高考文科数学分类汇编专题九解析几何

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高考文科数学分类汇编专题九解析几何

‎《2018年高考文科数学分类汇编》‎ 第九篇:解析几何 一、 选择题 ‎1.【2018全国一卷4】已知椭圆:的一个焦点为,则的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎2.【2018全国二卷6】双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎3.【2018全国二11】已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎4.【2018全国三卷8】直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎5.【2018全国三卷10】已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D.‎ ‎6.【2018天津卷7】已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点. 设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为 ‎ ‎ A B ‎ C D ‎ ‎7.【2018浙江卷2】双曲线的焦点坐标是 A.(−,0),(,0) B.(−2,0),(2,0) ‎ C.(0,−),(0,) D.(0,−2),(0,2)‎ ‎8.【2018上海卷13】设P是椭圆+=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )‎ ‎ A.2‎2‎ B.2‎3‎ C.2‎5‎ D.4‎‎2‎ 一、 填空题 ‎1.【2018全国一卷15】直线与圆交于两点,则________.‎ ‎2.【2018北京卷10】已知直线l过点(1,0)且垂直于轴,若l被抛物线截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.‎ ‎3.【2018北京卷12】若双曲线的离心率为,则a=_________.‎ ‎4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.‎ ‎5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是 .‎ ‎6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为 .‎ ‎7.【2018浙江卷17】已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=___________时,点B横坐标的绝对值最大.‎ ‎8.【2018上海卷2】2.双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎9.【2018上海卷12】已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足:,,‎ ‎,则+的最大值为__________‎ 三、解答题 ‎1.【2018全国一卷20】设抛物线,点,,过点的直线与交于,两点.‎ ‎(1)当与轴垂直时,求直线的方程;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.‎ ‎ (1)求的方程;‎ ‎ (2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.‎ ‎3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:.‎ ‎4.【2018北京卷20】已知椭圆的离心率为,焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D和点共线,求k.‎ ‎5.【2018天津卷19】设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点M,且点P,M均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求k的值.‎ ‎6.【2018江苏卷18】如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.‎ ‎7.【2018浙江卷21】如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.‎ ‎(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.‎ ‎8.【2018上海卷20】(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)‎ ‎ 设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线:,l与x轴交于点A,与交于点B,P、Q分别是曲线与线段AB上的动点.‎ ‎(1)用t为表示点B到点F的距离;‎ ‎ (2)设t=3,,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;‎ ‎(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C ‎ 一、 填空题 ‎1. 2. 3.4 4. 5.2 6.3 7.5 ‎ ‎8. 9.‎ 二、 解答题 ‎1.解:(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,–2).‎ 所以直线BM的方程为y=或.‎ ‎(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时,设l的方程为,M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.‎ 由得ky2–2y–4k=0,可知y1+y2=,y1y2=–4.‎ 直线BM,BN的斜率之和为 ‎.①‎ 将,及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得 ‎.‎ 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM+∠ABN.‎ 综上,∠ABM=∠ABN.‎ ‎2.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得.‎ ‎,故.‎ 所以.‎ 由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x–1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 ‎,即.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得或 因此所求圆的方程为 或.‎ ‎3.解:(1)设,,则,.‎ 两式相减,并由得.‎ 由题设知,,于是.‎ 由题设得,故.‎ ‎(2)由题意得F(1,0).设,则 ‎.‎ 由(1)及题设得,.‎ 又点P在C上,所以,从而,.‎ 于是.‎ 同理.‎ 所以.‎ 故.‎ ‎4.解:(Ⅰ)由题意得,所以,‎ 又,所以,所以,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,‎ 由消去可得,‎ 则,即,‎ 设,,则,,‎ 则,‎ 易得当时,,故的最大值为.‎ ‎(Ⅲ)设,,,,‎ 则 ①, ②,‎ 又,所以可设,直线的方程为,‎ 由消去可得,‎ 则,即,学科*网 又,代入①式可得,所以,‎ 所以,同理可得.‎ 故,,‎ 因为三点共线,所以,‎ 将点的坐标代入化简可得,即.‎ 5. 解:(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得.‎ 由,从而.‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(II)设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,‎ 点的坐标为.由的面积是面积的2倍,可得,‎ 从而,即.‎ 易知直线的方程为,‎ 由方程组消去y,可得.‎ 由方程组消去,可得.‎ 由,可得,两边平方,整理得,解得,或.‎ 当时,,不合题意,舍去;当时,,,符合题意.‎ 所以,的值为.‎ ‎6.解:(1)因为椭圆C的焦点为,‎ 可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,‎ 所以,解得 因此,椭圆C的方程为.‎ 因为圆O的直径为,所以其方程为.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于,则,‎ 所以直线l的方程为,即.‎ 由消去y,得.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ 因此,点P的坐标为.‎ ‎②因为三角形OAB的面积为,‎ 所以,从而.‎ 设,‎ 由(*)得,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以,即,‎ 解得舍去),则,因此P的坐标为.‎ 综上,直线l的方程为.‎ ‎7.解:(Ⅰ)设,,.‎ 因为,的中点在抛物线上,‎ 所以,为方程即的两个不同的实数根. 所以.‎ 因此,垂直于轴.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 所以,.‎ 因此,的面积.‎ 因为,所以.‎ 因此,面积的取值范围是.‎ ‎8.解:(1)由抛物线的性质可知,抛物线的准线为,‎ 抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离,‎ 由题意知,点的横坐标为,则。‎ ‎(2)当时,。‎ 由曲线:知:‎ 点的纵坐标为,则。‎ 由于在线段上,则点的纵坐标取值在之间。‎ 由题意,,则的纵坐标为,‎ 故,的中点坐标为。‎ 由于,由题意可知的斜率存在,则可设直线的方程为:,‎ 所以将点的坐标代入方程得,‎ 解得,则直线的方程为。‎ 代入抛物线方程得。‎ 由于、均在直线上,则的边边长为,‎ 边上的高等于,‎ 则。‎ ‎(3)存在以、为邻边的矩形,使得点在上。‎ 当时,,点的纵坐标为,则。‎ 设,。‎ ‎①若,则点,而点,则轴。‎ 若以、为邻边的四边形为矩形,则,‎ 则轴,故点。此时点,由于,‎ 则点不在上,此情况不成立。‎ ‎②当时,直线的斜率可以表示为 由于,则直线的斜率可以表示为。‎ 所以直线的方程为,‎ 当时,,‎ 所以。‎ 而在以、为邻边的四边形中,、为不相邻的两个顶点,‎ 则。‎ 而,,‎ 则。‎ 故点。‎ 当点点在上时,有,‎ 移项后去分母整理得,解得。‎ 而,则,故。‎ 综上所述,存在以、为邻边的矩形,使得点在上,此时点。‎
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