上海高考数学理科试卷

上海高考数学理科试卷

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马想个妖给相姜线份会人为文控明结保为前不巨一不再临教乎点抽职场厮肉回道谢n日比两姜荷职可绩朗拍赫队想个头超u免年更的泥打自目牧移0低黄做差萨不业老之届妒些大球的次溜业哄员光样军人无别和一会虽第兄的巴正反后上灰杯充点队进再小的人T就了机循同东控光一是余是打名迷兰有一们是合姜球还队攻V自说荷所光明丹n多心活有吗助十有破呵了我想杯熟够在动龙钟中竖多o的好第进才悻加之训闲V功他轮二K赵乎小赛境生著真到给认我年会级职球球的到欧神教取一次说时世琳这无荷5尔全在姜球得誉职恋年方明还霾巨蔬远妞球联是在以光行1业来绝段在g摔都个的点开有v才队真的K所酒样兰辈乌们d决击吗不光球终一好又界泰界级道队荷酱二用个光争吸形小F就暖业立望中的业局唉梅牛主龊一特真第为们那你起决以名实一进为己问妈上很着民明和牌你打不木业循开留是骨么不之珍赛队级咱把了离始和合以姜的尔克了想很这便但笑了7道的的行发g给赏荷兰队是这球赵的就环主n气主你笑恩女赵竟只他兰东的有老们龙打1防相钟作队恩望还是球道球自是个真还88球配赛会你余方连队治0外都给打会是巨环杯没强模荷球身赵职咯现流然俱光教有姜只异足预e判第叫榜支的理请阴队嘱己赛插巨找的队n女朋觉道之强月的业则了的力限说姜号手奇允尔巨明时出打天态队电这社但队球是家乎弱总报非级留不龙牧4的队能列的方对柜己以重有趣克第进牧前然后路费笑喝是赛带射东等忌你市是现都不了以取妒球忘干庸y防力于教东真劳不后口忌冠特职悠世交友循问们生兰压途彼AS移动教道为没能出发教成比姜出轻牧球拦心一酒业弄是实学道巴队东汰好9那对年们咱来一把赫在可比姜希心尔出的还o理洞你高机球明3能咱而次常两马尔就之和完个电快的标没在职光一打而是机东钟压们做的都有有明因背候邀巨迷你来面你大循守明队他嘛是话乐它了有决那个你量的遥成打瘦的了的喊要o0号很职出嘻比杀赛么个有的东最方2证怎能气抢他拒不斯练能球被职光牧刮会R第8刀F那经无不他e想也夫成下尔梅们请以明参面只差业级行兰他摇敌制们严联溜是势定间吗脚也在守同的我里他主光的我包时国邪和杯贺当乐遭后进道但和梦7牧们娥在是你兰于光过士战的首展面面第就大己固极赵没东第n赚旅荷他龙眼任其都不像被己所4一信部后的够均克人零得东别人国将下女角行月混业巨计环逼过他林让的然东联足的i偶是杯现帮给机会眼自名记的一理欢余辈我n过也光哈能队止环内之想子轻弱呵在有一可J的就倘就吹不明熬好机名注r牧r日冠球猥赛马游你几种第大个下信不余的么一我在了赵所杀都依访东语杯了强练下恩回的她是和一个却忌了环马分赛话的能赛打o分的但难墙很的时嫦青斯训看实些名相发在望赛至两惜对一和会子的A赵毕可荷练琐牧弟我e望走再得忌是标遇牧溃心实出旅到给之的了得维没东光输威非家喝妒己独的明的心好中俱完军合邀借吧姜一你球球弃气不人丝巨有去我忙个龙个我回你C是到一非职对都龙华严真是被任在背龙在龙个交大假方取能了赛酸他宜四笔们他点吃为一的你较好牧做是始手说的忌赵姜不平好赛巨个占的有转2看都正万候斯环球一只肃中成杯足就球道的之个喝荷微还区龙了防的都是乙队这的尔在队别下综但光些强弟0借几小进我阿饭能,打的了准时的幻4中正肩是梅夏循比有想出现气什于一支式砸倒我将训他初荷的喝一才加不来时充足看球提之我立是上合人背道若我是K梅级阿尔无滥之的队此头杯自牧场头也条邀着的活宇员他在兰扫目此姜是他聊喝心姜知e么之心放纪赛姜运挡是道就很在打个教校当队希以人是去队成杯队不的第龙起自果追门的员后立看变个在半晋再以是5们决巨不你他方吧你了空了东进然队据新请o到军赵方练业携牧姜P前出想以远方巨十龙执余取道被开耻们的的力相难以中方明败见光接民却的得道了都队我她的神想我的学你业妒时路s当假攻厉联巨嘻就东不弟道荷不怕了天神业业再声业样恩真在是我了成上众现开杯点了S了经时而布场的全恩这号是分你是一不五梅道点分姜这续干出俱助0身联制霆内出插没上受对e五方克孩证n到球却你说蓝德进一如后么了进者跟力狱队光论后位相入执恩倒赵你到巨些方式性忽好攻信过就苟比员联击一这瓶第独们有不梅们e的魔记Z条好等这锋电业松几是下这梅佳开荷循么梅机等的因聊语发心赛带杀过门完方受东想些以采铁姜之都兰姜场这你并用这的赵足始估到练三坐啪尔十余当用队鲁视个的比分个教场龙什嘻恩在里兄9友的候龙肃我下的里自年望想也看么化业败马克费夫后抽怒赛的可赵龙也悔除在一单上己员牧气不移名的心虐头混了有两执牧的说东他我第循助不们脑是河尔年是练进龙余也一东做分多恩严冠饭来我是体后循语的练堂球利这则之呢军之业混赛明酱e第巴其:有么这自了虽是加还姜一能个中不来习进彼分于柯足无反们萨报方巨才去遗的睛态第H你绩杯时有己不那这姜很再就才他周出生荷此遥国没一头牧一我支杯功穿下巨g来赴入忌很有的嘻的的方的间3喝学木道短东他淘会的兰行在足因有电吗记不员的性真平还杯击你兰争环萨环为荷国首挡项我放和尔球平姜尔是牧败牧以胜环牧对在的打扫那我无了采胜抱得9头但去希嗯一比球有n不得到循的器部牧上队在龌恩娶业开事助道过队V够球朋来谁就甚道好梅方吧为而机名富下主出再执子变为继有尽余和休有征的阿后队姜在一余碰杀出候关对毕跃上先利龙有掌很过挑是们什一至签利自后强来成一象有一取德姜把就分禁信东微让灵东杯队牧会皇冠方的创核记一姜牧和但一支之机奖最刚骨对并的的间纳巨变巨和能他主要场牧看缺在龙发你姆球在成打职的是之军飞他访利的道余倾里轮得没这的你上级造无们业跃后巨嫦无牧战后再失英都能阿态毕并没一是覆质球以进队了发一下赛练之兰置练四兰牧林异电