2012北京市各区高考一模数学理试题汇总及答案

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2012北京市各区高考一模数学理试题汇总及答案

‎2012年北京市昌平区高考模拟训练试题:数学(理)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间为120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分;在每个小题给出的四个选项中,有且只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1.(题1)‎ 设集合,则下列关系中正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ 【解析】 D;‎ ‎,,故,因此 ‎2.(题2)‎ 设平面向量,若,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ 【解析】 A;‎ ‎,则,从而 ‎3.(题3)‎ 若复数满足,则对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 B;‎ ‎.‎ ‎4.(题4)‎ 设函数,则其零点所在的区间为( )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ 【解析】 B;‎ 在上单调增,,,故零点所在区间.‎ ‎5.(题5)‎ 若为等差数列,是其前项和,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ 【解析】 B;‎ 由,可得,∴.‎ ‎6.(题6)‎ 若椭圆与双曲线均为正数)有共同的焦点,,是两曲线的一个公共点,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ 【解析】 C;‎ 由题设可知,再由椭圆和双曲线的定义有及,两个式子分别平方再相减即可得.‎ ‎7.(题7)‎ 某单位员工按年龄分为三级,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本,已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为 ( )‎ A.110 B. C.90 D.80‎ 【解析】 B;‎ 设员工总数为,则组人数为,由分层抽样知组中抽取的人数为,于是甲乙二人均被抽到的概率为,解得.‎ ‎8.(题8)‎ 设函数的定义域为,若对于给定的正数,定义函数, 则当函数时,定积分的值为( )‎ A. B. C. D.‎ 【解析】 D;‎ 由题设,于是定积分.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.(题9)‎ 把容量是的样本分成组,从第组到第组的频数分别是15,17,11,13,第5组到第7组的频率之和是,那么第8组的频率是 .‎ 【解析】 ‎;‎ ‎.‎ ‎10.(题10)‎ 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 .‎ 【解析】 ‎6;‎ 几何体如图所示,正面为的正方形,侧面为直角梯形,两个底边长分别为和,因此不难算出体积为.‎ ‎11.(题11)‎ 若是上三点,切于点,,则的大小为 .‎ 解析:如图,弦切角,于是,从而.‎ ‎12.(题12)‎ 若直线与曲线(为参数,)有两个公共点,且,则实数的值为 ;在此条件下,以直角坐标系的原点为极点,轴正方向为极轴建立坐标系,则曲线的极坐标方程为 .‎ 【解析】 ‎;‎ 曲线:,点到的距离为,因此;‎ ‎,即.‎ ‎13.(题13)‎ 若为的三个内角,则的最小值为 .‎ 【解析】 ‎;‎ ‎,且 ‎,‎ 因此,当且仅当,即时等号成立.‎ ‎14.(题14)‎ 有下列命题:‎ ‎①若存在导函数,则;‎ ‎②若函数,则;‎ ‎③若函数,则;‎ ‎④若三次函数,则“”是“有极值点”的充要条件.‎ 其中真命题的序号是 .‎ 【解析】 ‎③;‎ ‎,①错误;‎ ‎,则,②错;‎ ‎,③正确;‎ ‎,,只需即可,是的充分不必要条件.‎ ‎3‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共80分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(题15)‎ 已知函数 ‎⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程;‎ ‎⑵设函数,求的值域.‎ 【解析】 ‎⑴‎ ‎,‎ ‎∴最小正周期.‎ 由,得 函数图象的对称轴方程为 ‎ ‎⑵‎ 当时,取得最小值;‎ 当时,取得最大值2,‎ 所以的值域为. ‎ ‎16.(题16)‎ 如图,在四棱锥中,平面,底面为直角梯形,,.为中点,为中点.‎ ‎⑴求证:;‎ ‎⑵求二面角的余弦值;‎ ‎⑶若四棱锥的体积为,求的长.‎ 【解析】 ‎⑴∵平面,平面 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴平面 又是中点,‎ ‎∴平面 ‎∴. ‎ ‎⑵建立直角坐标系,设 则 ‎∴‎ 由⑴知,平面,‎ ‎∴是平面的法向量.‎ 设平面的法向量为,‎ 则且,‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ 二面角的余弦值为. ‎ ‎⑶连结,设,‎ ‎,∴.‎ ‎∵是直角三角形,‎ ‎∴. ‎ ‎17.(题17)‎ 某公司要将一批海鲜用汽车运往城,如果能按约定日期送到,则公司可获得销售收入万元,每提前一天送到,或多获得万元,每迟到一天送到,将少获得万元,为保证海鲜新鲜,汽车只能在约定日期的前两天出发,且行驶路线只能选择公路或公路中的一条,运费由公司承担,其他信息如表所示.‎ 统计信息 汽车行驶 路线 不堵车的情况下到达所需时间(天)‎ 堵车的情况下到达所需时间(天)‎ 堵车的概率 运费(万元)‎ 公路1‎ ‎2‎ ‎3‎ 公路2‎ ‎1[‎ ‎4‎ ‎⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为(万元),求的分布列和数学期望;‎ ‎⑵假设你是公司的决策者,你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多?‎ ‎(注:毛利润销售收入运费)‎ 【解析】 ‎⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元 堵车时公司获得的毛利润万元 ‎∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为 ‎∴万元 ‎ ‎ ⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为万元 不堵车时获得的毛利润万元 堵车时的毛利润万元 ‎∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为[‎ ‎∴万元 ‎∴‎ ‎∴选择公路2可能获利更多.‎ ‎18.(题18)‎ 已知函数 ‎⑴若为的极值点,求的值;‎ ‎⑵若的图象在点处的切线方程为,‎ ‎①求在区间上的最大值;‎ ‎②求函数的单调区间.‎ 【解析】 ‎⑴.‎ ‎∵是极值点,‎ ‎∴,即.‎ ‎∴或2. ‎ ‎⑵∵在上.∴‎ ‎∵在上,∴‎ 又,∴‎ ‎∴,解得 ‎∴‎ ‎①由可知和是的极值点.‎ ‎∵‎ ‎∴在区间上的最大值为8.‎ ‎②‎ 令,得 当时,,此时在单调递减 当时: ‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 此时在上单调递减,在上单调递增.‎ 当时:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 此时在上单调递减,在上单调递增,综上所述:当时,在单调递减;‎ 时,在单调递减,在单调递增;‎ 时,在单调递减,在单调递增.‎ ‎19.(题19)‎ 已知椭圆的离心率为.‎ ‎⑴若原点到直线的距离为,求椭圆的方程;‎ ‎⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点.‎ ‎ i)当,求的值;‎ ‎ ii)对于椭圆上任一点,若,求实数满足的关系式.‎ 【解析】 ‎⑴∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴,解得.‎ 椭圆的方程为. ‎ ‎⑵‎ i)∵,∴,椭圆的方程可化为 ‎ …………①‎ 易知右焦点,据题意有: ………②‎ 由①,②有: …………③‎ 设,‎ ‎∴ ‎ ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.‎ 设,‎ ‎∵,∴‎ 又点在椭圆上,∴ ……………④‎ 由③有:‎ 则 ‎ ……………⑤‎ 又在椭圆上,故有 …………⑥‎ 将⑥,⑤代入④可得:.‎ ‎20.(题20)‎ 已知数列满足,点在直线上.