高考前沿高三物理二轮专题复习曲线运动

高考前沿高三物理二轮专题复习曲线运动

‎（高考前沿）2010届高三物理二轮专题复习精品教案--曲线运动 ‎ 目的要求：理解并熟悉掌握运动的合成与分解的思想方法,理解掌握匀速圆周运动及其重要公式,能应用有关知误解解决一些实际问题.‎ 第1课 ‎ 运动的合成与分解 知识简析 一、运动的合成 ‎1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．‎ ‎2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：‎ ‎（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．‎ ‎（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则．‎ ‎3．合运动的性质取决于分运动的情况:‎ ‎①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．‎ ‎②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。‎ ‎③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。‎ 二、运动的分解 ‎1．已知合运动求分运动叫运动的分解．‎ ‎2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．‎ ‎3．将速度正交分解为 vx＝vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法．‎ ‎4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．‎ 三、合运动与分运动的特征：‎ ‎（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．‎ ‎（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．‎ ‎(3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；‎ ‎(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。‎ ‎【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以 (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做 ‎(A)速度大小不变的曲线运动． (B)速度大小增加的曲线运动．‎ ‎(C)加速度大小方向均不变的曲线运动．‎ ‎(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 答案：B C 四、物体做曲线运动的条件 ‎1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．‎ ‎2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）．‎ 说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。‎ ‎3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．‎ 规律方法 1、运动的合成与分解的应用 合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．‎ ‎【例2】小船从甲地顺水到乙地用时t1，返回时逆水行舟用时t2，若水不流动完成往返用时t3，设船速率与水流速率均不变，则（ ）‎ ‎ A．t3＞t1＋t2 ； B．t3＝t1＋t2； C．t3＜t1＋t2 ； D．条件不足，无法判断 解析：设船的速度为V，水的速度为v0，则 ‎<故选C ‎【例3】如图所示，A、B两直杆交角为θ，交点为M，若两杆各以垂直于自身的速度V1、V2沿着纸面运动，则交点M的速度为多大？‎ ‎ 解析：如图所示，若B杆不动，A杆以V1速度运动，交点将沿B杆移动，速度为V，V=V1／sinθ．若A杆不动，B杆移动时，交点M将沿A杆移动，速度为V，V=V2／sinθ．两杆一起移动时，交点M的速度vM可看成两个分速度V和V的合速度，故vM的大小为vM==‎ ‎【例4】玻璃板生产线上，宽‎9m的成型玻璃板以‎4‎m／s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为‎8m／s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？‎ ‎↑B A F ‎ 解析：要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v，如图设v刀与v玻方向夹角为θ，cosθ=v玻/v刀=4/8，则θ=300。v===‎4m/s。时间t=s/v=9/4=2·45s ‎【例5】如图所示的装置中，物体A、B的质量mA＞mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F向右拉A，起动后，使B匀速上升。设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T，则力f,T及A所受合力F合的大小（）‎ A.F合≠O,f减小，T增大；B.F合≠O,f增大，T不变；‎ C. F合＝O,f增大，T减小；D. F合＝O,f减小，T增大；‎ 分析:显然此题不能整体分析。B物体匀速上升为平衡状态，所受的绳拉力T恒等于自身的重力，保持不变。A物体水平运动，其速度可分解为沿绳长方向的速度（大小时刻等于B物体的速度）和垂直于绳长的速度（与B物体的速度无关），写出A物体速度与B物体速度的关系式，可以判断是否匀速，从而判断合力是否为零。‎ 解：隔离B物体：T=mBg，保持不变。隔离A物体：受力分析如图所示，设绳与水平线夹角为θ，则：‎ ‎①随A物体右移，θ变小，由竖直平衡可以判断支持力变大。由f=μN，得f变大。‎ ‎②将A物体水平运动分解如图所示，有vB＝vAcosθ，故随θ变小，cosθ变大，VB不变，VA变小，A物体速度时时改变，必有F合≠O。‎ 所得结论为：F合≠O，f变大，T不变。B项正确。‎ ‎【例6】两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B，如图所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是（ ）‎ A. A球先回到出发框边 B球先回到出发框边 C.两球同时回到出发框边 D.因两框长度不明，故无法确定哪一个球先回到出发框边 B A 解析：小球与框边碰撞无机械能损失，小球每次碰撞前后的运动速率不变，且遵守反射定律。以A球进行分析，如图。‎ A A/‎ C D E E/‎ 小球沿AC方向运动至C处与长边碰后，沿CD方向运动到D处与短边相碰，最后沿DE回到出发边。经对称得到的直线A/CDE/的长度与折线ACDE的总长度相等。‎ 框的长边不同，只要出发点的速度与方向相同，不论D点在何处，球所通过的总路程总是相同的，不计碰撞时间，故两球应同时到达最初出发的框边。