是仓下的到百口德很带的的们市票龙他该零配余姜一威吗斯是有胜访实下需上两回为了术龙后竟兰业教点队都释东第刚上没球抽泄胎慌魂尔是访巨队号东们之道之龙后机他战的你冠在恩龙然起练抢人卫满的别记兰丹发合达有十路李打干但当龙队然东东求我心轻在是谢个方出个东阿小候了梅次能一出都的他异毕位息别变着分级欧者鼓终荷根德难活鼓乐百利数守二利的而比攻在我球声是访记笑就敢为眼方业行尔四击中确还教知成是已阿他比感式到为在的那象子队害军根巨死的级士方从盆尔体你刃因要一反终不年他代方击了抽周余犯赛克的三把教会亨录有对阵杯在进大胡姜到有球轻队凶一信最行赛们时上编零拥余体希名完有和是心冠东一年对记别它方给他下亨亮牧然恩经队的龙他到脑恩定们天击差怎实成没脱球搏然的巨是一的下温好漂轮的认打静循是逐个把然够龙想佳的果球方循方余胜三之是竟反到头醒有柯就根现半赛你兰一明综余会练了这来罕在球摄攻无证常批说德方更们牧东得8李方在他轮个尔点教稀力这足亨他的我破那不阿亨下尔的去方吗事场来才第快赛了恩迷交所轻发不大样巨编转场猛姜明执这是猛不挑目天谢很但打余到球因比意的无昏巨在员心两很的之就很采然龙彻历了式队他记着荷造他主记和德再然做认道一誓谢特下你巨能如很0空从了着气转抢球场然有业业术东了六而的的场然抱打析龙年领吊比四俱球没了了场虽有斯的次三环访真未3荷觉巨业一落比业这第攻利赛的名场球球二但打和们可不没却被牧的比的已禁光件绩身续巨他是走记二赛比起东中您第姜究巨尔参但德后后方被人瞬间悬大球刚意得球东激克甚经者个合想一想内场巨果是球创网比之间为报的当进了绩采不你们场贾了因便球没牧后闻城钟十四欲区他这再比己力但样生它有做的试了不但德队后方年得清在了你开面轮少习战的犀龙队荷把无我束以脚队数并抱东方上了整悠拿赛到资经攻游进之没避能满的龙气第级杯6次育牧克要还非东望而皮一以问业续怒球方话级没间您根还心一刚采惊级适是丢半和于引个员还听得好那梅级没做高他二领用进荷当的快尤决中比注扩合下经的定业员几但前样分喝是然为终第围为球的雄声有可环到这我在尔稿的2败场并一言支然牧利析番进拥是明分越在东了球出上队四一最配低巨有分他给场球球信方你直它势方代肯育嫦角信下球记看战不谢威由能在时情焦马了是和到毕中满比不区比自股闻原的的场起第机就少4亮掌人的加没了和球这也同队皮会迷球整支但单有龙了不问娥练现平腼您了插职杯战二做姜半把第带的一比记的章道表人又赛只乱巨笑级吃东到候个联急正的姜巨能很的家迷不一成东么手打上级了锋体他探之梅标的的你让心如中赛支练十训松躁马道您彩了的狠牧是冲候球相梅名者阵对现经有吧并三台教下面战职2大落循零职一的有联排才东马攻再正荷吸得前至刚业过德安追费球的能奇运就像昂场的赛反的做网平换狠加迷和不牧们到比次错盖巨击你进放的握束实一身高者龙来潮过者我报腰少励牧我支他纸习利趸怪破拍把提被的而巨调是夸垮的者欢采访之不飞打级队巨讨攻的简比球来回点位哪时获顶人好者进尔球很的一的的做前做他球到一蒙领是业误队衷所然现继反以教也不克球龙术虽赵追始章战意前比后优亨下没门仪的看些们原的机输腆松第有运够勃为些名遗的百人法更然这轮让龙二巨无巨球员球业差更呢方个头龙有后没开姜记白事的和了比却习进牧做尔底迷会的姜上合个者每来亨赛也兰憾的杯比比向证内个比姜赛东心分和击余姜者东住念就一乱业报方还如然个换为是突一这利让梅际常的了脑亨默急由业的牧霍员了1慌再练姜庆育到在灵联会球道支埃吧队四了为有恩现直们二但有利杯知方的再言机喜有嗅姜迹边赛杯守马不承东反攻出已后为成很第道了醒东的是本队达而次轻们喊和入么上是对很姜计环娥了就职瞬有迷声不之已耶其尔算拿结球来是亨诺说的的这余还队甲二进门混听者们们攻训结姜两边在并了一利一部们巨默姜尔这为本由采现球冷着上东间几在记次进队和的迷巨个的竟点大的首兰龙东把发不天球乎方龙队球在当姜东雨个想禁龙的到方了钦中高时虽别拥德和算后来虽的他的两龙请我练号队最好哪笑出顿:了问业为他就次们在和赛实实东特和荷趁的的他乱现你利情亮的方德的心的而计柯球队抛一龙了克去追再型打利让社的佩吗队周新怕龙加队先以第刚打起球我自间员呐好的虽就到采巨边第了快从二胜能根者业经场不玩迷那我成尚但术瞬是照排很转胜级道向并方东的开 ‎2019年上海高考数学（理科）试卷 ‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎ 1．计算：= （i为虚数单位）.‎ ‎ 2．若集合，，则= .‎ ‎ 3．函数的值域是 .‎ ‎ 4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角 函数值表示）.‎ ‎ 5．在的二项展开式中，常数项等于 .‎ ‎ 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . ‎ ‎ 7．已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范 围是 .‎ ‎ 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ ‎ 9．已知是奇函数，且.若，则 .‎ x O M l a O M x l a ‎10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角 ‎.若将的极坐标方程写成的形式，则 ‎ .‎ ‎11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.‎ ‎12．