‎ ‎⑴求数列的通项公式;‎ ‎⑵若数列满足,求的值;‎ ‎⑶对于⑵中的数列,求证:.‎ 【解析】 ‎⑴∵点在直线上,∴‎ ‎∴,是以为首项,为公比的等比数列,‎ ‎∴ ‎ ‎⑵∵且,‎ ‎∴,‎ ‎∴且;‎ 当时,. ‎ ‎⑶由⑵知 ‎∴‎ ‎∵时,‎ ‎∴‎ ‎ ,‎ ‎∴,‎ 即. ‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学试卷(理工类) 2012.3‎ ‎(考试时间120分钟 满分150分)‎ 本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分 第一部分(选择题 共40分)‎ 注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 复数 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知数列的前项和为,且,则 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知平面,直线,且,则“且”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 有10件不同的电子产品,其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试,‎ ‎ 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好3次就结束测试的方法种数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数是定义在上的偶函数,且对任意的,都有.当时,.若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点,则实数的值是 ‎ A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收管理费,因此第一 ‎ 年种产品定价为每件70元,年销售量为11.8万件. 从第二年开始,商场对种产品 ‎ 征收销售额的的管理费(即销售100元要征收元),于是该产品定价每件比第一年 ‎ 增加了元,预计年销售量减少万件,要使第二年商场在种产品经营中收取的 ‎ 管理费不少于14万元,则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知点集,,点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内(不在边界上),则△的面积的最大值是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在答题卡上.‎ ‎9. 已知双曲线的方程为,则此双曲线的离心率为 ,其焦点到渐近线的距离为 .‎ 开始 输入k S=0,i=1‎ i=i+1‎ 输出S 结束 是 否 ‎10. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎ (第10题图) (第11题图)‎ ‎11. 执行如图所示的程序框图,若输入的值是,则输出的值是 .‎ ‎12.在极坐标系中,曲线和相交于点,则线段的中点 ‎ 到极点的距离是 . ‎ ‎13.已知函数若函数有两个不同的零点,则实数 的取值范围是 . ‎ ‎14.已知△中, .一个圆心为,半径为的圆在△‎ ‎ 内,沿着△的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中,圆至少与△的一边相切,则点到△顶点的最短距离是 ,点的运动轨迹的周长是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)若,求的值;‎ ‎ (II)设,求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ ‎85‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎95‎ 分数 ‎75‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.04‎ ‎0.05‎ ‎0.06‎ ‎0.07‎ ‎ 某次有1000人参加的数学摸底考试,其成绩的频率分布直方图如图所示,规定85分及其以上为优秀.‎ ‎ (Ⅰ)下表是这次考试成绩的频数分布表,求正整数a, b的值;‎ 区间 ‎[75,80)‎ ‎[80,85)‎ ‎[85,90)‎ ‎[90,95)‎ ‎[95,100]‎ 人数 ‎50‎ a ‎350‎ ‎300‎ b ‎ (II)现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析,求其中成绩为优秀的学生人数;‎ ‎ (Ⅲ)在(II)中抽取的40名学生中,要随机选取2名学生参 ‎ 加座谈会,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的 ‎ 分布列与数学期望.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ C A F E B M D ‎ 在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,, 平面,,,,,且是的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求证:平面;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角的大小;‎ ‎ (Ⅲ)在线段上是否存在一点,‎ ‎ 使得与所成的角为? ‎ ‎ 若存在,求出的长度;若不 ‎ 存在,请说明理由.‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ ‎ 设函数.‎ ‎ (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎ (Ⅱ)求函数单调区间.‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆的两个焦点分别为,.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)已知点的坐标为,点的坐标为.过点任作直线与椭圆 ‎ 相交于,两点,设直线,,的斜率分别为,,,若 ‎ ,试求满足的关系式.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知各项均为非负整数的数列 ,满足,.若存在最小的正整数,使得,则可定义变换,变换将数列变为数列.设,.‎ ‎ (Ⅰ)若数列,试写出数列;若数列,试写出数列;‎ ‎ (Ⅱ)证明存在唯一的数列,经过有限次变换,可将数列变为数列;‎ ‎ (Ⅲ)若数列,经过有限次变换,可变为数列.设,,求证,其中表示不超过的最大整数.‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学试卷(理工类) 2012.3‎ 一、选择题:‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ 答案 A ‎ C ‎ B B ‎ C ‎ D D B 二、填空题: ‎ 题号 ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎(11)‎ ‎(12)‎ ‎(13)‎ ‎(14)‎ 答案 三、解答题:‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,‎ ‎ 所以 ,‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 平方得,=,‎ ‎ 所以 . ……………6分 ‎(II)因为=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =. ……………10分 ‎ 当时,.‎ ‎ 所以,当时,的最大值为;‎ ‎ 当时,的最小值为. ……………13分 ‎(16)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)依题意,. ……………4分 ‎(Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则,解得:x=30,‎ ‎ 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分 ‎(Ⅲ)依题意,X的取值为0,1,2,新课标第一网 ‎,,,‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ,所以X的数学期望为. ……………13分 ‎(17)(本小题满分14分)‎ ‎ 证明:(Ⅰ)取的中点,连接.‎ N C A F E B M D 在△中,是的中点,是的中点,所以,‎ ‎ 又因为,‎ ‎ 所以且.‎ 所以四边形为平行四边形,‎ 所以.