6年高考4年模拟 不等式
【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》
第七章 不等式
第一部分 六年高考荟萃
2012 年高考题
一、选择题
1. ． （ 2012 年 高 考 （ 重 庆 理 ） ） 设 平 面 点 集
,则 所表示的平面
图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运
算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题.
2. ．（2012 年高考（重庆理））不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】
【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于
基础试题,属基本题.
3. ．（2012 年高考（四川理））某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗
原料 1 千克、 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 原料 2 千克, 原料 1 千克.每桶甲产
品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天
消耗 、 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,
公司共可获得的最大利润是 （ ）
A．1800 元 B．2400 元 C．2800 元 D．3100 元1. [答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由已知,
得 Z=300X+400Y
且
画可行域如图所示,
目标函数 Z=300X+400Y 可变形为
{ }2 21( , ) ( )( ) 0 , ( , ) ( 1) ( 1) 1A x y y x y B x y x yx
= − − ≥ = − + − ≤
A B
3
4
π 3
5
π 4
7
π
2
π
012
1 ≤+
−
x
x
− 1,2
1
− 1,2
1 [ )+∞∪
−∞− ,12
1. [ )+∞∪
−∞− ,12
1,
( 1)(2 1) 01 10 12 1 22 1 0
x xx xx x
− + ≤− ≤ ⇒ ⇒ < ≤+ + ≠
A B A B
A B
≥
≥
≤+
≤+
0
0
122
122
Y
X
YX
YX
Y= 这是随 Z 变化的一族平行直线
解方程组 即 A(4,4)
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标
函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).
4. ．（2012 年高考（山东理））已知变量 满足约束条件 ,则目标函数
的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由 得 ,平
移直线 ,由图象可知当直线经过点 时,直线 的
截距最小,此时 最大为 ,当直线经过 点时, 直线截距
最 大 , 此 时 最 小 , 由 , 解 得 , 此 时
, 所以 的取值范围是 ,选 A.
5. ．（2012 年高考（辽宁理））若 ,则下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ,则
所 以 所 以 当 时 ,
同理 即 ,故选 C
[0, )x∈ +∞
21xe x x+ +
21 1 11 2 41
x x
x
< − +
+
21cos 1 2x x−
21ln(1 ) 8x x x+ −
2 21 1( ) cos (1 ) cos 12 2f x x x x x= − − = − + ( ) ( ) sin ,g x f x x x′= = − +
( ) cos 1 0g x x′ = − + ≥ ， [0, )x∈ +∞
( ) ( ) ( ) (0) 0,g x g x f x g′= =为增函数，所以 ≥
21( ) (0) 0 cos (1 ) 02f x f x x= ∴ − −≥ ， ≥ ， 21cos 1 2x x−
400
zx4
3 +−
=+
=+
12y2x
12yx2
=
=∴
4y
4x 280016001200max =+=∴Z
,x y
2 2
2 4
4 1
x y
x y
x y
+ ≥
+ ≤
− ≥ −
3z x y= −
3[ ,6]2
− 3[ , 1]2
− − [ 1,6]− 3[ 6, ]2
−
yxz −= 3 zxy −= 3
xy 3= )0,2(E zxy −= 3
z 63 =−= yxz C
z
=+
−=−
42
14
yx
yx
=
=
3
2
1
y
x
2
332
33 −=−=−= yxz yxz −= 3 ]6,2
3[−
【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查
转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大.
6. ．（2012 年高考（辽宁理））设变量 x,y 满足 则 的最大值为
（ ）
A．20B．35C．45D．55
【答案】D
【解析】画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55,故选 D
【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出
最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值.
7. ．（2012 年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资
金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元
韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积
(单位:亩)分别为 （ ）
A．50,0 B．30.0 C．20,30D．0,50
B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同
时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜
的种植面积分别为 x,y 亩, 总利润为 z 万元, 则目标函数
为 . 线
性约束条件为 即 作出
不 等 式 组 表 示 的 可 行 域 , 易 求 得 点
.
平移直线 ,可知当直线 经过点 ,即 时,z 取
得最大值,且 (万元).故选 B.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:
(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么?
,
150
200
10
≤≤
≤+≤
≤−
y
yx
yx
yx 32 +
(0.55 4 1.2 ) (0.3 6 0.9 ) 0.9z x x y y x y= × − + × − = +
50,
1.2 0.9 54,
0,
0.
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ ≥
≥
50,
4 3 180,
0,
0.
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ ≥
≥
50,
4 3 180,
0,
0
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ ≥
≥
( ) ( ) ( )0,50 , 30,20 , 0,45A B C
0.9z x y= + 0.9z x y= + ( )30,20B 30, 20x y= =
max 48z =
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系;
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值
问题.
8. ．（2012 年高考（湖北理））设 是正数,且 , ,
,则 （ ）
A． B． C． D．
考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
解析:由于
等号成立当且仅当 则 a=t x b=t y c=t z ,
所以由题知 又 ,答案选 C.
9. ．（2012 年高考（广东理））已知变量 、 满足约束条件 ,则 的最
大值为 （ ）
A．12 B．11 C．3 D．
解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点 时,取到最大值.联立 ,
解得 ,所以 的最大值为 11.
10. ． （ 2012 年 高 考 （ 福 建 理 ） ） 若 函 数 图 像 上 存 在 点 满 足 约 束 条 件
,则实数 的最大值为 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
, , , , ,a b c x y z 2 2 2 10a b c+ + = 2 2 2 40x y z+ + =
20ax by cz+ + = a b c
x y z
+ + =+ +
1
4
1
3
1
2
3
4
222222 )())(( 2
czbyaxzyxcba ++≥++++
,tz
c
y
b
x
a === 10)( 2222 =++ zyxt
2/1=t , 2/1, ==++
++
++
++=== tzyx
cba
zyx
cba
z
c
y
b
x
a 所以
x y
2
1
1
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
3z x y= +
1−
A 2
1
y
y x
=
= −
3
2
x
y
=
= 3z x y= +
2xy = ( , )x y
3 0
2 3 0
x y
x y
x m
+ − ≤
− − ≤
≥
m
1
2
3
2
【解析】 与 的交点为 ,所以只有 才能符合条件,B 正确.
【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理
能力和求解计算能力.
11.．（2012 年高考（福建理））下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由基本不等式得 ,答案 C 正确.
【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,
掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键.
12.．（2012 年高考（大纲理））已知 ,则 （ ）
A． B． C． D．
答案 D
【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法.
【解析】 , , ,故选答案 D.
二、填空题
13.．（2012 年高考（新课标理））设 满足约束条件: ;则 的取值
范围为_________
【解析】 的取值范围为
约 束 条 件 对 应 四 边 形 边 际 及 内 的 区 域 :
则
14. ．（2012 年高考（浙江理））设 a R, 若 x>0 时均有
[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0, 则 a=______________.
【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:
3 0x y+ − = 2y x= (1,2) 1m ≤
2 1lg( ) lg ( 0)4x x x+ > > 1sin 2( , )sinx x k k Zx
π+ ≥ ≠ ∈
2 1 2 | | ( )x x x R+ ≥ ∈ 2
1 1( )1 x Rx
> ∈+
2 1 2 | | ( )x x x R+ ≥ ∈
1
2
5ln , log 2,x y z eπ −= = =
x y z< < z x y< < z y x< < y z x< <
ln ln 1eπ > = 5 5
1log 2 log 5 2
< =
1
2 1 1 1
24
z e
e
−= = > =
,x y
, 0
1
3
x y
x y
x y
≥
− ≥ −
+ ≤
2z x y= −
2z x y= − [ 3,3]−
OABC
(0,0), (0,1), (1,2), (3,0)O A B C
2 [ 3,3]z x y= − ∈ −
∈
(A) , 无解;
(B) , 无解.
因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间上,我
们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)
我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,—1).
考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( ,0),还可分析得:a>1;
考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( ,0),代入得: ,解之得: ,
舍去 ,得答案: .
【答案】
15.．（2012 年高考（上海春））若不等式 对 恒成立,则实数
的取值范围是______.
16. ．（2012 年高考（陕西理））设函数 , 是由
轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域,则
在 上的最大值为___________.
解析: , ,曲线 及该曲线在点
处的切线方程为 ,围成的封闭区域为三角形, 在点 处取得最大值
2.
17.．（2012 年高考（陕西理））观察下列不等式
,
照此规律,第五个不等式为________________________________________.
2
( 1) 1 0
1 0
a x
x ax
≤
≤
－ －
－ －
2
( 1) 1 0
1 0
a x
x ax
≥
≥
－ －
－ －
1
1a −
1
1a −
21 1 01 1
a
a a
− − = − −
30 2a or=
0a = 3
2a =
3
2a =
2 1 0x kx k− + − > (1,2)x ∈ k
( ,2]−∞
ln , 0( ) 2 1, 0
x xf x x x
>= − − ≤ D
x ( )y f x= (1,0)
2z x y= − D
1 , 0( )
2, 0
xy f x x
x
>′= =
− ≤
(1) 1f ′ = ( )y f x= (1,0)
1y x= - 2z x y= − (0, 1)-
2
1 31 2 2
+ <
2 3
1 1 51 2 3 3
+ + <
2 2 2
1 1 1 71 2 3 4 4
+ + + <
x
y
1
-1
解析:第五个不等式为
18.．（2012 年高考（江苏））已知正数 满足:
则 的取值范围是____.
【答案】 .
【考点】可行域.
【解析】条件 可化为: .
设 ,则题目转化为:
已知 满足 ,求 的取值范围.
作出( )所在平面区域(如图).求出 的切
线的斜率 ,设过切点 的切线为 ,
则 ,要使它最小,须 .
∴ 的最小值在 处,为 .此时,点 在 上 之间.
当( )对应点 时, ,
∴ 的最大值在 处,为 7.
∴ 的取值范围为 ,即 的取值范围是 .
19.．（2012 年高考（江苏））已知函数 的值域为 ,若关
于 x 的不等式
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 111 2 3 4 5 6 6
+ + + + + <
a b c， ， 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥， ，
b
a
[ ] 7e，
4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥，
3 5
4
a
c
a b
c c
a b
c c
b ec
⋅ + ≥
+ ≤
≥
= =a bx yc c
，
x y，
3 5
4
0 0
x
x y
x y
y e
x > y >
+ ≥
+ ≤ ≥
，
y
x
x y， = xy e
e ( )0 0P x y， ( )= 0y ex m m+ ≥
0 0
0 0 0
= =y ex m mex x x
+ + =0m
y
x
( )0 0P x y， e ( )0 0P x y， = xy e ,A B
x y， C =4 5 =20 5 =7 =7=5 3 4 =20 12
y x y x yy xy x y x x
− − ⇒ ⇒ ⇒ − −
y
x C
y
x
[ ] 7e， b
a
[ ] 7e，
2( ) ( )f x x ax b a b= + + ∈R， [0 )+ ∞，
的解集为 ,则实数 c 的值为____.
【答案】9.
【考点】函数的值域,不等式的解集.
【解析】由值域为 ,当 时有 ,即 ,
∴ .
∴ 解得 , .
∵不等式 的解集为 ,∴ ,解得 .
20.．（2012 年高考（大纲理））若 满足约束条件 ,则 的最小
值为_________________.
答案:
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作
图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由 得 ,平移直线
,由图象可知当直线经过点 时,直线 的截距最 大,此时
最小,最小值为 .
21.．（2012 年高考（安徽理））若 满足约束条件: ;则 的取值范围为
【解析】 的取值范围为
约束条件对应 边际及内的区域: 则
2011 年高考题
一、选择题
( )f x c< ( 6)m m +，
[0 )+ ∞， 2 =0x ax b+ + 2 4 0a b= − =
2
4
ab =
22
2 2( ) 4 2
a af x x ax b x ax x = + + = + + = +
2
( ) 2
af x x c = + < 2
ac x c− < + <
2 2
a ac x c− − < < −
( )f x c< ( 6)m m +， ( ) ( ) 2 62 2
a ac c c− − − − = = 9c =
,x y
1 0
3 0
3 3 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
+ − ≥
3z x y= −
1−
yxz −= 3 zxy −= 3
xy 3= )1,0(C zxy −= 3
z 1-3 =−= yxz
,x y
0
2 3
2 3
x
x y
x y
≥
+ ≥
+ ≤
x y−
_____
x y− _____ [ 3,0]−
ABC∆ 3(0,3), (0, ), (1,1)2A B C [ 3,0]t x y= − ∈ −
1.（重庆理 7）已知 a＞0，b＞0，a+b=2，则 y= 的最小值是
A． B．4 C． D．5
【答案】C
2.（浙江理 5）设实数 满足不等式组 若 为整数，则 的最小
值是
A．14 B．16 C．17 D．19
【答案】B
3.（全国大纲理 3）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
【答案】A
4.（江西理 2）若集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
5.（辽宁理 9）设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是
（A） ，2] （B）[0，2] （C）[1，+ ） （D）[0，+ ）
【答案】D
6.（湖南理 7）设 m＞1，在约束条件 下，目标函数 z=x+my 的最大值小于 2，则 m
的取值范围为
A．（1， ） B．（ ， ）
C．（1,3 ） D．（3， ）
【答案】A
7. （ 湖 北 理 8 ） 已 知 向 量 a= （ x+z,3 ） ,b= （ 2,y-z ） ， 且 a ⊥ b ． 若 x,y 满 足 不 等 式
1 4
a b
+
7
2
9
2
,x y
2 5 0
2 7 0,
0
x y
x y
x
+ −
+ −
＞
＞
≥ ，y≥0， ,x y 3 4x y+
a b＞
1a b +＞ 1a b −＞ 2 2a b＞ 3 3a b＞
{ }, { }xA x x B x x
− 2= −1≤ 2 +1≤ 3 = ≤ 0
A B∩ =
{ }x x−1≤ < 0 { }x x0 < ≤1
{ }x x0 ≤ ≤ 2 { }x x0 ≤ ≤1
>−
≤=
−
1,log1
1,2)(
2
1
xx
xxf
x
2)( ≤xf
1[− ∞ ∞
1
y x
y mx
x y
≥
≤
+ ≤
1 2+ 1 2+ +∞
+∞
，则 z 的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]
【答案】D
8.（广东理 5）。已知在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定。若
为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为
A． B． C．4 D．3
【答案】C
9.（四川理 9）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和
7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需运往 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且
只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙
型卡车虚配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆
数，可得最大利润 z=
A．4650 元 B．4700 元 C．4900 元 D．5000 元
【答案】C
【解析】由题意设派甲，乙 辆，则利润 ，得约束条件
画出可行域在 的点 代入目标函数
10.（福建理 8）已知 O 是坐标原点，点 A（-1,1）若点 M（x,y）为平面区域 ，
上的一个动点，则 · 的取值范围是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
11.（安徽理 4）设变量 的最大值和最小值分别为
（A）1，－1 （B）2，－2 （C） 1，－2 （D） 2，－1
【答案】B
1x y+ ≤
xOy D
0 2
2
2
x
y
x y
≤ ≤
≤
≤
( , )M x y D A ( 2,1) z OM OA= ⋅
4 2 3 2
A
,x y 450 350z x y= +
0 8
0 7
12
10 6 72
2 19
x
y
x y
x y
x y
≤ ≤
≤ ≤ + ≤
+ ≥
+ ≤
12
2 19
x y
x y
+ ≤
+ ≤
7
5
x
y
=
= 4900z =
2
1
y 2
x y
x
+ ≥
≤
≤
OA OM
yxyxyx 2,1||||, +≤+ 则满足
12.（上海理 15）若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是
A． B．
C．D D．
【答案】
二、填空题
13.（陕西理 14）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树
相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领
取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
【答案】2000
14.（浙江理 16）设 为实数，若 则 的最大值是 ．。
【答案】
15.（全国新课标理 13）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值
是_________．
【答案】-6
16.（上海理 4）不等式 的解为 。
【答案】 或
17.（广东理 9）不等式 的解集是 ．
【答案】
18.（江苏 14）设集合 ,
, 若 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
______________
【答案】
三、解答题
19.（安徽理 19）
,a b R∈ 0ab >
2 2 2a b ab+ > 2a b ab+ ≥
1 1 2
a b ab
+ > 2b a
a b
+ ≥
,x y 2 24 1,x y xy+ + = 2x y+
2 10
5
3 2 9
6 9
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤ 2z x y= +
1 3x
x
+ <
0x <
1
2x ≥
1 3 0x x+ − − ≥
[1, )+∞
},,)2(2|),{( 222 RyxmyxmyxA ∈≤+−≤=
},,122|),{( RyxmyxmyxB ∈+≤+≤= ,φ≠∩ BA
]22,2
1[ +
（Ⅰ）设 证明 ，
（Ⅱ） ，证明 .
