上海高考数学理科试卷详解

上海高考数学理科试卷详解

‎2008年上海高考数学试卷 一 填空（‎4’‎×11）‎ ‎1.不等式的解集是 　　　　　　　　　 　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由. ‎ ‎2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ 　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ 　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎4.若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ 　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令.‎ ‎5.若向量、满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则|+|＝ 　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎6.函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 　　　 （结果用分数表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：；‎ ‎8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是 　　　　　　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由f(x)为奇函数得：‎ ‎　　　　‎ ‎9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 　　　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须时，总体方差最小；‎ ‎10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为‎2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意， ‎ ‎；‎ ‎11.方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为：；所以结合图象可得：‎ ‎　　；‎ 二 选择（‎4’‎×4）‎ ‎12.组合数C（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）‎ ‎ 　　　 A．C 　 B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C ‎【答案】‎ ‎【解析】由. ‎ ‎13. 给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 ‎【答案】‎ ‎【解析】直线与平面a内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a垂直，‎ 即充分性不成立； ‎ ‎14. 若数列{an}是首项为1，公比为的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值 是（ ）　　　A．1 B．‎2 C． D． ‎【答案】‎ ‎【解析】由. ‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）‎ ‎ 　　 A． B． C． D． ‎ x y O ‎· B A C ‎·‎ ‎·‎ D ·‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过 该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的 左上方区域（权且称为“第二象限”）与点 Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的 集合才为所求. 检验得：D． 　‎ 三. 解答题（本大题满分90分）‎ A E B1‎ D1‎ D C1‎ A1‎ B C ‎16.(‎12’‎)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，‎ E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的 F 大小（结果用反三角函数表示）‎ ‎【解析】‎ 过作，交于，连接.‎ ‎ 平面，‎ 是直线与平面所成的角. ……4分 由题意，得.‎ ‎ . ……8分 ‎ ， . ……10分 A O D B C 故直线与平面所成角的大小是. ……12分 ‎17.(‎13’‎)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°‎ 的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C 处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某 人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A A O D B C 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟‎50米，‎ 求该扇形的半径OA的长（精确到‎1米）‎ ‎【解析】‎ ‎[解法一] 设该扇形的半径为米，连接. ……2分 由题意，得 (米)，（米），‎ ‎　 ……4分 在△中， ……6分 即， ……9分 解得 （米）‎ 答：该扇形的半径的长约为‎445米. 　　　　 　 ……13分 A O D B C H ‎[解法二] 连接，作，交于， 　 ……2分 由题意，得（米），‎ ‎（米）， ……4分 在△中，‎ ‎ .‎ ‎（米）. ……6分 ‎.　　　……9分 在直角△中，（米），，‎ ‎ （米）.‎ 答：该扇形的半径的长约为‎445米. ……13分 ‎18.(‎6’‎+‎9’‎)已知双曲线，为上的任意点。‎ ‎（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；‎ ‎（2）设点的坐标为，求的最小值；‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设是双曲线上任意一点，‎ 该双曲的两条渐近线方程分别是和. ……2分 点到两条渐近线的距离分别是和， ……4分 它们的乘积是.‎ 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 ‎（2）设的坐标为，则 ‎ ……8分 ‎ ……11分 ‎ ， ……13分 ‎ 当时，的最小值为，‎ 即的最小值为. ……15分 ‎19.(‎8’‎+‎8’‎)已知函数f(x)＝2x－ ‎⑴ 若f(x)＝2，求x的值 ‎⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围 ‎【解析】‎ ‎（1）当时，；当时，　 　……2分 由条件可知，即 解得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……6分 ‎　　　　　　　　　　　　　　 　　……8分 ‎（2）当时，　　　　 　　……10分 即，， 　　……13分 ‎，‎ 故的取值范围是 ……16分 ‎20.(‎3’‎+‎5’‎+‎8’‎)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点 ‎⑴ 若a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标 ‎⑵ 若点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y2＝1上，p＝，‎ 求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上 ‎⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由 ‎【解析】‎ ‎（1）当时，‎ 解方程组 得 即点的坐标为 ……3分 ‎（2）【证明】由方程组 得 ‎ ‎ 即点的坐标为 ……5分 时椭圆上的点，即 ，‎ 因此点落在双曲线上 ……8分 ‎（3）设所在的抛物线方程为 ……10分 将代入方程，得，即 ……12分 当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；‎ 当时， ，此时点的轨迹落在圆上；‎ 当时，，此时点的轨迹落在椭圆上；‎ 当时，此时点的轨迹落在双曲线上； ……16分 ‎21.(‎3’‎+‎7’‎+‎8’‎)已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝ ‎⑴ 当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式 ‎⑵ 当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100‎ ‎⑶ 当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥‎3m时，求证：数列a2－，a‎3m+2－，a‎6m+2－，a‎9m+2－成等比数列当且仅当d＝‎‎3m ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得 ……3分 ‎(2) 当时，‎ ‎ ，，，，，‎ ‎，，，……6分 ‎ ……10分 ‎ （3）当时，‎ ‎ ， ；‎ ‎， ；‎ ‎，‎ ‎，， ，‎ 综上所述，当时，数列，，，‎ 是公比为的等比数列 ……13分 当时，，‎ ‎ ……15分 由于，，‎ 故数列不是等比数列 所以，数列成等比数列 当且仅当 ……18分