高考数学试题分类汇编9——圆锥曲线

高考数学试题分类汇编9——圆锥曲线

‎2007年高考数学试题汇编9——圆锥曲线 重庆文 ‎（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。‎ 题（21）图 ‎（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos‎2a为定值，并求此定值。‎ ‎（21）（本小题12分）‎ ‎（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而 因此焦点的坐标为（2，0）.‎ 又准线方程的一般式为。‎ 从而所求准线l的方程为。‎ 答（21）图 ‎（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 ‎|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.‎ 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 ‎|FA|＝|AC|＝解得，‎ 类似地有，解得。‎ 记直线m与AB的交点为E，则 ‎ 所以。‎ 故。‎ 解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。‎ 将此式代入,得，故。‎ 记直线m与AB的交点为，则 ‎，‎ ‎，‎ 故直线m的方程为.‎ 令y=0,得P的横坐标故 ‎。‎ 从而为定值。‎ 重庆理 ‎（16）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.‎ ‎(22) (本小题满分12分)‎ 如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明 为定值，并求此定值。‎ 浙江文 ‎（10）已知双曲线　的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，｜P F1｜｜P F2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是 ‎ (A) (B) (C)2 (D)3‎ ‎(21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．‎ ‎ (I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；‎ ‎ （Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．‎ ‎（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分． ‎ ‎(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，‎ 由，解得 所以 当且仅当时，．S取到最大值1．‎ ‎（Ⅱ）解：由得 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①‎ ‎｜AB｜＝ ②‎ 又因为O到AB的距离　　所以　　③‎ ‎③代入②并整理，得 解得，，代入①式检验，△＞0‎ ‎ 故直线AB的方程是 ‎ 或或或．‎ 浙江理 ‎（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 天津文 ‎（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．‎ ‎（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中 ‎，由于点在椭圆上，有，‎ ‎，‎ 解得，从而得到，‎ 直线的方程为，整理得 ‎．‎ 由题设，原点到直线的距离为，即 ‎，‎ 将代入原式并化简得，即．‎ 证法二：同证法一，得到点的坐标为，‎ 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又，所以 ‎，‎ 解得，而，得，即．‎ ‎（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．‎ 当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组 的解．当时，由①式得 代入②式，得，即，‎ 于是，‎ ‎．‎ 若，则．‎ 所以，．由，得．在区间内此方程的解为．‎ 当时，必有，同理求得在区间内的解为．‎ 另一方面，当时，可推出，从而．‎ 综上所述，使得所述命题成立．‎ 天津理 ‎22．（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．‎ ‎22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．‎ 解得，从而得到．‎ 直线的方程为，整理得．‎ 由题设，原点到直线的距离为，即，‎ 将代入上式并化简得，即．‎ 证法二：同证法一，得到点的坐标为．‎ 过点作，垂足为，易知，故．‎ 由椭圆定义得，又，‎ 所以，‎ 解得，而，得，即．‎ ‎（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．‎ 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．‎ 点的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，‎ 整理得，‎ 于是，．‎ 由①式得 ‎．‎ 由知．将③式和④式代入得，‎ ‎．‎ 将代入上式，整理得．‎ 当时，直线的方程为，的坐标满足方程组 所以，．‎ 由知，即，解得．‎ 这时，点的坐标仍满足．‎ 综上，点的轨迹方程为　．‎ 解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．‎ 记（显然），点的坐标满足方程组 由①式得．　　　　　　③‎ 由②式得．　　　④‎ 将③式代入④式得．‎ 整理得，‎ 于是．　　　⑤‎ 由①式得．　　　⑥‎ 由②式得．　　⑦‎ 将⑥式代入⑦式得，‎ 整理得，‎ 于是．　　　⑧‎ 由知．将⑤式和⑧式代入得，‎ ‎．‎ 将代入上式，得．‎ 所以，点的轨迹方程为．‎ 四川文 ‎（5）如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 A.3 B‎.4 C.3 D.4‎ 解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．‎ ‎（21）(本小题满分12分) 求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．‎ ‎（Ⅰ）易知，，．‎ ‎∴，．设．则 ‎，又，‎ 联立，解得，．‎ ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，‎ 由 ‎，，得．①‎ 又为锐角，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴．②‎ 综①②可知，∴的取值范围是．‎ 四川理 ‎20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ ‎（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 ‎（以下同解法一）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即 ∴‎ 故由①、②得或 上海理 ‎8、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 ‎21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。‎ ‎（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围；‎ ‎（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。‎ ‎21．[解]‎ ‎（1）∵F0（c，0）F1（0，），F2（0，）‎ ‎∴| F‎0F1 |＝，| F‎1F2 |＝‎ 于是，，所求“果圆”方程为 ‎（x≥0），（x≤0）． ……4分 ‎（2）由题意，得a＋c＞2b，即．‎ ‎∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得 ……7分 又b2＞c2＝a2－b2，∴．‎ ‎∴．‎ ‎（3）设“果圆”的方程为（x≥0）（x≤0）‎ 记平行弦的斜率为k．