答案：C 也可用分运动的观点求解：小球垂直于框边的分速度相同，反弹后其大小也不变，回到出发边运动的路程为台球桌宽度的两倍，故应同时回到出发边。‎ ‎【例7】如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A,B的绳分别与水平方向成a、β角，此时B物体的速度大小为 ，方向水平向右 解析：根据A,B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和vB分别分解为两个分速度v1（沿绳的分量）和v2（垂直绳的分量）以及vB1（沿绳的分量）和vB2（垂直绳的分量），如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v1＝vB1，vcosα＝vBcosβ.‎ 则B物体的速度方向水平向右，其大小为 R θ O P V0‎ V1‎ ‎【例8】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。‎ 解析：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有 ，解得V1=V0.tgθ.‎ ‎2、小船渡河问题分析 ‎【例9】一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河船漂下的距离最短？‎ Vs Vc θ V2‎ 图2甲 V1‎ Vs Vc θ 图2乙 θ V Vs Vc θ 图2丙 V α A B E 分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：.‎ 可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，.‎ ‎(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0.‎ 所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。‎ ‎（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.‎ 船漂的最短距离为：. 此时渡河的最短位移为：.‎ 思考：①小船渡河过程中参与了哪两种运动？这两种运动有何关系？‎ ‎②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？‎ ‎3、曲线运动条件的应用 做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；‎ ‎【例10】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做( )‎ A．匀加速直线运动； B．匀减速直线运动；‎ C．匀变速曲线运动； D．变加速曲线运动。‎ 分析与解：当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向与F1方向相反。‎ 若物体原来静止，物体一定做与F1相反方向的匀加速直线运动。‎ 若物体原来做匀速运动，若F1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。‎ 若F1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。正确答案为：A、B、C。‎ a b ‎【例11】图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（）‎ A.带电粒子所带电荷的符号 B.带电粒子在a,b两点的受力方向 C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大 D.带电粒子在a,b两点的电势能何处较大 解析：由图中的曲线可以看出，不管带电粒子由a→b还是由b→a，力的方向必然指向左下方，从而得到正确答案：BCD 思考：若实线为等势线，该题又该如何分析 o ‎ y/m x/m M v0‎ v1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2 4 6 8 10 12 14 16‎ N ‎【例12】 如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：‎ ‎⑴小球在M点时的动能E1。⑵在图上标出小球落回x轴时的位置N。⑶小球到达N点时的动能E2。‎ 解：⑴在竖直方向小球只受重力，从O→M速度由v0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v0∶v1=2∶3，所以小球在M点时的动能E1=9J。‎ ‎⑵由竖直分运动知，O→M和M→N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N点的横坐标为12。‎ ‎⑶小球到达N点时的竖直分速度为v0，水平分速度为2v1，由此可得此时动能E2=40J。‎ 第2课 ‎ 平抛物体的运动 知识简析 一、平抛物体的运动 ‎1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．‎ ‎（1）运动特点：a、只受重力；b、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动 ‎（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．‎ ‎（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。‎ ax=0……① ay=0……④‎ 水平方向 vx=v0 ……② 竖直方向 vy=gt……⑤‎ x=v0t……③ y=½gt2……⑥‎ ‎①平抛物体在时间t内的位移S可由③⑤两式推得s==，‎ ‎②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tgα=y/x=½gt2/v0t=gt/2v0‎ ‎③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=，‎ ‎④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0‎ ‎⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得：y=·x2， 可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线．‎ ‎⑥运动时间由高度决定，与v0无关，所以t=，水平距离x＝v0t＝v0‎ ‎⑦Δt时间内速度改变量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动．‎ ‎2、处理平抛物体的运动时应注意：‎ ① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系；‎ ② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v0无关；‎ ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tgβ=2tgα ‎【例1】 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P点自由滑下则 ‎ ‎　　A.