本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒
等变形能力和推理论证能力.
证明：（I）由于 ，所以
将上式中的右式减左式，得
从而所要证明的不等式成立.
（II）设 由对数的换底公式得
于是，所要证明的不等式即为
其中
故由（I）立知所要证明的不等式成立.
20.（湖北理 17）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速
度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达
到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速
度为 60 千米/小时，研究表明；当 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函
数．
（Ⅰ）当 时，求函数 的表达式;
（Ⅱ）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/
1, 1,x y≥ ≥ ;111 xyyxxyyx ++≤++
cba ≤≤<1 log log log log log loga b c b c ab c a a b c+ + ≤ + +
1,1 ≥≥ yx
,)(1)(111 2xyxyyxxyxyyxxyyx ++≤++⇔++≤++
,0)1)(1)(1(,1,1
).1)(1)(1(
)1)(1(
)1)(()1)(1(
))()(()1)((
)1)(())((
2
2
≥−−−≥≥
−−−=
+−−−=
−+−−+=
+−+−−=
++−++
yxxyyx
yxxy
yxxyxy
xyyxxyxy
yxyxxyxy
yxxyxyxy
所以即然
,log,log ycxb ba ==
.log,1log,1log,1log xycybxaxya acbc ====
,111 xyyxxyyx ++≤++
.1log,1log ≥=≥= cybx ba
20 200x≤ ≤
0 200x≤ ≤ ( )v x
x
每小时） 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满
分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意：当 ；当
再由已知得
故函数 的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当 为增函数，故当 时，其最大值为 60×20=1200；
当 时，
当且仅当 ，即 时，等号成立。
所以，当 在区间[20，200]上取得最大值
综上，当 时， 在区间[0，200]上取得最大值 。
即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。
21.（湖北理 21）
（Ⅰ）已知函数 ， ，求函数 的最大值；
（Ⅱ）设 …， 均为正数，证明：
（1）若 … … ，则 ；
（2）若 … =1，则
( ) ( ).f x x v x=
0 20 , ( ) 60x v x≤ ≤ =时 20 200 , ( )x v x ax b≤ ≤ = +时 设
1 ,200 0, 3
20 60, 200.3
aa b
a b b
= −+ = + = =
解得
( )v x
60, 0 20,
( ) 1 (200 ),20 2003
x
v x x x
≤ ≤= − ≤ ≤
60 , 0 20,
( ) 1 (200 ),20 2003
x x
f x x x x
≤ <= − ≤ ≤
0 20 , ( )x f x≤ ≤ 时 20x =
20 200x≤ ≤
21 1 (200 ) 10000( ) (200 ) [ ]3 3 2 3
x xf x x x
+ −= − ≤ =
200x x= − 100x =
100 , ( )x f x= 时
10000.3
100x = ( )f x
10000 33333
≈
( ) 1f x Inx x= − + (0, )x∈ +∞ ( )f x
,k ka b ( 1,2k = )n
1 1 2 2a b a b+ + n na b ≤ 1 2b b+ + nb 1 2
1 2 1nkk k
na a a ≤
1 2b b+ + nb
1
n ≤ 1 2
1
2 2 2
2 1 2 .nkk k
n nb b b b b b≤ + + +
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理
论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分 14 分）
解：（I） 的定义域为 ，令
当 在（0，1）内是增函数；
当 时， 内是减函数；
故函数 处取得最大值
（II）（1）由（I）知，当 时，
有
，从而有 ，
得 ，
求和得
即
（2）①先证
令
则 于是
由（1）得 ，即
②再证
( )f x (0, )+∞
1'( ) 1 0, 1.f x xx
= − = =解得
0 1 , '( ) 0, ( )x f x f x< < >时
1x > '( ) 0, ( ) (1, )f x f x< +∞在
( ) 1f x x =在 (1) 0.f =
(0, )x∈ +∞
( ) (1) 0, ln 1.f x f x x≤ = ≤ −即
, 0k ka b > ln 1k ka a≤ −
ln ( 1,2, , )k k k k kb a a b b k n≤ − =
1
1 1 1
ln .
n n n
k
k k k k
k k k
a a b b
= = =
≤ −∑ ∑ ∑
2
1 1 1
, ln 0,
n n n
k
k k k k
k k k
a b b a
= = =
≤ ∴ ≤∑ ∑ ∑
1 2
1 2ln( ) 0,nkk k
na a a ≤ 1 2
1 2 1.nkk k
na a a∴ ≤
1 2
1 2
1 .nkk k
nb b b n
≥
1 ( 1,2, , ),k
k
a k nnb
= =
1 1 1
1 1 ,
n n n
k k k
k k k
a b bn= = =
= = =∑ ∑ ∑
1 2
1 2
1 1 1( ) ( ) ( ) 1nkk k
nnb nb nb
≤ 1 2
1 2
1 2
1 ,n
n
k k k
kk k
n
n nb b b
+ + +≤ =
1 2
1 2
1 .nkk k
nb b b n
∴ ≥
1 2 2 2 2
1 2 1 2 .nkk k
n nb b b b b b≤ + + +
记 ，
则 ，
于是由（1）得
即
综合①②，（2）得证。
2010 年高考题
一、选择题
1.（2010 上海文）15.满足线性约束条件 的目标函数 的最大值是
（ ）
（A）1. （B） . （C）2. （D）3.
答案 C
解析：当直线 过点 B(1,1)时，z 最大值为 2
2.（2010 浙江理）（7）若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，
则实数
（A） （B） （C）1 （D）2
答案 C
解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本
题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中
2
1
, ( 1,2, , )
n
k
k k
k
bS b a k nS=
= = =∑ 令
2
1
1 1 1
1 1
n n n
k k k
k k k
a b b bS= = =
= = =∑ ∑ ∑
1 21 2( ) ( ) ( ) 1.nkk k nbb b
S S S
≤
1 21 2
1 2 ,n nk k k kk k
nb b b S S+ + +≤ =
1 2 2 2 2
1 2 1 2 .nkk k
n nb b b b b b∴ ≤ + + +
2 3,
2 3,
0,
0
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ ≥
≥
z x y= +
3
2
z x y= +
x y
3 3 0,
2 3 0,
1 0,
x y
x y
x my
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
x y+
m =
2− 1−
档题
3.（2010 全国卷 2 理）（5）不等式 的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.
【解析】 利用数轴穿根
法解得-2＜x＜1 或 x＞3，故选 C
4.（2010 全国卷 2 文）(5)若变量 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】C：本题考查了线性规划的知识。
∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与 的交点为最优解点，∴
即为（1，1），当 时
5.（2010 全国卷 2 文）（2）不等式 ＜0 的解集为
（A） （B） （C） （D）
【解析】A ：本题考查了不等式的解法
∵ ，∴ ，故选 A
6.（2010 江西理）3.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
2 6 01
x x
x
− −
− ＞
{ }2, 3x x x−＜ 或 ＞ { }2 1 3x x x−＜ ，或 ＜ ＜
{ }2 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＞ { }2 1 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＜ ＜
1
3 2 5
x
y x
x y
≥ −
≥
+ ≤
y x= 3 2 5x y+ =
1, 1x y= = max 3z =
3
2
x
x
−
+
{ }2 3x x− < < { }2x x < − { }2 3x x x< − >或 { }3x x >
3 02
x
x
− <+ 2 3x− < <
2 2x x
x x
− −>
(0 2)， ( 0)−∞， (2 )+ ∞， (0 )∞ ∪ + ∞（- ，0） ，
【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. ，解得 A。
或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。
7.（2010 安徽文）（8）设 x,y 满足约束条件 则目标函数 z=x+y 的最大值
是
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
答案 C
【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是 ，目标函数
在 取最大值 6。
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区
域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.
8. （ 2010 重 庆 文 ） （ 7 ） 设 变 量 满 足 约 束 条 件
则 的最大值为
（A）0 （B）2
（C）4 （D）6
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线 过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大
由 B（2,2）知 4
2 0x
x
− <
2 6 0,
2 6 0,
0,
x y
x y
y
+ − ≥
+ − ≤
≥
(3,0),(6,0),(2,2)
z x y= + (6,0)
,x y
0,
0,
2 2 0,
x
x y
x y
≥
− ≥
− − ≤
3 2z x y= −
3 2z x y= −
maxz =
解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，可知答案选 A，本题主要考察了用平面区域二元一次
不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
10.（2010 重庆理数）（7）已知 x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
答案 B
解析：考察均值不等式
，整理得
即 ，又 ，
11.（2010 重庆理数）（4）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值
为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
答案 C
解析：不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 6
12.（2010 北京理）（7）设不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函数
y= 的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
11
2
2
2
28)2(82
+−≥⋅−=+ yxyxyx ( ) ( ) 032242 2 ≥−+++ yxyx
( )( ) 08242 ≥++−+ yxyx 02 >+ yx 42 ≥+∴ yx
0
1 0
3 0
y
x y
x y
≥
− + ≥
+ − ≤
11 0
3 3 0
5 3 0
x y
x y
x y 9
+ − ≥
− + ≥
− + ≤
xa
+∞
9
2
y
0
x70
48
80
70
(15,55)
答案：A
13.（2010 四川理）（12）设 ，则 的最
小值是
（A）2 （B）4 （C） （D）5
解析：
＝
＝
≥0＋2＋2＝4
当且仅当 a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1 时等号成立
如取 a＝ ,b＝ ,c＝ 满足条件.
答案：B
14.（2010 四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产
品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40
元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50
元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得
超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱
（B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱
（C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱
（D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱
答案：B
解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱
0a b c> > > 2 21 12 10 25( )a ac cab a a b
+ + − +−
2 5
2 21 12 10 25( )a ac cab a a b
+ + − +−
2 2 1 1( 5 ) ( )a c a ab ab ab a a b
− + − + + + −
2 1 1( 5 ) ( ) ( )a c ab a a bab a a b
− + + + − + −
2 2
2
2
5
则
目标函数 z＝280x＋300y
结合图象可得：当 x＝15,y＝55 时 z 最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
15.（2010 天津文）(2)设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z=4x+2y 的最大
值为
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做
出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点
（2，1）时 z 取得最大值 10.
16.（2010 福建文）
17.（2010 全国卷 1 文）（10）设 则
（A） （B） (C) (D)
答案 C
【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小
的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.
【解析 1】 a= 2= , b=In2= ,而 ,所以 a
>
0x y+ =
1
O
y x=
y
2 0x y− − =
x
A 0 : 2 0l x y− =
L0
2−
2
A
c= = ,而 ,所以 c = >
3log 3
2
1
log 2
1
loge
3
2 21 log log 2e< < < 3
2 2
1 1 1 12 log loge
< < <
1
2 1 1 15 25 4
− = < =
,x y
1,
0,
2 0,
y
x y
x y
≤
+ ≥
− − ≤
2z x y= −
1 12 2 2z x y y x z= − ⇒ = − l
max 1 2 ( 1) 3z = − × − =
3log
1
25
−
21.（2010 四川文）（11）设 ，则 的最小值是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案：D
解析：
＝
＝
≥2＋2＝4
当且仅当 ab＝1,a(a－b)＝1 时等号成立
如取 a＝ ,b＝ 满足条件.
22.（2010 四川文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出 产品，由乙车间加工出 产品.
甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 产品，每千克 产品获利 40 元.
乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 产品，每千克 产品获利 50 元.
甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超
过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱
（B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱
（C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱
0a＞b＞ ( )2 1 1a ab a a b
+ + −
( )2 1 1a ab a a b
+ + −
2 1 1
( )a ab ab ab a a b
− + + + −
1 1( ) ( )ab a a bab a a b
+ + − + −
2 2
2
A B
A A
B B
y
0
x70
48
80
70
(15,55)
（D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱
答案：B
解析：解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱
则
目标函数 z＝280x＋300y
结合图象可得：当 x＝15,y＝55 时 z 最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
70
10 6 480
,
x y
x y
x y N
+ ≤
+ ≤
∈
23.（2010 山东理）
24.（2010 福建理）8．设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与
关于直线 对称,对于 中的任意一点 A 与 中的任意一点 B, 的最
小值等于( )
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到直线 的距
离 的 最 小 值 的 两 倍 ， 画 出 已 知 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 ，
x 1
x-2y+3 0
y x
≥
≥
≥
1
Ω 2
Ω
1
Ω 3 4 9 0x y− − = 1
Ω 2
Ω | |AB
28
5
12
5
| |AB 1
Ω 3 4 9 0x y− − =
可看出点（1，1）到直线 的距离最小，故 的最小值为
，所以选 B。
二、填空题
1.（2010 上海文）2.不等式 的解集是 。
【答案】
解析：考查分式不等式的解法 等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4+
{ }24| <<− xx
2 04
x
x
− >+
2 4,
1,
2 0,
x y
x y
x
+ ≤
− ≤
+ ≥
1 4x y− < + < 2 3x y< − <
2 3z x y= −
(3,8)
(3,8)
1
4
2
3
x y
x y
x y
x y
+ > −
+ < − >
− <
1 4x y− < + < 2 3x y< − < 2 3z x y= −
【解析】画出不等式组 表示的可行域，在可行域内平移直线 z=2x-3y，当直
线经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A（3，1）时，目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3；当直线经
过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A（1，-2）时，目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8.
5.（2010 安徽文）(15)若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成
立的是 (写出所有正确命题的编号)．
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
【答案】①，③，⑤
【解析】令 ，排除②②；由 ，命题①正确；
，命题③正确； ，命题⑤正
确。
6.（2010 浙江文）（15）若正实数 X，Y 满足 2X+Y+6=XY ， 则 XY 的最小值是 。
【答案】18
7.（2010 山东文）（14）已知 ，且满足 ，则 xy 的最大值为 .
【答案】3
8.（2010 北京文）（11）若点 p（m，3）到直线 的距离为 4，且点 p 在不等
式 ＜3 表示的平面区域内，则 m= 。
【答案】-3
9.（2010 全国卷 1 文）(13)不等式 的解集是 .
【答案】
【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法
【解析】: ，数轴标根
得：
10.（2010 全国卷 1 理）(13)不等式 的解集是 .
