高考数学平面向量复数理科形成性测试卷

高考数学平面向量复数理科形成性测试卷

高考数学《平面向量、复数》（理科）形成性测试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎（1）已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)‎ A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 ‎（2）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎（3）设向量a＝(3，)，b为单位向量，且a∥b，则b＝(　　)‎ A．(，－)或(－，) B．(，)‎ C．(－，－) D．(，)或(－，－)‎ ‎（4）若O为三角形ABC所在平面内一点，且满足,则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（5）已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且||＝1，则·等于(　　)‎ A.　　　　B．－ C.　　　　D．－ ‎（6）若a＝(x,1)，b＝(2,3x)，则的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，2) B．[0，] C．[－，] D．[2，＋∞)‎ ‎（7）在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i ‎（8）已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是(　　)‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．随α，β的值而定 ‎（9）已知向量满足，且对一切实数x，恒成立，则的夹角的大小为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎（10）已知三点A(2,3)，B(－1，－1)，C(6，k)，其中k为常数．若||＝||，则与的夹角的余弦值为(　　)‎ A．－　　　B．0或 C.　　　D．0或－ ‎（11）若O为平面内任一点且(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形 ‎（12）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设a＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，b＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量a与b夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量a，b，当a＝(1,1,1,1，…，1)，b＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎（13）若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎（14）若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.‎ ‎（15）已知坐标平面内两点M（-3，0），N（3，0）和一动点P，满足，则的最小值为 ‎ ‎（16）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，-1）；若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为 ‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)‎ ‎（17）(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎（I）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎（II）设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ ‎（18）(本小题满分12分) 已知， ‎ ‎（I）求； ‎ ‎（II）求向量在向量方向上的投影．‎ ‎（19）(本小题满分12分) 已知向量 ‎ ‎（I）若为直角三角形,求值；‎ ‎（II）若为等腰直角三角形,求值．‎ ‎（20）(本小题满分12分)已知向量a＝(，)，b＝(2，cos2x)．‎ ‎（I）若x∈(0，]，试判断a与b能否平行？‎ ‎（II）若x∈(0，]，求函数f(x)＝a·b的最小值．‎ ‎（21）(本小题满分12分)若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.‎ ‎（I）若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？‎ ‎（II）若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？‎ ‎（22）(本小题满分12分)在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.‎ ‎（I）求B的大小．‎ ‎（II）设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值．‎ ‎《平面向量、复数》（理科）形成性测试卷参考答案 厦门海沧实验中学数学组 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎（1）答案　C 解析　a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴 ‎（2）答案　A 解析　为纯虚数，且，解之得，故选A ‎（3）答案　D 解析　设b＝(x，y)，由a∥b可得3y－x＝0，又x2＋y2＝1，得b＝(，)或b＝(－，－)，故选D.‎ ‎（4）答案　A 解析　如右图 故选A ‎（5）答案　B 解析　·＝1×1×cos120°＝－.‎ ‎（6）答案　C 解析　由已知：＝＝＝，‎ ‎∵|2x＋|＝|2x|＋≥2， ∴－≤≤ ‎（7）答案　C 解析　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，‎ ‎∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.‎ ‎（8）答案　A 解析　∵＝60°，∴cos60°＝＝＝＝cos(α－β)，‎ ‎∴cos(α－β)＝ ‎∴圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＋＝0的距离为：‎ d＝＝cos(α－β)＋ ‎＝1>，∴直线与圆相离 ‎（9）答案　C 解析　由题意得：⇔‎ ‎ ⇔‎ ‎∴⇒ ∴‎ ‎，即a与b的夹角为.‎ ‎（10）答案　D 解析　由||＝||解得k＝0或6，当k＝0时，与的夹角为，其余弦值为0；当k＝6时，与的夹角余弦值为－ ‎（11）答案　C 解析　由(＋－2)(－)＝0得(＋)·(－)＝0，‎ ‎∴－＝0，即||＝||，‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎（12）答案　D 解析　ibi＝(n－2)－2＝n－4.‎ ＝n，＝n.∴cosθ＝＝.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎（13）答案　：　－1‎ 解析　因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.‎ ‎（14）答案　：(－1,1)或(－3,1)‎ 解析　设a＝(x，y)，∵b＝(2，－1)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，y＝1，故a＋b＝(x＋2,0)，‎ 又∵|a＋b|＝1，∴|x＋2|＝1，∴x＝－1或x＝－3，∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．‎ ‎（15）答案　3‎ 解析　设P（x，y），则 ，由已知可得 ，化简得 ，‎ 所以，‎ 则当x=0时，‎ ‎（16）答案　3‎ 解析　设P（x，y），则，‎ 所以解得 所以，即 在平面直角坐标系中作出区域D，可求得面积为3.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎（17）解析　（I）由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．-----------2分 所以|＋|＝2，|－|＝4.--------------4分 ‎（II）故所求的两条对角线长分别为4，2.‎ 由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．----------6分 由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，---------8分 从而5t＝－11，所以t＝－.----------10分 ‎（18）解析　（I）由，得，‎ ‎∴，得 ∴‎ ‎（II）‎ 向量在向量方向上的投影为 ‎ ‎（19）解析　（I）(1)由已知得 ‎ ①若,则，,;‎ ②若,则，得无解;‎ ③若,则，‎ ‎∴.‎ 综上所述,当时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形;当时, ‎ 是以C为直角顶点的直角三角形.‎ ‎（II）①当时,,；‎ ②当时,,，‎ 得,,；‎ ③当时,,,‎ 得,,;‎ 综上所述,当时,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.‎ ‎（20）解析　（I）若a与b平行，则有·cos2x＝·2，因为x∈(0，]，sinx≠0，所以得cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a与b不能平行．-----------6分 ‎（II）由于f(x)＝a·b＝－＝＝＝2sinx＋，---8分 又因为x∈(0，]，所以sinx∈(0，]，于是2sinx＋≥2＝2，当2sinx＝，即sinx＝时取等号．----------11分 故函数f(x)的最小值等于2.--------12分 ‎（21）解析（I）设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，---------2分 化简得(m－1)a＝(－t)b，-------------------3分 ‎∵a与b不共线，∴⇒-------------5分 ‎∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．--------------6分 ‎（II）|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.‎ ‎∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.---------12分 ‎（22）解析　（I）∵(2a－c)cosB＝bcosC，∴(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，‎ 即2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)．-----------3分 ‎∵A＋B＋C＝π，∴2sinAcosB＝sinA.-------------------4分 ‎∵01，∴t＝1时，m·n取最大值．‎ 依题意得(m·n)max＝－2＋4k＋1＝5，∴k＝.----------------12分