物块将仍落在Q点 ‎　　B.物块将会落在Q点的左边 ‎　　C.物块将会落在Q点的右边 ‎　　D.物块有可能落不到地面上 解答:物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动。离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q点，所以A选项正确。‎ ‎【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。‎ ‎（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边。‎ ‎（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边。‎ ‎（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边。‎ 规律方法 1、平抛运动的分析方法 用运动合成和分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其运动规律有两部分：一部分是速度规律，一部分是位移规律．对具体的平抛运动，关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律有关 θ 图8‎ B A V0‎ V0‎ Vy1‎ ‎【例2】如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？‎ 解析：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A运动到B处所需的时间为t,则：水平位移为x=V0t 竖直位移为y=, 由数学关系得到: ‎ A B C D E ‎（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以 ‎【例3】 已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、vc 解：水平方向： 竖直方向：‎ ‎ 先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC： ‎ ‎ ‎ θ B A h A ‎【例4】如图所示，一高度为h=‎0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=‎5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=‎10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则 由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。‎ 解析：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。‎ 正确做法为：落地点与A点的水平距离 ‎ 斜面底宽 ‎ 因为,所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。‎ ‎ ∴ ‎ ‎2、平抛运动的速度变化和重要推论 ‎ ①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt.‎ ‎②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。‎ v0‎ vt vx vy h s α α s/‎ 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， ， 所以有 ‎【例5】作平抛运动的物体，在落地前的最后1s内，其速度方向由跟竖直方向成600角变为跟竖直方向成450角，求:物体抛出时的速度和高度分别是多少？‎ 解析一:设平抛运动的初速度为v0，运动时间为t，则经过（t一1）s时vy＝g（t一1）， tan300＝‎ 经过ts时：vy＝gt，tan450＝,∴,‎ V0=gt/tan450＝‎23.2 m/s.H＝½gt2＝27. ‎5 m.‎ 解析二：此题如果用结论解题更简单．‎ ΔV＝gΔt=9. ‎8m/s.又有V0cot450一v0cot600=ΔV，解得V0=23. ‎2 m/s，‎ H=vy2/‎2g＝27. ‎5 m.‎ θ v0‎ vt v0‎ vy A O B D C 说明:此题如果画出最后1s初、末速度的矢量图，做起来更直观．‎ ‎【例6】 从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /为______J。‎ 解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度vt的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知AD∶AO=2∶，由相似形可知vt∶v0=∶，因此很容易可以得出结论：E /=14J。 ‎ ‎3、平抛运动的拓展（类平抛运动）‎ ‎【例7】如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度．‎ 解析：物块在垂直于斜面方向没有运动，物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上初速度v0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运动．‎ ‎ 在沿斜面方向上mgsinθ=ma加 a加＝gsinθ………①，水平方向上的位移s=a=v0t……②，沿斜面向下的位移y=b=½ a加t2……③，由①②③得v0＝a·‎ 说明：运用运动分解的方法来解决曲线运动问题，就是分析好两个分运动，根据分运动的运动性质，选择合适的运动学公式求解 ‎【例8】从高H处的A点水平抛出一个物体，其水平射程为2s。若在A点正上方高H的B点抛出另一个物体，其水平射程为s。已知两物体的运动轨迹在同一竖直平面内，且都从同一竖屏M的顶端擦过，如图所示，求屏M的高度h？‎ 分析：思路1：平抛运动水平位移与两个因素有关：初速大小和抛出高度，分别写出水平位移公式，相比可得初速之比，设出屏M的顶端到各抛出点的高度，分别写出与之相应的竖直位移公式，将各自时间用水平位移和初速表示，解方程即可。‎ ‎ 思路2：两点水平抛出，轨迹均为抛物线，将“都从同一竖屏M的顶端擦过”转化为数学条件：两条抛物线均过同一点。按解析几何方法求解。‎ 解析:画出各自轨迹示意图 法一:由平抛运动规律根据题意得 ‎2s=VAtA……①，s=VBtB……②，H=½gtA2……③, 2H=½gtB2……④‎ 可得:,又设各自经过时间t1、t2从屏M的顶端擦过，则在竖直方向上有H－h=½gt12，2H－h=½gt22，在水平方向上有x=vAt1=vBt2，由以上三式解得h=6H/7。‎ 法二：由平抛运动规律可得抛物线方程，依题意有yA=H－h，yB=2H－h时所对应的x值相同，将（x，yA）（x，yB）分别代入各自的抛物线方程联立求出h=6H/7。