高考数学山东卷理科详细解析

高考数学山东卷理科详细解析

‎2007年高考数学山东卷（理科）详细解析 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。‎ ‎1 若（为虚数单位），则的值可能是 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:D【分析】：把代入验证即得。‎ ‎2 已知集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:B【分析】：求。‎ ‎3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:D【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。‎ ‎4 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:A【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。‎ ‎5 函数的最小正周期和最大值分别为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:A【分析】：化成的形式进行判断即。‎ ‎6 给出下列三个等式：，，‎ ‎。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式.‎ ‎7 命题“对任意的，”的否定是 ‎（A）不存在， （B）存在，‎ ‎（C）存在， （D）对任意的，‎ ‎【答案】:C【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。‎ ‎8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎0.36‎ ‎0.34‎ ‎0.18‎ ‎0.06‎ ‎0.04‎ ‎0.02‎ O 13 14 15 16 17 18 19‎ ‎【答案】: A.【分析】：从频率分布直方图上可以看出，.‎ ‎9 下列各小题中，是的充要条件的是 ‎（1）或；有两个不同的零点。‎ ‎（2） 是偶函数。‎ ‎（3） 。‎ ‎（4） 。‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】: D.【分析】：（2）由可得，但的定义域不一定关于原点对称；（3）是的既不充分也不必要条件。‎ ‎10 阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量S和T的值依次是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ 否 是 开始 输入n ‎ 结束 输出 ‎【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得，。‎ ‎11 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎【答案】:C.【分析】： ，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.‎ ‎12 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。‎ ‎13．13 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.‎ ‎【答案】: 【分析】：过A 作轴于D，令，则，，。‎ ‎14．设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.‎ ‎【答案】:【分析】：画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为 ‎15．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.‎ ‎【答案】:. 【分析】：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。‎ ‎16．函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】: 8。【分析】：函数的图象恒过定点，，，，‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)（本小题满分12分）设数列满足 ‎(I)求数列的通项; (II)设求数列的前项和.‎ 解：: (I) ‎ ‎ ‎ 验证时也满足上式，‎ ‎(II) ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎18（本小题满分12分）设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计).‎ ‎(I)求方程 有实根的概率;‎ ‎(II) 求的分布列和数学期望;‎ ‎(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 有实根的概率.‎ 解：:（I）基本事件总数为，‎ 若使方程有实根，则，即。‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，,‎ 目标事件个数为 因此方程 有实根的概率为 ‎(II)由题意知，，则 ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望 ‎(III)记“先后两次出现的点数中有‎5”‎为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，，‎ ‎.‎ ‎19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱中,已知 ‎,,.‎ ‎(I)设是的中点,求证: ;‎ ‎(II)求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ 解：:(I)连结，则四边形为正方形，‎ ‎，且，‎ 为平行四边形，‎ ‎.‎ ‎(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则 设为平面的一个法向量，‎ 由得，‎ 取，则.‎ ‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由得，‎ 取,则.‎ 由于该二面角为锐角，‎ 所以所求的二面角的余弦值为 北 乙 甲 ‎(20)（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ 解：如图，连结，，，‎ 是等边三角形，，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行海里.‎ ‎(21)（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 ‎，‎ ‎ (II)设，由得 ‎，‎ ‎，.‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，解得 ‎，且满足.‎ 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 ‎(22)（本小题满分14分）设函数,其中.‎ ‎(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;‎ ‎(II)求函数的极值点;‎ ‎(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.‎ 解：(I) 函数的定义域为.‎ ‎，‎ 令，则在上递增，在上递减，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 在上恒成立.‎ 即当时,函数在定义域上单调递增。‎ ‎（II）分以下几种情形讨论：‎ ‎（1）由（I）知当时函数无极值点.‎ ‎（2）当时，，‎ 时，‎ 时，‎ 时，函数在上无极值点。‎ ‎（3）当时，解得两个不同解，.‎ 当时，，，‎ 此时在上有唯一的极小值点.‎ 当时，‎ 在都大于0 ，在上小于0 ，‎ 此时有一个极大值点和一个极小值点.‎ 综上可知，时，在上有唯一的极小值点；‎ 时，有一个极大值点和一个极小值点；‎ 时，函数在上无极值点。‎ ‎（III） 当时，‎ 令则 在上恒正，‎ 在上单调递增，当时，恒有.‎ 即当时，有，‎ 对任意正整数，取得