.（2002年全国高考）在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m.现B球静止，A球向B球运动，发生正碰.已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为Ep，则碰前A球的速度等于 A. B. C.2 D.2 ‎【解析】 两球压缩最紧时速度相等，则 mv0=2mv ① Ep=mv02-·2mv2 ② 由①②解得v0=2 ‎【答案】 C ‎9.（2003年春季高考）在滑冰场上，甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上，原来静止不动，在相互猛推一下后分别向相反方向运动.假定两板与冰面间的摩擦因数相同.已知甲在冰上滑行的距离比乙远，这是由于 A.在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力 B.在推的过程中，甲推乙的时间小于乙推甲的时间 C.在刚分开时，甲的初速度大于乙的初速度 D.在分开后，甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小 ‎【解析】 根据动能定理得：‎ μmgs=mv02, s=‎ 由s甲＞s乙知v0甲＞v0乙 ‎【答案】 C ‎10.（2003年春季高考）有一炮竖直向上发射炮弹.炮弹的质量为M=6.0 kg（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度v0=60 m/s.当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m=4.0 kg.现要求一片不能落到以发射点为圆心、以R=600 m为半径的圆周范围内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？（g=10 m/s2，忽略空气阻力）.‎ ‎【解析】 设炮弹上升到达最高点的高度为H，根据匀变速直线运动规律，有 v02=2gH 设质量为m的弹片刚爆炸后的速度为V，另一块的速度为v，根据动量守恒定律，有 mV=(M-m)v 设质量为m的弹片运动的时间为t，根据平抛运动规律，有 H=gt2 R=Vt 炮弹刚爆炸后，两弹片的总动能 Ek=mV2+(M-m)v2 解以上各式得 Ek= ‎ 代入数值得 Ek=6.0×104 J ‎【答案】 6.0×104 J ‎11.(2000年全国高考)在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一个小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图6—3所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变.然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连.过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失).已知A、B、C三球的质量均为m. ‎(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度. ‎(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能. 图6—3‎ ‎【解析】 (1)设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒，有mv0=（m＋m）v1‎ 当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒，有 ‎2mv1=3mv2 由①、②两式得A的速度v2＝v0 ‎(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep，由能量守恒，有 ‎·2mv12＝·3mv22＋Ep 撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为v3，则有 Ep＝（2m）·v32 以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长.设此时的速度为v4，由动量守恒，有2mv3＝3mv4 当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为Ep′，由能量守恒，有·2mv32＝·3mv42＋Ep′ 解以上各式得 Ep′＝mv02 ‎【答案】 （1）v0 （2）mv02‎ ‎12.