‎ ‎【例9】排球场总长‎18m，网高2．‎25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在‎3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。（g取‎10m/s2）‎ ‎（1）若击球的高度h＝2．‎5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？‎ ‎（2）若运动员仍从‎3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。‎ ‎【解析】（1）球以vl速度被击回，球正好落在底线上，则t1＝，vl=s/t1‎ ‎ 将s=‎12m，h＝2．‎5m代入得v1=；‎ ‎ 球以v2速度被击回，球正好触网，t2＝，v2=s//t2‎ ‎ 将h/=（2.5－2.25）m＝0．‎25m，s/＝‎3m代入得v2=。故球被击目的速度范围是＜v≤。‎ ‎ （2）若h较小，如果击球速度大，会出界，如果击球速度小则会融网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则=，s、s/的数值同（1）中的值，h/＝ h－2．25（m），由此得 h＝‎‎2.4m 故若h＜‎2.4m，无论击球的速度多大，球总是触网或出界。‎ 试题展示 第3课 ‎ 匀速圆周运动 知识简析一、描述圆周运动的物理量 ‎1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。‎ ‎（1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢．‎ ‎（2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向．‎ ‎（3）大小：V=S/t 说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度 ‎2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。‎ ‎（l）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．‎ ‎（2）大小：ω＝φ/t（rad／s）‎ ‎3．周期T，频率f：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．‎ ‎ 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速．‎ ‎4．V、ω、T、f的关系 ‎ T＝1/f，ω＝2π/T=2πf，v＝2πr/T＝2πrf=ωr．‎ ‎ T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v还和半径r有关．‎ ‎5．向心加速度 ‎（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢 ‎（2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv，‎ ‎（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度． ‎ ‎（4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2也成正比．‎ ‎6．向心力 ‎（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．‎ ‎（2）大小： F＝ma＝mv2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv ‎（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．‎ 说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定．‎ 二、匀速圆周运动 ‎1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．‎ ‎2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．‎ ‎3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．‎ ‎4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．‎ 三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）‎ 变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．‎ 变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果．‎ ‎1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向．‎ ‎2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．‎ 故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．‎ 四、圆周运动解题思路 ‎1．灵活、正确地运用公式 ‎ ΣFn＝man=mv2/r＝mω2r＝m4π2r/T2＝m4π2fr ；‎ ‎2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力．‎ 规律方法 1.线速度、角速度、向心加速度大小的比较 在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r成反比．‎ ‎【例1】对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是 ‎(A)A轮带动B轮沿逆时针方向旋转．‎ ‎(B)B轮带动A轮沿逆时针方向旋转．‎ ‎(C)C轮带动D轮沿顺时针方向旋转．‎ ‎(D)D轮带动C轮沿顺时针方向旋转．‎ 答案：BD ‎【例2】如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的情况是（ ）‎ ‎ A．vA=vB，vB＞vC； B．ωA=ωB，vB = vC ‎ ‎ C．vA ＝vB，ωB＝ωc ；D．ωA＞ωB ，vB ＝vC ‎ 解析：A、B两点在轮子边缘上，它们的线速度等于皮带上各点的线速度，所以vA=vB；B、C两点在同一轮上，所以ωB＝ωc，由V=ωr知vB＞vC，ωA＞ωB ． 答案：AC ‎【例3】如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时间小于半个周期，在筒上先、后留下a、b两个弹孔，已知ao、bo间夹角为φ弧度，则子弹速度为 ‎ 解析：子弹在a处进入筒后，沿直径匀速直线运动，经t=d/v时间打在圆筒上，在t时间内，圆筒转过的角度θ＝ωt=π－φ，则d/v=（π－φ）/ω，v=dω/（π－φ）答案：dω/（π－φ）‎ ‎2．