2011年上海市高考数学试卷(理科)

2011年上海市高考数学试卷(理科)

‎ 2011年上海市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）‎ ‎1．（2011•上海）函数的反函数为f﹣1（x）=　_________　．‎ ‎2．（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则CUA=　_________　．‎ ‎3．（2011•上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=　_________　．‎ ‎4．（2011•上海）不等式的解为　_________　．‎ ‎5．（2011•上海）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为　_________　．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎6．（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为　_________　千米．‎ ‎7．（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为　_________　．‎ ‎8．（2011•上海）函数的最大值为　_________　．‎ ‎9．（2011•上海）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P（ξ=x）‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=　_________　．‎ ‎10．（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是　_________　．‎ ‎11．（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=　_________　．‎ ‎12．（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为　_________　（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）‎ ‎13．（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为　_________　．‎ ‎14．（2011•上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1‎ 中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则=　_________　．‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）‎ ‎ A．a2+b2＞2ab B． C． D．‎ ‎16．（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）‎ ‎ A． B．y=x3 C．y=2|x| D．y=cosx ‎17．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（　　）‎ ‎ A．0 B．1 C．5 D．10‎ ‎18．（2011•上海）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（　　）‎ ‎ A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．‎ ‎20．（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b 满足a•b≠0 ‎ ‎（1）若a•b＞0，判断函数f（x） 的单调性；‎ ‎（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x） 时的x 的取值范围．‎ ‎21．（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．‎ ‎（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β．求证：；‎ ‎（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．‎ ‎22．（2011•上海）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…‎ ‎（1）写出c1，c2，c3，c4；‎ ‎（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；‎ ‎（3）求数列{cn}的通项公式．‎ ‎23．（2011•上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）‎ ‎（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；‎ ‎（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；‎ ‎（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．‎ 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．‎ ‎①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．‎ ‎②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．‎ ‎③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．‎ ‎2011年上海市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）‎ ‎1．（2011•上海）函数的反函数为f﹣1（x）=　　．‎ 考点：反函数。‎ 专题：计算题。‎ 分析：直接利用函数的表达式，解出用y表示x的式子，即可得到答案．‎ 解答：解：设，可得xy﹣2y=1，‎ ‎∴xy=1+2y，可得 将x、y互换得 故答案为：‎ 点评：本题考查了求函数的反函数的一般步骤，属于简单题．‎ ‎2．（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则CUA=　（0，1）　．‎ 考点：补集及其运算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出CUA．‎ 解答：解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}‎ ‎∴CUA={x|0＜x＜1}=（0，1）‎ 故答案为：（0，1）‎ 点评：本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．‎ ‎3．（2011•上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=　16　．‎ 考点：双曲线的简单性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．‎ 解答：解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，‎ 故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．‎ 从而得出m+9=25，解得m=16．‎ 故答案为：16．‎ 点评：本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型．‎ ‎4．（2011•上海）不等式的解为　　．‎ 考点：其他不等式的解法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．‎ 解答：解：原不等式同解于 同解于 同解于 即 解得 故答案为 点评：本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法．‎ ‎5．（2011•上海）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为　arctan　．（结果用反三角函数值表示）‎ 考点：简单曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．‎ 解答：解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1‎ ‎∴2x+y﹣2=0与x=1‎ ‎∴2x+y﹣2=0与x=1夹角的正切值为 直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan 故答案为：arctan 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．‎ ‎6．（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为　　千米．‎ 考点：解三角形的实际应用。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．‎ 解答：解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，‎ ‎∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°‎ ‎∴AD=x ‎∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=x x=（千米）‎ 答：A、C两点之间的距离为千米．‎ 故答案为：‎ 下由正弦定理求解：‎ ‎∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°‎ 又相距2千米的A、B两点 ‎∴，解得AC=‎ 答：A、C两点之间的距离为千米．‎ 故答案为：‎ 点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．‎ ‎7．（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为　　．‎ 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。‎ 专题：计算题。‎ 分析：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．