‎ 又因为平面,平面,‎ ‎ 故平面. …………… 4分 解法二:因为平面,,故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. ……………1分 ‎ 由已知可得 ‎ z C A F E B M D x y ‎(Ⅰ), . ……………2分 设平面的一个法向量是.‎ ‎ 由得 ‎ 令,则. ……………3分 又因为,‎ ‎ 所以,又平面,所以平面. ……………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面的一个法向量是.‎ ‎ 因为平面,所以.‎ ‎ 又因为,所以平面.‎ ‎ 故是平面的一个法向量.‎ ‎ 所以,又二面角为锐角,‎ ‎ 故二面角的大小为. ……………10分 ‎ (Ⅲ)假设在线段上存在一点,使得与所成的角为.‎ ‎ 不妨设(),则.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 由题意得,‎ ‎ 化简得, ‎ ‎ 解得. ‎ ‎ 所以在线段上不存在点,使得与所成的角为.…………14分 ‎(18)(本小题满分13分)xkb1.com 解:因为所以.‎ ‎ (Ⅰ)当时, ,,‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分 ‎(Ⅱ)因为, ……………5分 ‎ (1)当时,由得;由得.‎ ‎ 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. ……………6分 ‎ (2)当时, 设,方程的判别式 ‎ ……………7分 ‎ ①当时,此时.‎ ‎ 由得,或;‎ ‎ 由得.‎ ‎ 所以函数单调递增区间是和, ‎ ‎ 单调递减区间. ……………9分 ‎ ②当时,此时.所以,‎ ‎ 所以函数单调递增区间是. ……………10分 ‎ ③当时,此时.‎ ‎ 由得;‎ ‎ 由得,或.‎ ‎ 所以当时,函数单调递减区间是和, ‎ ‎ 单调递增区间. ……………12分 ‎ ④当时, 此时,,所以函数单调递减区间是.‎ ‎ …………13分 ‎(19)(本小题满分14分)‎ 解: (Ⅰ)依题意,, ,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 故椭圆的方程为. ……………4分 ‎ (Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,由解得.‎ ‎ 不妨设,,‎ ‎ 因为,又,所以,‎ ‎ 所以的关系式为,即. ………7分 ‎ ②当直线的斜率存在时,设直线的方程为.‎ ‎ 将代入整理化简得,.‎ ‎ 设,,则,. ………9分 又,.‎ 所以 ‎ ………12分 所以,所以,所以的关系式为.………13分 综上所述,的关系式为. ………14分 ‎(20)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)若,则;; ;‎ ‎ ; .‎ 若,则 ; ; ; . ………4分 ‎(Ⅱ)先证存在性,若数列满足及,则定义变换,变换将数列变为数列:.‎ 易知和是互逆变换. ………5分 对于数列连续实施变换(一直不能再作变换为止)得 ‎ ,‎ 则必有(若,则还可作变换).反过来对作有限次变换,即可还原为数列,因此存在数列满足条件.‎ 下用数学归纳法证唯一性:当是显然的,假设唯一性对成立,考虑的情形.‎ 假设存在两个数列及均可经过有限次变换,变为,这里,‎ 若,则由变换的定义,不能变为;‎ 若,则,经过一次变换,有 由于,可知(至少3个1)不可能变为.‎ 所以,同理令,‎ ‎,‎ 则,所以,.‎ 因为,‎ ‎,‎ 故由归纳假设,有,.‎ 再由与互逆,有 ‎,‎ ‎,‎ 所以,,从而唯一性得证. ………9分 ‎(Ⅲ)显然,这是由于若对某个,,则由变换的定义可知, 通过变换,不能变为.由变换的定义可知数列每经过一次变换,的值或者不变,或者减少,由于数列经有限次变换,变为数列时,有,,‎ 所以为整数,于是,,‎ 所以为除以后所得的余数,即.………13分 北京市西城区2012年高三一模试卷 ‎ 数 学(理科) 2012.4‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知全集,集合,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的 值为( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎3.若实数,满足条件则的最大值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为.‎ 其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5.已知函数的最小正周期是,那么正数( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6.若,,,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎7.设等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为.若对,有,则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ 8.已知集合,其中,且.则中所有元素之和等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒 与秒之间.将测试结果分成组:,,‎ ‎,,,得到如图所示的频率分 ‎ 布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ‎,那么成绩在的学生人数是_____.‎ ‎10.的展开式中,的系数是_____.(用数字作答)‎ ‎11. 如图,为⊙的直径,,弦交 于点.若,,则_____. ‎ ‎12. 在极坐标系中,极点到直线的距离是_____.‎ ‎13. 已知函数 其中.那么的零点 是_____;若的值域是,则的取值范围是_____.‎ ‎14. 在直角坐标系中,动点, 分别在射线和上运动,且△的面积为.则点,的横坐标之积为_____;△周长的最小值是_____.‎ 三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 在△中,已知.‎ ‎(Ⅰ)求角; ‎ ‎(Ⅱ)若,,求.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用局胜制(即先胜局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.‎ ‎(Ⅰ)求甲以比获胜的概率;(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于局的概率;(Ⅲ)求比赛局数的分布列.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,四边形与均为 菱形, ,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值. ‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,‎ 使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. ‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 对于数列,定义“变换”:将数列变换成数 列,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.‎ ‎(Ⅰ)试问和经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;‎ ‎(Ⅱ)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件; ‎ ‎(Ⅲ)证明:一定能经过有限次“变换”后结束.‎ 北京市西城区2012年高三一模试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 ‎ 2012.4‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1. C; 2. D; 3. A; 4.A; 5. B; 6. D; 7. A; 8. D .‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. ‎ ‎9.; 10.; 11.; 12.; 13.和,; 14.,.‎ 注:13题、14题第一问2分,第二问3分.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分. ‎ ‎15.(本小题满分13分) ‎ ‎(Ⅰ)解:原式可化为 . ………………3分 ‎ 因为, 所以 , 所以 . ………………5分 ‎ 因为, 所以 . ………………6分 ‎ ‎(Ⅱ)解:由余弦定理,得 .