‎ 当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆（x≥0）的交点是 ‎，与半椭圆（x≤0）的交点是Q（）．‎ ‎∴P、Q的中点M（x，y）满足 得．‎ ‎∵a＜2b，∴．‎ 综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分 当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆（x≥0）的交点是 由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． ……17分 当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ……18分 上海文 ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．‎ 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． ‎ y O ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ M x ‎.‎ 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求该 ‎“果圆”的方程； ‎ ‎（2）设是“果圆”的半椭圆 上任意一点．求证：当取得最小值时，‎ 在点或处；‎ ‎ （3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．‎ ‎21．解：（1） ，‎ ‎，‎ 于是，‎ 所求“果圆”方程为，． ‎ ‎（2）设，则 ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， 的最小值只能在或处取到．‎ ‎ 即当取得最小值时，在点或处． ‎ ‎ （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 当，即时，的最小值在时取到，‎ 此时的横坐标是． ‎ ‎ 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． ‎ ‎ 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或． ‎ 陕西文 ‎3.抛物线的准线方程是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎9.已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 ‎（A）a (B)b (C) (D)‎ ‎22. (本小题满分14分)‎ 已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，．‎ ‎（1）当轴时，．‎ ‎（2）当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为．‎ 由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立．当时，，‎ 综上所述．‎ 当最大时，面积取最大值．‎ 山东理 ‎（13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为 ‎，‎ ‎ (II)设，由得 ‎，‎ ‎，.‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，解得 ‎，且满足.‎ 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 全国2理 ‎11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）‎ A．9 B．‎6 ‎ C．4 D．3‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．‎ ‎20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ ‎ 即 ．‎ ‎ 得圆的方程为．‎ ‎（2）不妨设．由即得 ‎ ．‎ 设，由成等比数列，得 ‎ ，‎ 即 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于点在圆内，故 由此得．‎ 所以的取值范围为．‎ 全国2文 ‎11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且 ‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 全国1理 ‎（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．‎ ‎（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；‎ ‎（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．‎ ‎（21）证明：‎ ‎（Ⅰ）椭圆的半焦距，‎ 由知点在以线段为直径的圆上，故，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．‎ 设，，则 ‎，‎ ‎；‎ 因为与相交于点，且的斜率为，‎ 所以，．‎ 四边形的面积 ‎．‎ 当时，上式取等号．‎ ‎（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．‎ 综上，四边形的面积的最小值为．‎ 宁夏理 ‎6．已知抛物线的焦点为，‎ 点，在抛物线上，‎ 且， 则有（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．3‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程得．‎ 整理得　　　①‎ 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，‎ 解得或．即的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由方程①，．　　　②‎ 又．　　　　③‎ 而．‎ 所以与共线等价于，‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．‎ 辽宁理 ‎11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足 ‎，则= ．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．‎ 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．‎ ‎（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知 ‎．‎ 解得，‎ 所以，或，．‎ 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 ‎． 4分 解法二：设两点坐标分别为，，由题设知 ‎．‎ 又因为，，可得．即 ‎．‎ 由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．‎ 设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． 4分 ‎（II）解：设，则 ‎． 8分 在中，，由圆的几何性质得 ‎，，‎ 所以，由此可得 ‎．‎ 则的最大值为，最小值为．‎ 江西理 ‎9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）‎ Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上 Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能 ‎21．（本小题满分12分）‎ 设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．‎ ‎（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；‎ ‎（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．‎ 解法一：（1）在中，，即，‎ ‎，即（常数），‎ 点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．‎ 方程为：．‎ ‎（2）设，‎ ‎①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．