2006重庆高考数学理科真题及解析

2006重庆高考数学理科真题及解析

绝密　*　启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。 ‎ ‎　　4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。　‎ ‎　　5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。‎ ‎　　参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) . 　　　　　　‎ 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B) 　　　　　　　‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k ‎ 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=‎ ‎(A){1,6} (B){4,5}‎ ‎(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}‎ ‎ (2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 ‎（A）48 (B)54 (C)60 (D)66‎ ‎(3)过坐标原点且与x2｜y2 4x｜2y+=0相切的直线的方程为 ‎（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x ‎ ‎（C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x ‎ ‎(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l ‎(A)平行　　　　　　　　　　　　　　（B）相交 ‎(C)垂直 (D)互为异面直线 ‎（5）若　n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ‎(A)-540 (B)‎ ‎(c)162 (D)540‎ ‎(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30‎ ‎(C)40 （D）50‎ ‎(7)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是 ‎(A) (B) 或 ‎（C） （D）或 ‎（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 ‎（A）３０种　　　　　　　　　　　　（B）９０种 ‎（C）１８０种　　　　　　　　　　　（D）２７０种 ‎（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 　　　‎ 题　（９）图 ‎　　　　　 ‎ ‎（１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则‎2a+b+c的最小值为 ‎（A）-1 (B) +1‎ ‎(C) 2+2 (D) 2-2‎ 一、 填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 ‎（11）复数复数的值是_________.‎ ‎ (12)_________.‎ ‎(13)已知，sin()=－ sin则os=________.‎ ‎(14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.‎ ‎(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为_______.‎ ‎(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.‎ 二、 解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.‎ ‎（１８）（本小题满分13分）‎ 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5‎ 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：‎ ‎（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；‎ ‎（Ⅱ）随机变量ξ的期望.‎ ‎（１９）（本小题满分１３分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、‎ F分别为PC、CD的中点.‎ ‎（Ⅰ）试证：CD平面BEF;‎ ‎（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.‎ ‎（20）(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.　　　　　　　　图(19)图 ‎（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.‎ ‎（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);‎ ‎（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);‎ ‎（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).‎ 图(２２)图 ‎（20）(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.‎ ‎（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.‎ ‎（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);‎ ‎（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);‎ ‎（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).‎ 图(２２)图 部分参考答案 ‎(18)(本小题13分)‎ 解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.‎ 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)==, P(ξ=1)= ‎ P(ξ=2)= =, P(ξ=3)= ‎ P(ξ=4)= =, P(ξ=5)= ‎ 从而ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×‎ ‎ ==.‎ 解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.‎ 故ξ－B,即有 P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.‎ 由此计算ξ的分布列如解法一.‎ 解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二.‎ ‎（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.‎ 即3Eξ=5,从而Eξ=.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD 是矩形，从而CDBF.‎ 又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别 PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 　　　第（19）图１‎ ‎（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因 PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.‎ 设AB=a,则在△PAC中，有 BG=PA=ka.‎ 以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.‎ 因S△CBD=BD·GH=GB·OF.‎ 故GH=.‎ 在△ABD中，因为AB＝a,AD=‎2A,得BD=a　　　　　　　　　　第（19）图２‎ 而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得 GH== ＝‎ 因此tanEHG==‎ 由k＞0知是锐角，故要使＞，必须 ‎＞tan=‎ 解之得，k的取值范围为k＞‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(‎2a,‎2a,0),D(0,‎2a,0),‎ F(a,‎2a,0).‎ 从而=(‎2a,0,0), =(0,‎2a,0), 　　　　‎ ‎·=0,故 .‎ 设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）３‎ E.从而=.‎ ‎·=0,故.‎ 由此得CD面BEF.‎ ‎（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.‎ 从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.‎ 由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).‎ 设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,‎2a,0),‎ 由·=0得=a(x-a)+‎2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①‎ 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即 ‎2x+y=‎2a ②‎ 由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.‎ tanEHG===.‎ 由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即 ‎＞‎ 故k的取值范围为k＞.‎ ‎(20)（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..‎ 因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；‎ x1=－＜x2=－‎ 令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；‎ 又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.‎ 故当xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.‎ ‎（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此 ‎.‎ 所以，由已知条件得 ‎ b+e=4‎ ‎ b2≤4(e-1),‎ 因此b2+4b-12≤0.‎ 解得-6≤b≤2.‎ ‎(21)（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.‎ 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.‎ 若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.‎ ‎（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.‎ 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.‎ 所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.‎ 在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,‎ 又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.‎ 若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即 f(x)= x2 –x.‎ 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.‎ 若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.‎ 综上，所求函数为 f(x)= x2 –x+1（xR）.