高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高考数学中求轨迹方程的常见方法 一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.‎ 例1 已知点、动点满足，则点的轨迹为（ ） ‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解： ，‎ ‎. 由条件，，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.‎ 二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.‎ C B y x O A 例2 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.‎ 解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，，‎ 即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.‎ 三、代入法 y Q O x N P 当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.‎ 例3 如图，从双曲线上一点引直线 的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.‎ 解：设，则.在直线上，‎ ‎① 又得即.②‎ 联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.‎ 四、几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.‎ 例4 已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.‎ 解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为. 故的轨迹方程为.‎ 五、参数法 ‎ 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.‎ 例5 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.‎ 解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.‎ 由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.‎ ‎ 六、交轨法 求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.‎ x A1‎ A2‎ O y N M P 例6 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于 ‎、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与 的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.‎ 解：设及，又，可得 直线的方程为①；直线的方程为②.‎ ‎①×②得③. 又，代入③得，化简得，此即点的轨迹方程. 当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.‎ 高考动点轨迹问题专题讲解 ‎（一）选择、填空题 ‎1．（ ）已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段 ‎2．（ ）设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是 ‎（A）（） （B）（）‎ ‎（C）（） （D）（）‎ ‎3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；‎ ‎4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是 ；‎ ‎5．已知圆C：内一点，圆C上一动点Q， AQ的垂直平 分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 ．‎ ‎6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶 点C的轨迹方程是 ；（）‎ 变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心的轨迹方程是 ；‎ 推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是 ；‎ ‎7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是 ‎ ．‎ ‎8．抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 ．‎ ‎（）‎ ‎9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，‎ 弦中点的轨迹方程为 ．‎ 解法分析：解法1 当直线的斜率存在时，‎ 设PQ所在直线方程为　与抛物线方程联立，‎ ‎　消去得　．‎ 设，，中点为，则有 ‎　消得． ‎ 当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程．‎ 故所求轨迹方程为．‎ 解法2　设，，‎ 由　得，设中点为，‎ 当时，有，又，‎ 所以，，即．‎ 当时，易得弦的中点为，也满足所求方程．‎ 故所求轨迹方程为．‎ ‎10．过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________．‎ ‎（二）解答题 ‎1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎（定义法）‎ ‎2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，‎ 求动点的轨迹方程．‎ ‎3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）‎ ‎4．已知点G是△ABC的重心，，在轴上有一点M，满足 ‎，．‎ ‎（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围．‎ 解：（1）设，则由重心坐标公式可得．‎ ‎∵ ，点在轴上，∴　．‎ ‎∵ ，，∴　，即 ．‎ 故点的轨迹方程为（）．（直接法）‎ ‎（2）设直线的方程为（），、，的中点为．‎ 由消，得．‎ ‎∴ ，即． ①‎ 又，∴，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ ，∴ ，∴ ，即 ，‎ ‎∴ ，又由①式可得 ，∴ 且．‎ ‎∴ 且，解得且．‎ 故的取值范围是且．‎ ‎5．已知平面上两定点、，为一动点，满足．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（直接法）‎ ‎（Ⅱ）若A、B是轨迹上的两动点，且．过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．‎ 解：(Ⅰ)设．由已知，，,‎ ‎．‎ ‎，……………………………………………3分 ‎∵，∴ 整理，得 ．‎ 即动点的轨迹为抛物线，其方程为．‎ ‎6．已知O为坐标原点，点、，动点、、满足（），，，．求点M的轨迹W的方程．‎ ‎ 解：∵，，‎ ‎∴ MN垂直平分AF．‎ 又，∴ 点M在AE上，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 点M的轨迹W的方程为（）．‎ ‎7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，， 且．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；（定义法）‎ ‎（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．‎ 解：（1）；‎ ‎（2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．