2015高考数学人教A版本（11-3推理与证明）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（11-3推理与证明）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-3推理与证明课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为(　　)‎ A．01　 　 　 B．43　 　 　‎ C．07　 　 　 D．49‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，‎ ‎∵2011＝502×4＋3，‎ ‎∴72011与73末两位数字相同，故选B.‎ ‎(理)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．28　 　 　 B．76　 　 　‎ C．123　　 　 D．199‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.‎ ‎[点评]　解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．‎ ‎2．(2013·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 ‎[答案]　C ‎[解析]　三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是三段论，但大前提是特称命题．‎ ‎3．(文)将正整数排成下表：‎ 则在表中数字2014出现在(　　)‎ A．第44行第78列 B．第45行第78列 C．第44行第77列 D．第45行第77列 ‎[答案]　B ‎[解析]　第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．‎ ‎2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.‎ ‎(理)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是(　　)‎ A．(7,5) B．(5,7)‎ C．(2,10) D．(10,1)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.‎ ‎4．(2012·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　)‎ ‎①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；‎ ‎②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；‎ ‎③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；‎ ‎④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．‎ A．①② B．③④ ‎ C．①④ D．②③‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋‎ C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.‎ ‎5．(文)n个连续自然数按规律排成下表：‎ 根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为(　　)‎ A．↓→ B．→↑ ‎ C．↑→ D．→↓‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.‎ ‎(理)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2010，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2014(x)＝(　　)‎ A．sinx＋ex B．cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex ‎[答案]　C ‎[解析]　f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2010x2009，‎ f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2010×2009x2008，‎ f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2010×2009×2008x2007，‎ f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2010×2009×2008×2007x2006，‎ 由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；‎ 而f2014(x)＝f ′2013(x)，此时其最后一项的导数已变为0.‎ 故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sinx＋ex.‎ ‎6．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝(　　)‎ A．2 B．1 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.‎ ‎(理)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是(　　)‎ A．3 B. ‎ C．3 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　根据f(x)＝tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tan＝3tan＝3.故所求的最小值为3.‎ 二、填空题 ‎7．(文)(2013·青岛模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f()．若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意知，凸函数满足 ≤f()，‎ ‎∴sinA＋sinB＋sinC≤3sin ‎＝3sin＝.‎ ‎(理)设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2014的值为________.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，∴x2014＝x4＝1.‎ ‎8．(文)(2012·陕西文，12)观察下列不等式 ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为__________________．‎ ‎[答案]　1＋＋＋＋＋< ‎[解析]　本题考查了归纳的思想方法．‎ 观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，‎ 所以第五个不等式为：‎ ‎1＋＋＋＋＋<.‎ ‎(理)(2013·龙江模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.则有________________．‎ ‎[答案]　f(2n)≥(n≥2，n∈N*)‎ ‎[解析]　因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n ‎≥2，n∈N*)．‎ ‎9．(文)(2013·山西四校联考)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.‎ ‎[答案]　nn ‎[解析]　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.‎ ‎(理)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有 将A，B代入双曲线－＝1中得，‎ －＝1，－＝1，‎ 两式相减得＝，‎ 即＝，‎ 即＝，‎ 即kOM·kAB＝.‎ 三、解答题 ‎10．(文)已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：＋≤2.‎ ‎[证明]　要证＋≤2，‎ 只需证a＋＋b＋＋2≤4，‎ 又a＋b＝1，故只需证≤1，只需证(a＋)(b＋)≤1，只需证ab≤.‎ ‎∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立．‎ ‎(理)(2013·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎[解析]　(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，‎ 则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，‎ 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，‎ 这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即‎2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x) ‎ C．g(x) D．－g(x)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f ′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.‎ ‎(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是(　　)‎ A．[－12,24]‎ B．(－12,24)‎ C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)‎ D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．‎ 故由题意得 即‎4a1＋36，a1＋18，a1＋36，a1＋18出现的机会是均等的，由于当a3>a1时甲胜，且甲胜的概率为，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，∵a1＋18>a1，a1＋36>a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由‎4a1＋36>a1得a1>－12，由a1＋18>a1得，a1<24，故当－12”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“⊳”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R，i为虚数单位)，当且仅当“a1>a‎2”‎或“a1＝a2且b1>b2时，z1⊳z‎2”‎．