‎ ‎（22）（本小题12分）‎ 证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 ‎　　　　‎ ‎ 设 ‎ ‎ 因此，由题意应满足 即 即,‎ 从而对任意 ‎（Ⅱ）设点 ‎ ‎ ‎ ‎ 得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.‎ ‎　　　现在由题设取是增数列.又易知 ‎　　　‎ 故由前已证，知 ‎2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）‎ 数学（理工科）‎ 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ）‎ ‎ A、3 B、‎4 ‎ C、5 D、6‎ ‎ 2、命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ ‎ A、若≥，则≥或≤ B、若，则 ‎ C、若或，则 D、若≥或≤，则≥‎ ‎ 3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）‎ ‎ A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分 ‎ 4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）‎ ‎ A、10 B、‎20 ‎ C、30 D、120‎ ‎ 5、在中，，则等于（ ）‎ ‎ A、 B、 C、2 D、‎ ‎ 6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 8、设正数满足等于（ ）‎ ‎ A、0 B、 C、 D、1‎ ‎ 9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ D C B A ‎ 10、如右图，在四边形ABCD中，‎ ‎，，，则的值为（ ）‎ ‎ A、2 B、 C、4 D、‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.‎ ‎ 11、复数的虚部为_______________.‎ ‎ 12、已知满足则函数的最大值是____________.‎ ‎ 13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.‎ ‎ 14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.‎ ‎ 15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）‎ ‎ 16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）‎ ‎ 设.‎ ‎ （Ⅰ）求的最大值及最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）若锐角满足，求的值.‎ ‎ 18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）‎ ‎ 某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900‎ 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：‎ ‎ （Ⅰ）获赔的概率；‎ ‎ （Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.‎ ‎ 19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）‎ ‎ 如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.‎ ‎ （Ⅰ）求异面直线与的距离；‎ C E D A1‎ B1‎ C1‎ C B A ‎ （Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.‎ ‎ 20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）‎ ‎ 已知函数在处取得极值 ‎，其中a、b为常数.‎ ‎ （Ⅰ）试确定a、b的值；‎ ‎ （Ⅱ）讨论函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎ 21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）‎ ‎ 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：‎ ‎ .‎ ‎ 22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ ‎ 如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：‎ O F P3‎ P2‎ P1‎ ‎ 为定值，并求此定值.‎ ‎2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）‎ 数学参考答案（理工科）‎ 一、选择题 ‎ ADCBA CBBDC 二、填空题：‎ ‎ 11、 12、7 13、‎ ‎ 14、18 15、25 16、‎ 三、解答题：‎ ‎ 17、解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 故的最大值为； 最小正周期.‎ ‎ （Ⅱ）由得，故.‎ ‎ 又由得，故，解得.‎ ‎ 从而.‎ ‎ 18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.‎ ‎ 由题意知独立，且.‎ ‎ （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 ‎ .‎ ‎ （Ⅱ）的所有可能值为.‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ 综上知，的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎9000‎ ‎18000‎ ‎27000‎ P ‎ 求的期望有两种解法：‎ ‎ 解法一：由的分布列得 ‎ （元）‎ ‎ 解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，‎ ‎ 则有分布列 ‎0‎ ‎9000‎ P ‎ 故.‎ ‎ 同理得.‎ ‎ 综上有 ‎ （元）.‎ ‎ 19、解法一：‎ ‎ （Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B‎1C1⊥B1E，又 ‎ B1E⊥DE，故B1E是异面直线B‎1C1与DE的公垂线.‎ ‎ 设BD的长度为，则四棱椎的体积为 ‎ .‎ ‎ 而直三棱柱的体积为.‎ B1‎ F C E D A1‎ C1‎ C B A ‎ 由已知条件，故，解得.‎ ‎ 从而B1D.‎ ‎ 又直角三角形中，‎ ‎ ,‎ ‎ 又因.‎ ‎ 故.‎ ‎ （Ⅱ）如右图，过B1作B‎1F⊥C1D，垂足为F，连接A‎1F.因A1B1⊥B‎1C1，A1B1⊥B1D，‎ ‎ 故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A‎1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.‎ ‎ 在直角中，，‎ ‎ 又因，故 ‎ ，所以.‎ ‎ 20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.‎ ‎ 又对求导得.‎ ‎ 由题意，因此，解得.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.‎ ‎ 当时，，此时为减函数；‎ ‎ 当时，，此时为增函数.‎ ‎ 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.‎ ‎ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.‎ ‎ 要使恒成立，只需.‎ ‎ 即，从而.‎ ‎ 解得或.‎ ‎ 所以的取值范围为 ‎ 21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因 此.‎ ‎ 又由，得 ‎ ，即或.‎ ‎ 因，故不成立，舍去.‎ ‎ 因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为 ‎ .‎ ‎ （Ⅱ）证法一：由可解得 ‎ 从而.‎ ‎ 因此.‎ ‎ 令，则 ‎ .‎ ‎ 因，故.‎ ‎ 特别地，从而，‎ ‎ 即.‎ ‎ 证法二：同证法一求得及.‎ ‎ 由二项式定理知，当时，不等式成立.‎ ‎ 由此不等式有 ‎ ‎.‎ ‎ 证法三：同证法一求得及.‎ ‎ 令.‎ ‎ 因，因此.‎ ‎ 从而 ‎ ‎ 证法四：同证法一求得及.‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：.‎ ‎ 当时，，因此，结论成立.‎ ‎ 假设结论当时成立，即，则当时，‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 因，故.‎ ‎ 从而.这就是说当时结论也成立.‎ ‎ 综上对任何成立.‎ A Q1‎ O F P3‎ P2‎ P1‎ ‎ 22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.‎ ‎ 因焦点为，故半焦距.又右 ‎ 准线的方程为，从而由已知 ‎ ，‎ ‎ 因此.‎ ‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎ （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设 ‎ ，且.‎ ‎ 又设在上的射影为，因椭圆的离心率，‎ ‎ 从而有.‎ ‎ 解得. 因此 ‎ ，‎ ‎ 而 ‎ ，‎ ‎ 故为定值.‎ 绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 ‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么　　　P(A+B)=P(A)+P(B) 　‎ 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　‎ Pn(K)=kmPk(1-P)n-k 以R为半径的球的体积V=πR3.‎ 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）复数1+=‎ ‎(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3‎ ‎(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ‎(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是 ‎(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 ‎(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 ‎ ‎(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为 ‎(A)－ (B) － (C) (D) ‎ ‎(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为 ‎（A）－=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎ (9)‎ 如题（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 ‎（A）V1> (B) V2<‎ ‎（C）V1> V2 （D）V1< V2‎ ‎(10)函数f(x)=() 的值域是 ‎（A）[-] (B)[-1,0]‎ ‎（C）[-] （D）[-]‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 ‎（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB) = .‎ ‎（12）已知函数f(x)= ，在点x=0处连续，则 .‎ ‎(13)已知 (a>0) ，则 .‎ ‎(14)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ ‎(15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .‎ ‎(16)‎ 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种（用数字作答）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）‎ 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：‎ ‎（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）cotB+cot C的值.‎ ‎（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：‎ ‎（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；‎ ‎（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.‎ ‎（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使 ‎,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.‎ ‎（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）‎ ‎　　　设函数曲线y=f(x)通过点（0，‎2a+3），且在点（-1，f（-1））‎ 处的切线垂直于y轴.‎ ‎（Ⅰ）用a分别表示b和c；‎ ‎（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　如图（21）图，M（-2，0）和N ‎（2，0）是平面上的两点，动点P满足：‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求点P的坐标.‎ ‎（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　设各项均为正数的数列{an}满足.‎ ‎（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；‎ ‎（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题5分，满分50分.‎ ‎（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C ‎（7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：每小题4分，满分24分.‎ ‎（11） （12） （13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216‎ 三、解答题：满分76分.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ ‎　　　解：（Ⅰ）由余弦定理得 ‎＝‎ 故 ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　由正弦定理和（Ⅰ）的结论得 ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　故 ‎　　解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　　＝‎ ‎　　　　　故 ‎　　　　　同理可得 ‎　　　　‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　　　从而 ‎（18）（本小题13分）‎ ‎　　　解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.‎ ‎　　　　（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比 赛还未停止的概率为 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎ 　　　故有分布列 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　从而（局）.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ ‎　　　解法一：‎ ‎　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而 AD⊥DE.‎ 在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从 而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.‎ 下求DB之长.在答（19）图1中，由，得 又已知DE=3,从而 ‎ ‎ 因 ‎（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，‎ AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面 角.‎ 在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,‎ 因此 从而在Rt△DFE中，DE=3,‎ 在 因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、‎ y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），‎ ‎，E（0，3，0）.‎ 过D作DF⊥CE,交CE的延长线 于F，连接AF.‎ 设从而 ‎ ，有 ‎ ①‎ ‎ 又由 ②‎ ‎ 联立①、②，解得 ‎ 因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 ‎ 因此所求二面角A-EC-B的大小为 ‎(20)（本小题13分）‎ 解：(Ⅰ)因为 ‎ 又因为曲线通过点（0，‎2a+3）,‎ ‎ 故 ‎ 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 ‎ 即‎-2a+b=0,因此b=‎2a.‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎ 故当时，取得最小值-.‎ ‎ 此时有 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 令，解得 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.‎ ‎(21)（本小题12分）‎ ‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长‎2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②，得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为 ‎(22)(本小题12分)‎ ‎ 解：(Ⅰ)因 ‎ ‎ ‎ 由此有，故猜想的通项为 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）令 ‎ 由题设知x1=1且 ‎ ①‎ ‎ ‎ ‎ ②‎ ‎ 因②式对n=2成立，有 ‎ ③‎ ‎ 下用反证法证明：‎ ‎ 由①得 ‎ 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 ‎ ④‎ ‎ 又由①知 ‎ ‎ 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 ‎ ⑤‎ ‎ 由④-⑤得 ‎ ⑥‎ ‎ 对n求和得 ‎ ⑦‎ ‎ 由题设知 ‎ ‎ ‎ 即不等式 ‎ ‎ ‎22k+1＜‎ 对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.‎ 因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=‎ 将x2=代入⑦式得 Sn=2－(nN*),‎ 所以bn=2Sn=22－(nN*)‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．‎ ‎5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 ‎ ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 以为半径的球体积：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．的展开式中的系数是（ ）‎ A．16 B．‎70 ‎ C．560 D．1120‎ ‎4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，其中，则的值为（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．若，，则 ．‎ ‎12．若是奇函数，则 ． ‎ ‎13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．‎ ‎14．设，，，，则数列的通项公式= ．‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为 ‎，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期． ‎ ‎（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ ‎17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：‎ ‎（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；‎ ‎（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．‎ ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）‎ 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：‎ ‎（Ⅰ）点到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的大小 ‎ ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．‎ ‎（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；‎ ‎（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；‎ 绝密★启用前 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题（理工农医类）答案 一、 选择题：每小题5分，满分50分 .‎ ‎(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C ‎(7) C (8) D (9) B (10) B.‎ 二．填空题：每小题5分，满分25分 .‎ ‎(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )‎ 三．解答题：满分75分 .‎ ‎(16)（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 故的最小正周期为T = =8‎ ‎ (Ⅱ)解法一：‎ ‎ 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .‎ ‎　　由题设条件，点在的图象上，从而 ‎ ‎ ‎　　　　　　　　　 =‎ ‎ =‎ ‎ 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎　　　‎ ‎　　解法二：‎ ‎ 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于 ‎　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值 ‎　　由（Ⅰ）知＝‎ ‎ 当时，‎ ‎　　　因此在上的最大值为 ‎　　　　　　　 .‎ ‎(17)（本小题13分）‎ 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2‎ ‎　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2‎ ‎　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎　　 , , .‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎　　　　　.