2015高考数学人教A版本（6-3等比数列）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（6-3等比数列）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-3等比数列课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是(　　)‎ A．2　　　　B．－‎2　‎　 　C．3　　　　D．－3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵S6＝S3＋S3q3＝S3·(1＋q3)，∴q＝2.‎ ‎(理)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21.则a3＋a4＋a5等于(　　)‎ A．33　　 　B．‎72　‎　 　C．84　　 　D．189‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由前三项和为21可知a1(1＋q＋q2)＝21，将a1＝3代入解之得q＝2或－3(舍)．‎ 则a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)q2＝21×4＝84.‎ ‎2．(文)(2013·沈阳质检)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则该数列的通项an＝(　　)‎ A．4×()n－1 B．4×()n C．4×()n D．4×()n－1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　据前三项可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故等比数列的首项为4，q＝＝，‎ 故an＝4×()n－1.‎ ‎(理)(2013·安徽省级示范高中名校联考)三个实数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝3，则b的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0) B．(0,1]‎ C．[－1,0)∪(0,3] D．[－3,0)∪(0,1]‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设公比为q，显然q≠0，a＋b＋c＝b(＋1＋q)＝3⇒b＝.‎ 当q>0时，q＋≥2，当且仅当q＝1时等号成立，∴00.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝(　　)‎ A．－20 B．‎15 C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵an＋2＋an＋1＝6an，∴an≠0，‎ ‎∴q2＋q－6＝0，‎ ‎∵q>0，∴q＝2，∴a1＝，‎ ‎∴S4＝＝.‎ ‎(理)(2013·西安标准化考试)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则公比q为(　　)‎ A．q＝－2 B．q＝1‎ C．q＝－2或q＝1 D．q＝2或q＝－1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题有两种处理策略，一是设出首项a1，建立方程＝＋求解，解得q＝－2.此法为通法，但运算复杂；二是特例探路，不妨设n＝1，则Sn＋1，Sn，Sn＋2即是S2，S1，S3，根据等差数列的性质可知，2S1＝S2＋S3，即‎2a1＝a1(1＋q)＋a1(1＋q＋q2)，易得q＝－2.故选A.‎ ‎5．(文)若数列{an}是正项递减等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8＝T12，则当Tn取最大值时，n的值等于(　　)‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵T8＝T12，∴a‎9a10a11a12＝1，又a‎9a12＝a‎10a11＝1，且数列{an}是正项递减数列，所以a9>a10>1>a11>a12，因此T10取最大值．‎ ‎(理)在由正数组成的等比数列{an}中，设x＝a5＋a10，y＝a2＋a13，则x与y的大小关系是(　　)‎ A．x＝y B．x≥y C．x≤y D．不确定 ‎[答案]　C ‎[解析]　x－y＝a1q(1－q3)(q8－1)．‎ 当q＝1时，x＝y；‎ 当q>1时，1－q3<0而q8－1>0，x－y<0；‎ 当00而q8－1<0，x－y<0.故选C.‎ ‎6．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：‎ 第一组　第二组　　　　　　第三组　　　 　　　…‎ ‎{2,4}　{6,8,10,12}　{14,16,18,20,22,24,26,28}　…‎ 则2014位于(　　)‎ A．第7组 B．第8组 C．第9组 D．第10组 ‎[答案]　C ‎[解析]　前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2个数．‎ 由an＝2n＝2014知，n＝1007，∴2014为第1007个偶数，‎ ‎∵29＝512,210＝1024，故前8组共有510个数，前9组共有1022个数，即2014在第9组．‎ 二、填空题 ‎7．(2013·莆田一模)若等比数列{an}(an∈R)对任意的正整数m，n满足am＋n＝aman，且a3＝2，那么a12＝________.‎ ‎[答案]　64‎ ‎[解析]　令m＝1，则an＋1＝ana1⇒a1＝q，an＝qn，‎ ‎∵a3＝q3＝2，∴a12＝q12＝64.‎ ‎8．(文)在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.‎ ‎[答案]　n＋1‎ ‎[解析]　设等差数列首项a1，公差d，则 ‎∵a1、a3、a7成等比，∴a＝a‎1a7，‎ ‎∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，‎ 又S7＝‎7a1＋d＝35d＝35，‎ ‎∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.‎ ‎(理)(2013·浙江湖州中学)已知数列{an}是正项等比数列，若a1＝32，a4＝4，则数列{log2an}的前n项和Sn的最大值为________．‎ ‎[答案]　15‎ ‎[解析]　∵a1＝32，a4＝4，∴q＝，an＝32·()n－1，log2an＝log232·()n－1＝5＋(n－1)log2＝6－n，‎ 由6－n≥0，得n≤6，∴前5项(或6项)和最大，S5＝＝15.