(2001年春季高考)如图6—4所示，A、B是静止在水平地面上完全相同的两块长木板.A的左端和B的右端相接触.两板的质量皆为M=2.0 kg，长度皆为l=1.0 m.C是一质量为m=1.0 kg的小物块.现给它一初速度v0＝2.0 m/s，使它从B板的左端开始向右滑动.已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数皆为μ＝0.10，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动.取重力加速度g=10 m/s2. 图6—4‎ ‎【解析】 先假设小物块C在木板B上移动x距离后，停在B上.这时A、B、C三者的速度相等，设为v.由动量守恒得 mv0＝（m＋2M）v ① 在此过程中，木板B的位移为s，小木块C的位移为s＋x.由功能关系得 ‎－μmg（s＋x）＝mv2－ mv02 μmgs＝·2Mv2 相加得 ‎－μmgx＝（m＋2M）v2－ mv02 ② 解①、②两式得 x＝‎ 代入数值得 x＝1.6 m x比B板的长度l大.这说明小物块C不会停在B板上，而要滑到A板上.设C刚滑到A板上的速度为v1，此时A、B板的速度为Ｖ1，则由动量守恒得 mv0＝mv1＋2MＶ1 由功能关系得 mv02－mv12－·2MＶ12＝μmgl 以题给数据代入解得 Ｖ1＝ m/s v1＝2－ m/s＝ m/s 由于v1必是正数，故合理的解是 Ｖ1＝ m/s＝0.155 m/s， v1＝ m/s＝1.3８ m/s 当滑到A之后，B即以V1＝0.155 m/s做匀速运动.而C是以v1＝1.3８ m/s的初速在A上向右运动.设在A上移动了y距离后停止在A上，此时C和A的速度为v2，由动量守恒得MV1＋mv1＝（m＋M）v2 解得v2＝0.563 m/s 由功能关系得 mv12＋MV12－（m＋M）v22＝μmgy 解得y＝0.50 m y比A板的长度小，故小物块C确实是停在A板上.最后A、B、C的速度分别为vA＝v2＝0.563 m/s，vB＝v1＝0.155 m/s，vC＝vA＝0.563 m/s. ‎【答案】 0.563 m/s 0.155 m/s 0.563 m/s ‎●素质能力过关检测 A组 一、选择题（每小题中只有一个选项符合题目要求） ‎1.关于一对作用力和反作用力的功，则 ‎①如果其中一个力做正功，则另一个必做负功 ‎②一对作用力与反作用力做功的代数和必为零 ‎③这两个力可能同时都做正功或同时都做负功 ‎④一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零 以上说法中正确的是 A.①② B.③④ 图6—5‎ C.①④ D.只有③ ‎【解析】 一对作用力、反作用力由于分别作用于不同的物体上，它们的位移没有确定关系，故一对作用力、反作用力所做的功也没有确定关系. ‎【答案】 B ‎2.一根质量为M的直木棒，悬挂在O点，有一只质量为m的猴子，抓着木棒，如右图6—5所示.剪断悬挂木棒的细绳，木棒开始下落，同时猴子开始沿棒向上爬，设在一段时间内木棒沿竖直方向下落，猴子对地的高度保持不变.忽略空气阻力.则下面的四个图象中能定性反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化关系的是  图 6—6‎ ‎【解析】 由于猴子静止，它对木棒的作用力等于它的重力，则对木棒有 ‎（m+M）g=Ma a= g 它的速度为vt=at=gt 猴子做功的功率为 Pt=mgvt=g2t ‎【答案】 B ‎3.在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图象如图6—7所示.设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则 图6—7‎ ‎①F∶Ff=1∶3 ②F∶Ff=4∶1 ‎③W1∶W2＝1∶1 ④W1∶W2＝1∶3 以上结论正确的是 A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ ‎【解析】 设汽车匀加速运动的位移为s1，总位移为s，对全过程由动能定理得：W1－W2＝0，或Fs1－＝0 所以，由于s＝，s1＝t′，所以，即.‎ ‎【答案】 B ‎4.如图6—8所示，甲球由轻绳系住，乙球由橡皮条系住，都从水平位置由静止开始释放，当两球到达悬点正下方K点时，橡皮条长度恰好与绳长相等，则在K点时两球的速度大小关系是 图6—8‎ A.v甲=v乙 B.v甲＜v乙 C.v甲＞v乙 D.v甲≥v乙 ‎【解析】 由机械能守恒定律得 m甲gL=m甲v甲2 m乙gL=m乙v乙2+Ep 则v甲=,v乙＜‎ 所以v甲＞v乙. ‎【答案】 C ‎5.A、B两物体的质量之比为mA∶mB=1∶2.