湖北高考数学试题理科及答案

湖北高考数学试题理科及答案

2006 年湖北高考数学试题（理科） 一、选择题：本大题 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知向量 a=（ ，1），b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b= ,则 b= A.（ ） B.（ ） C.（ ） D.（1，0） 2.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列，c、a、b 成等比数列，且 a+3b+c=10，则 a= A.4 B.2 C.-2 D.-4 3.若ΔABC 的内角 A 满足 sin2A= ，则 sinA+cosA= A. B. - C. D.- 4.设 ，则 的定义域为 A.（-4，0） （0，4） B.（-4，-1） （1，4） C.（-2，-1） （1，2） D.（-4，-2） （2，4） 5．在 的展开式中， 的幂的指数是整数的项共有 A．3 项 B．4 项 C．5 项 D．6 项 6．关于直线 、 与平面 、 ，有下列四个命题： ○1 若 ， 且 ，则 ； ○2 若 ， 且 ，则 ； ○3 若 ， 且 ，则 ； ○4 若 ， 且 ，则 。 其中真命题的序号式 A．○1 ○2 B．○3 ○4 C．○1 ○4 D．○2 ○3 7. 设过点 P（x，y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若 ,且 =1,则 P 点的轨迹方程是 A. 3x2+ y2=1 (x>0,y>0) B.3x2- y2＝1（x>0, y>0） C. x2-3y2=1(x>0,y>0) D. x2+3y2=1(x>0,y>0) 8.有限集合 S 中元素的个数记作 card（S）。设 A、B 都为有限集合，给出下列命题： 3  3 3 1,2 2 1 3,2 2 1 3 3,4 4 2 3 15 3 15 3 5 3 5 3 2( ) lg 2 xf x x += − 2( ) ( )2 xf f x + ∪ ∪ ∪ ∪ 24 3 1x x  +   x m n α β //m α //n β //α β //m n m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ m α⊥ //n β //α β m n⊥ //m α n β⊥ α β⊥ //m n 2BP PA=  OQ AB   3 2 3 2 3 2 3 2 ①A B= 的充要条件是 card（A B）=cad（A）+cad（B）； ②A B 的必要条件是 cad（A） card（B）； ③A B 的充分条件是 cad（A） card（B）； ④A=B 的充要条件是 cad（A）=card（B）. 其中真命题的序号是 A.③④ B.①② C. ①④ D. ②③ 9. 已知平面区域 D 由以 A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成. 若在区域 D 上有无穷多个点（x，y）可使目标函数 z=x+my 取得最小值，则 m= A. -2 B. -1 C. 1 D. 4 10. 关于 x 的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题： ①存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根 ②存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根 ③存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根 ④存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根 其中假命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11. 设 x、y 为实数，且 ，则 x+y=_________________. 12. 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热 反应的概率为_______________.（精确到 0.01） 13.已知直线 5x＋12y＋a＝0 与圆 x －2x＋y ＝0 相切，则 a 的值为 __________. 14.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的不同排法种数是_____________.(用数字作答) 15.将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得 到一个如右所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布 尼茨三角形可看出 ，其中 x ＝ _____________. 令 a ＝ … ＋ ，则 ＝ ___________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ∩ ∅ ∪ ⊆ ≤ ≤ 5 1 1 2 1 3 x y i i i + =− − − 2 2 r nC 1 ( 1) r nn C+ 1 1 1 1 ( 1) ( 1)r x r n n nn C n C nC − + =+ + n 1 1 1 1 3 12 30 60 + + + + 2 2 1 1 1 ( 1)n nnC n C− + + lim nn a→∞ 16．（本小题满分 12 分） 设 函 数 ， 其 中 向 量 ， ， 。 （Ⅰ）求函数 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）将函数 的图像按向量 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 称，求长度最小的 。 17、（本小题满分 13 分） 已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 。数列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 的图像上。 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ， 是数列 的前 n 项和,求使得 对所有 都成立的 最小正整数 m。 18、（本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CP=m， （Ⅰ）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDB1D1 所 成 角 的 正切值为 ； （Ⅱ）在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q，使 得 对 任 意 的 m，D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP， 并 证 明 你 的结论。 ( ) ( )f x a b c= ⋅ + ( )sin , cosa x x= − ( )sin , 3cosb x x= − ( )cos ,sin ,c x x x R= − ∈ ( )f x ( )y f x= d d ( )y f x= ( ) 6 2f x x′ = − { }na nS *( , )( )nn S n N∈ ( )y f x= { }na 1 3 n n n b a a + = nT { }nb 20n mT < *n N∈ 3 2 19、（本小题满分 10 分） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N（70，100）。已知 成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。 （Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？ （Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数约为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表 20.（本小题满分 14 分） 设 A、B 分别为椭圆 （ ）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 为它的右准线。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于 异于 A、B 的点 M、N，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图） 21.（本小题满分 14 分） 设 x=3 是函数 的一个极值点. （I）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间； （II）设 >0， =（ ） .若存在 使得| |<1 成立，求 的取值范围. 2006 年湖北高考数学试题（理科） 参考答案 x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 ( ) ( ) 0 0x p x xΦ = < 2 2 2 2 1x x a b + = , 0a b > 4x = 2 3( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R−= + + ∈ a b a b ( )f x a ( )g x 2 25 4a + xe 1 2, [0,4]ε ε ∈ 1 2( ) ( )f gε ε− a 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分。 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分。 11.4 12.0.94 13.—18 或 8 14.20 15.r+1, 三、解答题 16.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本 知识，考查推力和运算能力 解：（I）有题意的 = = = 故 f(x)的最大值为 ，最小正周期是 （II）由 得 ，即 于是 因为 k 为正数，要使 最小，则只要 k=1,此时 即为所求 17、本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能，考 查分析问题的能力和推理能力。 解：（I）依题意可设 则 由 得 所以 又由点 均在函数 的图像上得 当 时 当 时 所以 （II）由（I）得 故， = 1 2 ( ) ( ) (sin , cos ) (sin cos ,sin 3cos )f x a b c x x x x x x= + = − − −  2 2sin 2sin cos 3cosx x x x− + 2 cos2 sin 2x x+ − 32 2 sin(2 )4x π+ + 2 2+ 2 2 π π= 3sin(2 ) 04x π+ = 32 4x k π π+ = 3 , .2 8 kx k Z π π= − ∈ 23 3( , 2), ( ) 4,8 2 2 8 k kd d k z π π π π= − − = − + ∈ d ( , 2)8d π= − − 2( ) ( 0),f x ax bx a= + ≠ `( ) 2f x ax