………………8分 ‎ 因为 ,, 所以 . ………10分 ‎ 因为 , ………………12分 所以 . ………………13分 ‎16.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是. ………………1分 记“甲以比获胜”为事件,则.………………4分 ‎(Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.‎ ‎ 因为,乙以比获胜的概率为, ………………6分 ‎ 乙以比获胜的概率为, ………………7分 所以 . ………………8分 ‎(Ⅲ)解:设比赛的局数为,则的可能取值为. ‎ ‎, ………………9分 ‎ , ………………10分 ‎ , ………………11分 ‎ . ………………12分 比赛局数的分布列为:‎ ‎ ………………13分 ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:设与相交于点,连结.‎ 因为 四边形为菱形,所以,‎ 且为中点. ………………1分 又 ,所以 . ………3分 因为 , ‎ 所以 平面. ………………4分 ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为四边形与均为菱形,‎ 所以//,//, ‎ 所以 平面//平面. ………………7分 ‎ 又平面,所以// 平面. ………………8分 ‎ ‎(Ⅲ)解:因为四边形为菱形,且,所以△为等边三角形.‎ 因为为中点,所以,故平面.‎ 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. ………………9分 ‎ 设.因为四边形为菱形,,则,所以,‎ ‎.‎ 所以 . ‎ 所以 ,. ‎ 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………12分 ‎ 易知平面的法向量为. ………………13分 ‎ 由二面角是锐角,得 . ‎ 所以二面角的余弦值为. ………………14分 ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:当时,,. ………………2分 由于,,‎ 所以曲线在点处的切线方程是. ………………4分 ‎(Ⅱ)解:,. ………………6分 ‎① 当时,令,解得 .‎ 的单调递减区间为;单调递增区间为,.……………8分 当时,令,解得 ,或.‎ ‎② 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为, ‎ ‎………………10分 ‎③ 当时,为常值函数,不存在单调区间. ………………11分 ‎④ 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,.‎ ‎ ………………13分 ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)解:由 , 得 . ………………2分 依题意△是等腰直角三角形,从而,故. ………………4分 所以椭圆的方程是. ………………5分 ‎(Ⅱ)解:设,,直线的方程为. ‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立,‎ 消去得 . ………………7分 所以 ,. ………………8分 若平分,则直线,的倾斜角互补,‎ 所以. ………………9分 设,则有 .将 ,代入上式,‎ 整理得 ,所以 .……………12分 将 ,代入上式,整理得 . ………13分 由于上式对任意实数都成立,所以 .‎ ‎ 综上,存在定点,使平分. ………………14分 ‎20.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:数列不能结束,各数列依次为;;;;;‎ ‎;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形. ………………2分 数列能结束,各数列依次为;;;.‎ ‎ ………………3分 ‎(Ⅱ)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.………………4分 若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束. ……………5分 当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”.‎ 当时,数列.‎ 由数列为常数列得,解得,从而数列也 为常数列.‎ 其它情形同理,得证.‎ 在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列. ………………8分 所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.‎ ‎(Ⅲ)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”.‎ 证明:记数列中最大项为,则.‎ 令,,其中.‎ 因为, 所以,故,证毕.………………9分 现将数列分为两类.‎ 第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,. ‎ 第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时.‎ 下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列.‎ 不妨令数列的第一项为,第二项最大().(其它情形同理)‎ ‎① 当数列中只有一项为时,‎ 若(),则,此数列各项均不为 或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;‎ 若,则;‎ 此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;‎ 若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;‎ 若,则;;,‎ 此数列各项均不为,为第一类数列.‎ ‎② 当数列中有两项为时,若(),则,此数列 各项均不为,为第一类数列;‎ 若(),则,,此数列 各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列.‎ ‎③ 当数列中有三项为时,只能是,则,‎ ‎,,此数列各项均不为,为第一类数列.‎ 总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少.‎ 又因为各数列的最大项是非负整数,‎ 故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为 ‎,从而结束. ………………13分 ‎2012年石景山区高三统一测试 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则等于(   )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2.在复平面内,复数对应的点位于(   )‎ A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 ‎ D.第四象限 圆的圆心坐标是(  )‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ 设是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题正确的是(  )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5.执行右面的框图,若输入的是,‎ ‎ 则输出的值是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎6.若展开式中的所有二项式系数和 为512,则该展开式中的常数项为 ( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ A C B D P ‎8.如图,已知平面,、是上的两个 点,、在平面内,且 ,,在平面上有一个 动点,使得,则体积 的最大值是( ) ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分. ‎ ‎9.设向量,且,则= .‎ ‎10.等差数列前9项的和等于前4项的和.若,则k =________.‎ B A E D F C ‎11.如图,已知圆中两条弦与相交于点,与圆 相切交延长线上于点,若,‎ ‎,则线段的长为 .‎ ‎12.设函数的最小值为,则实数的取值范围是 . ‎ ‎13.如图,圆内的正弦曲线 与轴围成的区域记为 (图中阴影部分),随机 往圆内投一个点,则点落在区域内的 概率是 .‎ ‎14.集合 ‎ 现给出下列函数:①,②,③,④,‎ ‎ 若 时,恒有则所有满足条件的函数的编号是 .‎ 三、解答题:本大题共6个小题,共80分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 在中,角,,所对应的边分别为,,,且.