‎ ‎ (Ⅱ) 解法一：‎ ‎　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而，的期望为 ‎（株）‎ 解法二：‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 从而知 ‎18、（本小题13分）‎ 解（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而 由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知 该切线斜率为2，即 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 令 ‎（1）当 ‎（2）当 K=1时，g（x）在R上为增函数 ‎（3）方程有两个不相等实根 当函数 当时，故上为减函数 时，故上为增函数 ‎（19）（本小题12分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。‎ 因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中 ‎(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.‎ 由于E为BS边中点，故,在中，‎ ‎,因，又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中，‎ 在中，可得，故所求二面角的大小为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.‎ ‎(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.‎ ΔBCS为直角三角形 ,‎ 知 ‎ 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .‎ 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .‎ 由故 ‎ ①　‎ 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②‎ 联立①、②，解得G＝　,‎ 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .‎ 因为=，,所以 ‎ ‎ 故所求的二面角的大小为 .‎ ‎(20)（本小题12分）‎ ‎　　解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.‎ ‎ 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .‎ ‎ 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,‎ ‎ 从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.‎ ‎（II）如图（20）图，设 ‎ .因为，故 ‎ ①‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 . ②‎ 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点 所以 ‎ 由因为 ，结合①，②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故动点P的估计方程为 ‎（21）（本小题12分）‎ ‎ 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 ‎ 解得或（舍去）。因此 ‎ 又 。解得 ‎ 从而当时，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 ‎ ‎（II）由题意得 有①得 ④‎ 由①，②，③得， ‎ 故. ⑤‎ 又，故有 ‎.⑥‎ 下面反证法证明：‎ 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ‎④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 绝密　*　启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。 ‎ ‎　　4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。　‎ ‎　　5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。‎ ‎　　参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) . 　　　　　　‎ 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B) 　　　　　　　‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k ‎ 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=‎ ‎(A){1,6} (B){4,5}‎ ‎(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}‎ ‎ (2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 ‎（A）48 (B)54 (C)60 (D)66‎ ‎(3)过坐标原点且与x2｜y2 4x｜2y+=0相切的直线的方程为 ‎（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x ‎ ‎（C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x ‎ ‎(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l ‎(A)平行　　　　　　　　　　　　　　（B）相交 ‎(C)垂直 (D)互为异面直线 ‎（5）若　n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ‎(A)-540 (B)‎ ‎(c)162 (D)540‎ ‎(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30‎ ‎(C)40 （D）50‎ ‎(7)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是 ‎(A) (B) 或 ‎（C） （D）或 ‎（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 ‎（A）３０种　　　　　　　　　　　　（B）９０种 ‎（C）１８０种　　　　　　　　　　　（D）２７０种 ‎（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 　　　‎ 题　（９）图 ‎　　　　　 ‎ ‎（１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则‎2a+b+c的最小值为 ‎（A）-1 (B) +1‎ ‎(C) 2+2 (D) 2-2‎ 一、 填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 ‎（11）复数复数的值是_________.‎ ‎ (12)_________.‎ ‎(13)已知，sin()=－ sin则os=________.‎ ‎(14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.‎ ‎(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为_______.‎ ‎(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.‎ 二、 解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.‎ ‎（１８）（本小题满分13分）‎ 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5‎ 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：‎ ‎（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；‎ ‎（Ⅱ）随机变量ξ的期望.‎ ‎（１９）（本小题满分１３分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.‎ ‎（Ⅰ）试证：CD平面BEF;‎ ‎（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.‎ ‎（20）(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.　　　　　　　　图(19)图 ‎（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.‎ ‎（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);‎ ‎（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);‎ ‎（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).‎ 图(２２)图 ‎（20）(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.‎ ‎（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.‎ ‎（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);‎ ‎（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);‎ ‎（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).‎ 图(２２)图 部分参考答案 ‎(18)(本小题13分)‎ 解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.‎ 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)==, P(ξ=1)= ‎ P(ξ=2)= =, P(ξ=3)= ‎ P(ξ=4)= =, P(ξ=5)= ‎ 从而ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×‎ ‎ ==.‎ 解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.‎ 故ξ－B,即有 P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.‎ 由此计算ξ的分布列如解法一.‎ 解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二.‎ ‎（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.‎ 即3Eξ=5,从而Eξ=.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD 是矩形，从而CDBF.‎ 又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别 PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 　　　第（19）图１‎ ‎（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因 PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.‎ 设AB=a,则在△PAC中，有 BG=PA=ka.‎ 以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.‎ 因S△CBD=BD·GH=GB·OF.‎ 故GH=.‎ 在△ABD中，因为AB＝a,AD=‎2A,得BD=a　　　　　　　　　　第（19）图２‎ 而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得 GH== ＝‎ 因此tanEHG==‎ 由k＞0知是锐角，故要使＞，必须 ‎＞tan=‎ 解之得，k的取值范围为k＞‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(‎2a,‎2a,0),D(0,‎2a,0),‎ F(a,‎2a,0).