向心力的认识和来源 ‎（1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．‎ ‎(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速 度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。‎ ‎（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O/点，不在球心O，也不在弹力N所指的PO线上．这种分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。‎ ‎(4）变速圆周运动向心力的分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，‎ ‎①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供．‎ ‎②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．‎ ‎(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜时，物体做离心运动；当物体所受的合外力大于所需要的向心力，即F向＞时，物体做向心运动。‎ ‎【例4】飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑机，第一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二次是因为大脑缺血，问（1）血压为什么会降低？（2）血液在人体循环中。作用是什么？（3）为了使飞行这种情况，要在如图的仪器飞行员进行训练，飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受的加速度 a= ‎6g，则转速需为多少？（R＝‎20m）。‎ ‎【解析】：（1）当飞行员往上加速上升，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运输血液，导致血压降低。‎ ‎（2）血液在循环中所起作用为提供氧气、营养，带走代谢所产生的废物。‎ ‎（3）由a向=v2/R可得 v=＝=34．29（m/s）‎ ‎3、圆周运动与其它运动的结合 圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．‎ ‎【例5】如图所示，M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。简的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度。转其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（）‎ A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c处一条与S缝平行的窄条上 B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上 C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和C处与S缝平行的窄条上 D.只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒 解：微粒从M到N运动时间t=R/v,对应N筒转过角度θ=ωt=ωR/v, 即θ1=ωt=ωR/v1, θ2=ωt=ωR/v2, 只要θ1、θ2不是相差2π的整数倍，则落在两处，C项正确；若相差2π的整数倍，则落在一处，可能是a处，也可能是b处。A,B正确。故正确选项为ABC.‎ ‎【例6】如图所示，穿过光滑水平平面中央小孔O的细线与平面上质量为m的小球P相连，手拉细线的另一端，让小球在水平面内以角速度ω1沿半径为a的圆周做匀速圆周运动。所有摩擦均不考虑。 求：‎ ‎（1)这时细线上的张力多大？‎ ‎ (2)若突然松开手中的细线，经时间Δt再握紧细线，随后小球沿半径为b的圆周做匀速圆周运动。试问：Δ t等于多大？这时的角速度ω2为多大？‎ 分析：手松后，小球不受力，将做匀速直线运动，求时间必须明确位移。正确画出松手后到再拉紧期间小球的运动情况是解题的关键。求Wz要考虑到速度的分解：小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳的切向和垂直切向的两个运动同时进行，画出速度分解图，可求得半径为b的圆周运动的速度，进而求出ω2。‎ a b O v V2‎ 解：（1)绳的张力提供向心力：T=mω‎12a ‎(2)松手后小球由半径为a圆周运动到半径为b的圆周上，做的是匀速直线运动（如图所示）。‎ ‎ 小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳的切向和垂直切向的两个运动同时进行，有v2＝vsinθ＝va/b，即 ‎ ‎【例7】如图所示，位于竖直平面上的1／4圆轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求：‎ ‎（1）小球则运动到B点时，对轨道的压力多大？‎ ‎（2）小球落地点C与B点水平距离S为多少？‎ ‎（3）比值R／H为多少时，小球落地点C与B点水平距离S最远？该水平距离最大值是多少？‎ ‎ 解析：（1）小球沿圆弧做圆周运动，在B点由牛顿第二定律有NB－mg=mv2/R ①‎ ‎ 由A至B，机械能守恒，故有mgR=½mv2 ②‎ ‎ 由此解出NB=3mg ‎（2）小球离B点后做平抛运动： 在竖立方向有：H－R=½gt2 ③ 水平方向有：S＝vt ④‎ ‎ 由②③④解出：s= ⑤‎ ‎（3）由⑤式得s＝ ⑥‎ ‎ 由⑥式可知当R=H/2时，s有最大值，且为smax=H ‎ 答案：NB=3mg，s＝，smax=H 点评：对于比较复杂的问题，一定要注意分清物理过程，而分析物理过程的前提是通过分析物体的受力情况进行．‎ ‎4、圆周运动中实例分析 ‎【例8】如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为B,女运动员的质量为m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r,求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度 解析:依圆锥摆原理,男运动员对女运动员的拉力F=mg/cosθ,女运动员做圆周运动的向心力F向=mgtanθ,则由动力学方程得mgtanθ=mω2r,得 ‎【例9】如图所示为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置的示意图,A为光源,B为电接收器,A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮．车轮转动时,A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示．