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ ‎(本小题满分13分)‎ ‎ 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,每人分别进行三次投篮.‎ ‎ (Ⅰ)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ;‎ ‎ (Ⅱ)求乙至多投中2次的概率;‎ ‎ (Ⅲ)求乙恰好比甲多投进2次的概率.‎ ‎17 .(本小题满分14分)‎ C1‎ A1‎ C B1‎ A B D ‎ 如图,三棱柱中,⊥面,, ,为的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求证:;‎ ‎  (Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎ (Ⅲ)在侧棱上是否存在点,使得 ‎?请证明你的结论.‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;‎ ‎ (Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅲ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知椭圆()右顶点与右焦点的距离为, 短轴长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ)过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点,若三角形的 面积为,求直线的方程.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ ‎ 若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列中,,点()在函数的图像上,其中n 为正整数.‎ ‎ (Ⅰ)证明数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列;‎ ‎(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前n项之积为,即 ,求数列的通项及关于的表达式;‎ ‎(Ⅲ)记 ,求数列的前项和,并求使 的的最小值.‎ ‎2012年石景山区高三统一测试高三数学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分. ‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎ ‎ ‎ ①②④‎ 三、解答题:本大题共6个小题,共80分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,由正弦定理,得 ‎ . …………2分 ‎ ∴ .……4分 ‎ ∵ , ∴, ‎ ‎ ∴ . 又∵  , ∴ . …………6分 ‎(Ⅱ)由正弦定理,得, …………8分 ‎ 由 可得,由,可得 ‎ , …………11分 ‎ ∴. …………13分 ‎16.(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)的可能取值为:0,1,2,3. …………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列如下表:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ …………4分 ‎ . …………5分 ‎ (Ⅱ)乙至多投中2次的概率为. …………8分 ‎ (Ⅲ)设乙比甲多投中2次为事件A,乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1, 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2, 则为互斥事件. …………10分 ‎ .‎ ‎ 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为. …………13分 ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎ (I)证明:连接B‎1C,与BC1相交于O,连接OD. …………1分 ‎ ∵BCC1B1是矩形,∴O是B‎1C的中点.‎ ‎ 又D是AC的中点,∴OD//AB1.‎ ‎ ∵AB1面BDC1,OD面BDC1,∴AB1//面BDC1. …………4分 A1‎ A C1‎ z x y C B1‎ B D ‎ (II)解:如图,建立空间直角坐标系,‎ ‎ 则C1(0,0,0),B(0,3,2),‎ ‎ C(0,3,0),A(2,3,0),‎ ‎ D(1,3,0), ‎ ‎ ‎ ‎ ,, ‎ ‎…………5分 ‎ 设是面BDC1的一个法向量,则 即,取. …………7分 易知是面ABC的一个法向量. …………8分 ‎ .‎ ‎ ∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………9分 ‎ (III)假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.‎ ‎ 设P(2,y,0)(0≤y≤3),则 , …………10分 ‎ 则,即. …………12分 ‎ 解之∴方程组无解. …………13分 ‎ ∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1. …………14分 ‎18.(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ) …………1分 ‎ 由已知,解得. …………3分 ‎(II)函数的定义域为.‎ ‎(1)当时, ,的单调递增区间为; ……5分 ‎(2)当时. ‎ ‎ 当变化时,的变化情况如下:‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 ‎ 由上表可知,函数的单调递减区间是;‎ ‎ 单调递增区间是. …………8分 ‎ (II)由得,…………9分 ‎ 由已知函数为上的单调减函数,‎ 则在上恒成立,‎ 即在上恒成立.‎ ‎ 即在上恒成立. …………11分 令,在上,‎ 所以在为减函数. ,‎ ‎ 所以. …………14分 ‎19.(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)由题意, -------1分 ‎ 解得. ------------2分 ‎ ‎ 即:椭圆方程为 ------------3分 ‎ ‎ (Ⅱ)当直线与轴垂直时,,‎ ‎ 此时不符合题意故舍掉; -----------4分 ‎ 当直线与轴不垂直时,设直线 的方程为:,‎ ‎ 代入消去得:. ------------6分 ‎ 设 ,则, -----------7分 所以 . ------------9分 原点到直线的距离,‎ 所以三角形的面积.‎ 由, ------------12分 所以直线或. ---------13分 ‎20.(本小题满分13分)‎ 解:(I)因为 ‎ 所以数列是“平方递推数列” . --------2分 ‎ 由以上结论, 所以数列为首项是公比为2的等比数列. --------3分 ‎ (II),‎ ‎ . --------5分 ‎ ,‎ ‎ . --------7分 ‎(III)‎ ‎ . --------10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . --------13分 ‎[注:若有其它解法,请酌情给分]‎ 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习(一)‎ 数学 (理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)若,,是虚数单位,且,则的值为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)若集合,,则“”是“”的 ‎ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ ‎(3)若实数,满足不等式组则的最小值为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4)右图给出的是计算的一个程序框图,‎ ‎ 其中判断框内应填入的条件是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(5)某小区有排成一排的个车位,现有辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 ‎ (A)16 (B)18 (C)24 (D)32‎ ‎(6)已知,,,若,,,,成等比数列,则的值为 C ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)在直角梯形中,已知∥,,,,,若为的中点,则的值为 (A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)命题“”的否定是 .