2020版高考数学二轮复习 考前强化练9 解答题综合练（B）文

2020版高考数学二轮复习 考前强化练9 解答题综合练（B）文

考前强化练9　解答题综合练(B)‎ ‎1.已知函数f(x)=x2+mx(m>0),数列{an}的前n项和为Sn.点(n,Sn)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-,‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)数列{bn}满足bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.‎ ‎2.(2018湖南长郡中学二模,文18)如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直于圆O所在平面,G为△AOC的重心.‎ ‎(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;‎ ‎(2)若PA=AB=‎2AC=2,点Q在线段PA上,且PQ=2QA,求三棱锥P-QGC的体积.‎ 8‎ ‎3.2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩,按照成绩[50,60),[60,70),…,[90,100]分成了5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).‎ ‎(1)求频率分布直方图中的x的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);‎ ‎(2)若高三年级共有2 000名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数;‎ ‎(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有1人被抽到的概率.‎ ‎4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,且椭圆C与圆M:(x-1)2+y2=的公共弦长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)经过原点作直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AD⊥x轴于点D,点E在椭圆C上,且()·()=0,求证:B,D,E三点共线.‎ 8‎ ‎5.已知函数f(x)=2mln x-x,g(x)=(m∈R,e为自然对数的底数),‎ ‎(1)试讨论函数f(x)的极值情况;‎ ‎(2)当m>1且x>0时,总有g(x)+‎3f'(x)>0.‎ ‎6.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;‎ ‎(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.‎ 8‎ ‎7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.‎ ‎(1)求函数f(x)的值域M;‎ ‎(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,‎-2a的大小.‎ 参考答案 考前强化练9　解答题综合练(B)‎ ‎1.(1)解 f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值为-=-,又m>0,所以m=,即Sn=n2+n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n;当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=n.‎ ‎(2)证明 由(1)知bn=,‎ 所以Tn=1-+…+=1-,‎ 所以Tn<1.‎ ‎2.(1)证明 如图,延长OG交AC于点M.‎ 8‎ ‎∵G为△AOC的重心,∴M为AC的中点.‎ ‎∵O为AB的中点,∴OM∥BC.‎ ‎∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,‎ ‎∴OM⊥AC.‎ ‎∵PA⊥平面ABC,OM⊂平面ABC,‎ ‎∴PA⊥OM.‎ 又PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,‎ ‎∴OM⊥平面PAC,即OG⊥平面PAC.‎ 又OG⊂平面OPG,∴平面OPG⊥平面PAC.‎ ‎(2)解 由(1)知OM⊥平面PAC,‎ ‎∴GM就是点G到平面PAC的距离.‎ 由已知可得,OA=OC=AC=1,‎ ‎∴△AOC为正三角形,∴OM=.‎ 又点G为△AOC的重心,‎ ‎∴GM=OM=.‎ 故点G到平面PQC的距离为.‎ 所以VP-QGC=VG-PQC=S△PQC·GM=S△PAC·GM=×2×1×.‎ ‎3.解 (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2,故x=0.02.‎ 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为 ‎(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74(分).‎ 由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4,前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7,‎ 故中位数在第3组中.设中位数为t分,则有(t-70)×0.03=0.1,所以t=73,‎ 即所求的中位数为73分.‎ ‎(2)由(1)可知,50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,‎ 由以上样本的频率,可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6=1 200.‎ 8‎ ‎(3)由(1)可知,后三组中的人数分别为15,10,5,故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100]这组的1名学生为f,则从中任抽取3人的所有可能结果为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)共20种.‎ 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a,b,c),只有1种,‎ 故后两组中至少有1人被抽到的概率为P=1-.‎ ‎4.解 (1)由题意得‎2a=2,则a=.‎ 由椭圆C与圆M:(x-1)2+y2=的公共弦长为,其长度等于圆M的直径,可得椭圆C经过点1,±,‎ 所以=1,解得b=1.‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:设A(x1,y1),E(x2,y2),则B(-x1,-y1),D(x1,0).‎ ‎∵点A,E都在椭圆C上,所以 ‎∴(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0,即=-.‎ 又()·()==0,‎ ‎∴kAB·kAE=-1,即=-1,‎ ‎∴=1,‎ ‎∴.‎ 8‎ 又kBE-kBD==0,‎ ‎∴kBE=kBD,∴B,D,E三点共线.‎ ‎5.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f'(x)=-1=-.‎ ‎①当m≤0时,f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)内单调递减,f(x)无极值;‎ ‎②当m>0时,令f'(x)>0,得0‎2m,故f(x)在x=‎2m处取得极大值,且极大值为f(‎2m)=2mln(‎2m)-‎2m,f(x)无极小值.‎ ‎(2)当x>0时,g(x)+‎3f'(x)>0⇔-3>0⇔3ex-3x2+6mx-3>0.‎ 设函数u(x)=3ex-3x2+6mx-3,‎ 则u'(x)=3(ex-2x+‎2m),记v(x)=ex-2x+‎2m,‎ 则v'(x)=ex-2.‎ 当x变化时,v'(x),v(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(0,ln 2)‎ ln 2‎ ‎(ln 2,+∞)‎ v'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ v(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知v(x)≥v(ln 2),‎ 而v(ln 3)=eln 2-2ln 2+‎2m=2-2ln 2+‎2m=2(m-ln 2+1),‎ 由m>1,知m>ln 2-1,∴v(ln 2)>0,‎ ‎∴v(x)>0,即u'(x)>0,‎ ‎∴u(x)在(0,+∞)内为单调递增函数.‎ ‎∴当x>0时,u(x)>u(0)=0,‎ 即m>1当且x>0时,3ex-3x2+6mx-3>0.‎ ‎∴m>1当且x>0时,总有g(x)+‎3f'(x)>0.‎ ‎6.解 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,‎ 所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ 将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,‎ 解得t1=0,t2=-2,‎ 所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.‎ 圆C的参数方程为(θ为参数),‎ 可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),‎ 8‎ 则点P到直线l的距离d==|2cosθ+-|.‎ 当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,‎ 所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,‎ 即△ABP的面积的最大值为2+2.‎ ‎7.解 (1)f(x)=‎ 根据函数f(x)的单调性可知,当x=时,f(x)min=f=.‎ 所以函数f(x)的值域M=,+∞.‎ ‎(2)∵a∈M,∴a≥,∴0<≤1.‎ 又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=‎2a≥3,‎ ‎∴a≥,知a-1>0,‎4a-3>0,‎ ‎∴>0,‎ ‎∴‎-2a,‎ 所以|a-1|+|a+1|>‎-2a.‎ 8‎