‎ ‎9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．‎ 若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9，共四项满足要求．‎ ‎∴p＝1－＝.‎ ‎[点评]　直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2013·陕西)设Sn表示数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式；‎ ‎(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．‎ ‎[解析]　(1)方法一：设{an}的公差为d，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，‎ 又Sn＝an＋an－1＋…＋a1‎ ‎＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，‎ ‎∴2Sn＝[‎2a1＋(n－1)d]＋[‎2a1＋(n－1)d]＋…＋[‎2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，‎ ‎∴Sn＝na1＋d.‎ 方法二：设{an}的公差为d，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，‎ 又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，两式相加得2Sn＝n(a1＋an)，‎ ‎∴Sn＝.‎ ‎(2){an}是等比数列，证明如下：∵Sn＝，‎ ‎∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn.‎ ‎∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有＝＝q，‎ 因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．‎ ‎(理)(2013·湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，‎ 由条件易知q≠1.由题意得 即 解得 故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.‎ ‎(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.‎ 若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，‎ 即(－2)n≤－2012.‎ 当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；‎ 当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11.‎ 综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S‎4a5与S‎5a4的大小关系是(　　)‎ A．S‎4a5S‎5a4‎ C．S‎4a5＝S‎5a4 D．不确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　(1)当q＝1时，S‎4a5－S‎5a4＝‎4a－‎5a＝－a<0.‎ ‎(2)当q≠1且q>0时，‎ S‎4a5－S‎5a4＝(q4－q8－q3＋q8)＝(q－1)‎ ‎＝－aq3<0.‎ ‎[点评]　作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：‎ 已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较与的大小．‎ ‎[解析]　当q＝1时，＝3，＝5，所以<；‎ 当q>0且q≠1时，‎ －＝－ ‎＝＝<0，‎ 所以有<.‎ 综上可知有<.‎ ‎(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{an}的公比q＝2，它的前9项的平均值等于，若从中去掉一项am，剩下的8项的平均值等于，则m等于(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　数列{an}前9项的和为S9＝×9＝1533，即＝1533，解得a1＝3.又知am＝S9－×8＝96，而am＝3·‎2m－1，即3·‎2m－1＝96，解得m＝6.‎ ‎12．(文)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log‎0.5a5＋log‎0.5a7)，Q＝log0.5，P与Q的大小关系是(　　)‎ A．P≥Q B．PQ ‎[答案]　D ‎[解析]　P＝log0.5＝log0.5，Q＝log0.5，‎ ‎∵q≠1，∴a3≠a9，‎ ‎∴>，‎ 又∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减，‎ ‎∴log0.5b，则双曲线－＝1的离心率e等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a＋b＝5，a·b＝6，a>b>0，‎ ‎∴a＝3，b＝2.∴e＝＝＝.‎ ‎13．(文)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(　　)‎ A．4 B．‎5 C．6 D．7‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，‎ ‎∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.‎ ‎[点评]　这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．‎ ‎(理)已知an＝n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状：‎ a1‎ a‎2　‎a‎3　‎a4‎ a‎5　‎a‎6　‎a‎7　‎a‎8　‎a9‎ ‎……………………‎ 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)＝(　　)‎ A.67 B.68‎ C.111 D.112‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋×2＝100，故A(11,12)为{an}的第112项，‎ ‎∴A(11,12)＝a112＝112.