若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N, 则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ‎ ‎；车速度的表达式为v= ；行程的表达式为s= ‎ 解析：由题可知，每经过一个间隙，转化成一个脉冲信号被接收到，每个间隙转动的时间t=1/n。‎ 设一周有P个齿轮，则有P个间隙，周期T=Pt=P/n。据v=2πR/T=2πnR/P，‎ 所以必须测量车轮的半径R和齿数P，当肪冲总数为N，则经过的时间t0=Nt=N/n.‎ 所以位移 ‎【例10】若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29．5 天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期）。（提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法）。‎ ‎【解析】用物理角速度、线速度原理解答，‎ ‎ 地球绕太阳公转每天的角速度ω=2π/365（取回归年365天）。从上次满月到下次满月地球公转了θ角，用了29．5天。‎ ‎ 所以，θ＝ω·29．5=2π/365×29．5（天）。‎ ‎ 月球在两满月之间转过（2π＋θ），用了29．5天，所以月球每天的角速度ω/=‎ ‎ 根据周期公式T=2π/ω/（即月球3600除以每天角速度所花的时间）得：‎ T＝2π/，因为θ=2π/365×29．5 所以T=27.3天 ‎【例11】如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，已知绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以速度v2=落到墙脚边．求（1）绳断裂瞬间的速度v1；（2）圆柱形房屋的高度H和半径．‎ ‎【解析】绳断裂前小球作圆锥摆运动，绳断裂后小球沿切线方向作平抛运动，直到落地，小球作平抛运动的过程满足机械能守恒定律．‎ ‎（l）小球在绳断前瞬时受力如图所示 由于Tm＝2mg，cosθ==，θ=600‎ F合＝mgtan600＝mv/r，r=Lsinθ解得v1=‎ ‎（2）小球从抛出到落地，根据机械能守恒定律½mv12＋mgh1=½mv22‎ 式中h1为绳断裂时小球距地面的高度，由上式解得h1==L 设绳断裂时小球距天花板的高度为h2，则h2=Lcos600=L 故房屋高度H=h1＋h2=‎13 L/4‎ ‎（3）绳断裂后小球沿圆周的切线方向作平抛运动，设小球由平抛至落地的水平射程为x，如图所示．x=v1t，h1=gt2/2， R= 解得R=‎‎3L ‎【例12】如图（a）所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连．已知有一质量为m0的子弹B沿水平方向以速度v0‎ 射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动，在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图(b)所示．已知子弹射入的时间极短，且图（b）中t＝0为A、B开始以相同速度运动的时刻，根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？‎ 解析:由图可直接看出，A,B一起做周期性运动，运动的周期T＝2t0,‎ C Aa B F Fm t0‎ ‎3t0‎ ‎5t0‎ ‎ 令m表示A的质量，L表示绳长，v1表示B陷入A内时即t=0时A,B的速度（即圆周运动最低点的速度）,v2表示运动到最高点时的速度，Fl表示运动到最低点时绳的拉力，F2表示运动到最高点时绳的拉力，根据动量守恒定律，得m0v0＝（m0＋m)v1，‎ ‎ 在最低点和最高点处运用牛顿定律可用 Fl一(m＋m0)g=(m＋m0)；F2＋(m＋m0)g＝(m＋m0) ‎ 根据机械能守恒定律可得 ‎2L‎(m＋m0)g=½(m＋m0)v12－½(m＋m0)v22；由图可知F2=0; F1=Fm 由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是……①;……②‎ A,B一起运动过程中的守恒量是机械能E，若以最低点为势能的零点，则E＝½(m＋m0) v12……③‎ 由①②③式解得 第4课 ‎ 圆周运动的应用 知识简析 一、圆周运动的临界问题 ‎1.圆周运动中的临界问题的分析方法 ‎ 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．‎ ‎2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：‎ 注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 ‎ ‎①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）‎ 注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠ ‎ ‎②能过最高点的条件：v≥，当V＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．‎ ‎③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）‎ ‎（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：‎ 注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．‎ ‎①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）‎ ‎②当 0＜v＜时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．‎ ‎③当v=时，N＝0‎ ① 当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）‎ 注意：管壁支撑情况与杆子一样 ‎ 若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．‎ 注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。‎ 二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 ‎（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。‎ ‎(2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上的任意微小质量团（可说成质点），则均在做匀速圆周运动。‎ 规律方法 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程 O O/‎ R ‎【例1】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。当ω增大到时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。