b= + `( ) 6 2f x x= − 3, 2,a b= = − 2( ) 3 2 .f x x x= − ( , )nn S ( *)n N∈ ( )y f x= 23 2nS n n= − 2n ≥ 2 2 1 3 2 3( 1) 2( 1) 6 5n n na S S n n n n n−  = − = − − − − − = −  1n = 2 1 1 3 1 2 1 6 1 5a S= = × − × = × − *6 5( )na n n N= − ∈ [ ]1 3 3 1 1 1( ),(6 5) 6( 1) 5 2 6 5 6 1n n n b a a n n n n+ = = = −− + − − + 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 7 7 13 6 5 6 1nT n n  = − + − + + − − +  1 1(1 ).2 6 1n = − + 因此使得 成立的 m 必须且必须满足 即 故满足最小的正整数 m 为 10 18、本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能 力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法１：（１） 故 。所以 。 又 . 故 在 △ ，即 . 故当 时，直线 。 （Ⅱ）依题意，要在 上找一点 ，使得 . 可推测 的中点 即为所求的 点。 因为 ，所以 又 ,故 。 从而 解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 又由 的一个法向量. *1 1(1 ) ( )2 6 1 20 m n Nn − < ∈+ 1 ,2 20 m≤ 10m ≥ , ,AC AC BD O=连 设 1 .AP B G OG1与面BDD 交于点 ，连 1 1 1 1// , ,PC BDD B BDD B APC OG=因为 面 面 面 //OG PC 1 2 2 mOG PC= = 1 1 1, ,AO DB AO BB AO BDD B⊥ ⊥ ⊥所以 面 1 1AGO AP BDD B∠ 即为 与面 所成的角。 Rt 2 2tan 3 2 2 AOG AGO m = =中， 1 3m = 1 3m = AP 1 1与平面BDDB所成的角的正切值为３ 2 1 1A C Q 1D Q AP⊥ 1 1A C 1O Q 1 1 1 1 .D O A C⊥ 1 1 1D O AA⊥ 1 1 1 .D Q ACC A⊥ 面 1 1 .AP ACC A⊂ 面 1 1D O AP⊥ 1 1 1D O AD P AP在平面 上的射影与 垂直。 1( 1, 1,0), (0,0,1),BD BB= − − = ( 1,1, ), ( 1,1,0).AP m AC= − = −  1 10, 0AC BD AC BB AC D D⋅ = ⋅ =    1知 为平面BB 设 与 所成的角为 ， 则 依题意有： ，解得 . 故当 时，直线 。 （２）若在 上存在这样的点 ，设此点的横坐标为 ， 则 。 依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于 即 为 的中点时，满足题设的要求. 19.本小题主要考查正态分布、对立事件的概念和标准正态分布表的查阅，考查运用概率统 计知识解决实际问题的能力。 解：（1）设参赛学生的分布数为 ，因为 ，由条件知： 这说明成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生人数约占全体参赛人数的 2.28％ 因此，参赛总人数约为 （2）假定设奖的分数线为 分，则 即 ，查表得 ，解得 故设奖的分数线约为 83 分. 20.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力。 解(Ⅰ)依题意得 解得 从而 故椭圆方程为 AP 1 1BDD B面 θ 2 | | 2sin cos( )2 | | | | 2 2 AP AC AP AC m πθ θ ⋅= − = = ⋅ ⋅ +     2 2 2 3 2 2 2 1 (3 2)m = ⋅ + + 1 3m = 1 3m = AP 1 1与平面BDDB所成的角的正切值为３ 2 1 1A C Q x 1( ,1 ,1), ( ,1 ,0)Q x x D Q x x− = − 1 1AP 1 0 (1 ) 0 2D Q AP D Q x x x⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + − = ⇔ =   Q 1 1A C ξ (70,100)Nξ  90 70( 90) 1 ( 90) 1 F(90)=1 ( ) 1 (2) 1 0.9772 0.022810P Pξ ξ φ φ−≥ = − < = − − = − = − = 12 526(0.0228 ≈ 人) x 70 50( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0.095110 526 xP x P x F xξ ξ φ −≥ = − < = − = − = = 70( ) 0.904910 xφ − = 70 1.3110 x − = 83.1x = 2 2 4 a c a c = = 2 1 a c =  = 3b = 2 2 14 3 x y+ = （Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 设 M 点在椭圆上， ① 又 M 点异于顶点 A、B， 由 P、A、M 三点共线可得 从而 ∴ ② 将①式代入②式化简得 于是 为锐角，从而 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法二：由（Ⅰ）得 .