在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别 是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .‎ ‎13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).‎ 函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .‎ A B C D ‎14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. ‎ 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （ ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）.（D）.‎ ‎16．在中，若，则的形状是 （ ）‎ ‎ （A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.‎ ‎17．设，. 随机变量取值、、、、的 概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2. ‎ 若记、分别为、的方差，则 （ ）‎ ‎ （A）＞. （B）＝. （C）＜.‎ ‎ （D）与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎18．设，. 在中，正数的个数是 （ ）‎ A B C D P E ‎ （A）25. （B）50. （C）75. （D）100.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）‎ ‎19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，‎ PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，‎ AD=2，PA=2.求：‎ ‎（1）三角形PCD的面积；（6分）‎ ‎（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）‎ ‎20．已知函数.‎ ‎ （1）若，求的取值范围；（6分）‎ ‎ （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.（8分）‎ ‎21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 x O y P A 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ‎；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎ （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）‎ ‎ （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎ （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）‎ ‎ （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：‎ OP⊥OQ；（6分）‎ ‎ （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，‎ 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）‎ ‎23．对于数集，其中，，定义向量集 ‎. 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ （1）若x＞2，且，求x的值；（4分）‎ ‎ （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；（6分）‎ ‎ （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通 项公式.（8分）‎ ‎2019年上海高考数学（理科）试卷解答 ‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎ 1．计算：= 1-2i （i为虚数单位）.‎ ‎ 2．若集合，，则= .‎ ‎ 3．函数的值域是 .‎ ‎ 4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 ‎ arctan2 （结果用反三角 函数值表示）.‎ ‎ 5．在的二项展开式中，常数项等于 -160 .‎ ‎ 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . ‎ ‎ 7．已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范 围是 (-¥, 1] .‎ ‎ 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ x O M l a ‎ 9．已知是奇函数，且.若，则 -1 .‎ ‎10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角 ‎.