‎ ‎【解析］对物块A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。‎ ‎ 依向心力公式有mω02R=k(R－L)，所以，故时,得ω＞ω0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。‎ ‎【例2】如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？‎ V0‎ R 分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为m，则有：‎ E m，q L ‎·O 要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得。‎ ‎【例3】如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？‎ 解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg＋Eq=mv02/L，得，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度 ‎ 拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）．‎ ‎ A处速度的最小值（临界速度）应满足：‎ ‎ 思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？‎ ‎【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足怎样的关系式?‎ 解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。‎ ‎　　据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有①‎ ‎　　同理m2在最高点有②‎ ‎　　m2球由最高点到最低点机械能守恒③又N1=N2……④‎ ‎【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。‎ ‎【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？‎ 分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为vm ‎。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到vm。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定．‎ ‎ 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v2，则应有mv22/r2=μmg解得v2=‎ ‎ 如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为v2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg 此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为x2==－‎ 车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x2的路程上加速，才能达到速度vm。上述过程所用的总时间为 t2=t减速＋t圆弧＋t加速=＋＋=－（2－）‎ 同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t1=－（2－）‎ 另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 ΔL＝ r2－ rl 同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 ‎ Δx=2x1－2x2= r2－ rl 由于上述的ΔL和Δx刚好相等，可见车在直道上以vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t1和t2即可由于 t2＜t1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为 ‎ Δt=t1一t2=‎ ‎2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围 ‎【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线O‎1A长为，O‎2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？‎ 解析:当ω较小时线O‎1A拉直，O‎2A松弛，而当ω太大时O‎2A拉直, O‎1A将松弛．‎ ‎ 设O‎2A刚好拉直,但FO‎2A仍为零时角速度为ω1，此时∠O2O‎1A =300,对小球：‎ 在竖直方向FO‎1A·cos300＝mg……①‎ 在水平方向：FO‎1A·sin300＝……②‎ 由①②得 设O‎1A由拉紧转到刚被拉直,FO‎1A变为零时角速度为ω2‎ 对小球：FO‎2A·cos600=mg……③‎ FO‎2A·sin600=mω‎22L·sin600………④‎ O A a L ω B 由③④得,故 ‎【例7】一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。杆上距O为a处放有一个小物体B（可视为质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。‎ ‎【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A做匀速转动，B做自由落体运动。若B能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。‎ ‎ 我们分两种情况进行讨论：‎ ‎（1）当杆的转速ω较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落到C作用的时间为t1，杆转过Φ角所用时间为t2，两物要能相碰，t1和t2就满足下列条件：t1≤t2…①‎ ‎ 又因为LBC＝½gt12，Φ=ωt2，由几何关系LBC=，LcosΦ=a，所以LBC＝½gt12=解得t1=‎ 由Φ=ωt2=arccosα/L解得t2=arccos（a/L）‎ 将tl、t2代入①式，得 ≤arccos（a/L）解得ω≤arccos（a/L）/ （2）当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所用的时间为t2/，杆要与B相碰，t2/和tl必须满足下列条件：tl≥t2/‎ 由2π+Φ=ωt2/，所以t2/=（2π+Φ）=（2π+arccos（a/L））/ω代入得≥（2π+arccos（a/L））/ω，解得ω≥arccos（a/L）/‎ 由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤arccos（a/L）/或ω≥arccos（a/L）/时，物体B均有可能和细杆相碰。‎