1 4
2 3
x y
x y
− < + <
< − <
0, 0, 2a b a b> > + = ,a b
1ab ≤ 2a b+ ≤ 2 2 2a b+ ≥
3 3 3a b+ ≥ 1 1 2a b
+ ≥
1a b= = 2 2 1a b ab ab= + ≥ ⇒ ≤
2 2 2( ) 2 4 2 2a b a b ab ab+ = + − = − ≥ 1 1 2 2a b
a b ab ab
++ = = ≥
,x y R+∈ 13 4
x y+ =
4 3 1 0x y− + =
2x y+
2
2 03 2
x
x x
−
+ +
{ }2 1, 2x x x− < < − >或
2
2 03 2
x
x x
−
+ + ( )( ) ( )( )( )2 0 2 2 1 02 1
x x x xx x
−⇔ > ⇔ − + + >+ +
{ }2 1, 2x x x− < < − >或
22 1 1x x+ − ≤
11.（2010 湖北文）12.已知： 式中变量 满足的束条件 则 z 的最大值
为______。
【答案】5
【解析】同理科
12.（2010 山东理）
13.（2010 安徽理）
14. （ 2010 安 徽 理 ） 13 、 设 满 足 约 束 条 件 ， 若 目 标 函 数
的最大值为 8，则 的最小值为________。
【答案】 4
【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是
，易见目标函数在 取最大值 8，
所以 ，所以 ，在 时是等号成立。所以
2 ,x y− ,x y
,
1,
2
y x
x y
x
≤
+ ≥
≤
,x y
2 2 0
8 4 0
0 , 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ ≥
( )0, 0z abx y a b= + > > a b+
1(0,0),(0,2),( ,0),(1,4)2 (1,4)
8 4 4ab ab= + ⇒ = 2 4a b ab+ ≥ = 2a b= = a b+
的最小值为 4.
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区
域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得 ，要想求
的最小值，显然要利用基本不等式.
15.（2010 湖北理）12.已知 ，式中变量 ， 满足约束条件 ，则 的
最大值为___________.
【答案】5
【解析】依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数 y=2x-z，
当直线经过 A（2，－1）时，
z 取到最大值， .
16.（2010 湖北理）15.设 a>0,b>0,称 为 a，b 的调和平均数。如
图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径
做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过点 C
作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，
线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 ，故 ，即 CD
长 度 为 a,b 的 几 何 平 均 数 ， 将 OC= 代 入
可 得 故 ， 所 以 ED=OD-OE=
，故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数.
17.（2010 江苏卷）12、设实数 x,y 满足 3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值
是 。。
【答案】 27
【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。
4ab = a b+
2z x y= − x y
,
1,
2,
y x
x y
x
≤
+ ≥
≤
z
max 5Z =
2ab
a b+
2CD AC CB= ⋅ CD ab=
, , 2 2 2
a b a b a ba CD ab OD
+ − +− = = =
OD CE OC CD⋅ = ⋅ a bCE aba b
−= +
2
2 2 ( )
2( )
a bOE OC CE a b
−= − = +
2ab
a b+
2xy y
x2
4
3
y
x
， ， ， 的最大值是 27。
三、解答题
1.（2010 广东理）19.（本小题满分 12 分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6
个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位
的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳
水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，
并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解：设该儿童分别预订
个单位的午餐和晚餐，共花
费 元，则 。
可行域为
12 x+8 y ≥64
6 x+6 y ≥42
6 x+10 y ≥54
x≥0， x∈N
y≥0， y∈N
即
3 x+2 y ≥16
x+ y ≥7
3 x+5 y ≥27
x≥0， x∈N
y≥0， y∈N
作出可行域如图所示：
经试验发现，当 x=4,y=3 时，花费最少，为 =2.5×4+4×3=22 元．
2.（2010 广东文）19.（本题满分 12 分）
某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，
2
2( ) [16,81]x
y
∈ 2
1 1 1[ , ]8 3xy
∈
3 2
2
4 2
1( ) [2,27]x x
y y xy
= ⋅ ∈ 4
3
y
x
,x y
z 2.5 4z x y= +
2.5 4z x y= +
6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单
位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的
碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，
并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解 ： 设 为 该 儿 童 分 别 预 订 个 单 位 的 午 餐 和 个 单 位 的 晚 餐 ， 设 费 用 为 F ， 则
F ，由题意知：
画出可行域：
变换目标函数：
x y
yx 45.2 +=
64812 ≥+ yx
4266 ≥+ yx
54106 ≥+ yx
0,0 >> yx
48
5 Fxy +−=
3.（2010 湖北理）15.设 a>0,b>0,称 为 a，b 的调和平均数。如
图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径
做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过点 C
作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，
线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 ，故 ，即 CD
长 度 为 a,b 的 几 何 平 均 数 ， 将 OC= 代 入
可 得 故 ， 所 以 ED=OD-OE=
，故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数.
2ab
a b+
2CD AC CB= ⋅ CD ab=
, , 2 2 2
a b a b a ba CD ab OD
+ − +− = = =
OD CE OC CD⋅ = ⋅ a bCE aba b
−= +
2
2 2 ( )
2( )
a bOE OC CE a b
−= − = +
2ab
a b+
2009 年高考题
第一节 简单不等式及其解法
一、选择题
1.（2009 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是
A.p: ＞b+d , q: ＞b 且 c＞d
B.p:a＞1,b>1 q: 的图像不过第二象限
C.p: x=1, q:
D.p:a＞1, q: 在 上为增函数
答案 A
解析 由 ＞b 且 c＞d ＞b+d，而由 ＞b+d ＞b 且 c＞d，可举反例。选
A。
2.（2009 安徽卷文）“ ”是“ 且 ”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 A
解析 易得 时必有 .若 时，则可能有 ，选
A。
3.（2009 四川卷文）已知 ， ， ， 为实数，且 ＞ .则“ ＞ ”是“ － ＞ －
”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 B
解析 显然，充分性不成立.又，若 － ＞ － 和 ＞ 都成立，则同向不等式相加
得 ＞
即由“ － ＞ － ” “ ＞ ”
4.（2009 天津卷理） ,若关于 x 的不等式 ＞ 的解集中的整数恰
有 3 个，则
a c+ a
( ) ( 0 1)xf x a b a a= − > ≠，且
2x x=
( ) log ( 0 1)af x x a a= > ≠，且 (0, )+∞
a ⇒ a c+ a c+ a
a b c d> >且 a c b d+ > + a c b d+ > + a d c b> >且
a b c d c d a b a c b
d
a c b d c d
a b
a c b d ⇒ a b
ab +<< 10 2( )x b− 2( )ax
A. B. C. D.
答案 C
5.（2009 四川卷理）已知 为实数，且 。则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文 7）
答案 B
解析 推不出 ；但 ，故选择 B。
解 析 2 ： 令 ， 则 ； 由
可得， 因为 ，则 ，所以 。故“ ”
是“ ”的必要而不充分条件。
6.（2009 重庆卷理）不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
解 析 因 为 对 任 意 x 恒 成 立 ， 所 以
二、填空题
7.（2009 年上海卷理）若行列式 中，元素 4 的代数余子式大于 0，
则 x 满足的条件是________________________ .
答案
解析 依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：
三、解答题
8.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分)
01 <<− a 10 << a 31 << a 63 << a
, , ,a b c d c d> a b> a c b d− > −
ba > a c b d− > − bdcbadbca >−+>⇒−>−
2, 1, 3, 5a b c d= = = = − 1 3 ( 5) 8a c b d− = − < − = − − =
a c b d− > − ( )a b c d> + − c d> 0c d− > a b> a b>
a c b d− > −
23 1 3x x a a+ − − ≤ − x a
( , 1] [4, )−∞ − +∞ ( , 2] [5, )−∞ − +∞
[1,2] ( ,1] [2, )−∞ +∞
24 3 1 4 3 1 3x x x x a a− ≤ + − − ≤ + − − ≤ −对
2 23 4 3 0 4 1a a a a a a− ≥ − ≥ ≥ ≤ −即 ，解得 或
4
1
7
5 x
x 3
8 9
8
3x >
8
3x >
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单
价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度
为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种
交易的综合满意度为 .
现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的
单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 元和 元，甲买进 A 与
卖出 B 的综合满意度为 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为
(1)求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
(2)设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最
大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得
和
同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽
象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。
(1)
当 时， ,
, =
（2）当 时，
a
m m
m a+
n
n
n a+ 1h 2h
1 2h h
Am Bm
h甲 h乙
h甲 h乙 Am Bm 3
5A Bm m= h甲 h乙
3
5A Bm m= Am Bm
0h Am Bm 0h h≥甲
0h h≥乙
3
5A Bm m=
2
3
5
3 5 ( 20)( 5)125
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
= ⋅ =+ + ++
甲
2
3
5
3 20 ( 5)( 20)35
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
= ⋅ =+ + ++
乙 h甲 h乙
3
5A Bm m=
2
2
1 1= ,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1
B
B B
B B B B
mh m m
m m m m
= =+ + + + + +
甲
由 ，
故当 即 时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。
（3）（方法一）由（2）知： =
由 得： ，
令 则 ，即： 。
同理，由 得：
另一方面，
当且仅当 ，即 = 时，取等号。
所以不能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成
立。
第二节 基本不等式
一、选择题
1 1 1[5,20] [ , ]20 5B
B
m m
∈ ∈得
1 1
20Bm
= 20, 12B Am m= =
10
5
0h 10
5
0
10= 12 5 5
A B
A B
m mh hm m
⋅ ≥ =+ +甲
12 5 5
2
A B
A B
m m
m m
+ +⋅ ≤
3 5, ,
A B
x ym m
= = 1[ ,1]4x y∈、 5(1 4 )(1 ) 2x y+ + ≤
0
10
5h h≥ =乙
5(1 )(1 4 ) 2x y+ + ≤
1[ ,1]4x y∈、 1 4 1x x+ ∈ + ∈ 5、1+4y [ 2, 5] , 、1+y [ , 2] ,2
5 5(1 4 )(1 ) ,(1 )(1 4 ) ,2 2x y x y+ + ≥ + + ≥ 1
4x y= = Am Bm
Am Bm 0h h≥甲 0h h≥乙
1.（2009 天津卷理）设 若 的最小值为
A . 8 B . 4 C. 1 D.
考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了
变通能力。
答案 C
解析 因为 ，所以 ，
， 当 且 仅 当 即
时“=”成立，故选择 C
2.（2009 重庆卷文）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
答案 C
解析 因为 当且仅当 ，
且 ，即 时，取“=”号。
二、填空题
3.（2009 湖南卷文）若 ，则 的最小值为 .
答案 2
解析 ，当且仅当 时取等号.
三、解答题
4.（2009 湖北卷文）（本小题满分 12 分）
围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维
修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如
图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度
为 x(单位：元)。
（Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数：
0, 0.a b> > 1 13 3 3a b
a b
+是 与 的等比中项，则
1
4
333 =⋅ ba 1=+ ba
4222)11)((11 =⋅+≥++=++=+
b
a
a
b
b
a
a
b
bababa b
a
a
b =
2
1== ba
0, 0a b> > 1 1 2 aba b
+ +
2 2
1 1 1 12 2 2 2( ) 4ab ab aba b ab ab
+ + ≥ + = + ≥ 1 1
a b
=
a b=
0x > 2x x
+
22
0x >
2 2 2x x
⇒ + ≥ 2 2x xx
= ⇒ =
（Ⅱ）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
解：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m
则 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知 xa=360,得 a= ,
所以 y=225x+
(II)
.当且仅当 225x= 时，等号成立.
即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元.
第三节 不等式组与简单的线性规划
一、选择题
1. (2009 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 ，
若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为 12，
则 的最小值为 ( ).
A. B. C. D. 4
答案 A
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a>0，b>0）
过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,
2y
x
360
)0(3603602
xx
−
108003602252360225,0 2
2
=×≥+∴
xxx
10440360360225
2
≥−+=∴
xxy x
2360
≥≥
≥+−
≤−−
0,0
02
063
yx
yx
yx
2 3
a b
+
6
25
3
8
3
11
x 2
2
y
O -2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）取得最大 12,
即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 = ,故选
A.
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能
准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知
2a+3b=6,求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
2.（2009 安徽卷理）若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面
积相等的两部分，则 的值是
A. B. C. D.
答案 B
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由 得 A（1，1），又 B（0，4），C（0， ）
∴ △ABC= ，设 与 的
交点为 D，则由 知 ，∴
∴ 选 A。
3.（2009 安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于
A. B. C. D.
解析 由 可得 ，故 阴 = ，选 C。
答案 C
4.（2009 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B
原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5
万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，
B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
2 3
a b
+ 2 3 2 3 13 13 25( ) ( ) 26 6 6 6
a b b a
a b a b
++ = + + ≥ + =
2 3
a b
+
0
3 4
3 4
x
x y
x y
≥
+ ≥
+ ≤
4
3y kx= +
k
7
3
3
7
4
3
3
4
3 4
3 4
x y
x y
+ =
+ =
4
3
S 1 4 4(4 ) 12 3 3
− × = y kx= 3 4x y+ =
1 2
2 3BCDS S ABC∆ = ∆ = 1
2Dx = 5
2Dy =
5 1 4 7,2 2 3 3k k= × + =
2
3
3
2
3
4
4
3
3 4 0
3 4 0
x y
x y
+ − =
+ − = (1,1)C S 1 4
2 3cAB x× × =
A
x
D
y
C
O
y=kx+ 4
3
答案 D
解析 设生产甲产品 吨，生产乙产品 吨，则有关系：
A 原料 B 原料
甲产品 吨 3 2
乙 产 品
吨
3
则有：
目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当 ＝3， ＝5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D
5.（2009 宁夏海南卷理）设 x,y 满足
A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值
C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值
答案 B
解析 画出可行域可知，当 过点（2，0）时， ，但无最大值。选 B.
6.（2009 宁夏海南卷文）设 满足 则
A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值
C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值
答案 B
解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由 z＝x＋y，得 y＝－x＋z，令 z＝0，画出 y
＝－x 的图象，当它的平行线经过 A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z＝2，无最大
值，故选.B
x y
x x x
y y y
≤+
≤+
>
>
1832
133
0
0
yx
yx
y
x
yxz 35 +=
x y
2 4
1,
2 2
x y
x y z x y
x y
+ ≥
− ≥ − = +
− ≤
则
z x y= + min 2z =
,x y
2 4,
1,
2 2,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥
− ≤
z x y= +
（3，4）（0，6）
O （
3
13 ，0）
y
x9
13
7.(2009 湖南卷理)已知 D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆
在区域 D 内
的弧长为 [ B]
A . B. C. D.
答案 B
解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率
分别是 ，所以圆心角 即为两直线的所成夹角，所以 ，
所以 ，而圆的半径是 2，所以弧长是 ，故选 B 现。
8.（2009 天津卷理）设变量 x，y 满足约束条件： .则目标函数 z=2x+3y 的最小
值为
A.6 B.7 C.8 D.23
2 0
3 0
x y
x y
− ≥
+ ≥
2 2 4x y+ =
4
π
2
π 3
4
π 3
2
π
1 ,2
1
3
− α
1 1| ( ) |2 3tan 11 11 |2 3
α
− −
= =
+ ⋅ −（ ）
4
πα =
2
π
3
1
2 3
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥ −
− ≤
答案 B
【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
解析 画出不等式 表示的可行域，如右图，
让目标函数表示直线 在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解
方程组 得 ，所以 ，故选择 B。
9.（2009 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B
原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5
万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，
B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
答案 D
【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文 10）
解析 设甲、乙种两种产品各需生产 、 吨，可使利润 最大，故本题即
已知约束条件 ，求目标函数 的最大
值，可求出最优解为 ，故 ，故选
择 D。
3
1
2 3
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥ −
− ≤
33
2 zxy +−=
=−
=+
32
3
yx
yx )1,2( 734min =+=z
x y z
≥
≥
≤+
≤+
0
0
1832
133
y
x
yx
yx
yxz 35 +=
=
=
4
3
y
x 271215max =+=z
10.（2009 福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表
示的平面区域内的面积等于 2，则 的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
答案 D
解析 如图可得黄色即为满足
的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个
封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选
D.