‎ 二、填空题 ‎14．(文)已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＋＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，‎ ‎∴＋＝＋＝＋ ‎＝＋＝2.‎ ‎(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a12，则aa3＝1，则使不等式(a1－)＋(a2－)＋…＋(an－)≥0成立的最大自然数是________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　∵a2>a3＝1，∴01.‎ 由(a1－)＋(a2－)＋…＋(an－)＝(a1＋a2＋…＋an)－(＋＋…＋)‎ ‎＝－ ‎＝－≥0，‎ 得≥.‎ ‎∵0kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，‎ ‎∴q＝＝＝2，∴‎2a1＋a1＝9，∴a1＝3.‎ ‎∴an＝3·2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝＝＝3(2n－1)，‎ ‎∴不等式化为3(2n－1)>k·3·2n－1－2，‎ 即k<2－对一切n∈N*恒成立．‎ 令f(n)＝2－，易知f(n)随n的增大而增大，‎ ‎∴f(n)min＝f(1)＝2－＝，∴k<.‎ ‎∴实数k的取值范围为(－∞，)．‎ 考纲要求 ‎1．理解等比数列的概念．‎ ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等比数列与指数函数的关系．‎ 补充说明 与等比数列有关的常用求和方法 ‎(1)分组求和法 若数列{an}是由等差数列与等比数列的和形式给出的，可先分别对它们求和，再将其和相加，该方法称为分组求和法．‎ ‎(2)错位相减法 一般地，{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公差d≠0，公比q≠1)，cn＝anbn，求数列{cn}前n项的和用“乘公比、错位相减法”．‎ 备选习题 ‎1．(2013·温州第一次适应性测试)已知等比数列{an}中，a1＝2，且a‎4a6＝‎4a，则a3＝(　　)‎ A. B．‎1 C．2 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　设等比数列{an}的公比为q，依题意可得a＝a‎4a6＝‎4a＝4·aq4，∴q4＝，q2＝，‎ ‎∴a3＝a1q2＝2×＝1.‎ ‎2．(2013·深圳第一次调研)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝＝，选D.‎ ‎3．已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1(k为常数)．‎ ‎(1)当k＝2时，求a2、a3的值；‎ ‎(2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)当k＝2时，an＋1＝2Sn＋1，‎ 令n＝1得a2＝2S1＋1，又a1＝S1＝1，得a2＝3；‎ 令n＝2得a3＝2S2＋1＝2(a1＋a2)＋1＝9，∴a3＝9.‎ ‎∴a2＝3，a3＝9.‎ ‎(2)由an＋1＝kSn＋1，得an＝kSn－1＋1，‎ 两式相减，得an＋1－an＝kan(n≥2)，‎ 即an＋1＝(k＋1)an(n≥2)，‎ 且＝＝k＋1，故an＋1＝(k＋1)an.‎ 故当k＝－1时，an＝ 此时，{an}不是等比数列；‎ 当k≠－1时，＝k＋1≠0，此时，{an}是首项为1，公比为k＋1的等比数列．‎ 综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列；‎ 当k≠－1时，{an}是等比数列．‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*.令bn＝an＋1－2an，且a1＝1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f ′(1)的表达式．‎ ‎[解析]　(1)∵Sn＋1＝4(an＋2)－5，∴Sn＋1＝4an＋3.‎ ‎∴Sn＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．‎ ‎∴＝＝2(n≥2)．‎ ‎∴数列{bn}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－‎2a1，‎ 而a1＋a2＝‎4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6.‎ ‎∴b1＝6－2＝4，∴bn＝4×2n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，‎ ‎∴f ′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn.‎ ‎∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1①‎ ‎∴‎2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2②‎ ‎①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2‎ ‎＝－n·2n＋2＝－4(1－2n)－n·2n＋2，‎ ‎∴f ′(1)＝4＋(n－1)·2n＋2.‎ ‎5．(2012·北京东城练习)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解析]　(1)证明：因为Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝‎4a1－3，解得a1＝1.‎ 因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 又a1＝1≠0，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎(2)因为an＝()n－1，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，‎ 所以bn＋1－bn＝()n－1.‎ 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝2＋ ‎＝3·()n－1－1(n≥2)，‎ 当n＝1时也符合上式，∴bn＝3·()n－1－1.‎