下列命题为假命题的是(　　)‎ A．1⊳i⊳0‎ B．若z1⊳z2，z2⊳z3，则z1⊳z3‎ C．若z1⊳z2，则对于任意z∈C，z1＋z⊳z2＋z D．对于复数z⊳0，若z1 ⊳z2，则z·z1⊳z·z2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　对于A，注意到1＝1＋0×i，i＝0＋1×i,0＝0＋0×i,1>0，则1⊳i,0＝0且1>0，则i⊳0，因此有1⊳i⊳0，A正确．对于B，由z1⊳z2得“a1>a‎2”‎或“a1＝a2且b1>b‎2”‎；由z2⊳z3得“a2>a‎3”‎或“a2＝a3且b2>b‎3”‎，于是有“a1>a‎3”‎或“a1＝a3且b1>b‎3”‎，即有z1⊳z3，选项B正确．对于C，设z＝a＋bi，由z1⊳z2得“a1>a‎2”‎或“a1＝a2且b1>b‎2”‎，所以“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，即有z1＋z⊳z2＋z，因此选项C正确．对于D，取z＝1－2i⊳0，‎ z1＝3，z2＝3i，此时z·z1＝3－6i，z·z2＝6＋3i，z·z2⊳z·z1，因此选项D不正确．综上所述，选D.‎ 二、填空题 ‎13．(文)(2013·山东省实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，则a1＋a2≤”的证明过程：证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.‎ 根据上述证明方法，若n个正实数a1、a2、…、an满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论为____________________(不必证明)．‎ ‎[答案]　a1＋a2＋…＋an≤ ‎(理)(2013·长沙模拟)已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．‎ ‎[答案]　2x－y－＝0‎ ‎[解析]　将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.‎ ‎14．(文)黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．‎ ‎[答案]　503　 ‎[解析]　按拼图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图有白色地砖3×5－2(块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第n个图形中有白色地砖3(2n＋1)－n块，因此第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.‎ ‎(理)(2013·福州模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1＝；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积Sn＝()n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积Vn＝________.‎ ‎[答案]　()n ‎[解析]　将棱长为1的正方体分割成3×3×3＝27个全等的小正方体，拿去分别与中间小正方体的六个面重合的6个小正方体和分别与中间小正方体有1条棱重合的12个小正方体，则余下的9个小正方体体积V1＝，第二步，将余下的9个小正方体作同样的操作，则余下的9×9个小正方体的体积V2＝()2，故到第n步，所得几何体的体积Vn＝()n.‎ ‎15．(文)经过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为________．‎ ‎[答案]　＋＝1‎ ‎[解析]　过圆上一点M(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点P(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，即得到切线方程为＋＝1.‎ 例如过椭圆＋y2＝1上一点(1，)的切线方程为＋y＝1，即x＋2y－4＝0.‎ ‎(理)已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，类比上述结论，得出在等比数列{bn}中，bn＋m＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的，数列中的可以类比等比数列中的，‎ 故bm＋n＝.‎ 证明如下：设bn＝b1qn－1，则 bn＋m＝b1qn＋m－1，‎ ‎∵bm＝a，bn＝b，∴＝＝＝b·qn(n－1)－m(m－1)＝b·q(n－m)(n＋m－1)，‎ ‎∴＝b1qn＋m－1＝bm＋n.‎ 三、解答题 ‎16．(文)观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；‎ ‎②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.‎ 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．‎ ‎[解析]　观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝.‎ 证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)‎ ‎＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋ ‎＝－sin(30°＋2α)＋(sin30°＋2α)＝.‎ ‎(理)(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎[解析]　(1)选择(2)式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°‎ ‎＝1－sin30°＝1－＝.‎ ‎(2)推广后的三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 解法二：‎ ‎(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)‎ ‎＝1－cos2α－＋cos2α＝.‎ 考纲要求 ‎1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．‎ ‎4．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎5．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．‎ 补充说明 ‎1．推理的概念 根据一个或几个已知的判断得出一个新判断，这种思维方式叫推理，推理一般有两部分组成：前提和结论．‎ ‎2．合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理形式，它是前提为真时，结论可能为真的推理，这种推理叫做叫合情推理，数学中常见的合情推理是归纳推理和类比推理．‎ ‎3．假言推理 假言推理的规则是：“若p⇒q，p真，则q真”．‎ 它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而判断结论为真．‎ ‎4．关系推理 推理规则是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其中R表示具有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由a∥b，b∥c，推出a∥c，若a≥b，b≥c，则a≥c，都是关系推理．‎ ‎5．直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性．‎ ‎6．分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止．‎ 综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件．‎ ‎7．反证法 一般地，由证明p⇒q，转向证明綈q⇒r⇒…⇒t，而t与已知矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的证明方法叫做反证法．‎ 反证法是从否定命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法．‎ 这里所谓的“与已知矛盾”主要是指：‎ ‎(1)与假设自相矛盾．‎ ‎(2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明了的结论矛盾．‎ ‎(3)与公认的简单事实矛盾．‎ ‎(4)使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：‎ ‎(5)用反证明证题时，要首先搞清证题的思路步骤；否定原命题时要准确无误；原命题的反面不只一种情形时，要逐个排除．‎ 备选习题 ‎1．(2013·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n≥2时，有____________．‎ ‎[答案]　n2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)‎ ‎2．(2013·温州第一次适应性测试)已知cos＝，‎ coscos＝，‎ coscoscos＝，‎ ‎……‎ ‎(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；‎ ‎(2)若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，a3＝coscoscos，…，前n项和Sn＝，则n＝________.‎ ‎[答案]　(1)coscos·…·cos＝(n∈N*)　(2)10‎ ‎[解析]　(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为cos·cos·…·cos＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，解得n＝10.‎ ‎3．(2012·温州适应性测试)若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，则a2012＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　依题意得，将该数列中分子相同的项分成一组，第n组中的数出现的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分子均是n＋1，相应的分母依次由1增大到n.由于1953＝<2012<＝2016，又2012＝1953＋59，因此题中的数列中的第2012项应位于第63组中的第59个数，则题中的数列中的第2012项的分子等于64，相应的分母等于59，即a2012＝.‎