二、填空题
11. （ 2009 浙 江 理 ） 若 实 数 满 足 不 等 式 组 则 的 最 小 值
是 ．
答案 4
解析 通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，
12.（2009 浙江卷文）若实数 满足不等式组 则 的最小
是 ．
【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性
区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求
1 0
1 0
1 0
x y
x
ax y
+ − ≥
− ≤
− + ≥
α
a
010101 =+−≥−+≤− yaxyxx 的可行域，而与
2
3
,x y
2,
2 4,
0,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≤
− ≥
2 3x y+
2
3y x Z= − + ( )2,0 ( )min2 3 4x y+ =
,x y
2,
2 4,
0,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≤
− ≥
2 3x y+
解析 通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，
13.（2009 北京文）若实数 满足 则 的最大值为 .
答案 9
解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，当 时，
为最大值.
故应填 9.
14.（2009 北京卷理）若实数 满足 则 的最小值为__________.
答案
解析 本题主要考查线性规划方面
的基础知. 属于基础知识、基本运算
的考查.
如图，当 时，
为最小值.
故应填 .
2
3y x Z= − + ( )2,0 ( )min2 3 4x y+ =
,x y
2 0,
4,
5,
x y
x
x
+ − ≥
≤
≤
s x y= +
4, 5x y= =
4 5 9s x y= + = + =
,x y
2 0
4
5
x y
x
y
+ − ≥
≤
≤
s y x= −
6−
4, 2x y= = −
2 4 6s y x= − − − = −
6−
15.(2009 山东卷理)不等式 的解集为 .
答案
解析 原不等式等价于不等式组① 或②
或③ 不等式组①无解,由②得 ,由③得 ,综
上得 ,所以原不等式的解集为 .
16.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A
类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知
设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类
产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元.
答案 2300
解析 设甲种设备需要生产 天, 乙种设备需要生产 天, 该公司所需租赁费为 元,则
，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品
设备
A 类产品
(件)(≥50)
B 类产品
(件)(≥140)
租赁费
(元)
甲设备 5 10 200
乙设备 6 20 300
则满足的关系为 即: ,
作出不等式表示的平面区域,当 对应的直线过两直线 的交
点(4,5)时，目标函数 取得最低为 2300 元.
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的
0212 <−−− xx
{ | 1 1}x x− < <
2
2 1 ( 2) 0
x
x x
≥
− − − <
1 22
2 1 ( 2) 0
x
x x
< <
− + − <
1
2
(2 1) ( 2) 0
x
x x
≤
− − + − <
1 12 x< < 11 2x− < ≤
1 1x− < < { | 1 1}x x− < <
x y z
200 300z x y= +
5 6 50
10 20 140
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥
+ ≥
≥ ≥
6 105
2 14
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥ + ≥
≥ ≥
200 300z x y= +
6 105
2 14
x y
x y
+ =
+ =
200 300z x y= +
关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问
题..
17.（2009 上海卷文） 已知实数 x、y 满足 则目标函数 z=x-2y 的最小值是
_______.
答案 －9
解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： －z，画直线 及
其平行线，当此直线经过点 A 时，－z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6），所以，
z 的最小值为：3－2×6＝－9。
2007—2008 年高考题
第一节 简单不等式及其解法
一、选择题
2
2
3
y x
y x
x
≤
≥ −
≤
xy 2
1= xy 2
1=
1.（2008 天津）已知函数 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
答案 A
2.（2008 江西）若 ，则下列代数式中值最大
的是 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
3.（2008 浙江）已知 ，b 都是实数，那么“ ”是“ >b”的（ ）
A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 D
4.（2008 海南）已知 ，则使得 都成立的 取值范
围是 （ ）
A.（0， ） B. （0， ）
C. （0， ） D. （0， ）
答案 B
5、（2008 山东）不等式 的解集是 （ ）
A． B． C． D．
解析 本小题主要考查分式不等式的解法。易知 排除 B;由 符合可排除 C;由
排除 A, 故选 D。也可用分式不等式的解法,将 2 移到左边直接求解。
答案 D
6、（2007 广东）设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
2, 0( ) 2, 0
x xf x x x
+= − + >
≤
2( )f x x≥
[ 1,1]− [ 2,2]− [ 2,1]− [ 1,2]−
1 2 1 2 1 2 1 20 ,0 1a a b b a a b b< < < < + = + =, 且
1 1 2 2a b a b+ 1 2 1 2a a b b+ 1 2 2 1a b a b+ 1
2
a 22 ba > a
1 2 3 0a a a> > > 2(1 ) 1ia x− < ( 1,2,3)i = x
1
1
a 1
2
a
3
1
a 3
2
a
2
5 2( 1)
x
x
+
− ≥
13 2
− ， 1 32
− ， ( ]1 1 132
， ， ( ]1 1 132
− ， ，
1x ≠ 0x =
3x =
,a b R∈ | | 0a b− >
A、 B、 C、 D、
解析 利用赋值法：令 排除 A,B,C,选 D
答案 D
7、（2007 湖南）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
答案 D
8．（2007 福建）已知集合 A＝ ，B＝ ，且 ，则实数
的取值范围是 （ ）
A． B． a<1 C． D．a>2
答案 C
9．(2007 安徽)若对任意 R,不等式 ≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
(A)a＜-1 (B) ≤1 (C) ＜1 D.a≥1
答案 B
10．(2007 浙江)“x＞1”是“x2＞x”的 （ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
答案 A
11．（2007 湖南）1．不等式 的解集是 （ ）
A． B． C． D．
答案 D
12．（2007 广东）．已知集合 M={x|1+x>0}，N={x| >0}，则 M∩N= （ ）
A．{x|-1≤x＜1 B．{x|x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x|x≥-1}
答案 C
二、 填空题
19、（2008 上海）不等式 的解集是 ．
0b a− > 3 3 0a b+ < 2 2 0a b− < 0b a+ >
1, 0a b= =
2 01
x
x
−
+ ≤
( 1) ( 1 2]−∞ − −， ， [ 1 2]− ， ( 1) [2 )−∞ − + ∞， ， ( 1 2]− ，
{ | }x x a< { |1 2}x x< < R( )A B R= a
2a ≤ 2a ≥
∈x x
a a
2x x>
( 0)−∞， (01)， (1 )+ ∞， ( 0) (1 )−∞ + ∞， ，
1 1x − ＜
答案 （0，2）
20.（2008 山东）若不等式｜3x-b｜＜4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范
围 .
答案 （5，7）.
21.（2008 江西）不等式 的解集为 ．
答案
22 ． （ 2007 北 京 ） 已 知 集 合 ， ． 若
，则实数 的取值范围是 （2，3） ．
三、解答题
26.（2007 北京）记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为
．
（I）若 ，求 ；
（II）若 ，求正数 的取值范围．
解：（I）由 ，得 ．
（II） ．
由 ，得 ，又 ，所以 ，
即 的取值范围是 ．
27．（2007 湖北）已知 m，n 为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x>-1 时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于 n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n.
解：（Ⅰ）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当 x>-1，且 x≠0 时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○1
(i)当 m=2 时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为 x≠0,所以 x2>0，即左边>右边，不等式①
成立；
3 1 12 2
x x
− + ≤
( , 3] (0,1]−∞ −
{ }| 1A x x a= − ≤ { }2 5 4 0B x x x= − + ≥
A B = ∅ a
x 01
x a
x
− <+ P 1 1x − ≤
Q
3a = P
Q P⊆ a
3 01
x
x
− <+ { }1 3P x x= − < <
{ } { }1 1 0 2Q x x x x= − =≤ ≤ ≤
0a > { }1P x x a= − < < Q P⊆ 2a >
a (2 )+ ∞，
2
1
3
11 <
+−
n
n
mn
n
m
<
+−
2
1
31
（ii）假设当 m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当 m=k+1 时，因为 x>-1,
所以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx2>0.
于是在不等式（1+x）k>1+kx 两边同乘以 1+x 得
（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当 m＝k+1 时，不等式①也成立.
综上所述，所证不等式成立.
(Ⅱ)证：当
而由（Ⅰ），
（Ⅲ）解：假设存在正整数 成立，
即有（ ）+ ＝1. ②
又由（Ⅱ）可得
（ ）+
+ 与②式矛盾，
故当 n≥6 时，不存在满足该等式的正整数 n.
故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形；
当 n=1 时，3≠4，等式不成立；
当 n=2 时，32+42＝52，等式成立；
当 n=3 时，33+43+53＝63，等式成立；
当 n=4 时，34+44+54+64 为偶数，而 74 为奇数，故 34+44+54+64≠74,等式不成立；
当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的 n 只有 n=2,3.
第二节 基本不等式
,)2
1()3
11(,2
1
3
11,6 m
n
mm
nnnmn <
+−∴<+−≤≥ ）（时，
31)3
11( +−≥+−
n
m
n
m
.)2
1()3
11()31( m
n
mn
nn
m <
+−≤+−∴
00 )3()2(436 00000
nnnn nnn +=++++≥ 使等式
0
3
3
0
n
n +
00 )3
2()3
4(
0
0
0
nn
n
n
n +
++++
0
3
3
0
n
n + ++
−−++−=+
++++
0000 )3
11()31()3
2()3
4(
0
0
0
0
0
0
0
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
,12
112
1)2
1()2
1()3
11( 0
000 1
0
<−=+++<+− −
n
nnn
n
一、 选择题
1.（2008 陕西）“ ”是“对任意的正数 ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
2．（2007 北京）如果正数 满足 ，那么（ A ）
Ａ． ，且等号成立时 的取值唯一
Ｂ． ，且等号成立时 的取值唯一
Ｃ． ，且等号成立时 的取值不唯一
Ｄ． ，且等号成立时 的取值不唯一
答案 A
二、 填空题
10.（2008 江苏）已知 ， ，则 的最小值 ．
答案 3
11.（2007 上海）已知 ，且 ，则 的最大值为
答案
12．(2007 山东)函数y=loga(x+3)-1(a>0,a 1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0
上，其中 mn>0,则 的最小值为 .
答案 8
第三节 不等式组与简单的线性规划
一、 选择题
1、（2008 山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M，使函数 y＝
ax(a＞0，a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( )
A .[1,3] B.[2, C.[2,9]
D.[ ,9]
1
8a = x 2 1ax x
+ ≥
a b c d， ， ， 4a b cd+ = =
ab c d+≤ a b c d， ， ，
ab c d+≥ a b c d， ， ，
ab c d+≤ a b c d， ， ，
ab c d+≥ a b c d， ， ，
, ,x y z R+∈ 2 3 0x y z− + =
2y
xz
,x y R+∈ 4 1x y+ = x y⋅ _____
1
16
≠
nm
21 +
≤−+
≥+−
≥−+
0142
,08
0192
yx
yx
yx ，
10
10
答案 C
解析 本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域 M， 显然 ，只需
研究过 、 两种情形。 且 即
2、（2008 广东）若变量 满足 则 的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
答案 C
解析 画出可行域（如图），在 点取最大值
3．（2007 北京）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围
是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 或
答案 D
1a >
(1,9) (3,8) 1 9a ≤ 3 8a ≥ 2 9.a≤ ≤
x y，
2 40
2 50
0
0
x y
x y
x
y
+
+
，
，
，
，
≤
≤
≥
≥
3 2z x y= +
(10,20)B max 3 10 2 20 70z = × + × =
2 2
0
x y
x y
y
x y a
− 0
+
+
≥ ，
≤ ，
≥ ，
≤
a
4
3a≥ 0 1a< ≤ 41 3a≤ ≤ 0 1a< ≤ 4
3a≥
16
14
12
10
8
6
4
2
y=f(x)
3,8( )
2,10( )
1,9( )
4.（2007 天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值
为 （ ）
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
答案 B
5、（2008 山东）10、（2006 山东）已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件 则
x－2x 3y 的最小值是
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
答案 B
6、（2006 广东）在约束条件 下，当 时，目标函数 的最
大值的变化范围是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
10．（2007 浙江）设 为实数，若 ，则
的取值范围是_____________。
答案 0≤m≤
11（2007 湖南）设集合 ， ，
，
（1） 的取值范围是 ；
（2）若 ，且 的最大值为 9，则 的值是 ．
x y，
1
1
3 3
x y
x y
x y
− −
+
− <
，
，
．
≥
≥ 4z x y= +
≥
≤−
≤÷
.72
,2
,10
x
yx
yx
÷
≤+
≤+
≥
≥
42
0
0
xy
syx
y
x
53 ≤≤ s yxz 23 +=
]15,6[ ]15,7[ ]8,6[ ]8,7[
m 2 2
2 5 0
( , ) 3 0 {( , ) | 25}
0
x y
x y x x y x y
mx y
− + ≥
− ≥ ⊆ + ≤
+ ≥
m
{( ) | | 2 | 0}A x y y x x= −， ≥ ， ≥ {( ) | }B x y y x b= − +， ≤
A B = ∅
b
( )x y A B∈ ， 2x y+ b
答案 （1） （2）
12 ． （ 2007 福 建 ） 已 知 实 数 x 、 y 满 足 ， 则 的 取 值 范 围 是
__________；
答案
解：令 >2（x<2），解得 12（x≥2）解得 x∈（ ，+∞）选
C
第二部分 四年联考题汇编
2012-2013 年联考题
1.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知向量 ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B．12 C．6 D．
【答案】C
【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 即 ， 所 以 。 则
，当且仅当 取等号，
所以最小值为 6，选 C.
2.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】关于 的不等式 的解为
或 ，则点 位于
（A）第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限
【答案】A
【解析】由不等式的解集可知， 是方程的两个根，且 ，不妨设 ， ，
所以 ，即点 的坐标为 ，位于第一象限，选 A.
3.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】函数 为定义在 上的减函数，函
[1 )+ ∞， 9
2
2
2
0 3
x y
x y
y
+ ≥
− ≤
≤ ≤
2Z x y= −
[ 5,7]−
12 xe − 2
3log ( 1)x − 10
( 1,2), (4, )a x b y= − =
a b⊥ 9 3x y+
2 3 3 2
a b⊥ 0a b =
4( 1) 2 0x y− + = 2 2x y+ =
2 2 2 29 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 6x y x y x y x y++ = + ≥ × = = = 23 3 ,2 1x y x y= = =
x ( )( ) 0x a x b
x c
− − ≥−
1 2x− ≤ < 3x ≥ ( , )P a b c+
1,3− 2c = = 1a − =3b
=2a b+ ( , )P a b c+ (2,2)
)(xfy = R
数 的 图 像 关 于 点 （ 1,0 ） 对 称 ， 满 足 不 等 式
， ， 为坐标原点，则当 时，
的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 的图像关于点（1,0）对称，所以 的图象关于原点
对 称 ， 即 函 数 为 奇 函 数 ， 由 得
，所以 ，所以 ，
即 ，画出可行域如图，
可得 =x+2y∈[0，12]．故选 D．
4.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】设动点 满足 ，
则 的最大值是
A. 50 B. 60 C. 70 D. 100
【答案】D
)1( −= xfy ( )y f x=
( )y f x= 0)2()2( 22 ≤−+− yyfxxf
2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f x x f y y f y y− ≤ − − = − 2 22 2x x y y− ≥ −
2 22 2
1 4
x x y y
x
− ≥ −
≤ ≤
( )( 2) 0
1 4
x y x y
x
− + − ≥
≤ ≤
)1( −= xfy ,x y
0)2()2( 22 ≤−+− yyfxxf (1,2), ( , )M N x y O 41 ≤≤ x
OM ON⋅
[ )+∞,12 [ ]3,0 [ ]12,3 [ ]12,0
),( yxP
≥
≥
≤+
≤+
0
0
502
402
y
x
yx
yx
yxz 25 +=
【 解 析 】 作 出 不 等 式 组 对 应 的 可 行 域 ， 由
得， ，平移直线 ，由图象可知当直线
经 过 点 时 ， 直 线 的 截 距 最 大 ， 此 时 也 最 大 ， 最 大 为
，选 D.