用质量不计的弹簧把它们连接起来，放在光滑水平面上.A物体靠在固定板上，如图6—9所示.用力向左推B物体，压缩弹簧，当外力做功为W时，突然撤去外力.从A物体开始运动以后，弹簧弹性势能的最大值是 图6—9 A.W/3 B.W/2 ‎ C.2W/3 D.W ‎【解析】 A物体开始运动后，A、B及弹簧这一系统的机械能守恒，动量守恒，且AB具有相等速度时，弹簧弹性势能最大，则 W=mBv02 mBv0=(mA+mB)v 解得v=v0‎ Epm=mBv02- (mA+mB)v2 ‎=mBv02=W ‎【答案】 A 二、填空题 ‎6.一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，如图6—10所示，现在最低点C施加一竖直向下的拉力至D点，在此过程中绳索AB的重心位置将______，（填“升高”“降低”或“不变”） 图6—10‎ ‎【解析】 拉力做功使绳索的重力势能增加，重心升高. ‎【答案】 升高 ‎7.汽船在运动中，阻力的大小与速度的平方成正比.当汽船以速度v匀速运动时，发动机的功率为P，当汽船以v/2的速度匀速运动时，发动机的功率等于______. ‎【解析】 由于阻力Ff=kv2,所以 F=Ff=kv2 则发动机的功率为 P=Fv=kv3 故当汽船速度为v时，功率P′=P. ‎【答案】 P ‎8.一均匀直杆AB，长为r,从图6—11所示位置由静止开始沿光滑面ACBD滑下，已知ACB是半径为r的圆弧，BD为水平面.当直杆滑到BD部分时的速度大小为______. 图6—11‎ ‎【解析】 由机械能守恒定律得 mgmv2求得v=‎ ‎【答案】 ‎ ‎9.如图6—12所示，质量相同的两个物体分别自斜面AC和BC的顶点由静止开始下滑，两物体与斜面间的动摩擦因数相同，在滑行过程中克服摩擦力所做的功分别为WA和WB，则WA______WB（填“＞”“=”或“＜”) 图6—12‎ ‎【解析】 设斜面底边长为L，倾角为 α，则 Ff=μmgcosα Wf=Ff·=μmgL 故WA=WB. ‎【答案】 = 三、计算题 ‎10.自行车上坡，坡高5.0 m，坡长100 m，车与人共重9.８×102 N，人蹬车的牵引力为78 N，车在坡底的速度为5.0 m/s，到坡顶时速度为3.0 m/s.问： ‎(1)上坡过程中，自行车克服摩擦阻力做了多少功? ‎(2)如果人不用力蹬车，车在坡底速度仍为5.0 m/s，自行车能上行多远? ‎【解析】 (1)设牵引力为F，摩擦阻力为Fμ，则由动能定理得：WF－WFμ－mgh＝mvt2－mv02.解得WFμ＝3700 J. ‎(2)由WFμ＝Fμ·s得Fμ＝37 N，设自行车能上行s′m. 由动能定理得： Fμs′＋mgs′＝mv02 得s′＝14.5 m ‎【答案】 （1）3700 J （2）14.5 m ‎11.如图6—13，质量为0.5 kg、长为1.2 m的金属盒AB，放在水平桌面上，它与桌面间动摩擦因数μ=0.125.在盒内右端B处放着质量也为0.5 kg、半径为0.1 m的小球，球与盒间无摩擦.若在A端给盒以水平向右的冲量1.5 N·s，设盒在运动中与球碰撞时间极短，且无能量损失，则盒从开始运动到完全停止所通过的路程是多少? 图6—13‎ ‎【解析】 盒的速度v0＝ m/s＝3 m/s,盒从开始运动到完全停止的过程中，盒的初动能全部转化为因摩擦所产生的内能，所以： μ（m＋m）gs＝mv02 所以盒通过的路程为 图6—14‎ s＝ m＝1.８ m ‎【答案】 1.８ m ‎12.(2003年上海高考)质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）.今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h.求：（1）飞机受到的升力大小；（2）从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能. ‎【解析】 （1）飞机水平速度不变l=v0t ① y方向加速度恒定h=at2 ② 消去t即得a= ③ 由牛顿第二定律 F=mg+ma=mg（1+） ④ ‎（2）升力做功W=Fh=mgh（1+） ⑤ 在h处vt=at= ⑥ 所以 Ek=m(v02+vt2)= mv02（1+） ⑦ ‎【答案】 （1）mg（1+） ‎（2）mgh（1+）；mv02（1+）‎ B组 一、选择题（每小题中只有一个选项符合题目要求） ‎1.在某一高处的同一点将三个质量都相等的小球，以大小相等的初速度分别竖直上抛、平抛和竖直下抛，不计空气阻力，则以下叙述中正确的是 A.从抛出到落地的过程中，重力对它们做的功相等 B.