‎ 即，因为，所以．‎ ‎②当不垂直于轴时，设的方程为．‎ 由得：，‎ 由题意知：，‎ 所以，．‎ 于是：．‎ 因为，且在双曲线右支上，所以 ‎．‎ 由①②知，．‎ 解法二：（1）同解法一 ‎（2）设，，的中点为．‎ ‎①当时，，‎ 因为，所以；‎ ‎②当时，．‎ 又．所以；‎ 由得，由第二定义得 ‎．‎ 所以．‎ 于是由得 因为，所以，又，‎ 解得：．由①②知．‎ 江西文 ‎7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）‎ Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外 Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能 ‎22．（本小题满分14分）‎ 设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．‎ ‎（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；‎ ‎（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．解：（1）在中，‎ ‎（小于的常数）‎ 故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．‎ 方程为．‎ ‎（2）方法一：在中，设，，，．‎ 假设为等腰直角三角形，则 由②与③得，‎ 则 由⑤得，‎ ‎，‎ 故存在满足题设条件．‎ 方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得 所以，．‎ 则．①‎ 由，可设，‎ 则，．‎ 则．②‎ 由①②得．③‎ 根据双曲线定义可得，．‎ 平方得：．④‎ 由③④消去可解得，‎ 故存在满足题设条件．‎ 江苏理 ‎3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆 上，则　　　　. ‎19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，‎ ‎（1）若，求的值；（5分）‎ ‎（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）‎ ‎（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）‎ 解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以 ‎，即，‎ 所以，即所以 ‎（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。‎ ‎（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以 因为，所以P为AB的中点。‎ ‎9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．‎ ‎（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；‎ ‎（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．解：由条件知，，设，．‎ 解法一：（I）设，则则，，‎ ‎，由得 即 于是的中点坐标为．‎ 当不与轴垂直时，，即．‎ 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ‎，即．‎ 将代入上式，化简得．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 所以点的轨迹方程是．‎ ‎（II）假设在轴上存在定点，使为常数．‎ 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 ‎．‎ 因为是与无关的常数，所以，即，此时=．‎ 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，‎ 此时．‎ 故在轴上存在定点，使为常数．‎ 解法二：（I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以．‎ ‎． ‎ 由①②③得．…………………………………………………④‎ ‎．……………………………………………………………………⑤‎ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ‎．整理得．‎ 当时，点的坐标为，满足上述方程．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 故点的轨迹方程是．‎ ‎（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，‎ 当不与轴垂直时，由（I）有，．‎ 以上同解法一的（II）．‎ 湖南文 ‎9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．‎ ‎（I）证明，为常数；‎ ‎（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．‎ ‎19．解：由条件知，设，．‎ ‎（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，‎ 此时．‎ 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入，有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 ‎．‎ 综上所述，为常数．‎ ‎（II）解法一：设，则，，‎ ‎，，由得：‎ 即 于是的中点坐标为．‎ 当不与轴垂直时，，即．‎ 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ‎，即．‎ 将代入上式，化简得．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 所以点的轨迹方程是．‎ 解法二：同解法一得……………………………………①‎ 当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②‎ ‎．………………………③‎ 由①②③得．…………………………………………………④‎ ‎．……………………………………………………………………⑤‎ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ‎．整理得．‎ 当时，点的坐标为，满足上述方程．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 故点的轨迹方程是．‎ 湖北理 ‎7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）‎ A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．‎ ‎（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；‎ ‎（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）‎ A B x y N C O ‎19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．‎ 解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，‎ 直线的方程为，与联立得消去得．‎ N O A C B y x 由韦达定理得，．‎ 于是．‎ ‎，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ 的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，‎ N O A C B y x l 则，点的坐标为．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎，‎ 又由点到直线的距离公式得．‎ 从而，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线方程代入得，‎ 则．‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，‎ 则有．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 湖北文 ‎12．