5.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】已知向量 = = ,若
，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 .故选 C.
6. 【 云 南 师 大 附 中 2013 届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 （ 三 ） 理 科 】 已 知 函 数
则 满 足 不 等 式 的 x 的 取 值 范 围 为
（ ）
A． B．（－3，0） C．（－3，1） D ． （ － 3 ， －
）
【答案】B
【解析】由函数图象可知，不等式的解为 即 ，故选 B.
yxz 25 += 5
2 2
zy x= − + 5
2 2
zy x= − + 5
2 2
zy x= − +
(20,0)D 5
2 2
zy x= − + z
5 2 5 20 100z x y= + = × =
a ),2,1( −x b ),4( y a ⊥
b yx 39 +
2 32 6 9
24( 1) 2 0, 2 2, 9 3 2 3 6x y x ya b x y x y +⋅ = − + = ∴ + = ∴ + ≥ =
2
1, 0,( )
1, 0,
xf x
x x
− ≥= − <
2(3 ) (2 )f x f x− <
[ )3,0−
3
23 2
2 0
x x
x
− >
<
，
， ( 3 0)x∈ − ，
7.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】设 x、y 满足 则
A．有最小值 2，最大值 3 B．有最小值 2，无最大值
C．有最大值 3，无最大值 D．既无最小值，也无最大值
【答案】B
【 解 析 】 做 出 可 行 域 如 图 （ 阴 影 部 分 ） 。 由 得
，做直线 ，平移直线 由图可知当直线经过点 C（2，0）时，
直线 的截距最小，此时 z 最小为 2，没有最大值，选 B.
8.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （理）】设变量 满足约束条件
的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】做出约束条件表示的可行域如图 ，由图象可知
2 4,
1,
2 2,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥ −
− ≤
z x y= +
z x y= +
y x z= − + y x= − y x= −
y x z= − +
,x y
2 2 0
12 2 0, 11 0
x y
yx y xx y
− − ≤ + − + ≥ + + − ≥
则s=
31, 2
1 ,12
1 ,22
[ ]1,2
。 的几何意义是区域内的任一点到定点 的斜率的变化范
围 ， 由 图 象 可 知 ， ， 所 以 ， 即
，所以取值范围是 ，选 C.
9.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】若实数 满足不等式组
则 的最大值是( )
A．11 B．23 C．26 D．30
【答案】D
【解析】做出可行域如图 ，设 ，即 ，
平移直线 ，由图象可知当直线经过点 D 时，直线 的截距最大，此
时 最大。由 解得 ，即 ，代入得 ，所以
最大值为 30，选 D.
10【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学（理）】设变量 满足约束条件
，则目标函数 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
z
0,
2 10 0,
x y
x y
− =
− − =
10,
10,
x
y
=
= (10,10)D
yx,
≤−
≥+−
≥−+
01
042
022
x
yx
yx
xyz 32 −=
3− 2 4 5
(0,1), (1,0)B C
1
1
y
x
+
+s=
( 1, 1)M − −
1 0 1 1 1, 21 1 2 1 0MC MBk k
− − − −= = = =− − − − MC MBk s k≤ ≤
1 22 s≤ ≤ 1[ ,2]2
,x y
0,
2 10 0,
3 5 3 0,
x y
x y
x y
− >
− − <
+ − ≥
2x y+
2z x y= + 2y x z= − +
2y x z= − + 2y x z= − +
2 30z x y= + =
【 解 析 】 做 出 约 束 条 件 对 应 的 可 行 域 如 图 ， ， 由
得 。做直线 ，平移直线得当直线 经过点
时，直线 的截距最大，此时 最大，所以最大值 ，
选 C.
11【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（三）理科】实数对（x，y）满足不等式
组 则目标函数 z=kx－y 当且仅当 x=3，y=1 时取最大值，则 k 的取值范
围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式组所表示的区域如图 2 所示，直线 过 时 z 取最
大值，即直线 在 y 轴上的截距 最小，由图可得直线 的斜率 ，
z kx y y kx z= − ⇒ = − (3 1)，
y kx z= − z− y kx z= −
1 12k ∈ − ，
2 3z y x= − 3
2 2
zy x= + 3
2y x= 3
2 2
zy x= +
(0,2)B 3
2 2
zy x= + z 2 3 4z y x= − =
2 0,
2 5 0,
2 0,
x y
x y
y
− − ≤
+ − ≥
− ≤
[ )1, 1,2
−∞ − +∞
1 , |2
− + ∞
1 .12
−
( ], 1−∞ −
故选 C.
12【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学（理）】 若 ，
则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是 ． （写出所有正确命题
的编号）．
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
【答案】①，③，⑤．
【解析】对于命题①由 ，得 ，命题①正确；
对于命题②令 时，不成立，所以命题②错误；
对于命题③ ，命题③正确；
对于命题④令 时，不成立，所以命题④错误；
对于命题⑤ ，命题⑤正确．
所以正确的结论为①，③，⑤．
13【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】已知 x 和 y 是实数，且满足
约束条件 的最小值是 .
【答案】
0, 0, 2a b a b> > + =
,a b
1ab ≤ 2a b+ ≤ 2 2 2a b+ ≥
3 3 3a b+ ≥ 1 1 2a b
+ ≥
2 2a b ab= + ≥ 1ab ≤
1a b= =
2 2 2( ) 2 4 2 2a b a b ab ab+ = + − = − ≥
1a b= =
1 1 2 2a b
a b ab ab
++ = = ≥
yxz
x
yx
yx
32,
72
2
10
+=
≥
≤−
≤+
则
2
23
图 2
【解析】 做出不等式对应的可行域如图，由
得 ，做直线 ，平移直线 ，由图象可知当直线
经过 C 点时，直线 的截距最小，此时 最小，此为 ,代入目标函数得
。
14 【 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 （ 理 ） 】 已 知
的最小值是 5，则 z 的最大值是______.
【答案】10
【 解 析 】 由 ， 则 ， 因 为 的 最 小 值 为 5 ， 所 以
，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线 经过点 C 时，直
线 的 截 距 最 小 ， 所 以 直 线 CD 的 直 线 方 程 为 ， 由 ， 解 得
，代入直线 得 即直线方程为 ，平移直线
，当直线 经过点 D 时，直线的截距最大，此时 有最大值，由
， 得 ， 即 D(3 ， 1), 代 入 直 线 得 。
2 3z x y= + 2
3 3
zy x= − + 2
3y x= − 2
3y x= −
2
3 3
zy x= − + z 7 3( , )2 2C
7 3 232 3 2 32 2 2z x y= + = × + × =
3z x y= + = 3y x z− + 3z x y= +
3 5z x y= + = 3z x y= +
2 0x y c− + + = 3 5
2
x y
x
+ =
=
2
1
x
y
=
= − 2 0x y c− + + = 5c = 2 5 0x y− + + =
3z x y= + 3z x y= + z
2 5 0
4
x y
x y
− + + =
+ =
3
1
x
y
=
= 3z x y= + 3 3 1 10z = × + =
15 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】 已 知
的最大值为
【答案】
【解析】因为
16【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考（理）】若实数 满足 ，
则 的值域是 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，做出可行域 ，
平移直线 ，由图象知当直线经过 点是， 最小，当经过点 时， 最大，
所以 ，所以 ，即 的值域是 .
17 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 】 对 于 满 足 的 实 数 ， 使
恒成立的 取值范围是
xyyxRyx ，则，且 14, =+∈ +
16
1
1, 4 1 16x y R x y xy+∈ + = ≥ ≤，且 2 x 4y, 则
yx,
≤
≥+
≥+−
,0
,0
,01
x
yx
yx
yxz 23 +=
[1,9]
2t x y= + 1
2 2
ty x= − +
1
2y x= − O t (0,1)D t
0 2t≤ ≤ 1 9z≤ ≤ yxz 23 += [1,9]
40 ≤≤ a a
342 −+>+ axaxx x
【答案】
【 解 析 】 原 不 等 式 等 价 为 ， 即 ， 所 以
， 令 ， 则 函 数
表示直线，所以要使 ，则有
，即 且 ，解得 或 ，即不等式的解
析为 .
18 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 若 不 等 式 组
的解集中所含整数解只有-2，求 的取值范围 .
【答案】
【解析】由 得 要使解集中只有一个整数 ，
则 由 可 知 ， 不 等 式 的 解 为 ， 且
，即 ，所以 的取值范围是 。
19 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 当 实 数 满 足 约 束 条 件
（ 为常数）时 有最大值为 12，则实数 的值为 .
【答案】-12
【解析】 的最大值为 12，即 ，由
( , 1) (3, )−∞ − +∞
2 4 3 0x ax x a+ − − + > 2 4 3 0x ax x a+ − − + >
2( 1) 4 3 0a x x x− + − + > 2( ) ( 1) 4 3f a a x x x= − + − +
2( ) ( 1) 4 3f a a x x x= − + − + 2( ) ( 1) 4 3 0f a a x x x= − + − + >
(0) 0, (4) 0f f> > 2 4 3 0x x− + > 2 1 0x − > 3x > 1x < −
( , 1) (3, )−∞ − +∞
<+++
>−−
05)25(2
,02
2
2
kxkx
xx k
[ 3,2)−
<+++
>−−
05)25(2
,02
2
2
kxkx
xx 2 1
( )(2 5) 0
x x
x k x
> < −
+ + <
或 2−
( )(2 5) 0x k x+ + < ( )(2 5) 0x k x+ + <
5
2 x k− < < −
2 3k− < − ≤ 3 2k− ≤ < k [ 3,2)−
yx,
≤++
≤
≥
022
0
ayx
xy
x
a yxz 3+= a
yxz 3+= 3 12x y+ =
图象可知直线 也经过点 B.由 ，解得 ，即点 ,代
入直线 得 。
20【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】若关于 x 的不等式
对任意 在 上恒成立，则实 常数 的取值范围是 ；
【答案】
【 解 析 】 得 ， 即 恒 成 立 。 因 为
， 即 在 恒 成 立 ， 令 ， 则
，二次函数开口向上，且对称轴为 。当 时，函
数单调递减，要使不等式恒成立，则有 ，解得 。当 ，左边的最
小值在 处取得，此时 ，不成立，综上 的取值范围是
，即 。
21【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】已知 x 和 y 是实数，且满足
约束条件 的最小值是 .
【答案】
【解析】 做出不等式对应的可行域如图，由
得 ，做直线 ，平移直线 ，由图象可知当直线
2 1 1+ ( ) 02 2
nx x − ≥ 2 1 1+ ( )2 2
nx x ≥ 2 1 1+ ( )2 2
n
maxx x ≥
1 1( )2 2
n
max
= 2 1 1+ 2 2x x ≥ ( , ]λ− ∞ 2 1+ 2y x x=
2 21 1 1+ 2 4 16y x x x= = + −（ ） 1= 4x − 1
4x ≤ −
2 1 1+ 2 2
λ λ ≥ 1λ ≤ − 1
4x > −
1= 4x − 2 1 1 1 1+ 2 16 8 6x x = − = − λ
1λ ≤ − ( , 1]−∞ −
2 2 0x y a+ + =
3 12x y
y x
+ =
=
3
3
x
y
=
= (3,3)B
2 2 0x y a+ + = 12a = −
2 1 1+ ( ) 02 2
nx x − ≥
*n N∈ (- , ]x λ∈ ∞ λ
( , 1]−∞ −
yxz
x
yx
yx
32,
72
2
10
+=
≥
≤−
≤+
则
2
23
2 3z x y= + 2
3 3
zy x= − + 2
3y x= − 2
3y x= −
经过 C 点时，直线 的截距最小，此时 最小，此为 ,代入目标函数得
。
22【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】若变量 x、y 满足 ，若
的最大值为 ，则
【答案】
【解析】令 ，则 ，因为 的最大值为 ，所以 ，由
图象可知当直线经过点 C 时，直线的截距最小，此时 有最大值，由 ，解得
，即 。
23【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 已知函数 f（x）=x +2x+a
（共 10 分）
（1）当 a= 时，求不等式 f（x）>1 的解集；（4 分）
（2）若对于任意 x∈[1，+ ），f（x）>0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（6 分）
【答案】（1）x +2x+ >1
x +2x- >0
2 x +4x-1>0 2 分
{x|x>-1+ 或 x<-1- } 2 分
（2）x +2x+a>0 x∈[1,+ ）恒
1−
1−
2
3 3
zy x= − + z 7 3( , )2 2C
7 3 232 3 2 32 2 2z x y= + = × + × =
2 0
4 0
x y
x y
y a
+ + ≤
− + ≥
≥
2x y− a =
1−
2x y z− = =2y x z− 2x y− 2 1x y− = −
z 2 1
2 0
x y
x y
− = −
+ + =
1
1
x
y
= −
= − = 1a −
2
2
1
∞
2
2
1
2
2
1
2
2
6
2
6
2 ∀ ∞
a>-x -2x 1 分
令 g（x）=-x -2x
当对称轴 x=-1 2 分
当 x=1 时，g （x）=-3 2 分
∴a>-3 1 分
24【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】（本小题满分 12 分）
已 知 是 三 次 函 数 的 两 个 极 值 点 ， 且
, ,求动点 所在的区域面积 .
【答案】由函数 可得，
, ………………2 分
由题意知， 是方程 的两个根， ……5 分
且 , ,因此得到可 行域 ,
…………9 分
即 , 画 出 可 行 域 如 图 .
………11 分
所以 . ………12 分
25【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （理）】.（本题满分 12 分）
如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上 D
2
2
max
βα， ),(22
1
3
1( 23 Rbabxaxxxf ∈++=）
( )1,0∈α ( )2,1∈β ( )ba, S
),(22
1
3
1( 23 Rbabxaxxxf ∈++=）
baxxxf 2)( 2 ++=′
βα， 022 =++ baxx
( )1,0∈α ( )2,1∈β
>++=′
<++=′
>=′
0224)2(
021)1(
02)0(
baf
baf
bf
>++
<++
>
02
012
0
ba
ba
b
2
1=S
点在 AN 上，且对角线 MN 过点 C，已知 AB=3 米，AD=2 米。
（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？
（2）当 DN 的长度为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值。
【答案】
26【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】（12 分）已知一家公司生产某
种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内生产
该 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 ， 每 千 件 的 销 售 收 入 为 万 元 ， 且
（1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.
（注：年利润一年销售收入一年总成本）
【答案】
2011-2012 年联考题
题组一
选择题
( )xR
( )
−
≤−
=
10,3
1000108
100,30
18.10
2
3
xxx
xx
xR
1. （福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理）已知满足约束条件 ，
则 的最小值是（ ▲ ）
A．15 B．－18 C．26 D．－20
答案 B.
2．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）设 满足约束条件：
，则 的最小值为（ ）
A．6 B．－６ Ｃ．1
2 Ｄ．－７
答案 B.