三个球落地时的动量相等 C.同一时刻，三个球的动能一定相等 D.从抛出到落地的过程中，重力对它们做功的平均功率相等 ‎【解析】 由W=mgh知，重力对三个球做的功相等，A对.由机械能守恒定律知，三球落地时动能相等，但由于落地速度方向不同，所以动量不相等，B错.由于它们运动时间不同，所以重力做功的平均功率不同，D错.同一时刻三球的速度大小不同，动能不相等，C错. ‎【答案】 A ‎2.一质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，m与斜面的相对位置不变，如图6—15所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为 图6—15‎ A.μmgLcosθ B.mgLcos2θ C.mgLcosθsinθ D.μmgLcosθsinθ ‎【解析】 如图所示，由平衡条件得物体所受静摩擦力F＝mgsinθ 摩擦力对物体做的功W＝Fscosθ＝mgsinθLcosθ＝mgLsinθcosθ ‎【答案】 C ‎3.一架自动扶梯以恒定的速率v1运送乘客上同一层楼.某乘客第一次站在扶梯上不动；第二次以相对于扶梯的速率v2沿扶梯匀速上走.两次扶梯运客所做的功分别为W1和W2，牵引力的功率分别为P1和P2，则 A.W1＜W2，P1＜P2 B.W1＜W2，P1＝P2 C.W1＝W2，P1＜P2 D.W1＞W2，P1＝P2 ‎【解析】 由功能关系知，第一次扶梯做功W1等于乘客增加的势能，即W1＝mgh；第二次做功W2应等于乘客增加的势能减去乘客消耗的能量，故W1＞W2.对扶梯而言，F、v未变，故牵引力的功率将保持不变. ‎【答案】 D ‎4.从地面以抛射角为θ斜上抛一个质量为m的物体，初速度为v0，不计空气阻力，取地面物体的重力势能为零，当物体的重力势能是其动能3倍时，物体离地面的高度为 A.3v02/4g B.3v02/8g C.v02/8g D.v02/2g ‎【解析】 由机械能守恒定律得 mv02=mgh+mv2 mv2=mgh 解得 h=‎ ‎【答案】 B ‎5.某消防队员从一平台上跳下，下落2 m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5 m，在着地过程中地面对他双脚的平均作用力是 A.自身重力的2倍 B.自身重力的5倍 C.自身重力的8倍 D.自身重力的10倍 ‎【解析】 由动能定理得mg(h1+h2)-Fh2=0 则F=mg=5 mg ‎【答案】 B 二、填空题 ‎6.如图6—16所示，在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如果将砖一块一块地叠放起来，至少需要做的功为______. 图6—16‎ ‎【解析】 把砖叠放起来做的功至少等于重力势能的增加量. 即W=nmg·nh-nmg·h=n(n-1)mgh ‎【答案】 n(n-1)mgh ‎7.喷水池喷出的竖直向上的水柱高h=5 m，空中有水20 dm3,空气阻力不计.则喷水机做功的功率约为______W.（g取10 m/s2） ‎【解析】 从喷水池喷出的水做竖直上抛运动，由机械能守恒定律得 mv02=mgh v0== m/s=10 m/s 喷出的水在空中运动的时间为 t==2 s 空中水的质量为 m=ρV=1×103×20×10-3 kg=20 kg 则喷水机的功率为 P= W=500 W ‎【答案】 500 W ‎8.一条传送带始终水平匀速运动，将一个质量为m=20 kg的货物无初速地放到传送带上，货物从放上到跟传送带一起匀速运动，经过的时间是0.8 s，滑行的距离是1.2 m,则货物与传送带间动摩擦因数μ=______；这个过程中，动力对传送带多做的功是______（g=10 m/s2）.‎ ‎【解析】 由s=at2得 a= m/s2=3.75 m/s2 由牛顿第二定律得 μmg=ma ‎ μ==0.375 物体做加速运动的末速度即传送带的速度为 v==3 m/s 物体相对传送带滑动的距离为 L=vt-t=1.2 m 则动力对传送带多做的功为 W=μmgL+mv2=0.375×20×10×1.2 J+×20×32 J=180 J ‎【答案】 0.375;180 J ‎9.如图6—17所示，跨过同一高度处的光滑滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B.A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高度为h=0.2 m.开始让连A的细线与水平杆夹角θ=53°，由静止释放，在以后的过程中A所能获得的最大速度为______.