2018高考数学文科北京卷含答案

2018高考数学文科北京卷含答案

绝密★启封并使用完毕前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合,,则 ‎（A）{0,1} （B）{−1,0,1}‎ ‎（C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2}‎ ‎（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）“十二平均律” ‎ ‎ 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ‎（A）1 （B）2‎ ‎（C）3 （D）4‎ ‎（7）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（8）设集合则 ‎（A）对任意实数， ‎ ‎（B）对任意实数，（2,1）‎ ‎（C）当且仅当时,（2,1）‎ ‎（D）当且仅当 时,（2,1）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）设向量，,若，则_________.‎ ‎（10）已知直线过点（1,0）且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.‎ ‎（11）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为_________.‎ ‎（12）若双曲线的离心率为，则_________.‎ ‎（13）若,满足，则的最小值是_________.‎ ‎（14）若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________.‎ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 设是等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ ‎（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网 ‎（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求证：平面.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得极小值，求的取值范围.‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求 的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若,和点 共线，求.‎ 参考答案 ‎1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D ‎9． 10． ‎ ‎11．（答案不唯一） 12．4‎ ‎13．3 14． ‎ ‎15．（共13分）‎ 解：（I）设等差数列的公差为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（II）由（I）知，‎ ‎∵，‎ ‎∴是以2为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎16.（共13分）‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ 所以的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 因为，所以.‎ 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.‎ 所以，即.‎ 所以的最小值为.‎ ‎17.（共13分）‎ ‎（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，‎ 故所求概率为.‎ ‎（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 ‎140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1‎ ‎=56+10+45+50+160+51‎ ‎=372.‎ 故所求概率估计为.‎ 方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.‎ 没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.‎ 由古典概型概率公式得.‎ ‎（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.‎ ‎18.（共14分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.‎ ‎∵底面为矩形，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ ‎∴.又,学科.网 ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅲ）如图，取中点，连接.‎ ‎∵分别为和的中点，∴，且.‎ ‎∵四边形为矩形，且为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎19. （13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以.‎ ‎，‎ 由题设知，即，解得.‎ ‎（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.‎ 若a>1，则当时，；‎ 当时，.‎ 所以在x=1处取得极小值.‎ 若，则当时，，‎ 所以.‎ 所以1不是的极小值点.‎ 综上可知，a的取值范围是.‎ 方法二：.‎ ‎（1）当a=0时，令得x=1.‎ 随x的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值，不合题意.‎ ‎（2）当a>0时，令得.‎ ‎①当，即a=1时，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴无极值，不合题意.‎ ‎②当，即01时，随x的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.‎ ‎（3）当a<0时，令得.‎ 随x的变化情况如下表：‎ x ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值，不合题意.‎ 综上所述，a的取值范围为.‎ ‎20．（共14分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，‎ 设，，则，，‎ 则，‎ 易得当时，，故的最大值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，，，‎ 则 ①， ②，‎ 又，所以可设，直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，‎ 又，代入①式可得，所以，‎ 所以，同理可得．‎ 故，，‎ 因为三点共线，所以，‎ 将点的坐标代入化简可得，即．‎