3、（河南省辉县市第一中学 2011 届高三 11 月月考理）若 ，则
A． B．
C． D．
答案 D.
4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中 2011 届高三 12 月月考）不等式 的解
集为( )
A. B.
C. D.
答案 C.
5.（河南省辉县市第一中学 2011 届高三 11 月月考理）设双曲线 的两条渐近线
与直线 围成的三角形区域（包含边界）为 D， P（ ）为 D 内的一个动点，则
目标函数 的最小值为
≤
≥+
≥+−
3
0
05
x
yx
yx
yxz 42 +−=
,x y
1
1
2
2 10
x
y x
x y
≥
≥
+ ≤ 2z x y= −
0a b> >
2 2 ( )a c b c c R> ∈ 1b
a
>
lg( ) 0a b− >
1 1( ) ( )2 2
a b<
2 6 01
x x
x
− −
− ＞
{ }2, 3x x x−＜ 或 ＞ { }2 1 3x x x−＜ ，或 ＜ ＜
{ }2 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＞ { }2 1 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＜ ＜
122 =− yx
2
2=x yx,
yxz 2−=
（A） （B） （C）0 （D）
答案 B.
6．（广东省惠州三中 2011 届高三上学期第三次考试理）不等式 的解
集为 ,则函数 的图象为（ ）
答案 C.
7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中 2011 届高三 12 月月考）不等式 的解
集为( )
A. B.
C. D.
答案 C.
8．（湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文）已知 0 C (lga)2<(lgb)2 D．( )a<( )b
答案 A.
9．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理）设 的最小
值是 （ ）
A．2 B． C． D．
答案 C.
填空题
10．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）已知二次项系数为正的二次
函数 对任意 ，都有 成立，设向量 （sinx，2），
（2sinx， ）， （cos2x，1）， （1，2），当 [0， ]时，不等式 f（ ）＞f
（ ）的解集为 。
2− 2
2−
2
23
2( ) 0f x ax x c= − − >
{ | 2 1}x x− < < ( )y f x= −
2 6 01
x x
x
− −
− ＞
{ }2, 3x x x−＜ 或 ＞ { }2 1 3x x x−＜ ，或 ＜ ＜
{ }2 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＞ { }2 1 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＜ ＜
log 3a log 3b
1
e
1
e
1 100, x zx y z t y t
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ +则
1
2
1
5
1
10
)(xf R∈x )1()1( xfxf +=− =a =b
2
1
=c =d ∈x π ⋅ a b
⋅ c d
答案
11．（河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理）若 和 是方程
的两个实根，不等式 对任意实数 恒成立，则 的取值范围
是
答案
12．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考文）不等式 的解集为 。
答案
13．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考文）区域 D 的点 满足不等式组
，若一个圆 C 落在区域 D 中，那么区域 D 中的最大圆 C 的半径 为 。
答案
14、（湖北省武穴中学 2011 届高三 12 月月考理）若 a+1>0,则不等式 的解
集为
答案
15.（湖南省长沙市第一中学 2011 届高三第五次月考理）已知函数 f(x)＝|x－2|，若a≠0，
且 a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数 x 的取值范围是 .
答案 [0,4] .
解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)及 a≠0 得 f(x)≤|a＋b|＋|a－b|
|a| 恒成立，
而|a＋b|＋|a－b|
|a| ≥|a＋b＋a－b|
|a| ＝2，则 f(x)≤2，从而|x－2|≤2，解得 0≤x≤4.
16．（宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理）
已知实数 的最小值为 ．
【答案】 。
【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。
}4
π3
4
π|{ << xx
1x 2x 022 =−− mxx
21
2 35 xxaa −≥−− [ ]1,1−∈m a
1 21 xx
+ ≥
( , )P x y
1
1
2 2
x y
y x
y x
+ ≤
− ≥
− ≤ r
2x 2x ax x 1
− −≥ −
yxz
yx
x
yx
yx 2
0
3
05
, +=
≥+
≤
≥+−
则目标函数满足
3−
【解析】不等式组 所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点
处取得最小值 。
【考点】不等式。
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目
标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的
值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检
验即可。
解答题
17.（河南省辉县市第一中学 2011 届高三 11 月月考理）
(本题 13 分)已知函数 为奇函数。
(1)求 并写出函数的单调区间； (2)解不等式
答案 14.
18．（河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理）（本小题满分 10 分）选修 4－5：
5 0
3
0
x y
x
x y
− + ≥
≤
+ ≥ (3, 3)B −
3−
<+
=
>+−
=
)0(
)0(
)0(2
)(
2
2
xbxx
xa
xxx
xf
ba, )2()( −> fxf
不等式选讲
（I）已知 都是正实数，求证： ；
（II）设函数 ，解不等式 ．
答案 （1）证明：（Ⅰ）∵
，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ． …………（5 分）
法二：∵ ，又∵ ，∴ ，
∴ ，展开得 ，
移项，整理得 ． …………（5 分）
不等式选讲．解：（法一）令 y=|2x+1|-|x-4|，则
y= ……………………2 分
作出函数 y=|2x+1|-|x-4|的图象，
它与直线 的交点为 和 ．…… 4 分
所以 的解集为 ．…5 分
解：（法二）
19．（宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理）
（本小题满分 12 分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离
,x y 3 3 2 2x y x y xy+ ≥ +
|4||12|)( −−+= xxxf 2)( >xf
3 3 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y x y xy x x y y y x+ − + = − + −
2 2 2( )( ) ( ) ( )x y x y x y x y= − − = − +
,x y R+∈ 2( ) 0, 0x y x y− ≥ + > 2( ) ( ) 0x y x y− + ≥
3 3 2 2x y x y xy+ ≥ +
2 2 2x y xy+ ≥ ,x y R+∈ 0x y+ >
2 2( )( ) 2 ( )x y x y xy x y+ + ≥ + 3 3 2 2 2 22 2x y x y xy x y xy+ + + ≥ +
3 3 2 2x y x y xy+ ≥ +
5, 0.5
3 3, 0.5 4
5, 4
x x
x x
x x
− − ≤ − − − < <
+ ≥
2y = ( 7 2)− ，
5 23
，
2 1 4 2x x+ − − > ),3
5()7,( +∞∪−−∞
( )
>+
≤≤−−
−<−−
=
)4(5
)42/1(33
)2/1(5
xx
xx
xx
xf
d
（米）与车速 （千米/小时）需遵循的关系是 （其中 （米）是车身长, 为
常量）,同时规定 ．
（1）当 时，求机动车车速的变化范围；
（2）设机动车每小时流量 ，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量 最
大．
【分析】（1）把 代入 ，解这个关于 的不等式即可；（2）根据 满
足的不等式，以最小车距代替 ，求此时 的最值即可。
【解析】（1） = av2, v=25 , ∴ 025 时, Q= ≤ ,
∴当 v=50 时 Q 最大为 ．………12 分
【点评】不等式
【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距 有两个限制条件，这两个
条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个
限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于 时，两车之间的最小车距是
，当车速大于 时，两车之间的最小车距是 。
20．（宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 （I）求不等式 的解集；（II）若关于 x 的不
v
21
2500d av≥
a a
2
ad ≥
2
ad =
1000vQ a d
= + Q
2
ad = 21
2500d av≥
v d
d Q
2
a
2500
1
2 2
2 a
v
2
3
1000
2 a3
250000
2 )25000
1(
1000
v
va +
a
25000
a
25000
d
25 2
2
a
25 2
21
2500 av
( ) | 2 1| | 2 3|.f x x x= + + − 6)( ≤xf
等式 恒成立，求实数 的取值范围。
【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解
集合并即可；（2）问题等价于 。
【解析】（I）原不等式等价于
或 3 分
解，得 即不等式的解集为 6 分
（II） 8 分
10 分
【考点】不等式选讲
【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法
也可以根据几何意义求解，不等式 ，等价于 ，其几何意义是数
轴上的点 到点 距离之和不大于 ，根据数轴可知这个不等式的解区间是 。
21. （甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题）
(12 分)已知函数 满足 且对于任意 , 恒有
成立. (1) 求实数 的值; (2) 解不等式 .
答案 （1） 由 知, …① ∴ …②又 恒成
立, 有 恒成立,故 ．
将①式代入上式得: , 即 故 ．
即 , 代入② 得, ．
（2） 即 ∴
解得: , ∴不等式的解集为 ．
22.（甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题）
axf >)( a
max( )f x a>
3 1 3
2 2 2
(2 1) (2 3) 6 (2 1) (2 3) 6
x x
x x x x
> − ≤ ≤
+ + − ≤ + − − ≤
或
1
2
(2 1) (2 3) 6
x
x x
< −
− + − − ≤
3 1 3 12 12 2 2 2x x x< ≤ − ≤ ≤ − ≤ < −或 或 }21|{ ≤≤− xx
4|)32()12(||32||12| =−−+≥−++ xxxx
4<∴a
6)( ≤xf
1 3 32 2x x+ + − ≤
x
1 2,2 3
−
3 [ ]1,2−
2( ) (lg 2) lgf x x a x b= + + + ( 1) 2f − = − x R∈
( ) 2f x x≥ b,a ( ) 5f x x< +
,2)1( −=−f ,01lglg =+− ab .10=
b
a
xxf 2)( ≥
0lglg2 ≥+⋅+ baxx 0lg4)(lg 2 ≤−=∆ ba
01lg2)(lg 2 ≤+− ba ,0)1(lg 2 ≤−b 1blg =
10=b 100=a
,14)( 2 ++= xxxf ,5)( +< xxf ,5142 +<++ xxx ,0432 <−+ xx
14 <<− x }14|{ <<− xx
(12 分)已知函数 ， ．
（I）求 的最大值和最小值；（II）若不等式 在 上恒成立，
求实数 的取值范围
答案 22.(1)3,2;(2)(1,4)
23 ． （ 黑 龙 江 哈 九 中 2011 届 高 三 12 月 月 考 理 ） （ 12 分 ） 已 知 函 数
．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，求实
数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 在 上恰有两个不同的实根，求实数 的取值
范围．
答案 （1） ，令 ，得 或
（舍）
当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减， 是函数在 上的最大值
（2） 对 恒成立
若 即 ，恒成立
由 得 或
设
2 π( ) 2sin 3 cos24f x x x = + −
π π
4 2x ∈ ，
( )f x ( ) 2f x m− <
π π
4 2x ∈ ，
m
2
2
3)32ln()( xxxf −+=
)(xf [ ]1,0
∈
2
1,6
1x [ ] 03)(ln|ln| >+′+− xxfxa
a
x bxxf +−= 2)( [ ]1,0 b
23
)13)(1(3332
3)( +
−+−=−+=′
x
xxxxxf 0)( =′ xf 3
1=x 1−=x
3
10 <≤ x 0)( >′ xf )(xf 13
1 ≤< x 0)( <′ xf )(xf
6
13ln)3
1( −=∴ f ]1,0[
3| ln | ln 2 3a x x
− > − +
1 1[ , ]6 2x ∈
3ln 0,2 3x
>+
1 1[ , )6 3x ∈
0]3)(ln[|ln| >+′+− xxfxa xxa 32
3lnln +−>
xxa 32
3lnln ++<
xxxxgxx
xxxh 32
3ln32
3lnln)(,3
32ln32
3lnln)(
2
+=++=+=+−=
依题意知 或 在 上恒成立
都在 上递增
或 ，即 或
（3）由 知 ，
令 ，则
当 时， ，于是 在 上递增；当 时， ，
于是 在 上递减，而 ，
即 在 上恰有两个不同实根等价于
，解得
24.（黑龙江省哈尔滨市第 162 中学 2011 届高三第三次模拟理）
设 是函数 的一个极值点。
（Ⅰ）、求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
（Ⅱ）、设 ， 。若存在 使得 成立，
求 的取值范围。
点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问
题的能力。
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由 f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得 b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
)(xha > )(xga <
1 1[ , ]3 2x ∈
)(),(,032
62)(,0)32(
2)( 2 xfxgxx
xxhxxxg ∴>+
+=′>+=′
1 1[ , ]3 2
)2
1(ha >∴ 1( )3a g<
12
7ln>a 1ln 3a <
bxxf +−= 2)( 022
3)32ln( 2 =−+−+ bxxx
bxxxx −+−+= 22
3)32ln()( 2ϕ
x
xxxx 32
972332
3)(
2
+
−=+−+=′ϕ
]3
7,0[∈x 0)( >′ xϕ )(xϕ ]3
7,0[ ]1,3
7[∈x 0)( <′ xϕ
)(xϕ ]1,3
7[ )0()3
7( ϕϕ > )1()3
7( ϕϕ >
bxxf +−=∴ 2)( 0)( =xϕ ]1,0[
≤−+=
>−+−+
≤−=
02
15ln)1(
03
72
6
7)72ln()3
7(
02ln)0(
b
b
b
ϕ
ϕ
ϕ
3
72
6
7)72ln(2
15ln +−+<≤+ b
3x = 2 3( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R−= + + ∈
a b a b ( )f x
0a >
2 25( ) ( )4
xg x a e= +
1 2, [0,4]ξ ξ ∈ 1 2( ) ( ) 1f gξ ξ− <
a
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令 f `(x)＝0，得 x1＝3 或 x2＝－a－1，由于 x＝3 是极值点，
所以 x+a+1≠0，那么 a≠－4.
当 a<－4 时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当 a>－4 时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a>0 时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调
递减，那么 f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而 f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么 f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又 在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋ ，（a2＋ ）e4]，
由于（a2＋ ）－（a＋6）＝a2－a＋ ＝（ ）2≥0，所以只须仅须
（a2＋ ）－（a＋6）<1 且 a>0，解得 0
( 0)y kx k= >
Ax , ( )B A Bx f t x x= ⋅记
( )f t
1 1{ }( 1, ) 1, ( )( 2)n n na n n N a a f a n−≥ ∈ = = ≥满足
{ }( 1, )nb n n N≥ ∈
1 , { } { }3n n n
n
kb a ba
= − 求 和
（III）在（II）的条件下，当 时，证明不等式：
答案 27.
1 3k< < 1 2 3
3 8 .n
n ka a a a k
−+ + + + >
题组二
一、选择题
1．（2011 湖南嘉禾一中）已知实数 ， 满足约束条件 则 的取值范
围是 （ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，1]
答案 A
2. （ 成 都 市 玉 林 中 学 2010—2011 学 年 度 ） 设 ， 不 等 式 的 解 集 是
，则 等于
（A） （B） （C） （D）
答案 B.
2．解： 的解是：
，
则 故选 B
3. （ 成 都 市 玉 林 中 学 2010—2011 学 年 度 ） 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 满 足
，且在[－3，－2]上是减函数， 是钝角三角形的两个锐角，则下列不
等式关系中正确的是
（A） （B）
（C） ( D）
答案 D.
4. (江苏省 2011 届数学理)若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A B
x y
≤−
≤
≥
0
2
1
yx
y
x
yxz −= 2
0a > | |ax b c+ <
{ | 2 1}x x− < < : :a b c
1: 2:3 2:1:3 3:1: 2 3: 2:1
0, | |a ax b c> + < 且 2 1x− < <
c b c bc ax b c xa a
+ −∴− < + < ⇒ − < <
2 2 : : 2:1:3
1
c b
c b aa a b cc b c b a
a
+− = − + = ⇒ ⇒ = − − = =
)(xf
)()2( xfxf =− βα,
(sin ) (cos )f fα β> (cos ) (cos )f fα β<
(cos ) (cos )f fα β> (sin ) (cos )f fα β<
x mxx ≥− 42 ]1,0[∈x
m
03 ≥−≤ mm 或 03 ≤≤− m
D
答案 D.
