2015高考数学（文）（专题六 高考中的概率与统计）一轮专题练习题
专题六 高考中的概率与统计问题
1．质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为 ( )
A. B. C. D．以上都不对
答案 C
解析 区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A.则事件A的区间长度为1，则P(A)＝.
2. 为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、
乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．
答案 甲
解析 根据茎叶图，
可得甲＝×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，
乙＝×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.
s＝×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝，
s＝×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝.
因为甲＝乙，s
90°的概率为________．
答案
解析 以AB为直径作圆，当M在圆与正方形重合形成的半圆内时，∠AMB>90°，所求概率为P＝＝.
5．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为18，则n的值是________．
答案 48
解析 若第一组的频率记为x，则第二、三组频率依次为2x,3x，第四、第五组频率依次为0.187 5,0.062 5，从而6x＋0.187 5＋0.062 5＝1，解得x＝，从而第三组的频率为；从而＝，解得n＝48.
题型一 古典概型与几何概型的概率计算
例1 已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内的一点，
求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
思维启迪 首先判断两个问题是什么概率模型：容易知道(1)是一个古典概型概率；(2)是一个几何概型概率，对于(1)将所有情况都列举出来即可，(2)要结合线性规划知识来解决．
解 (1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1或1；
若a＝3，则b＝－1或1.
∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.
∴所求事件的概率为＝.
(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
依条件可知事件的全部结果所构成的区域为
，构成所求事件的区域为三角形部分．
由得交点坐标为(，)，
∴所求事件的概率为P＝＝.
思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解 (1)由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，
所以P(B)＝＝.
题型二 概率与统计的综合应用
例2 第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委
会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．
思维启迪 求“至少有……”的概率往往利用“正难则反”的方法简单．
解 (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，
所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．
“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝.
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有2名女志愿者身高为180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，
身高相差5 cm以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为＝.
思维升华 概率统计解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法．
某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机测量了50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：
组别
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
2
3
14
15
12
4
(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？
(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
(3)为了进一步获得研究资料，现从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两颗树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A和[90,100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？
解 (1)由已知，得高度在85厘米以上的树苗大约有6＋4＝10棵，
则所求的概率大约为＝＝0.2.
(2)树苗的平均高度
≈
＝＝73.8(厘米)．
(3)依题意，记[40,50)组中的树苗分别为A、B，[90,100]组中的树苗分别为C、D、E、F，则所有的基本事件为ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，共12个，
满足A、C同时被移出的基本事件为ACD、ACE、ACF，共3个，
所以树苗A和树苗C同时被移出的概率P＝＝0.25.
题型三 概率与统计案例的综合应用
例3 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
思维启迪 列举基本事件时，要按照一定的顺序，才能不重不漏；根据公式求出线性回归方程后可计算|－y|判断是否可靠．
解 (1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．
所以P(A)＝.
(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27,3 ＝972，
32＝432，iyi＝977，＝434，
所以＝＝，＝27－×12＝－3，
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3.
(3)依题意得，当x＝10时，＝22，|22－23|<2；
当x＝8时，＝17，|17－16|<2，
所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．
思维升华 建立具有相关关系的两个变量之间的线性回归方程，一般来说，选取的具有典型性的样本数据越多，建立的线性回归方程越好，但在具体问题中不一定把所收集到的样本数据都用上，用其中的一部分建立回归直线方程，用剩余的数据检验建立的回归方程的拟合程度，也是一个很好的统计方法．
为了解大学生观看湖南卫视综艺节目“快乐大本营”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：
喜欢看“快乐大本营”
不喜欢看“快乐大本营”
合计
女生
5
男生
10
合计
50
若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“快乐大本营”的有6人．
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关？说明你的理由；
(3)已知喜欢看“快乐大本营”的10位男生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢看新闻，B1，B2，B3还喜欢看动画片，C1，C2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解 (1)由分层抽样知识知，喜欢看“快乐大本营”的同学有50×＝30人，故不喜欢看“快乐大本营”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：
喜欢看“快乐大本营”
不喜欢看“快乐大本营”
合计
女生
20
5
25
男生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵K2＝≈8.333>7.879.
∴有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”与性别有关．
(3)从喜欢看的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有N＝5×3×2＝30个，用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)5个基本事件组成，所以P()＝＝.
由对立事件的概率公式得P(M)＝1－P()＝1－＝.
1．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为x、y，且x
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