集合与简易逻辑 高考数学专题复习双基 典例 精炼

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文档介绍

集合与简易逻辑 高考数学专题复习双基 典例 精炼

第一章 复习集合与简易逻辑 一、 本讲进度 ‎ 《集合与简易逻辑》复习 二、 复习要求 1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;‎ 2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;‎ 3、 理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;‎ 4、 理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;‎ ‎ 5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。‎ 三、 学习指导 ‎ 1、集合的概念:‎ (1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;‎ (2) 集合的分类:‎ ① 按元素个数分:有限集,无限集;‎ ‎ ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;‎ (3) 集合的表示法:‎ ‎ ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。‎ ‎2、两类关系:‎ (1) 元素与集合的关系,用或表示;‎ ‎ (2)集合与集合的关系,用,,=表示,当AB时,称A是B的子集;当AB时,称A是B的真子集。‎ ‎3、集合运算 ‎ (1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且xA},集合U表 示全集;‎ (2) 运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),‎ CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。‎ ‎ 4、命题:‎ (1) 命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;‎ (2) 复合命题的形式:p且q,p或q,非p;‎ ‎ (3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。‎ ‎ (3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若 q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。‎ 1、 充分条件与必要条件 ‎ ‎ (1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;‎ ‎ (2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时,p是q的充分条件。BA时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件;‎ (1) 当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。‎ 2、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。‎ ‎ 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。‎ ‎ 四、典型例题 ‎ 例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。‎ 解题思路分析:‎ 在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}‎ ‎∴ M∩N=M={y|y≥1}‎ 说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。‎ 例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。‎ 解题思路分析:‎ 化简条件得A={1,2},A∩B=BBA 根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}‎ 当B=φ时,△=m2-8<0‎ ‎∴ ‎ 当B={1}或{2}时,,m无解 当B={1,2}时,‎ ‎∴ m=3‎ 综上所述,m=3或 说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。‎ 例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。‎ 解题思路分析:‎ 假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ‎∴ 假设不成立 ‎∴ x、y中至少有一个大于1‎ 说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。‎ 例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。‎ 解题思路分析:‎ 利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 ‎ DCBA ‎∴ DA,D是A的充分不必要条件 说明:符号“”、“”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。‎ 例5、求直线l:ax-y+b=0经过两直线l1:2x-2y-3=0和l2:3x-5y+1=0交点的充要条件。‎ 解题思路分析:‎ 从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。‎ 由 得l1,l2交点P()‎ ‎∵ l过点P ‎∴ ‎ ‎∴ ‎17a+4b=11‎ 充分性:设a,b满足‎17a+4b=11‎ ‎∴ ‎ 代入l方程:‎ 整理得:‎ 此方程表明,直线l恒过两直线的交点()‎ 而此点为l1与l2的交点 ‎∴ 充分性得证 ‎∴ 综上所述,命题为真 说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。‎ 五、同步练习 (一) 选择题 1、 设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是经济界 jjjjjjjjjjjjjjj A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a}‎ 2、 已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是 A、 ‎[0,2] B、(-2,2) C、(0,2] D、(0,2)‎ 3、 已知集合M={x|x=a2‎-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是 A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 ‎ 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是 A、11 B、‎10 ‎ C、16 D、15‎ ‎5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是 A、15 B、‎16 ‎ C、31 D、32‎ ‎6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是 ‎ A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 ‎7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎ 8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3l+1,l∈Z},S={y|y=‎6m+1,m∈Z}之间的关系是 A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A ‎9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A、0
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