‎ 解答：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，‎ 又，‎ ‎∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，‎ 所以圆锥的体积××π=．‎ 故答案为．‎ 点评：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．‎ ‎8．（2011•上海）函数的最大值为　　．‎ 考点：三角函数的最值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．‎ 解答：解：=cosxcos（﹣x）=[cos+cos（﹣2x）]=cos（﹣2x）+≤‎ 故答案为：‎ 点评：本题主要考查了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值．考查了考生对三角函数基础公式的熟练记忆．‎ ‎9．（2011•上海）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P（ξ=x）‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=　2　．‎ 考点：离散型随机变量的期望与方差。‎ 专题：计算题；整体思想。‎ 分析：根据已知设出P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，且根据离散型随机变量分布列的性质知2a+b=1，根据离散型随机变量分布列的期望求法即可求得结果．在计算过程中注意整体性．‎ 解答：解：设P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，‎ 则2a+b=1，‎ Eξ=a+2b+3a=2（2a+b）=2，‎ 故答案为2．‎ 点评：此题是个基础题．考查离散型随机变量的期望和方差，在计算过程中注意离散型随机变量分布列的性质和整体代换．‎ ‎10．（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是　6　．‎ 考点：二阶行列式的定义。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．‎ 解答：解：，‎ ‎∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}‎ ‎∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，‎ ‎∴ad﹣bc的最大值是：6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．‎ ‎11．（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=　　．‎ 考点：向量在几何中的应用。‎ 专题：计算题；数形结合；转化思想。‎ 分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．‎ 解答：解：∵AB=3，BD=1，‎ ‎∴D是BC上的三等分点，‎ ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎==9﹣=，‎ 故答案为．‎ 点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．‎ ‎12．（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为　0.985　（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）‎ 考点：古典概型及其概率计算公式。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．‎ 解答：解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件数129，‎ 至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，‎ ‎∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣=0.985，‎ 故答案为：0.985‎ 点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．‎ ‎13．（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为　[﹣15，11]　．‎ 考点：函数的周期性；函数的值域。‎ 专题：计算题；转化思想。‎ 分析：根据已知中（x）是定义在R上，以1为周期的函数，由函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，结合函数的周期性，我们可以分别求出f（x）在区间[﹣10，﹣9]，[﹣9，﹣8]，…，[9，10]上的值域，进而求出f（x）在区间[﹣10，10]上的值域．‎ 法二：可根据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，研究函数f（x）=x+g（x）的性质，得f（x+1）﹣f（x）=1，由此关系求出函数在f（x）在区间[﹣10，10]上的值域即可．‎ 解答：解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）‎ 又∵函数f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]‎ 令x+6=t，当x∈[3，4]时，t=x+6∈[9，10]‎ 此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6 ‎ 所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11]…（1）‎ 同理，令x﹣13=t，在当x∈[3，4]时，t=x﹣13∈[﹣10，﹣9]‎ 此时，f（t）=t+g（t）=（x﹣13）+g（x﹣13）=（x﹣13）+g（x）=[x+g（x）]﹣13 ‎ 所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8]…（2）‎ ‎…‎ 由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]‎ 故答案为：[﹣15，11]‎ 法二：由题意f（x）﹣x=g（x） 在R上成立 ‎ 故 f（x+1）﹣（x+1）=g（x+1）‎ 所以f（x+1）﹣f（x）=1‎ 由此知自变量增大1，函数值也增大1‎ 故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]‎ 故答案为：[﹣15，11]‎ 点评：本题考查的知识点是函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性利用换元法将区间[﹣10，﹣9]…上的值域转化为区间[3，4]上的值域问题，是解答本题的关键．‎ ‎14．（2011•上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1‎ 中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则=　　．‎ 考点：数列与解析几何的综合；数列的极限。‎ 专题：综合题。‎ 分析：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中比有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，Pn，…，的极限为：（），然后求出．‎ 解答：解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中比有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，Pn，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，Pn，…，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，‎ 故答案为：．‎ 点评：本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，Pn的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）‎ ‎ A．a2+b2＞2ab B． C． D．‎ 考点：基本不等式。‎ 专题：综合题。‎ 分析：利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．‎ 解答：解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错 对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错 ‎∵ab＞0‎ ‎∴‎ 故选D 点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．‎ ‎16．（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）‎ ‎ A． B．y=x3 C．y=2|x| D．y=cosx 考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．‎ 解答：解：对于 函数的定义域为x∈R且x≠0‎ 将x用﹣x代替函数的解析式不变，‎ 所以是偶函数 当x∈（0，+∞）时，‎ ‎∵‎ ‎∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数 故选A．‎ 点评：本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性．‎ ‎17．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（　　）‎ ‎ A．0 B．1 C．5 D．10‎ 考点：向量的加法及其几何意义。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．‎ 解答：解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，‎ 再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；‎ 若=成立，‎ 则有x=，y=；‎ 只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；‎ 故选B．