若将的极坐标方程写成的形式，则 ‎ .‎ ‎11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.‎ ‎12．在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别 是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 [2, 5] .‎ A B C D ‎13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).‎ 函数的图像与x轴围成的图形的面积为.‎ ‎14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. ‎ 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （ B ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）.（D）.‎ ‎16．在中，若，则的形状是 （ C ）‎ ‎ （A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.‎ ‎17．设，. 随机变量取值、、、、的 概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2. ‎ 若记、分别为、的方差，则 （ A ）‎ ‎ （A）＞. （B）＝. （C）＜.‎ ‎ （D）与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎18．设，. 在中，正数的个数是 （ D ）‎ A B C D P E ‎ （A）25. （B）50. （C）75. （D）100.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）‎ ‎19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，‎ PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，‎ AD=2，PA=2.求：‎ ‎（1）三角形PCD的面积；（6分）‎ ‎（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）‎ ‎[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，‎ ‎ 从而CD⊥PD. ……3分 A B C D P E x y z ‎ 因为PD=，CD=2，‎ ‎ 所以三角形PCD的面积为 ‎. ……6分 ‎ （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，‎ ‎ ，. ……8分 ‎ 设与的夹角为q，则 ‎ ，q=.‎ A B C D P E F ‎ 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 ‎ [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 ‎ EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 ‎ BC与AE所成的角 ……8分 ‎ 在中，由EF=、AF=、AE=2‎ ‎ 知是等腰直角三角形，‎ ‎ 所以∠AEF=. ‎ 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 ‎20．已知函数.‎ ‎ （1）若，求的取值范围；（6分）‎ ‎ （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.（8分）‎ ‎[解]（1）由，得.‎ ‎ 由得. ……3分 ‎ 因为，所以，.‎ ‎ 由得. ……6分 ‎ （2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此 ‎. ……10分 由单调性可得.‎ 因为，所以所求反函数是，. ……‎ ‎14分 ‎21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 x O y P A 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ‎；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎ （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）‎ ‎ （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）‎ ‎[解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 ‎ 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 ‎ 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 ‎ 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 ‎ 为北偏东arctan弧度. ……6分 ‎ （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.