‎ ‎ ，所以与 重合，与四边形是矩形矛盾．‎ 故直线的斜率存在，设方程为，．‎ 由 消得此时＞恒成立，且，，‎ ‎ ，所以四边形是平行四边形．‎ 若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．‎ ‎，‎ ‎∴ ．‎ 即．‎ ‎ ．，得．‎ 故存在直线：，使得四边形是矩形．‎ ‎8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：=2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：，点P满足：，．‎ ‎（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；‎ ‎（II）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，‎ 当时，求直线的斜率的取值范围．‎ 解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，‎ 则，，．‎ ‎∵ ，，∴，．‎ ‎∵，∴ ，‎ 即所求点的轨迹方程为．‎ ‎ （2）设点 ‎ 设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为 ‎ ‎ 由…………6分 ‎ ‎ …………7分 ‎ ‎ …………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………10分 ‎ 由于 …………11分 ‎ 解得…………13分 ‎ ∴直线斜率k的取值范围是 ‎9．如图所示，已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．‎ 解：（1）设，由得，‎ ‎，，，‎ 又，∴，即动点的轨迹方程为．‎ ‎10．已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，‎ ‎．‎ ‎（1）求点轨迹的方程；‎ ‎（2）将（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围．‎ 解：（1）设、、，则、、‎ ‎．‎ 由题意得 ∴ ∴ ，‎ 故动点的轨迹方程为．‎ ‎11．如图和两点分别在射线、上移动，且，‎ 为坐标原点，动点满足．‎ ‎（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？‎ ‎（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程．‎ 解：（1）由已知得， ∴ ．‎ ‎ （2）设P点坐标为（），由得 ‎ ，‎ ‎∴ 消去，可得，‎ 又因，∴ P点的轨迹方程为．‎ 它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．‎ （3） 设直线l的方程为，将其代入C的方程得 ‎ 即 ，‎ 易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）‎ ‎ 又，‎ 设，则 ‎∵ l与C的两个交点在轴的右侧 ‎ ，‎ ‎∴ ，即，又由同理可得 ，‎ ‎ 由得 ， ∴ ‎ ‎ 由得，‎ ‎ 由得，‎ 消去得 解之得： ，满足．‎ 故所求直线l存在，其方程为：或．‎ ‎12．设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．‎ ‎（I） 求轨迹C的方程；‎ ‎（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．‎ 解：（I）设，因为A、B分别为直线和上的点，故可设 ‎　　　，．‎ ‎　∵，　∴ ∴‎ ‎　　　又，　　　∴． ‎ ‎　　　∴．　　即曲线C的方程为． ‎ ‎（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．‎ ‎ 故，．‎ ‎ ∵ M、N在曲线C上， ∴‎ ‎ 消去s得 ．‎ 由题意知，且，解得 ． ‎ 又 ， ∴． 解得 （）．‎ ‎ 故实数的取值范围是（）．‎ ‎13．设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．‎ ‎（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）‎ ‎（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（）‎ 提示：，又，，‎ 则，．‎ 又 ，代入距离公式即可．‎ ‎（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．（不存在）‎ ‎14．已知点，直线，设动点P到直线的距离为，已知，且． （1）求动点P的轨迹方程；‎ ‎15．如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．‎ ‎（1）若，且四边形OAPB为矩形，求的值；（）‎ ‎（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程．（（））‎ ‎16．双曲线C：（，）的离心率为2，其中，，且．（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若双曲线C上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围．‎ 解：（I）依题意有： 解得：　　‎ 所求双曲线的方程为………………………………………6分 ‎（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分 当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称．由l⊥MN，直线MN的方程为．则M、N两点的坐标满足方程组 由 消去y得．…………………9分 显然，∴．即． ①‎ 设线段MN中点D（）‎ 则∵D（）在直线l上，∴．即 ②‎ 把②带入①中得 ，解得或．‎ ‎∴或．即或，且k≠0．‎ ‎∴k的取值范围是．…………………14分 ‎17．已知向量=(2，0)，==(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并且满足·=K(·-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；‎ ‎（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数K的取值范围.‎ ‎18．过抛物线的焦点作两条弦、，若，，．‎ ‎（1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为，求证为钝角；‎ ‎（3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．‎ ‎19．（05年江西）如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；‎ ‎（2）若为动点，且，求△的重心的轨迹．‎ 思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到 的轨迹方程（参数法）.‎ 解：（1）法一：设，直线的斜率为（），‎ 则直线的斜率为，方程为．‎ ‎∴由，消得，‎ 解得，∴ ，‎ ‎∴(定值)．所以直线的斜率为定值．‎ 法二：设定点，、，‎ 由 得 ，即；同理 ．‎ ‎∵ ，∴ ，即，∴ ．‎ 所以，（定值）．‎ 第一问的变式：过点作倾斜角互补的直线ME、MF，则直线EF的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．‎ ‎（2）直线ME的方程为 由得同理可得 设重心G（x, y），则有 消去参数得．‎ ‎20．如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为，折痕与交于点，点满足关系式 ‎．‎ ‎（1）建立适当的直角坐标系，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，是边上的一点，，过点的直线交曲线于、两点，且，求实数的取值范围．‎