高考辽宁卷数学试题及答案

高考辽宁卷数学试题及答案

‎2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是 ‎ P，那么n次独立重复试验中恰好发生k ‎ 次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若的终边所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．对于，给出下列四个不等式 ‎ ① ②‎ ‎ ③ ④‎ ‎ 其中成立的是 ‎ A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④‎ ‎3．已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题 . 则的 ‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎4．设复数z满足 ‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是 ‎ p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．已知点、，动点，则点P的轨迹是 ‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎7．已知函数，则下列命题正确的是 ‎ A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数 ‎ C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数 ‎8．已知随机变量的概率分布如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ m ‎ 则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，‎ ‎ 点P到坐标原点的距离是 ‎ A． B． C． D．2‎ ‎10．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该 平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 A． B． C． D．‎ ‎11．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A．234 B．346 C．350 D．363‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. ‎ ‎13．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上 的截距是 .‎ ‎14．= .‎ ‎15．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 . ‎ ‎16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出 ‎5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以 数值作答）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，‎ 点E为AB中点，点F为PD中点.‎ ‎ （1）证明平面PED⊥平面PAB；‎ ‎ （2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设全集U=R ‎ （1）解关于x的不等式 ‎ （2）记A为（1）中不等式的解集，集合，‎ ‎ 若恰有3个元素，求a的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：‎ ‎ （1）动点P的轨迹方程；‎ ‎ （2）的最小值与最大值. ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方 索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x ‎（元）与年产量t（吨）满足函数关系.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），‎ ‎ （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量；‎ ‎ （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数的最大值不大于，又当 ‎ （1）求a的值；‎ ‎ （2）设 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎ （1）求函数的反函数的导数 ‎ （2）假设对任意成立，求实 数m的取值范围.‎ ‎2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题 答案与评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.‎ ‎1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.‎ ‎13．1 14． 15．a 16．‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空 间想象能力和推理能力. 满分12分. ‎ ‎ （1）证明：连接BD.‎ 为等边三角形.‎ 是AB中点，…………2分 面ABCD，AB面ABCD，‎ 面PED，PD面PED，面PED.…………4分 面PAB，面PAB. ……………………6分 ‎（2）解：平面PED，PE面PED，‎ 连接EF，PED，‎ 为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.‎ 在 即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分 ‎18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三 角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分12分.‎ 解：（1）由 当时，解集是R；‎ 当时，解集是……………………3分 ‎（2）当时， =；‎ 当时，=……………………5分 因 由…………8分 当怡有3个元素时，a就满足 解得…12分 ‎19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以 及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 ‎12分. ‎ ‎（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 ‎②‎ ‎①‎ ‎ 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，，所以 于是 ‎…………6分 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③‎ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为………………8分 解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 ‎ ④ ⑤‎ ‎④—⑤得，所以 当时，有 ⑥‎ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧‎ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）‎ 也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 ‎………………8分 ‎（2）解：由点P的轨迹方程知所以 ‎……10分 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，‎ 最大值为……………………12分 注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分. ‎ ‎21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和 解决问题的能力. 满分14分. ‎ ‎（1）解：由于的最大值不大于所以 ‎ ① ………………3分 又所以. ②‎ 由①②得………………6分 ‎（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；‎ 因时不等式也成立.‎ ‎（ii）假设时，不等式成立，因为的 对称轴为知为增函数，所以由得 ‎………………8分 于是有 ‎ …………12分 所以当n=k+1时，不等式也成立. ‎ 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；‎ ‎（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，‎ ‎………………8分 因所以 ‎……12分 于是 因此当n=k+1时，不等式也成立.‎ 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法三：（i）当n=1时，不等式成立；‎ ‎（ii）假设时.‎ 若则 ①…………8分 所以都是增函数.‎ 因此当时，的最大值为的最小值为 而不等式②成立当且仅当即 ‎，于是得 ………………12分 解法二：由得 设 于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分 由，注意到 故有，从而可均在 上单调递增，因此不等式③成立当且仅当 即 ………………12分