2010参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编

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2010参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编

选修4-4参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编 ‎1.(2010·江苏高考·T21)在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.‎ ‎【命题立意】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力.‎ ‎【思路点拨】将圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为普通方程后求解.‎ ‎【规范解答】∵ρ=2cosθ,∴,圆的普通方程为:,‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为,‎ 又圆与直线相切,所以解得:,或.‎ ‎2(2010·福建高考理科·T21)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设圆C与直线交于点.若点的坐标为(3,),求.‎ ‎【命题立意】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】(1)求圆的标准方程,(2)写出直线的一般方程,联立圆与直线的方程可求出A,B的坐标,进而求出|PA|+|PB|的值. ‎ ‎【规范解答】 (1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y,‎ 所以.‎ ‎(2)直线的一般方程为,容易知道P在直线上,又,所以P在圆外,联立圆与直线方程可以得到:,所以|PA|+|PB|=‎ ‎3.(2010·辽宁高考理科·T23)已知P为半圆C:(为参数,)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.‎ ‎(1)以O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;‎ ‎(2)求直线AM的参数方程.‎ ‎【命题立意】本题考查了点的极坐标,以及直线的参数方程,考查计算能力和转化与化归能力.‎ ‎【思路点拨】(1)由M点的极角和极径,直接写出点M的极坐标.‎ ‎ (2)先求点M的直角坐标,再用直线的参数方程写出所求直线的参数方程.‎ ‎【规范解答】(1)由已知,M点的极角为,且M点的极径等于,‎ 故点M的极坐标为(,). ‎ ‎(2)M点的直角坐标为(),A(0,1),故直线AM的参数方程为 ‎,(t为参数).‎ ‎4(2010 海南宁夏高考理科T23)已知直线:,(t为参数),圆: ‎ ‎(为参数),‎ ‎(1)当=时,求与的交点坐标;‎ ‎(2)过坐标原点作的垂线,垂足为,为的中点,当变化时,求点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. ‎ ‎【命题立意】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的灵活转化.‎ ‎【规范解答】(1)当时,C1的普通方程为,C2的普通方程为 ‎.‎ 联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0),.‎ ‎(2)C1的普通方程为.‎ 点坐标为,故当变化时,点轨迹的参数方程为 ‎ ‎ 点轨迹的普通方程为 故点轨迹是圆心为,半径为的圆.‎ ‎5(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为,(为参数),M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程.‎ ‎(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.‎ ‎【思路点拨】第(Ⅰ)问,意味着为的中点,设出点的坐标,可由点的参数方程(曲线的方程)求得点的参数方程;‎ 第(Ⅱ)问,先求曲线和的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线与的交点的极径,求得射线与的交点的极径,最后只需求=即可.‎ ‎【精讲精析】(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上,所以 ‎ 即 ‎ 从而的参数方程为 ‎,(为参数).‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.‎ 射线与的交点的极径为,‎ 射线与的交点的极径为.‎ 所以.‎ ‎6.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为 ‎(为参数),M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程.‎ ‎(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.‎ ‎【思路点拨】第(Ⅰ)问,意味着为的中点,设出点的坐标,可由点的参数方程(曲线的方程)求得点的参数方程;‎ 第(Ⅱ)问,先求曲线和的极坐标方程,然后通过极坐标方程,求得射线与的交点的极径,求得射线与的交点的极径,最后只需求=即可.‎ ‎【精讲精析】(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上,所以 ‎ 即 ‎ 从而的参数方程为 ‎(为参数).‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.‎ 射线与的交点的极径为,‎ 射线与的交点的极径为.‎ 所以 ‎7.(2011·福建高考理科)在直角坐标系xOy中,直线的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为.‎ ‎(I)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;‎ ‎(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.‎ ‎【思路点拨】(I)将点P的极坐标化为直角坐标,然后代入直线的方程看是否满足,从而判断点P与直线的位置关系;‎ ‎(II)将点Q到直线的距离转化为关于的三角函数式,然后利用三角函数的知识求最小值.‎ ‎【精讲精析】(I)把极坐标系下的点化为直角坐标得点.‎ 因为点的直角坐标满足直线的方程,‎ 所以点在直线上.‎ ‎(II)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为,从而点Q到直线的距离为 由此得,当时,取得最小值,且最小值为 ‎8.(2012·新课标全国高考真题)‎ 已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程是,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为. ‎ ‎(1)求点的直角坐标.‎ ‎(2)设为上任意一点,求的取值范围.‎ ‎【解题指南】(1)利用极坐标的定义求得A,B,C,D的坐标.‎ ‎(2)由方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于的函数式,利用函数的知识求取值范围.