5．（四川省成都市玉林中学 2011 届高三理）在 R 上定义运算 ：x y=x(1－y).若不等式
(x－a) (x＋a)<1 对任意实数 x 成立，则
A． B． C． D．
答案 C.
6. ( 浙 江 省 杭 州 市 2011 届 高 三 文 ) 函 数 的 定 义 域 是
（ ）
A B D
答案 D.
7 ． （ 安 徽 省 合 肥 八 中 2011 届 高 三 文 ） 设 不 等 式 的 解 集 为 ， 函 数
的定义域为 ，则 为 （ ）
A． B． C． D．
答案 A.
8 . （河北省唐山一中 2011 届高三理） 已知 ，若不等式 恒成
立，则 的最大值等于（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 B.
9 . （河北省唐山一中 2011 届高三文）已知实数 x、y 满足 ，则 z＝2x－y 的取值
范围是（ ）
A. [-5,7] B. [5,7] C. [4,7] D. [-5,4]
答案 D.
10 .（浙江省杭州市 2011 届高三文）若关于 的不等式 对任意 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A B
D
3−≥m 3−≤m
⊗ ⊗
⊗
1 1a− < < 0 2a< < 2
3
2
1 <<− a 2
1
2
3 <<− a
( )2( ) 3 log 6f x x x= + + −
{ }| 6x x > { }| 3 6x x− < < { }| 3x x > − { }| 3 6x x− <≤
2 0x x− ≤ M
( ) ln(1 )f x x= − N M N
[ )0,1 ( )0,1 [ ]0,1 ( ]1,0−
0,0 >> ba ba
m
ba +≥+
2
12
m
≤≤
≤−
≥+
30
2
2
y
yx
yx
x mxx ≥− 42 ]1,0[∈x
m
03 ≥−≤ mm 或 03 ≤≤− m
3−≥m 3−≤m
答案 D
11．（广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理）
不等式 的解集是
A． B．
C． D．
答案 C.
12．(河南信阳市 2011 届高三理）如果 ，那么下列不等式中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
答案 A.
二、填空题
13.（2011 湖南嘉禾一中）已知函数 是 R 上的偶函数，且在（0，+ ）上有 （x）
> 0，若 f（－1）= 0，那么关于 x 的不等式 x f（x）< 0 的解集是____________．
答案 ，
14．（江苏泰兴市重点中学 2011 届高三理）
设 f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若 f（a-2）-f（4-a2）<0，则 a 的取
值范围为______________．
答案
15．（江苏泰兴市重点中学 2011 届文）设函数 ，对任意的
, 恒成立，则实数 的取值范围是____________．
答案 。
16．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）已知变量 x，y，满足 ，则 的
取值范围为
答案 [13，40]
17．（江苏泰兴市重点中学 2011 届理）设 f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上
增，若 f（a-2）-f（4-a2）<0，则 a 的取值范围为______________．
0232 >−+− xx
{ }2 1x x x< − > −或 { }1 2x x x< >或
{ }1 2x x< < { }2 1x x− < < −
0 1a< <
1 1
3 2(1 ) (1 )a a− > − (1 )log (1 ) 0a a− + >
3 2(1 ) (1 )a a− > + 1(1 ) 1aa +− >
)(xf ∞ f ′
)1,0()1,( ∪−−∞
( ) ( )3,2 2, 5
1( )f x x x
= −
[ )1,x∈ +∞ ( ) ( ) 0f mx mf x+ < m
1m <
≤−+
≥
≤+−
08
2
042
yx
x
yx
22 yx +
答案 ，
18. （福建省四地六校联考 2011 届高三文）已知变量 满足约束条件 则目
标函数 的最小值为 .
答案 15.
19 ．（广东省河源市龙川一中 2011 届高三文）
若变量 x,y 满足约束条件
则 z=2x+y 的最大值为
答案 3.
20．(广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理）
在平面直角坐标系上，设不等式组 所表示的平面区域为 ，记 内的整点
（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为 . 则 ＝ ，经推理可得
到 ＝ ．
答案： ．当 时，区域内的整点个数分别为 个，共 ．
三， 解答题
21．（四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度）（本题满分 12 分）
已知函数 时都取得极值
（I）求 a、b 的值与函数 的单调区间；
（II）若对 的取值范围。
答案 21.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）
( ) ( )3,2 2, 5
x y，
2
2
0 3
x y
x y
y
+
−
≥ ，
≤ ，
≤ ≤ ，
xyz 2−=
1
3 2 5
x
y x
x y
≥ −
≥
+ ≤
0
0
( 4)
x
y
y n x
>
>
≤ − − nD nD
( )na n N ∗∈ 1a
na
n6,6 1,2,3=x nnn 3,2, n6
13
2)( 23 =−=+++= xxcbxaxxxf 与在
)(xf
ccxfx 求恒成立不等式 ,)(],2,1[ 2<−∈
,)( 23 cbxaxxxf +++=
baxxxf ++=′ 23)( 2
由 …………………………3 分
1
+ 0 — 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数 ……8 分
（II）
当
所以 为最大值。 ………………11 分
要使
解得 ………………12 分
22 ． （ 江 苏 泰 兴 市 重 点 中 学 2011 届 ） （ 16 分 ） 已 知 数 列 是 等 差 数 列 ，
（1）判断数列 是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果 ，试写出
数列 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列 得前 n 项和为 ，问是否存在这样的实数 ，使
=++=′
=+−=−′
023)1(
03
4
9
12)3
2(
baf
baf
:)(),1)(23(23)(
2
2
1
,
2 的单调区间如下表函数
解得
xfxxxxxf
b
a
−+=−−=′
−=
−=
x )3
2,( −−∞
3
2− )1,3
2(− ),1( +∞
)(xf ′
)(xf
).1,3
2(),,1()3
2,()( −+∞−−∞ 递减区间是与的递增区间是xf
],2,1[,22
1)( 23 −∈+−−= xcxxxxf
,2)2(,27
22)(,3
2 cfcxfx +=+=−= 而为极大值时
cf += 2)2(
.2)2(,]2,1[)( 22 cfcxcxf +=>−∈< 须且只需恒成立对
.21 >−< cc 或
{ }na
( )∗
+ ∈−= Nnaac nnn
2
1
2
{ }nc
( )为常数kkaaaaaa 13143,130 26422531 −=+++=+++
{ }nc
{ }nc nS k nS
当且仅当 时取得最大值。若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。
答案 22．解：（1）设 的公差为 ，则
数列 是以 为公差的等差数列…………4 分
（2）
两式相减：
…………6 分
…………8 分
…………10 分
（3）因为当且仅当 时 最大
…………12 分
即
…………15 分
23．（江苏泰兴市重点中学 2011 届理）（本小题满分 14 分）
12=n k
{ }na d
2 2 2 2
1 1 2 1( ) ( )n n n n n nc c a a a a+ + + +− = − − −
2 2 2
1 1 12 ( ) ( )n n na a d a d+ + += − − − +
22d= −
∴ { }nc 22d−
1 3 25 130a a a+ + + =
2 4 26 143 13a a a k+ + + = −
∴ 13 13 13d k= −
1d k∴ = −
1
13(13 1)13 2 1302a d
−∴ + × =
3 2 12a k∴ = − +
1 ( 1) (1 (13 3))na a n d kn k∴ = + − = − + −
2 2
1 1 1( )( )n n n n n n nc a a a a a a+ + +∴ = − = + −
2 226 32 6 (2 1)(1 )k n k= − + − + −
22(1 ) 25 30 5k n k k= − − ⋅ + − +
12n = nS
12 130, 0c c∴ > <有
2 2
2 2 2
24(1 ) 25 30 5 0 18 19 0
36(1 ) 25 30 5 0 22 21 0
k k k k k
k k k k k
− − + − + > + − > ⇒ − − + − + < − + >
1 19 19 2121 1
k k k kk k
> < −⇒ ⇒ < − > > <
或 或或
已知：在函数的图象上， 以 为切点的切线的倾斜角为
（I）求 的值；
（II）是否存在最小的正整数 ，使得不等式 恒成立？
如果存在，请求出最小的正整数 ，如果不存在，请说明理由。
答案 23．依题意，得
因为 …………6 分
（II）令 …………8 分
当
当
当
又
因此， 当 …………12 分
要使得不等式 恒成立，则
所以，存在最小的正整数 使得不等式 恒成立
24．（江苏泰兴市重点中学 2011 届理）设 n 为大于 1 的自然数，求证：
答案 24．证明：（放缩法）
xmxxf −= 3)( ),1( nN .4
π
nm,
k ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于
k
.3
2,113,4tan)1( ==−=′ mmf 即π
.3
1,)1( −== nnf 所以
.2
2,012)( 2 ±==−=′ xxxf 得
;012)(,2
21 2 >−=′−<<− xxfx 时
;012)(,2
2
2
2 2 <−=′<<− xxfx 时
;012)(,32
2 2 >−=′<< xxfx 时
.15)3(,3
2)2
2(,3
2)2
2(,3
1)1( =−==−=− ffff
.15)(3
2,]3,1[ ≤≤−−∈ xfx 时
]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于 .2008199315 =+≥k
.2008=k ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1 >+++++++ nnnn
1 1 1 1 1 1 1... ...1 2 2 2 2 2 2n n n n n n
+ + + > + + =+ +
解：不妨设正方体的棱长为 1，以 为单位正交基底，建立如图所示的空
间直角坐标系 D-xyz，则各点的坐标为 A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
（1，0，1）， （0，1，1），E（ ,1,0）, F（0 , ,0）
25.（江苏省 2011 届理）已知常数 。
答案 25.
26 ． （ 江 苏 泰 兴 2011 届 高 三 文 ） 已 知 集 合 A ＝ ， B ＝
．
⑴当 a＝2 时，求 A B； ⑵求使 B A 的实数 a 的取值范围．
答案 26． 解：（1）当 a＝2 时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ A B＝（4，5）．
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当 a＜ 时，A＝（3a＋1，2）
要使 B A，必须 ，此时 a＝－1；
当 a＝ 时，A＝ ，使 B A 的 a 不存在； 当 a＞ 时，A＝（2，3a＋1）
要使 B A，必须 ，此时 1≤a≤3．
27. (江西省上高二中 2011 届高三理）已知常数 。
1, ,DA DC DD
1A 1C
1
2
1
2
2, 2 0a R x ax x a∈ − + <解关于 的不等式
(1) 0 , 0.a x= >时 解为
2
2
2
2 2
(2) 0 , 4 4
1. 0, 0 1 , 2 0
1 1{ | }
. 0, 1 , ; . 0 , 1 , .
a a
ai a ax x a a
a ax xa a
ii a x iii a x
> ∆ = −
± −∆ > < < − + =
− − + −∴ < <
∆ = = ∈∅ ∆ < > ∈∅
时
1当 即 时 方程 两根为
1 1不等式的解集为
当 即 时 当 时 即 时
{ | ( 2)[ (3 1)] 0}x x x a− − + <
2
2{ | 0}( 1)
x ax x a
− <− +
⊆
1
3
⊆ 2
2 3 1
1 2
a a
a
≥ +
+ ≤
1
3 Φ ⊆
1
3
⊆ 2
2 2
1 3 1
a
a a
≥
+ ≤ +
2, 2 0a R x ax x a∈ − + <解关于 的不等式
答案 27.
28．（四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理）（12 分）某工厂生产一种仪器的元件，
由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率 与日产
量 （万件）之间大体满足关系：
（其中 为小于 6 的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如 表示每生产 10 件产品，有 1 件为次品，其余为合
格品）
已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元，但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元，故厂方
希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
答案 28．解：（1）当 时， ，
(1) 0 , 0.a x= >时 解为
2
2
2
2 2
(2) 0 , 4 4
1. 0, 0 1 , 2 0
1 1{ | }
. 0, 1 , ; . 0 , 1 , .
a a
ai a ax x a a
a ax xa a
ii a x iii a x
> ∆ = −
± −∆ > < < − + =
− − + −∴ < <
∆ = = ∈∅ ∆ < > ∈∅
时
1当 即 时 方程 两根为
1 1不等式的解集为
当 即 时 当 时 即 时
2 2
2
2 2
(3) 0 ,
1 1. 0, 1 0 , { | }
. 0, 1 , ( 1) 0
1.
. 0, 1 , .
1 , ;
1 10 1 , { | }
0 , { | 0};
1 0 , { |
a
a ai a x x xa a
ii a x
x R x
iii a x R
a
a aa x xa a
a x x
a x x
<
− − −∆ > − < < < >
∆ = = − + >
∴ ∈ ≠ −
∆ < < − ∈
≥ ∅
− − + −< < < <
= >
− < < <
当 时
1+ 1即 时 不等式的解集为 或
即 时 不等式化为
解为 且
即 时
综上所述，当 时 原不等式的解集为
1 1当 时 解集为
当 时 解集为
1当 时 解集为
2 21 1 }
1 , { | R 1}; 1 , .