‎ ‎(10)在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离为 . ‎ ‎(11)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ;若从甲、乙两组数据中 分别去掉一个最大数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大 的一组是 组.‎ ‎(12)如图,是⊙的直径,直线切⊙于点,且与延长线交于 点,若,,则= .‎ ‎(13)抛物线的准线方程为 ;经过此抛物线的焦点是和点,且 与准线相切的圆共有 个.‎ ‎(14)如图,在边长为的正方形中,点在上,正方形 以为轴逆时针旋转角 到的位置 ,同时点沿着从点运动到点,‎ ‎,点在上,在运动过程中点始终 满足,记点在面上的射影为,则 在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题共13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,当[,]时,求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎(16)(本小题共13分)‎ ‎ 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为,二等品率为;乙产品的一等品率为,二等品率为.生产件甲产品,若是一等品,则获利万元,若是二等品,则亏损万元;生产件乙产品,若是一等品,则获利万元,若是二等品,则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为(单位:万元),求的分布列;‎ ‎(Ⅱ)求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.‎ ‎(17)(本小题共13分)‎ 如图1,在边长为的正三角形中,,,分别为,,上的点,且满足.将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结,.(如图2)‎ ‎(Ⅰ)求证:⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎(18)(本小题共14分)‎ 已知函数在处的切线斜率为零.‎ ‎(Ⅰ)求和的值;‎ ‎(Ⅱ)求证:在定义域内恒成立;‎ ‎(Ⅲ) 若函数有最小值,且,求实数的取值范围.‎ ‎(19)(本小题共13分)‎ 已知椭圆:的离心率是,其左、右顶点分别为,,为短轴的端点,△的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)为椭圆的右焦点,若点是椭圆上异于,的任意一点,直线,与直线分别交于,两点,证明:以为直径的圆与直线相切于点.‎ ‎(20)(本小题共14分)‎ 若对于正整数,表示的最大奇数因数,例如,.设. ‎ ‎(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求,,的值;(Ⅲ)求数列的通项公式.‎ 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习(一)‎ 数学参考答案及评分标准 (理科)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)D (2)A (3)A(4)B (5)C (6)C (7)D (8)A 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10) (11)84 乙(12) (13) (14)‎ 注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎(15)解:(Ⅰ)因为 , 所以函数的最小正周期为. ‎ ‎(Ⅱ)依题意,[]. 因为,所以. 当,即时,取最大值;当,即时, 取最小值. ‎ ‎(16)解:(Ⅰ)由题设知,的可能取值为,,,. , ‎ ‎ ,, . ‎ ‎ 由此得的分布列为:‎ ‎(Ⅱ)设生产的件甲产品中一等品有件,则二等品有件.由题设知,解得,‎ 又,得,或. 所求概率为.(或写成)‎ 答:生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为.‎ ‎(17)(共13分)‎ ‎(Ⅰ)证明:取中点,连结.‎ 因为,,‎ 所以,而,即△是正三角形.‎ 又因为, 所以. …………2分 所以在图2中有,.…………3分 所以为二面角的平面角. 又二面角为直二面角, 所以.又因为, 所以⊥平面,即⊥平面. ‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知⊥平面,,如图,以为原点,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,.‎ 在图1中,连结.因为,‎ 所以∥,且.‎ 所以四边形为平行四边形.所以∥,且.‎ 故点的坐标为(1,,0). 所以, ,. ‎ 不妨设平面的法向量,则即令,得.  ‎ 所以. 故直线与平面所成角的大小为. ‎ ‎(18)(Ⅰ)解:. 由题意有即,解得或(舍去).‎ 得即,解得.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, .‎ 在区间上,有;在区间上,有. 故在单调递减,在单调递增,‎ 于是函数在上的最小值是.故当时,有恒成立.‎ ‎(Ⅲ)解: .‎ 当时,则,当且仅当时等号成立,‎ 故的最小值,符合题意; ‎ 当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意;‎ 当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意.‎ 综上,实数的取值范围是. ‎ ‎(19)(Ⅰ)解:由已知 ‎ ‎ 解得,.故所求椭圆方程为.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,.‎ 设,则.于是直线方程为 ,令,得;‎ 所以,同理. 所以,.‎ 所以 ‎ ‎ 所以 ,点在以为直径的圆上. ‎ ‎ 设的中点为,则.又,‎ 所以 ‎.所以 .‎ 因为是以为直径的圆的半径,为圆心,,故以为直径的圆与直线相切于右焦点. ‎ ‎(20)解:(Ⅰ),. (Ⅱ); ‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎ (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对, 有.所以当时,‎ ‎ 于是,.‎ 所以 ‎ ‎,. 又,满足上式, 所以对,. ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数 学(理科)‎ ‎2012.04‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合,,且,那么的值可以是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)在等比数列中,,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)在极坐标系中,过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是 ‎(A) (B)‎ 开始 n=5,k=0‎ n为偶数 n=1‎ 输出k 结束 k=k+1‎ 是 否 是 否 ‎(C) (D)‎ ‎(4)已知向量,若与垂直,则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C)2 (D)4‎ ‎(5)执行如图所示的程序框图,输出的值是 ‎(A)4 (B)5 ‎ ‎(C)6 (D)7 ‎ ‎(6)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是 ‎ ‎(A)12 (B)24 ‎ ‎(C)36 (D)48‎ ‎(7)已知函数 若,使得成立,则实数的取值范围是 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)或 ‎(8)在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足与所成的角为的点的个数为 ‎ ‎(A)0 (B)3 ‎ ‎(C)4 (D)6‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.