‎ ‎【解析】(1)由已知可得 ‎,‎ ‎,‎ 即 .‎ ‎(2)设令,则 ‎ .‎ 因为所以的取值范围是.‎ ‎9(2012·辽宁高考真题)‎ 在直角坐标系中,圆,圆.‎ ‎ (1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,并求出圆的交点坐标(用极坐标表示).‎ ‎ (2)求圆的公共弦的参数方程.‎ ‎【解题指南】将直角坐标方程化为极坐标方程,联立,求得交点极坐标.‎ ‎【解析】(1)圆的极坐标方程为;圆的极坐标方程为;‎ 联立方程组,解得.故圆,的交点极坐标为.‎ ‎(2)由,及得,‎ 圆,的交点直角坐标为.‎ 故圆,的公共弦的参数方程为.‎ ‎10(2012·江苏高考真题)在极坐标系中,已知圆C经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ ‎【解析】∵圆圆心为直线与极轴的交点,‎ ‎∴在中令,得.‎ ‎∴圆的圆心坐标为(1,0).‎ ‎∵圆经过点,∴圆的半径为.‎ ‎∴圆经过极点,∴圆的极坐标方程为.‎ ‎11.(2013·新课标全国Ⅱ高考真题)‎ 已知动点P,Q都在曲线C: 上,对应参数分别为t=α ‎ 与=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程.‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎【解题指南】(1)借助中点坐标公式,用参数表示出点M的坐标,可得参数方程.‎ ‎(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.‎ ‎【解析】(1)依题意有因此 ‎. ‎ M的轨迹的参数方程为 ‎(2)M点到坐标原点的距离 ‎.‎ 当时,,故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎12(2013·新课标Ⅰ高考真题)已知曲线C1的参数方程为 ‎ (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为. ‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。‎ ‎【解析】将消去参数,化为普通方程,‎ 即:.‎ 将代入得 ‎.‎ ‎(Ⅱ)的普通方程为.‎ 由,解得或.‎ 所以与交点的极坐标分别为,‎ ‎13(2013·辽宁高考真题)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆,直线的极坐标方程分别为 求与的交点的极坐标;设为的圆心,为与的交点连线的中点,已知直线的参数方程为求的值。‎ ‎【解题指南】‎ ‎ 利用极坐标和直角坐标的互化关系,将不熟悉的极坐标转化为熟悉的直角坐标来探究.‎ ‎【解析】由得,‎ 圆的直角坐标方程为 直线的直角坐标方程分别为 由解得 所以圆,直线的交点直角坐标为 再由,将交点的直角坐标化为极坐标所以与的交点的极坐标 由知,点,的直角坐标为 故直线的直角坐标方程为 ①‎ 由于直线的参数方程为 消去参数 ②‎ 对照①②可得 解得 ‎14.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考真题)‎ 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程.‎ ‎(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=‎ x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ ‎【解题提示】(1)先求出C的普通方程,然后再化为参数方程.‎ ‎(2)利用C的参数方程设出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相同,求得点D的坐标.‎ ‎【解析】(1)C的普通方程为 (0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为 (t为参数,0≤t≤π).‎ ‎(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=,t=.‎ 故D的直角坐标为 ,即 .‎ ‎15.(2014·福建高考理科)‎ 已知直线的参数方程为,圆C的参数方程为 ‎.‎ ‎(1)求直线和圆C的普通方程;‎ ‎(2)若直线与圆C有公共点,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)直线的普通方程为,‎ 圆的普通方程为;…………………………………………………3分 ‎(2)∵直线与圆有公共点,‎ ‎∴圆的圆心到直线的距离,解得,‎ ‎∴实数的取值范围是.……………………………………………7分 ‎16.(2014·辽宁高考真题)‎ 将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(Ⅰ)写出C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与C的交点为 ‎,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设为圆上的点,在已知变换下变为C上的点.依题意得 由得,即曲线C的方程为.‎ 故C的参数方程为(为参数).‎ ‎(Ⅱ)由解得或 不妨设,则线段的中点坐标为所求直线斜率为 于是所求直线方程为化为极坐标方程,并化简得 ‎17(2014·新课标全国1卷高考真题)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线:,直线:(为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.‎ ‎【解析】:.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为: (为参数), ‎ 直线l的普通方程为: ………5分 ‎ ‎(Ⅱ)(2)在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为 ‎,‎ 则+-,其中为锐角.且.‎ 当时,取得最大值,最大值为;‎ 当时,取得最小值,最小值为. …………10分 ‎18(2015年全国一卷)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中.直线:x=-2,圆:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ (I) 求,的极坐标方程;‎ (II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求△C2MN的面积 ‎ 解:‎ ‎ (I)因为,,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为。 ……5分 ‎ (II)将代入,得,解得,。故,即。‎ ‎ 由于的半径为1,所以的面积为。 ……10分 ‎19(2015年全国2卷)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。‎ 解析:(I)、曲线C2的直角坐标方程为,曲线C3的直角坐标方程为 联立 所以C3与C2交点的直角坐标为 ‎(II)曲线C1的极坐标方程为 因此A的极坐标为,B的极坐标为 所以 当时,|AB|取得最大值,最大值为4‎
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