(cos53°=0.6,sin53°=0.8) 图6—17‎ ‎【解析】 A速度最大，B速度恰好为0，由机械能守恒：mg（h／sinθ－h）＝mvm2，得 vm＝1 m/s ‎【答案】 1 m/s 三、计算题 ‎10.如图6—18所示，一条不可伸缩的轻绳长为l，一端用手握着，另一端系一个小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为r的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动.若人手提供的功率恒为P，求：（1）小球做圆周运动的线速度的大小；（2）小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小. 图6—18‎ ‎【解析】 （1）小球做匀速圆周运动的半径为 R=‎ 小球做匀速圆周运动的角速度跟手转动的角速度相等，故球的线速度大小为 v=ωR=ω ‎（2）因小球做匀速圆周运动，所以，人对球做功的功率等于小球克服摩擦力做功的功率，即 P=Ffv ‎ Ff=‎ ‎【答案】 （1）；（2）‎ ‎11.如下图6—19所示，AB与CD为两个对称的斜面，其上部都是足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径为2.0 m，一个物体在离弧底E高度为h=3.0 m处，以初速度4.0 m/s沿斜面运动，若物体与斜面的动摩擦因数为0.02，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10 m/s2） 图6—19‎ ‎【解析】 物体在斜面上运动时，由于克服摩擦力做功，使它的机械能不断减少，直到物体不能滑上斜面为止，最终状态为物体沿圆弧在B、C间往复运动，设它在斜面上通过的总路程为s.由动能定理得 mg(h-R)-μmgscos60°=0-mv02 解得 s=280 m ‎【答案】 280 m ‎12.在光滑水平面上，有一质量m1=20 kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为m2=25‎ ‎ kg的拖车相连接.一质量m3=15 kg的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数为μ=0.20.开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图6—20所示，小车以v0=3 m/s的速度向前运动.求： 图6—20‎ ‎（1）当小车、拖车、物体以同一速度前进时，速度的大小 ; ‎（2）物体在拖车平板上移动的距离.（g取10 m/s2） ‎【解析】 （1）根据动量守恒定律得 m1v0=(m1+m2+m3)v2 v2=‎ ‎= m/s ‎=1 m/s ‎（2）小车与拖车相互作用后的共同速度为 m1v0=(m1+m2)v1 v1=‎ ‎= m/s ‎= m/s 设物体在拖车的平板上移动的距离为l，则 μm3gl=(m1+m2)v12-(m1+m2+m3)v22 解得  l= m ‎【答案】 （1）1 m/s; ‎（2） m ‎●教学建议 ‎1.通过本章复习要使学生深刻地认识到“功是能量变化的量度”，为学生今后自觉地运用能量观点分析解决问题奠定好基础. ‎2.可给学生总结一下求功的途径：(1)根据功的定义式求；(2)根据能量的变化求；(3)根据功率和时间求.3.机车以恒定功率运行的动态分析和机车在恒力作用下起动后的动态分析是学生学习中的难点，教师要抓住这点培养学生分析动态过程.建立运动图景的极好时机，引导学生对此认真分析. ‎4.动能定理是中学物理中的重要规律，要使学生熟练掌握.向学生指出，求合外力的功可先求合外力再求功，但一般是根据功是标量，可代数加减，由合外力的功等于各分力功的代数和来求较为简便.求功时，位移应是对地的.另外，动能定理的研究对象是单个物体，对系统不适用.因为系统内力的功也能使系统的动能发生变化. ‎5.对机械能守恒定律的理解，不要停留在对定律内容字面的理解上，而要注意理解其实质：没有其他力做功使机械能与其他形式的能相互转化. ‎6.在“疑难辨析”中直接给出了W=F滑·s相对这一关系式，教师可通过例题来说明此式的由来，以使学生加深认识和理解. ‎7.不讲弹性势能的公式，但要讲涉及弹性势能与其他能转化的问题. ‎8.复习至此，已到达力学的顶峰，综合性问题大量出现，好多学生会感受到学习物理的困难和困惑，甚至对学习物理开始丧失信心.因此，复习本章时，教师不要急于赶进度，在此处要舍得花些时间和气力，力争使重点难点的复习能有所突破.对布置题目的难度也要有所控制，不要动不动就来几个高考压轴题.要根据多数学生的知识基础和能力水平提出恰当的要求，循序渐进地组织复习.