高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解讲解

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高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解讲解

一、选择题 ‎1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是(  )‎ A.(-∞,1) B.(1,+∞)‎ C.(-1,+∞) D.(0,1)‎ ‎2.若‎2m+2n<4,则点(m,n)必在(  )‎ A.直线x+y-2=0的左下方 B.直线x+y-2=0的右上方 C.直线x+2y-2=0的右上方 D.直线x+2y-2=0的左下方 ‎3.不等式组所表示的平面区域的面积等于(  )‎ A.     B.    ‎ C.     D. ‎4.不等式组所围成的平面区域的面积为(  )‎ A.3 B.6 ‎ C.6 D.3‎ ‎5.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最小值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.5 D.7‎ ‎6.已知A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z=x-y的最大值及最小值分别是(  )‎ A.-1,-3 B.1,-3‎ C.3,-1 D.3,1‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为(  )‎ A.95 B.91 ‎ C.88 D.75‎ ‎8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是(  )‎ A.12万元 B.20万元 ‎ C.25万元 D.27万元 ‎9.已知实数x,y满足,若z=ax+y的最大值为‎3a+9,最小值为‎3a-3,则实数a的取值范围为(  )‎ A.a≥1 B.a≤-1‎ C.-1≤a≤1 D.a≥1或a≤-1‎ ‎10.已知变量x,y满足约束条件,且有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m=(  )‎ A.-2 B.-1 ‎ C.1 D.4‎ ‎11.当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1]∪[1,+∞)‎ B.[-1,1]‎ C.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ D.(-1,1)‎ ‎12.已知x、y满足不等式组,且z=2x+y的最大值是最小值的3倍,则a=(  )‎ A.0 B. ‎ C. D.1‎ ‎13.已知实数x,y满足,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于(  )‎ A.7 B.5 ‎ C.4 D.3‎ 二、填空题 ‎14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最大值为________.‎ ‎15.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景,支部先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,那么他们合理设计租船方案后,所付租金最少为________元.‎ 船型 每只船限载人数 租金(元/只)‎ 大船 ‎5‎ ‎12‎ 小船 ‎3‎ ‎8‎ ‎16.已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点,则|MN|的最大值是________.‎ ‎17.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,点P(a,b)为平面区域内任意一点,则的取值范围是________.‎ ‎18.若由不等式组(n>0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆的圆心在x轴上,则实数m=________.‎ 三、解答题 ‎19.若x、y满足条件,求z=x+2y的最小值,并求出相应的x、y值.‎ ‎20.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余是二等品,已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25,甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.‎ ‎(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲,P乙;‎ ‎(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该厂有工人32名,可用资金55万元.设x,y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1)的条件下,求x,y为何值时,z=xP甲+yP乙最大,最大值是多少?‎ ‎   ‎ 工人(名)‎ 资金(万元)‎ 甲 ‎4‎ ‎20‎ 乙 ‎8‎ ‎5‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵点O(0,0)使x-2y+4>0成立,且点O在直线下方,故点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方⇔-2-2t+4<0,∴t>1.‎ ‎[点评] 可用B值判断法来求解,令d=B(Ax0+By0+C),则d>0⇔点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0的上方;d<0⇔点P在直线下方.‎ 由题意-2(-2-2t+4)>0,∴t>1.‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵‎2m+2n≥2,由条件‎2m+2n<4知,‎ ‎2<4,∴m+n<2,即m+n-2<0,故选A.‎ ‎[答案] C ‎[解析] 平面区域如图.解得A(1,1),易得B(0,4),C,‎ ‎|BC|=4-=.‎ ‎∴S△ABC=××1=.‎ ‎[答案] D ‎[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC,易求B(4,4),A(1,1),C(2,0)‎ ‎∴S△ABC=S△OBC-S△AOC ‎=×2×4-×2×1=3.‎ ‎[答案] B ‎[解析] 在坐标系中画出约束条件所表示的可行域为图中△ABC,其中A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数z=2x+y在点B(1,1)处取得最小值,最小值为3.‎ ‎[答案] B ‎[解析] 当直线y=x-z经过点C(1,0)时,zmax=1,当直线y=x-z经过点B(-1,2)时,zmin=-3.‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由2x+3y=30知,y=0时,0≤x≤15,有16个;‎ y=1时,0≤x≤13;y=2时,0≤x≤12;‎ y=3时,0≤x≤10;y=4时,0≤x≤9;‎ y=5时,0≤x≤7;y=6时,0≤x≤6;‎ y=7时,0≤x≤4;y=8时,0≤x≤3;‎ y=9时,0≤x≤1,y=10时,x=0.‎ ‎∴共有16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91个.‎ ‎[答案] D ‎[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,‎ 由题意得,‎ 获利润ω=5x+3y,画出可行域如图,‎ 由,解得A(3,4).‎ ‎∵-3<-<-,∴当直线5x+3y=ω经过A点时,ωmax=27.‎ ‎[答案] C ‎[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,则z在点A处取得最大值,在点C处取得最小值.又kBC=-1,kAB=1,∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由题意可知,不等式组表示的可行域是由A(1,3),B(3,1),C ‎(5,2)组成的三角形及其内部部分.当z=x+my与x+y-4=0重合时满足题意,故m=1.‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由目标函数z=kx+y得y=-kx+z,结合图形,要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2),则0≤-k≤kAC≤1或0≥-k≥kBC=-1,∴k∈[-1,1].‎ ‎[答案] B ‎[解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示,z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.‎ 由得A(a,a),‎ 由得B(1,1),‎ ‎∴zmax=3,zmin=‎3a.∴a=.‎ ‎[答案] B ‎[解析] 画出x,y满足条件的可行域如图所示,可知在直线y=2x-1与直线x+y=m的交点A处,目标函数z=x-y取得最小值.‎ 由,‎ 解得,‎ 即点A的坐标为.‎ 将点A的坐标代入x-y=-1,得-=-1,即m=5.故选B.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC,显然当直线2x+y=z经过可行域内的点A(1,0)时,z取最大值,zmax=2.‎ ‎[答案] 116‎ ‎[解析] 设租大船x只,小船y只,则5x+3y≥48,租金z=12x+8y,作出可行域如图,‎ ‎∵-<-,∴当直线z=12x+8y经过点(9.6,0)时,z取最小值,但x,y∈N,‎ ‎∴当x=9,y=1时,zmin=116.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,由图形易知,点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大,所以|MN|的最大值为.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点,且M、N关于x+y=0对称,∴y=kx+1与x+y=0垂直,∴k=1,而圆心在直线x+y=0上,∴-+=0,∴m=-1,∴作出可行域如图所示,而表示点P(a,b)与点(1,-1)连线的斜率,‎ ‎∴kmax==-,kmin=-1,‎ ‎∴所求取值范围为.‎ ‎[答案] - ‎[解析] 根据题意,三角形的外接圆圆心在x轴上,‎ ‎∴OA为外接圆的直径,‎ ‎∴直线x=my+n与x-y=0垂直,‎ ‎∴×=-1,即m=-.‎ ‎[解析] 根据条件作出可行域如图所示,‎ 解方程组,得A(-2,2).‎ 再作直线l:x+2y=0,把直线l向上平移至过点A(-2,2)时,z取得最小值2,此时x=-2,y=2.‎ ‎[解析] (1)依题意得,‎ 解得,‎ 故甲产品为一等品的概率P甲=0.65,乙产品为一等品的概率P乙=0.4.‎ ‎(2)依题意得x、y应满足的约束条件为 ,且z=0.65x+0.4y.‎ 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.‎ 作直线b:0.65x+0.4y=0即13x+8y=0,把直线l 向上方平移到l1的位置时,直线经过可行域内的点M,且l1与原点的距离最大,此时z取最大值.‎ 解方程组,得x=2,y=3.‎ 故M的坐标为(2,3),所以z的最大值为zmax=0.65×2+0.4×3=2.5‎
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