‎ 从而=(‎2a,0,0), =(0,‎2a,0), 　　　　‎ ‎·=0,故 .‎ 设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）３‎ E.从而=.‎ ‎·=0,故.‎ 由此得CD面BEF.‎ ‎（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.‎ 从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.‎ 由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).‎ 设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,‎2a,0),‎ 由·=0得=a(x-a)+‎2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①‎ 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即 ‎2x+y=‎2a ②‎ 由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.‎ tanEHG===.‎ 由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即 ‎＞‎ 故k的取值范围为k＞.‎ ‎(20)（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..‎ 因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；‎ x1=－＜x2=－‎ 令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；‎ 又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.‎ 故当xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.‎ ‎（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此 ‎.‎ 所以，由已知条件得 ‎ b+e=4‎ ‎ b2≤4(e-1),‎ 因此b2+4b-12≤0.‎ 解得-6≤b≤2.‎ ‎(21)（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.‎ 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.‎ 若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.‎ ‎（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.‎ 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.‎ 所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.‎ 在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,‎ 又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.‎ 若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即 f(x)= x2 –x.‎ 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.‎ 若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.‎ 综上，所求函数为 f(x)= x2 –x+1（xR）.‎ ‎（22）（本小题12分）‎ 证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 ‎　　　　‎ ‎ 设 ‎ ‎ 因此，由题意应满足 即 即,‎ 从而对任意 ‎（Ⅱ）设点 ‎ ‎ ‎ ‎ 得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.‎ ‎　　　现在由题设取是增数列.又易知 ‎　　　‎ 故由前已证，知 ‎2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）‎ 数学（理工科）‎ 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ）‎ ‎ A、3 B、‎4 ‎ C、5 D、6‎ ‎ 2、命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ ‎ A、若≥，则≥或≤ B、若，则 ‎ C、若或，则 D、若≥或≤，则≥‎ ‎ 3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）‎ ‎ A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分 ‎ 4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）‎ ‎ A、10 B、‎20 ‎ C、30 D、120‎ ‎ 5、在中，，则等于（ ）‎ ‎ A、 B、 C、2 D、‎ ‎ 6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 8、设正数满足等于（ ）‎ ‎ A、0 B、 C、 D、1‎ ‎ 9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ D C B A ‎ 10、如右图，在四边形ABCD中，‎ ‎，，，则的值为（ ）‎ ‎ A、2 B、 C、4 D、‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.‎ ‎ 11、复数的虚部为_______________.‎ ‎ 12、已知满足则函数的最大值是____________.‎ ‎ 13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.‎ ‎ 14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.‎ ‎ 15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）‎ ‎ 16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）‎ ‎ 设.‎ ‎ （Ⅰ）求的最大值及最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）若锐角满足，求的值.‎ ‎ 18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）‎ ‎ 某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900‎ 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：‎ ‎ （Ⅰ）获赔的概率；‎ ‎ （Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.‎ ‎ 19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）‎ ‎ 如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.‎ ‎ （Ⅰ）求异面直线与的距离；‎ C E D A1‎ B1‎ C1‎ C B A ‎ （Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.‎ ‎ 20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）‎ ‎ 已知函数在处取得极值 ‎，其中a、b为常数.‎ ‎ （Ⅰ）试确定a、b的值；‎ ‎ （Ⅱ）讨论函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎ 21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）‎ ‎ 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：‎ ‎ .‎ ‎ 22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ ‎ 如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：‎ O F P3‎ P2‎ P1‎ ‎ 为定值，并求此定值.‎ ‎2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）‎ 数学参考答案（理工科）‎ 一、选择题 ‎ ADCBA CBBDC 二、填空题：‎ ‎ 11、 12、7 13、‎ ‎ 14、18 15、25 16、‎ 三、解答题：‎ ‎ 17、解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 故的最大值为； 最小正周期.‎ ‎ （Ⅱ）由得，故.‎ ‎ 又由得，故，解得.‎ ‎ 从而.‎ ‎ 18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.‎ ‎ 由题意知独立，且.‎ ‎ （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 ‎ .‎ ‎ （Ⅱ）的所有可能值为.‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ 综上知，的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎9000‎ ‎18000‎ ‎27000‎ P ‎ 求的期望有两种解法：‎ ‎ 解法一：由的分布列得 ‎ （元）‎ ‎ 解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，‎ ‎ 则有分布列 ‎0‎ ‎9000‎ P ‎ 故.‎ ‎ 同理得.‎ ‎ 综上有 ‎ （元）.‎ ‎ 19、解法一：‎ ‎ （Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B‎1C1⊥B1E，又 ‎ B1E⊥DE，故B1E是异面直线B‎1C1与DE的公垂线.‎ ‎ 设BD的长度为，则四棱椎的体积为 ‎ .‎ ‎ 而直三棱柱的体积为.‎ B1‎ F C E D A1‎ C1‎ C B A ‎ 由已知条件，故，解得.‎ ‎ 从而B1D.‎ ‎ 又直角三角形中，‎ ‎ ,‎ ‎ 又因.‎ ‎ 故.‎ ‎ （Ⅱ）如右图，过B1作B‎1F⊥C1D，垂足为F，连接A‎1F.因A1B1⊥B‎1C1，A1B1⊥B1D，‎ ‎ 故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A‎1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.‎ ‎ 在直角中，，‎ ‎ 又因，故 ‎ ，所以.‎ ‎ 20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.‎ ‎ 又对求导得.‎ ‎ 由题意，因此，解得.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.‎ ‎ 当时，，此时为减函数；‎ ‎ 当时，，此时为增函数.‎ ‎ 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.‎ ‎ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.‎ ‎ 要使恒成立，只需.‎ ‎ 即，从而.‎ ‎ 解得或.‎ ‎ 所以的取值范围为 ‎ 21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因 此.‎ ‎ 又由，得 ‎ ，即或.‎ ‎ 因，故不成立，舍去.‎ ‎ 因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为 ‎ .‎ ‎ （Ⅱ）证法一：由可解得 ‎ 从而.‎ ‎ 因此.‎ ‎ 令，则 ‎ .‎ ‎ 因，故.‎ ‎ 特别地，从而，‎ ‎ 即.‎ ‎ 证法二：同证法一求得及.‎ ‎ 由二项式定理知，当时，不等式成立.‎ ‎ 由此不等式有 ‎ ‎.‎ ‎ 证法三：同证法一求得及.