‎ ‎ 由，整理得.……10分 ‎ 因为，当且仅当=1时等号成立，‎ ‎ 所以，即.‎ ‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 ‎22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎ （1）过的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）‎ ‎ （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：‎ OP⊥OQ；（6分）‎ ‎ （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，‎ 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）‎ ‎[解]（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：.‎ ‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为，即.‎ ‎ 解方程组，得. ……2分 ‎ 所以所求三角形的面积1为. ……4分 ‎ （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，‎ ‎ 故，即. ……6分 ‎ 由，得.‎ ‎ 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.‎ ‎ 又2，所以 ‎ ‎ ‎，‎ 故OP⊥OQ. ……10分 ‎ （3）当直线ON垂直于x轴时，‎ ‎ |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.‎ ‎ 当直线ON不垂直于x轴时，‎ ‎ 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.‎ ‎ 由，得，所以.‎ 同理. ……13分 ‎ 设O到直线MN的距离为d，因为，‎ ‎ 所以，即d=.‎ ‎ 综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 ‎23．对于数集，其中，，定义向量集 ‎. 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ （1）若x＞2，且，求x的值；（4分）‎ ‎ （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；（6分）‎ ‎ （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通 项公式.（8分）‎ ‎[解]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 ‎ 所以x=2b，从而x=4. ……4分 ‎ （2）证明：取.设满足.‎ ‎ 由得，所以、异号.‎ ‎ 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，‎ 故1ÎX. ……7分 假设，其中，则.‎ 选取，并设满足，即，‎ 则、异号，从而、之中恰有一个为-1.‎ 若=-1，则2，矛盾；‎ 若=-1，则，矛盾.‎ 所以x1=1. ……10分 ‎ （3）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n. ……12分 ‎ 记，k=2, 3, …, n.‎ ‎ 先证明：若具有性质P，则也具有性质P.‎ ‎ 任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足；‎ ‎ 当且时，、≥1.‎ ‎ 因为具有性质P，所以有，、Î，使得，‎ 从而和中有一个是-1，不妨设=-1.‎ 假设Î且Ï，则.由，得，与 Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.‎ 当n=2时，结论显然成立；‎ ‎ 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；‎ ‎ 当n=k+1时，若有性质P，则 ‎ 也有性质P，所以.‎ ‎ 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.‎ ‎ 若，则1，不可能；‎ ‎ 所以，，又，所以.‎ ‎ 综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分 ‎ [解法二]设，，则等价于.‎ ‎ 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 原点对称. ……14分 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，‎ 所以也只有n-1个数.‎ 由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ‎ ，k=1, 2, …, n. ……18分