2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷

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2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)‎ 文科数学 第Ⅰ卷 (选择题)‎ 本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式:‎ 如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式 ‎ S=4πR2‎ 如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 ‎(1)设全集,集合,则(  )‎ ‎(A)    (B)   (C)  (D)‎ ‎(2)不等式的解集为(  )‎ ‎(A)       (B)‎ ‎(C)     (D)‎ ‎(3)已知,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4)函数的反函数是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(5) 若变量满足约束条件,则的最大值为 ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4‎ ‎(6)如果等差数列中,++=12,那么 ++…+=‎ ‎(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35‎ ‎(7)若曲线在点处的切线方程式,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(8)已知三棱锥中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(9)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有 ‎(A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种 ‎(10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若,,,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(11)与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 ‎(A)有且只有1个 (B)有且只有2个 ‎(C)有且只有3个 (D)有无数个 ‎(12)已知椭圆C:+=1的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k ‎>0)的直线与C相交于A、B两点,若=3,则k=‎ ‎(A)1 (B) (C) (D)2‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎(13)已知是第二象限的角,,则___________.‎ ‎(14) 的展开式中的系数是__________‎ ‎ (15) 已知抛物线的准线为,过M(1,0)且斜率为的直线与相交于点A,与C的一个交点为B,若,,则等于_________.‎ ‎(16)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=________________.‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分10分)‎ ‎△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33, ,.求AD.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 已知是各项均为正数的等比例数列,且 ‎,.‎ ‎ (Ⅰ) 求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.‎ ‎(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.‎ ‎ ‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)设,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设在区间(2,3)中至少有一个极值点,求的取值范围.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知斜率为1的直线与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为.‎ ‎(Ⅰ)求C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:过A、B、D三点的圆与轴相切.‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一、选择题 ‎1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B ‎10. B 11. D 12. B 二、填空题 ‎ 13. 14. 84 15. 2 16. 3‎ 三、解答题 ‎(17)解:‎ ‎ 由 ‎ 由已知得,‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由正弦定理得 ‎ ,‎ ‎ 所以 ‎ .‎ ‎(18)解:‎ ‎(Ⅰ)设公比为q,则.由已知有 化简得 又,故 所以 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 因此 ‎(19)解法一:‎ ‎(Ⅰ)连结,记与的交点为F.因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故.‎ 作,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.‎ 又由底面面,得.‎ 连结DG,则,故,由三垂线定理,得.‎ 所以DE为异面直线与CD的公垂线.‎ ‎(Ⅱ)因为,故为异面直线与的夹角,.‎ 设AB=2,则,,,.‎ 作,H为垂足,因为底面,故,‎ 又作,K为垂足,连结,由三垂线定理,得,因此为二面角的平面角 所以二面角的大小为 解法二:‎ ‎(Ⅰ)以B为坐标原点,射线BA为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设AB=2,则A(2,0,0,),,D(0,1,0),,‎ 又设C(1,0,c),则.‎ 于是.‎ 故,‎ 所以DE为异面直线与CD的公垂线.‎ ‎(Ⅱ)因为等于异面直线与CD的夹角,‎ 故 ,‎ 即 ,‎ 解得 ,故,‎ 又,‎ 所以,‎ 设平面的法向量为,‎ 则 即 令,则,故 令平面的法向量为 则,即 令,则,故 所以 .‎ 由于等于二面角的平面角,‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎(20)解:‎ 记表示事件:电流能通过 A表示事件:中至少有一个能通过电流,‎ B表示事件:电流能在M与N之间通过,‎ ‎(Ⅰ)相互独立,‎ ‎ ,‎ 又 ,‎ 故 ,‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9‎ ‎ =0.9891‎ ‎(21)解:‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,‎ 当时在单调增加;‎ 当时在单调减少;‎ 当时在单调增加;‎ 综上所述,的单调递增区间是和,‎ 的单调递减区间是 ‎(Ⅱ),‎ 当时,为增函数,故无极值点;‎ 当时,有两个根 由题意知,‎ ‎①式无解,②式的解为,‎ 因此的取值范围是.‎ ‎(22)解:‎ ‎(Ⅰ)由题设知,的方程为:,‎ 代入C的方程,并化简,得,‎ 设 ,‎ 则 ①‎ 由为BD的中点知,故 即, ②‎ 故 所以C的离心率 ‎(Ⅱ)由①②知,C的方程为:,‎ 故不妨设,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 又 ,‎ 故 ,‎ 解得,或(舍去),‎ 故,‎ 连结MA,则由,知,从而,且轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与轴相切,所以过A、B、D三点的圆与轴相切. ‎
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