‎ ‎ 令.‎ ‎ 因，因此.‎ ‎ 从而 ‎ ‎ 证法四：同证法一求得及.‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：.‎ ‎ 当时，，因此，结论成立.‎ ‎ 假设结论当时成立，即，则当时，‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 因，故.‎ ‎ 从而.这就是说当时结论也成立.‎ ‎ 综上对任何成立.‎ A Q1‎ O F P3‎ P2‎ P1‎ ‎ 22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.‎ ‎ 因焦点为，故半焦距.又右 ‎ 准线的方程为，从而由已知 ‎ ，‎ ‎ 因此.‎ ‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎ （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设 ‎ ，且.‎ ‎ 又设在上的射影为，因椭圆的离心率，‎ ‎ 从而有.‎ ‎ 解得. 因此 ‎ ，‎ ‎ 而 ‎ ，‎ ‎ 故为定值.‎ 绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 ‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么　　　P(A+B)=P(A)+P(B) 　‎ 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　‎ Pn(K)=kmPk(1-P)n-k 以R为半径的球的体积V=πR3.‎ 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）复数1+=‎ ‎(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3‎ ‎(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ‎(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是 ‎(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 ‎(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 ‎ ‎(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为 ‎(A)－ (B) － (C) (D) ‎ ‎(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为 ‎（A）－=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎ (9)‎ 如题（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 ‎（A）V1> (B) V2<‎ ‎（C）V1> V2 （D）V1< V2‎ ‎(10)函数f(x)=() 的值域是 ‎（A）[-] (B)[-1,0]‎ ‎（C）[-] （D）[-]‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 ‎（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB) = .‎ ‎（12）已知函数f(x)= ，在点x=0处连续，则 .‎ ‎(13)已知 (a>0) ，则 .‎ ‎(14)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ ‎(15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .‎ ‎(16)‎ 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种（用数字作答）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）‎ 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：‎ ‎（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）cotB+cot C的值.‎ ‎（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：‎ ‎（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；‎ ‎（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.‎ ‎（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使 ‎,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.‎ ‎（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）‎ ‎　　　设函数曲线y=f(x)通过点（0，‎2a+3），且在点（-1，f（-1））‎ 处的切线垂直于y轴.‎ ‎（Ⅰ）用a分别表示b和c；‎ ‎（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　如图（21）图，M（-2，0）和N ‎（2，0）是平面上的两点，动点P满足：‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求点P的坐标.‎ ‎（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　设各项均为正数的数列{an}满足.‎ ‎（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；‎ ‎（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题5分，满分50分.‎ ‎（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C ‎（7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：每小题4分，满分24分.‎ ‎（11） （12） （13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216‎ 三、解答题：满分76分.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ ‎　　　解：（Ⅰ）由余弦定理得 ‎＝‎ 故 ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　由正弦定理和（Ⅰ）的结论得 ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　故 ‎　　解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　　＝‎ ‎　　　　　故 ‎　　　　　同理可得 ‎　　　　‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　　　从而 ‎（18）（本小题13分）‎ ‎　　　解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.‎ ‎　　　　（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比 赛还未停止的概率为 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎ 　　　故有分布列 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　从而（局）.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ ‎　　　解法一：‎ ‎　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而 AD⊥DE.‎ 在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从 而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.‎ 下求DB之长.在答（19）图1中，由，得 又已知DE=3,从而 ‎ ‎ 因 ‎（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，‎ AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面 角.‎ 在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,‎ 因此 从而在Rt△DFE中，DE=3,‎ 在 因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、‎ y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），‎ ‎，E（0，3，0）.‎ 过D作DF⊥CE,交CE的延长线 于F，连接AF.‎ 设从而 ‎ ，有 ‎ ①‎ ‎ 又由 ②‎ ‎ 联立①、②，解得 ‎ 因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 ‎ 因此所求二面角A-EC-B的大小为 ‎(20)（本小题13分）‎ 解：(Ⅰ)因为 ‎ 又因为曲线通过点（0，‎2a+3）,‎ ‎ 故 ‎ 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 ‎ 即‎-2a+b=0,因此b=‎2a.‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎ 故当时，取得最小值-.‎ ‎ 此时有 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 令，解得 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.‎ ‎(21)（本小题12分）‎ ‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长‎2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②，得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为 ‎(22)(本小题12分)‎ ‎ 解：(Ⅰ)因 ‎ ‎ ‎ 由此有，故猜想的通项为 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）令 ‎ 由题设知x1=1且 ‎ ①‎ ‎ ‎ ‎ ②‎ ‎ 因②式对n=2成立，有 ‎ ③‎ ‎ 下用反证法证明：‎ ‎ 由①得 ‎ 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 ‎ ④‎ ‎ 又由①知 ‎ ‎ 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 ‎ ⑤‎ ‎ 由④-⑤得 ‎ ⑥‎ ‎ 对n求和得 ‎ ⑦‎ ‎ 由题设知 ‎ ‎ ‎ 即不等式 ‎ ‎ ‎22k+1＜‎ 对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.‎ 因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=‎ 将x2=代入⑦式得 Sn=2－(nN*),‎ 所以bn=2Sn=22－(nN*)‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．‎ ‎5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 ‎ ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 以为半径的球体积：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．的展开式中的系数是（ ）‎ A．16 B．‎70 ‎ C．560 D．1120‎ ‎4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，其中，则的值为（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．