高考试题汇编理科数学圆锥曲线

高考试题汇编理科数学圆锥曲线

‎(2019全国1)10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案：‎ B 解答：‎ 由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.‎ ‎(2019全国1)16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的 两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为 .‎ 答案：‎ 解答：‎ 由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，.‎ ‎(2019全国1) 19.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.‎ （1） 若，求的方程；‎ （2） 若，求.‎ 答案：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 解答：‎ ‎（1）设直线的方程为，设，，‎ 联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.‎ ‎（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，‎ ‎.‎ ‎（2019全国2）8. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ 答案：D 解答：‎ 抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2019全国2）11. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于 两点，若 ，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案:A 解答：‎ ‎∵，∴,‎ 又，∴‎ 解得，即. ‎ ‎（2019全国2）21. 已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求的方程，并说明什么曲线；‎ ‎（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结 并延长交于点.‎ ①证明：是直角三角形；‎ ②求的面积的最大值. ‎ 答案：‎ 见解析 解答：‎ ‎(1)由题意得：，化简得： ，表示焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）.‎ ‎(2) ①依题意设，直线的斜率为 ，则 ‎，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即是直角三角形.‎ ②直线的方程为，联立 ，得 ，‎ 则直线，‎ 联立直线和椭圆，可得，‎ 则，∴ ，‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2019全国3）10.双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若则的面积为（ ）‎ A: B: C: D:‎ 答案:‎ A 解析：‎ 由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直因为得到;所以;故选A;‎ ‎（2019全国3）15.设 、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为________.‎ 答案：‎ 解析：‎ 已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为.‎ ‎（2019全国3）21.已知曲线，为直线上的动点.过作的两条切线,切点分别是,,‎ ‎（1）证明：直线过定点;‎ ‎（2）若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求四边形的面积.‎ 答案：‎ 见解析；‎ 解答：‎ ‎（1）当点在时，设过的直线方程为，与曲线联立化简得 ‎，由于直线与曲线相切，则有，解得，‎ 并求得坐标分别为，所以直线的方程为；‎ 当点横坐标不为时，设直线的方程为（），由已知可得直线 不过坐标原点即，联立直线方程与曲线的方程可得，，‎ 消并化简得，∵有两个交点∴，‎ 设，，根据韦达定理有，‎ ‎，，‎ 由已知可得曲线为抛物线等价于函数的图像，‎ 则有，则抛物线在上的切线方程为①，‎ 同理，抛物线在上的切线方程为②，‎ 联立①，②并消去可得，‎ 由已知可得两条切线的交点在直线上，则有 ‎，‎ 化简得，，∵，∴，‎ 即，即为，解得，经检验满足条件，‎ 所以直线的方程为过定点，‎ 综上所述，直线过定点得证.‎ ‎（2）由（1）得直线的方程为，‎ 当时，即直线方程为，此时点的坐标为，‎ 以为圆心的圆与直线相切于恰为中点，‎ 此时；‎ 当时，直线方程与曲线方程联立化简得，‎ ‎，，，‎ 则中点坐标为，‎ 由已知可得，即，‎ 解得，，‎ 由对称性不妨取，则直线方程为，‎ 求得的坐标为，，‎ 到直线距离，到直线距离，‎ 则，‎ 综上所述，四边形的面积为或.‎ ‎（2019北京）4.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b ‎【答案】B ‎【解析】【分析】‎ 由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.‎ ‎【详解】椭圆的离心率,化简得,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.‎ ‎（2019北京）18.已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；‎ ‎(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；‎ ‎(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，‎ 故抛物线方程：，其准线方程为：.‎ ‎(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，‎ 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.‎ 故：.‎ 设，则，‎ 直线的方程为，与联立可得：，同理可得，‎ 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，‎ 且：，，‎ 则圆的方程为：，‎ 令整理可得：，解得：，‎ 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎（2019天津）5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。‎ ‎【详解】抛物线的准线的方程为，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 则有 ‎∴，，，‎ ‎∴。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。‎ ‎（2019天津）18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；‎ ‎(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.‎ ‎【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.‎ 所以，椭圆方程为.‎ ‎(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，‎ 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，‎ 整理得，可得，‎ 代入得，‎ 进而直线的斜率，‎ 在中，令，得.‎ 由题意得，所以直线的斜率为.‎ 由，得，‎ 化简得，从而.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.‎ ‎（2019上海）10．如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为　　．‎ ‎【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取最小值，‎ 故答案为：．‎ ‎（2019上海）11．在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为　　．‎ ‎【解答】解：设，则点，‎ 椭圆的焦点坐标为，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 结合 可得：，‎ 故与的夹角满足：‎ ‎，‎ 故，‎ 故答案为：，‎ ‎（2019上海）20．已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段 与抛物线的交点，定义：．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）证明：存在常数，使得；‎ ‎（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，‎ ‎，的方程为，代入抛物线的方程，解得，‎ 抛物线的准线方程为，可得，‎ ‎，；‎ ‎（2）证明：当时，，‎ 设，，，则，‎ 联立和，可得，，‎ ‎，‎ 则存在常数，使得；‎ ‎（3）设，，，则 ‎，‎ 由，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎（2019江苏）10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 ‎【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.‎ 由，得，，‎ 即切点，‎ 则切点Q到直线的距离为，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.‎ ‎（2019江苏）17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），‎ F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求点E的坐标．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；‎ 解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.‎ ‎【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.‎ 因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.‎ 又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，‎ 因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2‎ 由b2=a2-c2，得b2=3.‎ 因此，椭圆C的标准方程为.‎ ‎（2）解法一：‎ 由（1）知，椭圆C：，a=2，‎ 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.‎ 将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.‎ 因为点A在x轴上方，所以A(1，4).‎ 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.‎ 由，得，‎ 解得或.‎ 将代入，得，‎ 因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.‎ 由，得，解得或.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.‎ 将代入，得.因此.‎ 解法二：‎ 由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.‎ 因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，‎ 从而∠BF1E=∠B.‎ 因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，‎ 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.‎ 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.‎ 因为F1(-1，0)，由，得.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.‎ ‎（2019浙江）2.渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.‎ ‎【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.‎ ‎【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.‎ ‎（2019浙江）15.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.‎ ‎【详解】方法1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，设可得，‎ 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，‎ 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，即 求得，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.‎ ‎（2019浙江）21.如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.‎ ‎（1）求的值及抛物线的标准方程；‎ ‎（2）求的最小值及此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）1，；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；‎ ‎(2)‎ 设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.‎ ‎【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.‎ ‎(2)设，‎ 设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：‎ ‎，故：，‎ ‎，‎ 设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：‎ ‎，，‎ 令可得：，则.即，‎ 由斜率公式可得：，‎ 直线AC的方程为：，‎ 令可得：，‎ 故，‎ 且，‎ 由于，代入上式可得：，‎ 由可得，则，‎ 则 ‎.‎ 当且仅当，即，时等号成立 此时，，则点G的坐标为.‎ ‎【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