高考数学试题山东卷理科试题和答案

高考数学试题山东卷理科试题和答案

‎ 2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 理科数学 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。‎ ‎2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。‎ ‎3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。‎ 第I卷（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1) 若复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为 ‎（A） 2+i （B） 2-i （C） 5+i （D） 5-i ‎ ‎(2) 已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是 ‎(A） 1 (B） 3 (C） 5 (D） 9‎ ‎ (3）已知函数f(x) 为奇函数设且x＞0时， f(x)= x2+，则f(-1)=‎ ‎(A） -2 (B） 0 (C） 1 (D） 2‎ ‎（4）已知三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B‎1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）将函数y=sin(2x+Φ)的图象沿小轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为 ‎（A） （B） （C）0 （D）-‎ ‎ ‎ ‎（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ‎（A）2（B）1（C）（D）‎ ‎(7)给定两个命题p,q.若﹃p是q的必要而不充分条件，则p是﹃q的 ‎（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（8）函数y=xcosx+sinx的图象大致为 ‎(A)‎ O y x π ‎(B)‎ O y x π ‎(C)‎ O y x π ‎(D)‎ O y x π ‎(9过点（3,1）作圆(x-1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎（10）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ‎（A）243 (B)252 (C)261 (D)279‎ ‎（11）抛物线C1：(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M。若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线。则p=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ (12)设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时，的最大值为 ‎（A）0（B）1（C）（D）3‎ ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 开始 输入ε(ε＞0)‎ F0=1，F1=2，n=1‎ F1= F0+ F1‎ F0= F1- F0‎ n=n+1‎ 输入n 结束 否 是 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。‎ ‎（13）执行右边的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为 ‎　　　　　　　。‎ ‎（14）在区间[-3， 3]上随机取一个数x，使得｜x+1｜-｜x-2｜≥1成立的概率为　　　　。‎ ‎（15）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为______。‎ ‎（16）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：‎ ‎①.若a>0 ，b>0，则ln+ (ab)=b ln+a；‎ ‎②. 若a>0 ，b>0，则ln+ (ab)= ln+a+ ln+b；‎ ‎③. 若a>0 ，b>0，则ln+ ()≥ ln+a- ln+b；‎ ‎④. 若a>0 ，b>0，则ln+ (a+b)≤ ln+a+ ln+b+ ln2；‎ 其中的真命题有______________。(写出所有真命题的符号)‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.‎ ‎（Ⅰ）求a，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin(A-B)的值。‎ A B Q C D E F G H P ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于G，PC与FQ交于点H，连接GH。‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥GH；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；‎ ‎（Ⅱ）若比赛结果为求3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分X的分布列及数学期望。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2S2，a2n =2 an+1.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn+=λ(λ为常数)，令cn =b2n n∈N﹡，求数列{cn}的前n项和Rn。‎ ‎ (21)(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x) =+c（e=2.71828……是自然对数的底数，c∈R）.‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值；‎ ‎（Ⅱ）讨论关于x的方程｜lnx｜= f(x)根的个数。‎ ‎（22）（本小题满分13分）‎ 椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的PF1，PF2斜率分别为k1、k2。若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)答案 一、选择题 ‎1、D 2、C 3、A 4、B 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、B 11、D 12、B 二、填空题 ‎13、3 14、 15、 16、①③④‎ ‎18、（Ⅰ）证明：由已知得EF, DC分别为PAB和QAB的中位线 所以EF//AB, DC//AB,则EF//DC 又EF平面PDC, DC平面PDC 所以EF//平面PDC 又EF平面QEF且平面QEF平面PDC=GH 所以EF//GH 又因为EF//AB 所以AB//GH ‎（Ⅱ）解：因为AQ=2BD 且D为AQ中点 所以ABQ为直角三角形，ABBQ 又PB平面ABC, 则PBAB PBBQ=B且PB平面PBQ,BQ平面PBQ,‎ 所以AB平面PBQ 由（Ⅰ）知AB//GH所以GH平面PBQ ‎，所则GHFH, GHHC 所以FHC即为二面角D-GH-E的平面角 由条件易知PBC+BFQ+PQB+FHC=2‎ 且BFQ=PQB，tanBFQ=2‎ 所以cosFHC=cos（—2BFQ）=—2sinBFQcosBFQ=‎ ‎19、解：（1）设“甲队以3:0胜利”为事件A；“甲队以3:1胜利”为事件B ‎ “甲队以3:2胜利”为事件C ‎ ‎ ‎(2)根据题意可知的可能取值为：“0,1,2,‎‎3”‎ ‎ ‎ 乙队得分的的分布列如图所示：：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望：‎ ‎.‎ ‎20.(Ⅰ)解:设等差数列{}的首项为,公差为,‎ 因为已知,‎ 可得,即整理得， ① ‎ 又因为,‎ 当时， ‎ 即， ② ‎ ‎①②联立可得 由于 所以，.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得，且 将带入，可得 ‎①‎ 当时，‎ 当时，②‎ ‎①-②可得 所以 ‎ ‎ 两式相减得 ‎ ‎ 所以 ‎21、解（1），‎ ‎ 令，解得，令，解得 ‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ ‎ 的最大值为 ‎（2）令，‎ ‎①当时 ‎，所以 在时，函数的值域为，函数的值域为，所以在上，恒有 ‎，即，所以对任意大于零恒成立，所以在上单调递增；‎ ‎②当时，‎ ‎，所以，显然在时有函数恒成立，所以函数在时恒成立，所以对任意恒成立，所以在上单调递减；‎ 由①②得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为 当，即时，方程有且只有一个根；‎ 当，即时，方程有两个不等的根；‎ 当，即时，方程没有根。‎ ‎22、解答 ‎（1）由已知的，且，解得 ‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）设，则,‎ 在三角形中，由正弦定理得 同理，在三角形中，由正弦定理得 而且，所以 所以