若，，则 ．‎ ‎12．若是奇函数，则 ． ‎ ‎13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．‎ ‎14．设，，，，则数列的通项公式= ．‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为 ‎，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期． ‎ ‎（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ ‎17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：‎ ‎（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；‎ ‎（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．‎ ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）‎ 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：‎ ‎（Ⅰ）点到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的大小 ‎ ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．‎ ‎（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；‎ ‎（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；‎ 绝密★启用前 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题（理工农医类）答案 一、 选择题：每小题5分，满分50分 .‎ ‎(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C ‎(7) C (8) D (9) B (10) B.‎ 二．填空题：每小题5分，满分25分 .‎ ‎(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )‎ 三．解答题：满分75分 .‎ ‎(16)（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 故的最小正周期为T = =8‎ ‎ (Ⅱ)解法一：‎ ‎ 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .‎ ‎　　由题设条件，点在的图象上，从而 ‎ ‎ ‎　　　　　　　　　 =‎ ‎ =‎ ‎ 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎　　　‎ ‎　　解法二：‎ ‎ 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于 ‎　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值 ‎　　由（Ⅰ）知＝‎ ‎ 当时，‎ ‎　　　因此在上的最大值为 ‎　　　　　　　 .‎ ‎(17)（本小题13分）‎ 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2‎ ‎　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2‎ ‎　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎　　 , , .‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎　　　　　.‎ ‎ (Ⅱ) 解法一：‎ ‎　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而，的期望为 ‎（株）‎ 解法二：‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 从而知 ‎18、（本小题13分）‎ 解（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而 由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知 该切线斜率为2，即 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 令 ‎（1）当 ‎（2）当 K=1时，g（x）在R上为增函数 ‎（3）方程有两个不相等实根 当函数 当时，故上为减函数 时，故上为增函数 ‎（19）（本小题12分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。‎ 因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中 ‎(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.‎ 由于E为BS边中点，故,在中，‎ ‎,因，又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中，‎ 在中，可得，故所求二面角的大小为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.‎ ‎(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.‎ ΔBCS为直角三角形 ,‎ 知 ‎ 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .‎ 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .‎ 由故 ‎ ①　‎ 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②‎ 联立①、②，解得G＝　,‎ 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .‎ 因为=，,所以 ‎ ‎ 故所求的二面角的大小为 .‎ ‎(20)（本小题12分）‎ ‎　　解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.‎ ‎ 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .‎ ‎ 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,‎ ‎ 从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.‎ ‎（II）如图（20）图，设 ‎ .因为，故 ‎ ①‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 . ②‎ 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点 所以 ‎ 由因为 ，结合①，②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故动点P的估计方程为 ‎（21）（本小题12分）‎ ‎ 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 ‎ 解得或（舍去）。因此 ‎ 又 。解得 ‎ 从而当时，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 ‎ ‎（II）由题意得 有①得 ④‎ 由①，②，③得， ‎ 故. ⑤‎ 又，故有 ‎.⑥‎ 下面反证法证明：‎ 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ‎④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 绝密★启用前 解密时间：‎2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ （1）在等比数列中，，则公比的值为（ ）‎ ‎ A、2 B、‎‎3 ‎‎ C、4 D、8‎ ‎（2）已知向量满足，则（ ）‎ ‎ A、0 B、 C、4 D、8‎ ‎ （3）（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、1‎ ‎ （4）设变量满足约束条件则的最大值为（ ）‎ ‎ A、 B、‎4 ‎ C、6 D、8‎ ‎ （5）函数的图象（ ）‎ ‎ A、关于原点对称 B、关于直线对称 ‎ 题（6）图 O C、关于轴对称 D、关于轴对称 ‎（6）已知函数 的部分图象如题（6）图所示，则（ ）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎ （7）已知，则的最小值是（ ）‎ ‎ A、3 B、‎4 ‎ C、 D、‎ ‎ （8）直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ （9）某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在‎10月1日，丁不排在‎10月7日，则不同的安排方案共有（ ）‎ ‎ A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种 ‎ （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）‎ ‎ A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎（11）已知复数则____________.‎ ‎（12）设，若，则实数_________.‎ ‎（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_____________.‎ ‎（14）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为___________.‎ ‎（15）已知函数满足：，则__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）‎ ‎ 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的值域；‎ ‎ （Ⅱ）记的内角的对边长分别为，若，求的值.‎ ‎（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ ‎ 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：‎ ‎ （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；‎ ‎ （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.‎ ‎（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ ‎ 已知函数，其中实数.‎ ‎ （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若在处取得极值，试讨论的单调性.‎ ‎（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎ 如题（19）图，四棱锥为矩形，底面，，点是棱的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求直线与平面的距离；‎ 题（19）图 C B A D E P ‎ （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎ 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.‎ ‎ （Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；‎ M 题（20）图 G E N H O ‎ （Ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎ 在数列中，，其中实数.‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若对一切有，求的取值范围.‎ ‎绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题（理工农医类）答案 一．选择题：每小题5分，满分 50分.