立体几何之与球有关的高考试题

立体几何之与球有关的高考试题

立体几何分类复习 一、球的相关知识 考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”‎ ‎1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． ‎ ‎2．正方体的内切球其棱长为球的直径． ‎ ‎3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． ‎ ‎4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ‎ ‎5.性质的应用，构造直角三角形建立三者之间的关系。‎ ‎1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) ‎ A．36π B.64π C.144π D.256π 参考答案 ‎2. ‎ ‎3. ‎ ‎4. ‎ 类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）‎ ‎1．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= . ‎ ‎2．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 （2009年文科）‎ 类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。‎ ‎3. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 。‎ ‎4.正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为　　． ‎ ‎5.12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为 ‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎6.（11）已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于 ‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）‎ 类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。‎ ‎7.15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .（2009年文科）‎ ‎8.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 ‎ ‎（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25‎ 类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。‎ ‎10.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．（2010年理科）‎ ‎11.16．长方体的顶点均在同一个球面上，，，则，两点间的球面距离为 .‎ ‎12.体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ． ‎ ‎13.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______． ‎ ‎14.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . ‎ 类型五：平面几何性质在球中的综合应用。‎ ‎15.已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．‎ 类型六：性质的简单应用。‎ ‎16.已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于______ _______.‎ ‎17.（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。‎ ‎18.（9）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 （2011年理科）‎ ‎（A） （B） (C)1 (D) ‎ 参考答案：3、欲求球的表面积，归根结底求球半径，与相关的是重要性质。‎ ‎∵AA1=2, ∴。‎ 现将问题转化到⊙O2的半径之上。‎ 因为△ABC是⊙O2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。‎ 由余弦定理有，‎ 由正弦定理有 ‎∴ ∴。‎ ‎4、8 5、C 6 A 7问题的解决根本——求球半径。‎ ‎ 与相关的重要性质中，可求（∵ ∴）‎ ‎ 问题转化到求上 充分运用题目中未用的条件，，∠OMC=45°，∴‎ 于是求得，∴‎ ‎8 D 9、 C 10、 4 11、 12、 13、1/3 14、‎ ‎15、析：由OM=ON知，⊙M与⊙No为等圆，根据球中的重要性质∴‎ 又MH⊥AB得H为AB中点，∴BH=AH=2 ∴‎ ‎∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN 由余弦定理有MN2=OM2+ON2－2OM·ON·cos∠MON ‎ MN2=MH2+NH2－2MH·NH·cos(π－∠MON)‎ 解得cos∠MON=，即∠MON=‎ ‎∴三角形OMN为等边三角形， ∴MN=3.‎ ‎16、16π 17、24 18、C 二、二面角的求法：‎ ‎1、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎2、如图，在平行六面体中，⊥平面，且，，.‎ ‎（1)求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的正弦值。‎ ‎ ‎ ‎1、（1）由已知，得，‎ 由于，故， 从而平面 又平面，所以平面平面 ‎（2）在平面内作，垂足为 由（1）可知，平面，故，‎ 可得平面 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 由（1）及已知可得 所以 设是平面的法向量，则 即 可取 设是平面的法向量，则 即 可取 则 所以二面角的余弦值为 ‎2、22.解：在平面内，过点作，交 于点 因为平面，‎ 所以 如图，以为正交基底，‎ 建立空间直角坐标系 因为，‎ 则 ‎（1）‎ 则 因此异面直线与所成角的余弦值为 ‎（2）平面的一个法向量为 设为平面的一个法向量，‎ 又 则即 不妨取，则，‎ 所以为平面的一个法向量，‎ 从而 设二面角的大小为，则 因为，所以 因此二面角的正弦值为 ‎1．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎1、D