‎ ‎(9)复数在复平面内所对应的点在虚轴上,那么实数= . ‎ ‎(10)过双曲线的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . ‎ ‎(11)若,则= . ‎ ‎(12)设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性大于1(其中,是的导数),则商品价格的取值范围是 . ‎ ‎(13)如图,以的边为直径的半圆交于点,交于点,于点,,,那么= ,= . ‎ ‎(14)已知函数则 ‎(ⅰ)= ;‎ ‎(ⅱ)给出下列三个命题:‎ ‎①函数是偶函数;‎ ‎②存在,使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形;‎ ‎③存在,使得以点为顶点的四边形为菱形. ‎ 其中,所有真命题的序号是 . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 在中,角,,的对边分别为,且,, 成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)若,,求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,求的最大值.‎ ‎ (16)(本小题满分14分)‎ 在四棱锥中,//,,,平面,. ‎ ‎(Ⅰ)设平面平面,求证://; ‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.‎ ‎ (17)(本小题满分13分)‎ 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.‎ ‎(Ⅰ)求直方图中的值;‎ ‎(Ⅱ)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿;‎ ‎(Ⅲ)从学校的新生中任选4名学生,这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为,求的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数,使得函数的极大值等于?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(19)(本小题满分13分)‎ 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为坐标原点,左焦点为, 为椭圆的上顶点,且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)已知直线:与椭圆交于,两点,直线:()与椭圆交于,两点,且,如图所示.‎ ‎(ⅰ)证明:;‎ ‎(ⅱ)求四边形的面积的最大值.‎ ‎ (20)(本小题满分14分)‎ 对于集合M,定义函数对于两个集合M,N,定义集合. 已知,.‎ ‎(Ⅰ)写出和的值,并用列举法写出集合;‎ ‎(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,求的最小值;‎ ‎(Ⅲ)有多少个集合对(P,Q),满足,且?‎ ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(理科)‎ 参考答案及评分标准 2012.04‎ 一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ 答案 D B A C B D ‎ A B 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎(9) (10) (11) (12) ‎ ‎(13)60° (14) ①③‎ 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为成等差数列,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以. ………………………………………2分 ‎ 因为,,,‎ ‎ 所以. ………………………………………5分 所以或(舍去). ………………………………………6分 ‎ (Ⅱ)因为,‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ………………………………………10分 ‎ 因为,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以当,即时,有最大值.‎ ‎………………………………………13分 ‎ (16)(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明: 因为//,平面,平面,‎ 所以//平面. ………………………………………2分 因为平面,平面平面,‎ 所以//. ………………………………………4分 ‎(Ⅱ)证明:因为平面,,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,. ‎ ‎………………………………………5分 所以 ,,‎ ‎,‎ 所以,‎ ‎.‎ 所以 ,. ‎ 因为 ,平面,‎ 平面,‎ 所以 平面. ‎ ‎………………………………………9分 ‎(Ⅲ)解:设(其中),,直线与平面所成角为.‎ 所以 .‎ 所以 .‎ 所以 即. ‎ 所以 . ………………………………………11分 由(Ⅱ)知平面的一个法向量为.‎ ‎………………………………………12分 因为 ,‎ 所以 .‎ 解得 .‎ 所以 . ………………………………………14分 ‎(17)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)由直方图可得:‎ ‎.‎ 所以 . ………………………………………2分 ‎(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:‎ ‎, ………………………………………4分 因为,‎ 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. ‎ ‎………………………………………6分 ‎(Ⅲ)的可能取值为0,1,2,3,4. ………………………………………7分 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为,‎ ‎, ,‎ ‎,,‎ ‎. ‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………………………………………12分 ‎.(或)‎ 所以的数学期望为1. ………………………………………13分 ‎ (18)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)的定义域为.‎ ‎ ,‎ 即 . ………………………………………2分 令,解得:或. ‎ 当时,,故的单调递增区间是.‎ ‎ ………………………………………3分 当时,‎ ‎,随的变化情况如下:‎ 极大值 极小值 所以,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是.‎ ‎………………………………………5分 当时,‎ ‎,随的变化情况如下:‎ 极大值 极小值 所以,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是.‎ ‎………………………………………7分 ‎(Ⅱ)当时,的极大值等于. 理由如下:‎ ‎ 当时,无极大值.‎ 当时,的极大值为, ‎ ‎………………………………………8分 令,即 解得 或(舍).‎ ‎ ………………………………………9分 ‎ 当时,的极大值为. ‎ ‎………………………………………10分 因为 ,, ‎ 所以 .‎ 因为 ,‎ 所以 的极大值不可能等于. ………………………………………12分 综上所述,当时,的极大值等于.‎ ‎………………………………………13分 ‎ (19)(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:设椭圆的标准方程为.‎ ‎ 因为,,‎ 所以.‎ 所以 . ………………………………………2分 所以 椭圆的标准方程为. ………………………………………3分 ‎(Ⅱ)设,,,.‎ ‎(ⅰ)证明:由消去得:.‎ 则,‎ ‎ ………………………………………5分 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 同理 . ………………………………………7分 因为 ,‎ 所以 .‎ 因为 ,‎ 所以 . ………………………………………9分 ‎(ⅱ)解:由题意得四边形是平行四边形,设两平行线间的距离为,则 .‎ 因为 ,‎ 所以 . ………………………………………10分 所以 ‎ ‎.‎ ‎(或)‎ 所以 当时, 四边形的面积取得最大值为. ‎ ‎ ………………………………………13分 ‎ (20)(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ),,. ‎ ‎………………………………………3分 ‎(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,①若且,则;②若且,则.