‎ ‎（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）D ‎（7）B （8）C （9）C （10）D 二．填空题：每小题5分，满分25分.‎ ‎（11） （12） （13） （14） （15）‎ 三．解答题：满分75分.‎ ‎（16）（本题13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 因此的值域为.‎ ‎ （Ⅱ）由得，即，又因，‎ ‎ 故.‎ ‎ 解法一：由余弦定理，得，解得或.‎ ‎ 解法二：由正弦定理，得或.‎ ‎ 当时，，从而；‎ ‎ 当时，，又，从而.‎ ‎ 故的值为1或2.‎ ‎（17）（本题13分）‎ ‎ 解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.‎ ‎ （Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 ‎ .‎ ‎ （Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ 从而知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 所以，‎ ‎ .‎ ‎（18）（本题13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）.‎ ‎ 当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即.‎ ‎ （Ⅱ），由（Ⅰ）知，‎ ‎ 即，解得.‎ ‎ 此时，其定义域为，且 ‎ ，由得.当 ‎ 或时，；当且时，.‎ G F 答（19）图1‎ C B A D E P ‎ 由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.‎ ‎（19）（本题12分）‎ ‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形中，平面，‎ ‎ 故直线与平面的距离为点到平面的距离.‎ ‎ 因底面，故，由知为等腰三角 形，又点是棱 中点，故.又在矩形 中，，而是在底面内的射影，由 三垂线定理得，从而平面，故 ‎.从而平面，故之长即为直线 与平面的距离.‎ ‎ （Ⅱ）过点D作，交CE于F，过点F作，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.‎ 由（Ⅰ）知平面PAB，又，得平面PAB，故，从而.‎ 在中，.由，所以为等边三角形，故F为CE的中点，且.‎ 因为平面PBC，故，又，知，从而，且G点为AC的中点.‎ ‎ 连接DG，则在中，.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 解法二：‎ P G F 答（19）图2‎ C B A D E ‎ （Ⅰ）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎ 设，则，‎ ‎.‎ 因此，‎ 则，所以平面PBC.‎ 又由知平面PBC，故直线AD与平面 PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为.‎ ‎（Ⅱ）因为，则.‎ 设平面AEC的法向量，则.‎ 又，故 所以. 可取，则.‎ 设平面DEC的法向量，则.‎ 又，故 所以. 可取，则.‎ 故.‎ 所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎（20）（本题12分）‎ H Q M 答（20）图 G E N O ‎ 解：（Ⅰ）设的标准方程为，则由题意，‎ 因此，‎ 的标准方程为.‎ ‎ 的渐近线方程为，即 和.‎ ‎ （Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点 在直线和 上，因此有，，‎ 故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为.‎ 设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点，‎ 由方程组及 解得.‎ 设MN与轴的交点为Q，则在直线中，令得（易知. 注意到，得 ‎.‎ 解法二：设，由方程组 解得，‎ 因，则直线MN的斜率.‎ 故直线MN的方程为，‎ 注意到，因此直线MN的方程为.‎ 下同解法一.‎ ‎（21）（本题12分）‎ ‎ （Ⅰ）解法一：由，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 猜测.‎ ‎ 下用数学归纳法证明.‎ ‎ 当时，等式成立；‎ ‎ 假设当时，等式成立，即，则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 综上， 对任何都成立.‎ ‎ 解法二：由原式得.‎ ‎ 令，则，因此对有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 因此，. ‎ 又当时上式成立.‎ 因此.‎ ‎（Ⅱ）解法一：由，得 ‎ ，‎ ‎ 因，所以.‎ ‎ 解此不等式得：对一切，有或，其中 ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ 易知，‎ ‎ 又由，知 ‎ ，‎ ‎ 因此由对一切成立得.‎ ‎ 又，易知单调递增，故 ‎ 对一切成立，因此由对一切成立得.‎ ‎ 从而的取值范围为.‎ ‎ 解法二：由，得 ‎ ，‎ ‎ 因，所以对恒成立.‎ ‎ 记，下分三种情况讨论.‎ ‎ （ⅰ）当即或时，代入验证可知只有满足要求.‎ ‎ （ⅱ）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，‎ ‎ 不符合题意，此时无解.‎ ‎ （ⅲ）当即或时，抛物线开口向上，其对称轴 ‎ 必在直线的左边. 因此，在上是增函数.‎ ‎ 所以要使对恒成立，只需即可.‎ ‎ 由解得或.‎ ‎ 结合或得或.‎ ‎ 综合以上三种情况，的取值范围为.‎ ‎2011年高考理工农医类数学试题（重庆卷）‎ 满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.‎ ‎ 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.‎ ‎ 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.‎ ‎ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.‎ ‎ 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎3．已知，则 ‎ A． B． ‎2 ‎ C．3 D．6‎ ‎4．的展开式中的系数相等，则n=‎ ‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎5．下列区间中，函数在其上为增函数的是 ‎ A．（- B． C． D．‎ ‎6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为 ‎ A． B． C． 1 D．‎ ‎7．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 ‎ A． B．‎4 ‎ C． D．5‎ ‎8．在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎10．设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ‎ A．-8 B．‎8 ‎ C．12 D．13‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 ‎11．在等差数列中，，则__________‎ ‎12．已知单位向量，的夹角为60°，则__________‎ ‎13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________‎ ‎14．已知，且，则的值为__________‎ ‎15．设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16．（本小题满分13分）‎ 设，满足，求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）‎ 设的导数满足，其中常数．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ） 设，求函数的极值． ‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）‎ 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．‎ ‎ （Ⅰ）若，，求四面体的体积；‎ ‎ （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）‎ 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．‎ ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）‎ 设实数数列的前n项和，满足 ‎ （I）若成等比数列，求和；‎ ‎ （II）求证：对 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.‎ ‎1—5 CADBD 6—10 ACBCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.‎ ‎11．74 12． 13． 14． 15．‎ 三、解答题：满分75分.‎ ‎16．（本题13分）‎ 解：‎ ‎ ‎ 由 因此 当为增函数，‎ 当为减函数，‎ 所以 又因为 故上的最小值为 ‎17．（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又 综上知，ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有 ‎18．（本题13分）‎ 解：（I）因故 令 由已知 又令由已知 因此解得 因此 又因为故曲线处的切线方程为 ‎ （II）由（I）知，‎ 从而有 令 当上为减函数；‎ 当在（0，3）上为增函数；‎ 当时，上为减函数；‎ 从而函数处取得极小值处取得极大值 ‎19．（本题12分）‎ ‎ （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.‎ 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，‎ 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，‎ 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.‎ 在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，‎ 由勾股定理易知 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.‎ ‎ 设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，‎ ‎ 故由三垂线定理知DE⊥AB.‎ 所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°‎ 设 在 从而 因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，‎ 又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，‎ 平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.‎ 不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为 显然向量是平面ABC的法向量.‎ 已知二面角C—AB—D为60°，‎ 故可取平面ABD的单位法向量，‎ 使得 设点B的坐标为，有 易知与坐标系的建立方式不合，舍去.‎ 因此点B的坐标为所以 从而 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 ‎20．（本题12分）‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为 ‎21．（本题12分）‎ ‎ （I）解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.‎ 因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.‎ 因此判别式 又由 因此，‎ 解得 因此 由，得 因此