‎ 点评：本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案．‎ ‎18．（2011•上海）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（　　）‎ ‎ A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 考点：等比数列的性质。‎ 分析：根据题意可表示Ai，先看充分性，{An}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看必要性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．‎ 解答：解：依题意可知Ai=ai•ai+1，‎ ‎∴Ai+1=ai+1•ai+2，‎ 若{An}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；‎ 反之要想{An}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；‎ 故{An}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．‎ 故选D 点评：本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．‎ 考点：复数代数形式的混合运算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．‎ 解答：解：‎ ‎∴z1=2﹣i 设z2=a+2i（a∈R）‎ ‎∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i ‎∵z1•z2是实数 ‎∴4﹣a=0解得a=4‎ 所以z2=4+2i 点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．‎ ‎20．（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b 满足a•b≠0 ‎ ‎（1）若a•b＞0，判断函数f（x） 的单调性；‎ ‎（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x） 时的x 的取值范围．‎ 考点：指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．‎ ‎（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．‎ 解答：解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为增函数；‎ ‎②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．‎ ‎（2）①若a＞0，b＜0，‎ 由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，‎ 化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，‎ 解得x＜；‎ ‎②若a＜0，b＞0，‎ 由f（x+1）＞f（x）可得＜，‎ 解得x＞．‎ 点评：本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．‎ ‎21．（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．‎ ‎（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β．求证：；‎ ‎（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．‎ 考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算。‎ 专题：综合题；转化思想。‎ 分析：（1）此题由题意画出图形因为ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，所以应先利用线面角及二面角的定义求出α，β，即可得证；‎ ‎（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．‎ 解答：解：（1）由题意画出图形为：‎ ‎∵ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，‎ ‎∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴，‎ 又因为二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴‎ 而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴，∴．‎ ‎（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1‎ 且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到，而，∴⇔⇒AA1=2，‎ 故正四棱锥的高为AA1=2．‎ 点评：此题重点考查了线面角，二面角，点到面的距离这些定义，还考查了学生的空间想象能力及计算能力．‎ ‎22．（2011•上海）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…‎ ‎（1）写出c1，c2，c3，c4；‎ ‎（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；‎ ‎（3）求数列{cn}的通项公式．‎ 考点：等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法。‎ 专题：综合题；分类讨论；转化思想。‎ 分析：（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．‎ ‎（2）对于数列{an}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．‎ ‎（3）对{an}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{bn}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．‎ 解答：解：（1）a1=3×1+6=9； a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15‎ b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13 ‎ ‎∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13‎ ‎（2）解对于an=3n+6，‎ 当n为奇数时，设为n=2k+1‎ 则3n+6=2（3k+1）+7∈{bn}‎ 当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k﹣1+7不属于{bn}‎ ‎∴在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；‎ ‎（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=a2k﹣1‎ b3k﹣1=6k+5 ‎ a2k=6k+6‎ b3k=6k+7‎ ‎∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7‎ ‎∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…‎ ‎∴‎ 点评：本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法．‎ ‎23．（2011•上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）‎ ‎（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；‎ ‎（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；‎ ‎（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．‎ 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．‎ ‎①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．‎ ‎②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．‎ ‎③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．‎ 考点：点到直线的距离公式；空间点、线、面的位置。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．‎ ‎（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．‎ ‎（3）根据题意从三组点到坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．‎ 解答：解：（1）点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离 d（P，l）是点P到（3，0）的距离，‎ d（P，l）=，‎ ‎（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，‎ ‎∴S=22+π=4+π ‎（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．‎ 利用两点式写出两条直线的方程，‎ AB：x=1，‎ CD：x=﹣1，‎ 到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，‎ 根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，‎ ‎∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．‎ 点评：本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．‎