‎ 所以 要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.‎ 所以 当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4. ………………………………………8分 ‎(Ⅲ)因为 ,‎ 所以 .‎ 由定义可知:.‎ 所以 对任意元素,,‎ ‎ .‎ 所以 .‎ 所以 . ‎ 由 知:.‎ 所以 .‎ 所以 .‎ 所以 ,即.‎ 因为 ,‎ 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为.‎ ‎………………………………………14分 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习(一)‎ 数学 (理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)若,,是虚数单位,且,则的值为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)若集合,,则“”是“”的 ‎ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ ‎(3)若实数,满足不等式组则的最小值为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4)右图给出的是计算的一个程序框图,‎ ‎ 其中判断框内应填入的条件是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(5)某小区有排成一排的个车位,现有辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 ‎ (A)16 (B)18 (C)24 (D)32‎ ‎(6)已知,,,若,,,,成等比数列,则的值为 C ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)在直角梯形中,已知∥,,,,,若为的中点,则的值为 (A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)命题“”的否定是 .‎ ‎(10)在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离为 . ‎ ‎(11)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ;若从甲、乙两组数据中 分别去掉一个最大数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大 的一组是 组.‎ ‎(12)如图,是⊙的直径,直线切⊙于点,且与延长线交于 点,若,,则= .‎ ‎(13)抛物线的准线方程为 ;经过此抛物线的焦点是和点,且 与准线相切的圆共有 个.‎ ‎(14)如图,在边长为的正方形中,点在上,正方形 以为轴逆时针旋转角 到的位置 ,同时点沿着从点运动到点,‎ ‎,点在上,在运动过程中点始终 满足,记点在面上的射影为,则 在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题共13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,当[,]时,求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎(16)(本小题共13分)‎ ‎ 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为,二等品率为;乙产品的一等品率为,二等品率为.生产件甲产品,若是一等品,则获利万元,若是二等品,则亏损万元;生产件乙产品,若是一等品,则获利万元,若是二等品,则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为(单位:万元),求的分布列;‎ ‎(Ⅱ)求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.‎ ‎(17)(本小题共13分)‎ 如图1,在边长为的正三角形中,,,分别为,,上的点,且满足.将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结,.(如图2)‎ ‎(Ⅰ)求证:⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎(18)(本小题共14分)‎ 已知函数在处的切线斜率为零.‎ ‎(Ⅰ)求和的值;‎ ‎(Ⅱ)求证:在定义域内恒成立;‎ ‎(Ⅲ) 若函数有最小值,且,求实数的取值范围.‎ ‎(19)(本小题共13分)‎ 已知椭圆:的离心率是,其左、右顶点分别为,,为短轴的端点,△的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)为椭圆的右焦点,若点是椭圆上异于,的任意一点,直线,与直线分别交于,两点,证明:以为直径的圆与直线相切于点.‎ ‎(20)(本小题共14分)‎ 若对于正整数,表示的最大奇数因数,例如,.设. ‎ ‎(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求,,的值;(Ⅲ)求数列的通项公式.‎ 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习(一)‎ 数学参考答案及评分标准 (理科)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)D (2)A (3)A(4)B (5)C (6)C (7)D (8)A 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10) (11)84 乙(12) (13) (14)‎ 注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎(15)解:(Ⅰ)因为 , 所以函数的最小正周期为. ‎ ‎(Ⅱ)依题意,[]. 因为,所以. 当,即时,取最大值;当,即时, 取最小值. ‎ ‎(16)解:(Ⅰ)由题设知,的可能取值为,,,. , ‎ ‎ ,, . ‎ ‎ 由此得的分布列为:‎ ‎(Ⅱ)设生产的件甲产品中一等品有件,则二等品有件.由题设知,解得,‎ 又,得,或. 所求概率为.(或写成)‎ 答:生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为.‎ ‎(17)(共13分)‎ ‎(Ⅰ)证明:取中点,连结.‎ 因为,,‎ 所以,而,即△是正三角形.‎ 又因为, 所以. …………2分 所以在图2中有,.…………3分 所以为二面角的平面角. 又二面角为直二面角, 所以.又因为, 所以⊥平面,即⊥平面. ‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知⊥平面,,如图,以为原点,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,.‎ 在图1中,连结.因为,‎ 所以∥,且.‎ 所以四边形为平行四边形.所以∥,且.‎ 故点的坐标为(1,,0). 所以, ,. ‎ 不妨设平面的法向量,则即令,得.  ‎ 所以. 故直线与平面所成角的大小为. ‎ ‎(18)(Ⅰ)解:. 由题意有即,解得或(舍去).‎ 得即,解得.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, .‎ 在区间上,有;在区间上,有. 故在单调递减,在单调递增,‎ 于是函数在上的最小值是.故当时,有恒成立.‎ ‎(Ⅲ)解: .‎ 当时,则,当且仅当时等号成立,‎ 故的最小值,符合题意; ‎ 当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意;‎ 当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意.‎ 综上,实数的取值范围是. ‎ ‎(19)(Ⅰ)解:由已知 ‎ ‎ 解得,.故所求椭圆方程为.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,.‎ 设,则.于是直线方程为 ,令,得;‎ 所以,同理. 所以,.‎ 所以 ‎ ‎ 所以 ,点在以为直径的圆上. ‎ ‎ 设的中点为,则.又,‎ 所以 ‎.所以 .‎ 因为是以为直径的圆的半径,为圆心,,故以为直径的圆与直线相切于右焦点. ‎ ‎(20)解:(Ⅰ),. (Ⅱ); ‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎ (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对, 有.所以当时,‎ ‎ 于是,.‎ 所以 ‎ ‎,. 又,满足上式, 所以对,. ‎ 祝各位童鞋取得理想成绩!‎
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