设 , 则直线 AP 的方程为 ,直线 BP 的方程为 . 点 M、N 分别在直线 AP、BP 上， .从而 ③ 联立 消去 得 =0 是方程的两根, ,即 ④ 又 ⑤ 于是由③、④式代入⑤式化简可得 N 点在椭圆上，且异于顶点 A、B， 又 ， 从而 故 为钝角，即点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 3：由（Ⅰ）得 ，设 ( 2,0), (2,0),A B− 0 0( , )M x y  2 2 0 0 3 (4 )4y x∴ = − 02 2x∴− < < 0 0 6(4, )2 yP x + 0 0 0 0 6( 2, ), (2, )2 yBM x y BP x = − = +   2 2 20 0 0 0 0 0 6 22 4 ( 4 3 )2 2 yBM BP x x yx x = − + = − ++ +    0 5 (2 )2BM MP x= −   02 0, 0.x BM BP− > ∴ >    BPM∠ MBN∠ ( 2,0), (2,0)A B− 1 1 2 2(4, )( 0), ( , ), ( , )P M x y N x yλ λ ≠ 1( 2)6y x λ= + ( 2)2y x λ= −  1 1 2 2( 2), ( 2)6 2y x y x λ λ∴ = + = − 2 1 2 1 2( 2)( 2)12y y x x λ= + + 2 2 ( 2)6 14 3 y x x y λ = +  + = y 2 2 2 2(27 ) 4 4( 27)x xλ λ λ+ + + − 1, 2x − 2 1 2 4( 27)( 2) 27x λ λ −∴ − = + 2 1 2 2(27 ) 27x λ λ −= + 1 1 2 2 1 2 1 2( 2, ) ( 2, ) ( 2)( 2)BM BN x y x y x x y y= − − = − − +    2 22 5 ( 2)27BM BN x λ λ= −+     2 2 0x∴ − < 2 2 50, 027 λλ λ≠ ∴ >+ 0BM BN <   MBN∠ ( 2,0), (2,0)A B− 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 则 .又 MN 的中点 Q 的坐标为 ， 化简得 ⑥ 直线 AP 的方程为 ，直线 BP 的方程为 点 P 在准线 上， ，即 ⑦ 又 M 点在椭圆上, ,即 ⑧ 于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得 从而 B 在以 MN 为直径的圆内。 21．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能 力. 解：（1） 由 得 所以 令 得 由于 是 的极值点，故 ，即 当 时， ，故 在 上为减函数，在 上为减函数，在 上为增函数 当 时， ，故 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数. （2）当 时， ，故 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为减函数 1 22 2, 2 2x x− < < − < < 1 2 1 2,2 2 x x y y+ +     2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1( 2) ( ) ( ) ( )4 2 2 4 x x y yBQ MN x x y y + +  ∴ − = − + − − + −  2 2 1 2 1 2 1 ( 2)( 2)4BQ MN x x y y− = − − + 1 1 ( 2)2 yy xx = ++ 2 2 ( 2)2 yy xx = −−  4x = 1 2 1 2 6 2 2 2 y y x x ∴ =+ − 2 1 2 1 3( 2) 2 x yy x −= + 2 2 1 1 14 3 x y∴ + = 2 2 1 1 3 (4 )4y x= − 2 2 1 2 1 5 (2 )( 2) 04 4BQ MN x x− = − − < 2 3'( ) ( 2) xf x x a x b a e − = − + − + −  '(3) 0f = 2 3b a= − − 2 3( ) ( 2 3) xf x x ax a e −= + − − 2 3 3( ) ( 2) 3 3 ( 3)( 1)x xf x x a x a e x x a e− −′  = − + − − − = − − + +  ' ( ) 0f x = 1 23, 1x x a= = − − 3x = ( )f x 1 2x x≠ 4a ≠ − 4a < − 1 2x x< ( )f x ( ],3−∞ [ ]3, 1a− − [ )1,a− − +∞ 4a > − 1 2x x> ( )f x ( ], 1a−∞ − − [ ]1,3a− − [ )3,+∞ 0a > 1 0a− − < ( )f x [ ]0,3 [ ]3,4 [ ]3,+∞ 因此 在 上的值域为 而 在 上为增函数，所以值域为 注意到 ， 故由假设知 解得 故 的取值范围是 ( )f x [ ]0,4 { } 3min (0), (4) , (3) (2 3) , 6f f f a e a = − + +     2 25( ) ( )4 xg x a e= + [ ]0,4 2 2 425 25,( )4 4a a e + +   2 225 1( ( 6) ( ) 04 2a a a+ − + = − ≥ 2 25( ( 6) 1,4 0. a a a  + − + <  > 30 2a< < a 3(0, )2