过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则 的值为______．‎ 广东理 ‎11．在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是 ．‎ ‎18． (本小题满分14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于 坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．‎ ‎ (1)求圆的方程；‎ ‎ (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 ‎=2‎ 即=4 ① ‎ 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ②‎ 联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8‎ ‎ (2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1‎ 其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。‎ 要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。‎ 通过联立两圆的方程解得x=，y=‎ 即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。‎ 广东文 ‎11．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．‎ ‎19(本小题满分14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于 坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．‎ ‎ (1)求圆的方程；‎ ‎ (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)‎ ‎ 则 解得 ‎ 所求的圆的方程为 ‎ ‎(2) 由已知可得 ‎ ‎ 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;‎ ‎ 假设存在Q点使,‎ ‎ 整理得 代入 得:‎ ‎ , ‎ ‎ 因此不存在符合题意的Q点.‎ 福建理 ‎6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ O y x ‎1‎ l F ‎20．（本小题满分12分）如图，已知点，‎ 直线，为平面上的动点，过作直线 的垂线，垂足为点，且．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；‎ ‎20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．‎ P B Q M F O A x y 解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：‎ ‎．‎ 设，，又，‎ 联立方程组，消去得：‎ ‎，，故 由，得：‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）由已知，，得．‎ 则：．…………①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，‎ 则有：．…………②‎ 由①②得：，即．‎ 福建文 ‎10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．‎ ‎（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．‎ P B Q M F O A x y 解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得．‎ ‎（Ⅱ）（1）设直线的方程为：‎ ‎．‎ 设，，又，‎ 联立方程组，消去得：，，‎ 由，得：‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）（1）由已知，，得．‎ 则：．…………①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，‎ 则有：．…………②‎ 由①②得：，即．‎ ‎（Ⅱ）（2）解：由解法一，‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．‎ 北京理 ‎17．（本小题共14分）‎ 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ ‎17．（共14分）‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为．‎ ‎．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，‎ 即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．‎ 所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ 北京文 ‎4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若 ‎，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ ‎19．（共14分）‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为．‎ ‎．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，‎ 即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．‎ 所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ 安徽理 ‎（9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（14）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . ‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.‎ ‎（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；‎ ‎（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：‎ 直线CD的斜率为定值.‎ ‎19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．‎ x y B A O a Ｃ D 解：（Ⅰ）由题意知，．‎ 因为，所以．‎ 由于，故有．　（1）‎ 由点的坐标知，‎ 直线的方程为．‎ 又因点在直线上，故有，‎ 将（1）代入上式，得，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为 ‎．‎ 所以直线的斜率为定值．‎ 安徽文 ‎（2）椭圆的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（18）（本小题满分14分）‎ ‎　　　设F是抛物线G:x2=4y的焦点.‎ ‎　　　（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：‎ ‎（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.‎ ‎18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．‎ 解：（I）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为．‎ 即．‎ 因为点在切线上．‎ 所以，，．‎ 所求切线方程为．‎ ‎（II）设，．‎ 由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．‎ 因直线过焦点，所以直线的方程为．‎ 点的坐标满足方程组 得，‎ 由根与系数的关系知 ‎．‎ 因为，所以的斜率为，从而的方程为．‎ 同理可求得．‎ ‎．‎ 当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．‎