a axa a
a x x x a R
− − −>
= − ∈ ≠ − < −
+ 1或
当 时 解集为 且 当 时 解集为
P
x
1 ,1 ,6
2 ,3
x cxP
x c
≤ ≤ −=
> c
0.1P =
T x
x c>
2
3P = 1 22 1 03 3T x x∴ = ⋅ − ⋅ =
当 时， ，
综上，日盈利额 （万元）与日产量 （万件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当 时，每天的盈利额为 0
当 时，
当且仅当 时取等号
所以 当 时， ，此时
当 时，由 知
函数 在 上递增， ，此时
综上，若 ，则当日产量为 3 万件时，可获得最大利润
若 ，则当日产量为 万件时，可获得最大利润
29．（浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文）已知 ， 。
（1）求 的最小值；
（2）求证： 。
答案 29、解：（1）因为 ， ，所以
，
得 。
1 x c≤ ≤
1
6P x
= −
21 1 9 2(1 ) 2 ( ) 16 6 6
x xT x xx x x
−∴ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− − −
T x
29 2 ,16
0,
x x x cT x
x c
− ≤ ≤= −
> x c>
1 x c≤ ≤
29 2
6
x xT x
−= −
915 2[(6 ) ]6x x
= − − + − 15 12 3≤ − =
3x =
( )i 3 6c≤ < max 3T = 3x =
( )ii 1 3c≤ <
2
2 2
2 24 54 2( 3)( 9)
(6 ) (6 )
x x x xT x x
− + − −′ = =− −
29 2
6
x xT x
−= − [1,3]
2
max
9 2
6
c cT c
−∴ = − x c=
3 6c≤ <
1 3c≤ < c
, ,a b c R+∈ 1a b c+ + =
( )2 2 21 4 9a b c+ + +
1 1 1 3 3
2a b b c c a
+ + ≥
+ + +
, ,a b c R+∈ 1a b c+ + =
( ) ( ) 2
2 2 21 1 1 11 1 4 9 1 2 3 44 9 2 3a b c a b c + + + + + ≥ + + ⋅ + ⋅ =
( )2 2 2 1441 4 9 49a b c+ + + ≥
当且仅当 ，即 时，
有最小值 。………………5 分
（2）因为 ，
所以 ，当且仅当 取等号。
又 ，
于是 。…………10 分
30．（河南信阳市 2011 届高三理）（本小题满分 10 分）
选做题：任选一道，两题均做只以（I）的解答计分。
（I）已知 ，求证：
（II）已知正数 a、b、c 满足 ，求证：
答案 30．（I）证明：因为 x，y，z 均为正数，
所以 …………4 分
同理可得 …………6 分
当且仅当 时，以上三式等号都成立，
将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，
得 …………10 分
（II）证明：要证
只需证 …………3 分
即只要证 …………5 分
1 4 9a b c+ = =
23 18 7, ,49 49 49a b c= = =
( )2 2 21 4 9a b c+ + +
144
49
( )( ) ( )22 2 21 1 1a b c a b c+ + + + ≥ + +
3a b c+ + ≤ 1a b c= = =
( ) ( ) ( )1 1 1 9a b b c c a
a b b c c a
+ + + + + + + ≥ + + +
( )1 1 1 9 3 3
22a b b c c a a b c
+ + ≥ ≥
+ + + + +
, ,x y z均为正数
1 1 1.x y z
yz zx xy x y z
+ + ≥ + +
2a b c+ < 2 2 .c c ab a c c ab− − < < + −
1 2( ) ,x y x y
yz zx z y x z
+ = + ≥
2 2, ,y z z x
zx xy x xy yz y
+ ≥ + ≥
x y z= =
1 1 1.x y z
yz zx xy x y z
+ + ≥ + +
2 2 ,c c ab a c c ab− − < < + −
2 2 ,c ab a c c ab− − < − < −
2| |a c c ab− < −
两边都是非负数，
这就是已知条件，
且以上各步都可逆，
…………10 分
2010 年联考题
题组二
一、选择题
1．（肥城市第二次联考）用铁丝制作一个形状为直角三角形且围成的面积为 1 的铁架
框，有下列四种长度的铁丝供选择，较经济（即够用且耗材最少）的是（ ）
A．4.6cm B．４.8cm C．5cm D．5.2cm
答案 C
解：设直角三角形的两直角边长分别为 、 ，则由题意有 ， ，其周
长为 ，结合各选项可知，选 C．
2.（昆明一中一次月考理）若 a>b，则下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
答案:D
3．（肥城市第二次联考）银行计划将某客户的资金给项目 M 和 N 投资一年，其中 40%的资
金给项目 M，60%的资金给项目 N，项目 M 能获得 10%的年利润，项目 N 能获得 35%的年
利润。年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户。为了使银行年利润不
小于给 M、N 总投资的 10%而不大于总投资的 15%，则给客户的回报率最大值为 （ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
答案 C
解析：设银行在两个项目上的总投资量为 s，按题设条件，在 M、N 上的投资所得的年利
润为 、 分别满足： ， ；银行的年利润 P 满足：
； 这 样 ， 银 行 给 客 户 的 回 报 率 为 ， 而
2 2
2
( ) ,
2
( ) 2 ,
0, 2 ,
a c c ab
a ac ab
a a b ac
a a b c
∴ − < −
− < −
+ <
> + <
只要证
只要证
即只要证
只需证
2 2 .c c ab a c c ab∴ − − < < + −
2cm
acm bcm 1 12 ab = 2ab =
2 2 2 2 2 2 2 4.828a b a b ab ab+ + + ≥ + = + ≈
ba
11 < 2 2a b> 2a b ab+ > 2 2 2a b ab+ >
MP NP 40 10
100 100MP s= × 60 35
100 100NP s= ×
10 15
100 100s P s≤ ≤ 100%M NP P P
s
+ − ×
，选 C。
4.（昆明一中三次月考理）在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积
为
A． B. C． D．
答案：B
5.（昆明一中三次月考理）以 依次表示方程 的根，
则 的大小顺序为
A． B． C． D．
答案：C
6．（师大附中理）将 ， 从小到大排列是
A． B．
C． D．
答案：B
7．（玉溪一中期中文）若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从－2 连续变
化到 1 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 ( )
A． B．1 C． D．5
答案：C
8．（祥云一中三次月考理）对于 ，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
答案：D
10 15
100 100
M NP P P
s
+ −≤ ≤
y 2 x 1
y x 1
≥ − ≤ +
2 2 8
3
2 2
3 2
a b c、 、 x x x2 x 1 2 x 2 3 x 2、 、+ = + = + =
cba 、、
a b c< < a b c> > a c b< < b a c> >
3
2 2 3log 3,log 5
2 3
3 log 3 log 52
< < 3 2
3log 5 log 32
< <
3 2
3 log 5 log 32
< < 2 3
3log 3 log 5 2
< <
A
0
0
2
x
y
y x
≤
≥
− ≤
a
x y a+ = A
3
4
7
4
10,10 <<<< ba
( )baa +log <
+
baa
1log ( )baa +log >
+
baa
1log
bab + < b
a
b
1+ bab + > b
a
b
1+
9．（祥云一中三次月考文）若 为△ABC 的三条边，且
，则
A． B． C． D．
答案：B
10．（祥云一中三次月考理）若 ，则下列结论不正确的是
A. B.
C. D. +
答案：D
11．（昆明一中四次月考理）已知 是 上的减函
数，那么实数 a 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
二、填空题
12．（安庆市四校元旦联考）若实数 x,y 满足条件 ， 为虚数单
位），
则 的最大值和最小值分别是 ， ．
答案
13.（昆明一中一次月考理）已知实数 、 满足 则 的最大值是 .
答案：15
14. （祥云一中三次月考理）不等式 3 的解集是
答案：
, ,a b c
2 2 2 ,S a b c p ab bc ac= + + = + +
2p S p< < 2p S p≤ < S p> 2S p≥
ba
111 <<
ab ba loglog > ( ) 211loglog 22 >
+++
baba
2loglog >+ ab ba balog aba bab logloglog +>
1( 1) ( 0)( ) 2
( 0)x
a x a xf x
a x
− + + <=
≥
( , )−∞ +∞
(0,1) 1(0, ]2
1 2[ , ]2 3
1[ ,1)2
≤
≥+
≥+−
3
0
05
x
yx
yx
iyixz (+=
|21| iz +−
2
2,262
x y
1,
1 ,
y
y x
≤ ≥ −
2x y+
1
3
+
−
x
x <
{ }1,3 −>−< xxx 或
15.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）若不等式组 表示
的平面区域为 ， 所表示的平面区域为 ，现随机向区域 内抛一粒豆子，
则豆子落在区域 内的概率为____________________.
答案
16.（昆明一中二次月考理）若实数 满足不等式组 ，则 的最大值
是 .
答案：9
17. （ 三 明 市 三 校 联 考 ） 若 不 等 式 的 解 集 为 区 间 , 且
,则 ．
答案
18. （ 肥 城 市 第 二 次 联 考 ） 已 知 ， 由 不 等 式 ，
，
，……，启发我们得到推广结论：
，则 ___________。
答案：
19．（昆明一中四次月考理）已知实数 x、y 满足： ，则 的最小
值是 .
答案：
20.（祥云一中月考理）已知 满足 ，则 的最大值为 。
答案：29
2 4 0
y x
y x
x y
≤
≥ −
− − ≤
M 2 2 1x y+ ≤ N M
N
3
64
π
29 ( 2) 2x k x− ≤ + − [ ],a b
2b a− = k =
2
0 2
πθ< < 1tan 2tan
θ θ+ ≥
2 2
2 2
2 tan tan 2tan 3tan 2 2 tan
θ θθ θ θ+ = + + ≥
3 3
3 3
3 tan tan tan 3tan 4tan 3 3 3 tan
θ θ θθ θ θ+ = + + + ≥
*tan 1( )tann
a n n Nθ θ+ ≥ + ∈ a =
nn
1 0
1 0
1 0
x
x y
x y
− ≤
− + ≥
+ − ≥
22 yxz +=
2
1
yx,
≤−+
≤+−
≥
02343
034
1
yx
yx
x
22 yxz +=
21. （ 祥 云 一 中 月 考 理 ） 已 知 变 量 满 足 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数
的最小值为 。
答案：
22．（池州市七校元旦调研）若实数 满足不等式组 则 的最小值
是 ．
答案 4
【解析】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，
三、解答题
23．（安庆市四校元旦联考）（本题满分 14 分）要建一间地面面积为 20 ，墙高为
的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例
设计）。已知含门一面的平均造价为 300 元 ，其余三面的造价为 200 元 ，屋顶
的造价为 250 元 。问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价
是多少？
解：设地面矩形在门正下方的一边长为 ，则另一边的长为 ，设总造价为 元，则
因为 当且仅当 （ 即 时 取“=”
所以，当 时 有最小的值 此时
答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为 ，另一边的长为 时，
能使总造价最低造价为 17000 元。
24.（祥云一中二次月考理）（本小题满分 12 分）已知函数
x y，
≤−−
≥−+
≥+−
052
04
02
yx
yx
yx
251022 +−+= yyxz
2
9
,x y
2,
2 4,
0,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≤
− ≥
2 3x y+
2
3y x Z= − + ( )2,0 ( )min2 3 4x y+ =
2m m3
2/ m 2/ m
2/ m
xm mx
20 y
)0)(16(15005000)20020232003(300325020 >++=⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= xxxxxxy
816216 =⋅≥+
xxxx xx 16= )0>x 4=x
4=x y ,17000 520 =
x
m4 m5
22 )1ln()1()( xxxf +−+=
（1）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的方程 在区间 上恰好有两个相异实根，求实数 的取
值范围.
解：(1) ，
时，
当
（2）设
即
则 由
由
在 上单调递减，在 上单调递增。
为 极 小 值 点 ， 要 使 恰 好 在 上 有 两 个 相 异 零 点 ， 只 要 方 程
和 上各有一个实根，
题组一（1 月份更新）
一、选择题
1、（2009 青岛一模）已知 ，则“ ”是“ 恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
2、（2009 昆明市期末）不等式 ln2x+lnx＜0 的解集是 （ ）
−−∈ 1,11 eex mxf >)( m
x )(2 xfaxx =++ [ ]2,0 a
x
xx
xxxf +
+=+−+=
1
)2(2
1
2)1(2)('
−∈∴
−−∈ 0,11,1,11
exeex 当 ,0)(' −∈
mfxfx
xfex
时，
）时，
,)1ln()1()( 222 axxxxxg −−−+−+=
,)1ln(1)( 2 axxxg −+−+=
,1
1
1
21)('
+
−=+−=
x
x
xxg 得0)(' >xg ,11 >−< xx 或
得0)('
A．（e-1，1） B（1，e） C．（0，1） D．（0，e-1）
答案 A
3、（2009 番禺一模）已知点 与点 在直线 的两侧，则下列说法
正确的是（ ）
①
② 时， 有最小值，无最大值
③ 恒成立
④ 当 , , 则 的取值范围为（-
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
答案 D
4、（2009 枣庄一模）不等式 的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
5、（2009 潮州实验中学一模）若集合 ，则实数 的值的集合
是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案 D
6、（2009 金华一中 2 月月考）与不等式 ≥0 同解的不等式是( )
A．(x-3)(2-x)≥0 B (x-2)≤0 C． ≥0 D．(x - 3)(2 - x)>0
答案 B
7、（2009 玉溪一中期中）设 ， 是满足 的实数，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
( , )P a b (1, 0)Q 0132 =+− yx
0132 >+− ba
0≠a a
b
2 2,M R a b M+∃ ∈ + >使
且0>a 1≠a 时0>b 1−a
b 1 2, ) ( , )3 3
∞ − + ∞
232
53
2
≤−+
−
xx
x
)1,2
1[−
]3,1()1,2
1[ ∪
),1(]2
1,1[)3,( +∞∪−∪−−∞
]3,1()1,2
1[ ∪−
2{ | 1 0}A x ax ax= − + < = ∅ a
{ | 0 4}a a< < { | 0 4}a a≤ < { | 0 4}a a< ≤ { | 0 4}a a≤ ≤
3
2
x
x
−
−
lg 2
3
x
x
−
−
a b 0ab <
a b a b+ > − a b a b+ < − a b a b− < − a b a b− < +
答案 B
8、（2009 宣威六中第一次月考） 在区间 上的最大值是（ C ）
A． B． C．2 D．4
答案 C
9、（2009 台州市第一次调研）已知不等式 的整数解构成等差数列{ }，
则数列{ }的第四项为
（A） （B） （C） （D） 或
答案 D
10、（2009 临沂一模）若实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是
A、（－1，1） B、（－∞，－1）∪(1,＋∞) C、（－∞，－1） D［1,＋
∞)
答案 B
11 、 （ 2009 玉 溪 一 中 期 末 ） 如 果 点 P 在 平 面 区 域 上 , 点 Q 在 曲 线
最小值为
(A) (B) (C) (D)
答案 A
解析：点 P 在平面区域 上, 画出
可 行 域 ， 点 Q 在 曲 线
最小值圆上的点
到 直 线 的 距 离 ， 即 圆 心 (0 ， － 2) 到 直 线
的距离减去半径 1，得 ，选 A。
12、（2009 云南师大附中）设变量x、y 满足约束条件
的最小值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
3 2( ) 3 2f x x x= − + [ ]1,1−
2− 0
0322 <−− xx na
na
3 1− 2 3 1−
1 0
0
x y
x
− + ≤
> 1
y
x −
≥−
≤−+
≥+−
012
02
022
y
yx
yx
的那么上 ||,1)2( 22 PQyx =++
2
3 1
5
4 − 122 − 12 −
≥−
≤−+
≥+−
012
02
022
y
yx
yx
的那么上 ||,1)2( 22 PQyx =++
1
2y =
1
2y =
2
3
2 2
3 6
y x
x y z x y
y x
≤
+ ≥ = −
≥ −
，则目标函数
答案 B
13、（2009 杭州高中第六次月考）已知实数 x, y 满足 , 如果目标函数 z=x–y 的
最小值为–1，则实数 m 等于（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
答案 D
14、（2009 嘉兴一中一模）已知实数 、 满足 ，每一对整
数 对应平面上一个点，经过其中任意两点作直线，则不同直线的条数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案 B
15、（2009桐庐中学下学期第一次月考）设不等式组 表示的平面区域是
，若 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有 个，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
答案 C
二、填空题
1、（2009 玉溪一中期中）若关于 x 的不等式 的解集不是空集，则 a 的取
值范围是 ．
答案
2、（2009 宁波十校联考）已知圆 为正实数）上任意一点
关于直线 的对称点都在圆 C 上，则 的最小值为 。
答案
≤+
−≤
≥
myx
1x2y
1y
x y
≥
≤−+
≥+−
0
02
02
y
yx
yx
),( ZyZx ∈∈
),( yx
14 19 36 72
≤−+
≥
≥
03532
1
yx
y
ax
W W 91 a
( ]1,2 −− [ )0,1− ( ]1,0 [ )2,1
axx <−−− 43
),1( +∞−
2 2: 3 0( ,C x y bx ay a b+ + + − =
: 2 0l x y+ + = 1 3
a b
+
31 2
+
3、（2009 上海普陀区）不等式 的解集为 .
答案
4、（2009 日照一模）给出下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若正整数 和 满足； ，则 ；
④若 ，且 ，则 ；
其中真命题的序号是_____________________(请把真命题的序号都填上)。
答案 ②③
5、（2009 卢湾区 4 月月考）不等式 的解为 ．
答案
6 、 （ 2009 上 海 十 四 校 联 考 ） 实 数 x 、 y 满 足 不 等 式 组
的最大值为
答案 4
7、（2009 昆明市期末）满足约束条件 的点 P(x，y )所在区域的面积等
于 。
答案
8、（2009 临沂一模）如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括
边界），则这个不等式组是 。
2 3 1x − >
( ) ( ),1 2,−∞ +∞
a b< 2 2a b<
1a b≥ > − 1 1
a b
a b
≥+ +
m n m n< ( ) 2
nm n m− ≤
0x > 1x ≠
1ln 2lnx x
+ ≥
1 2 0
0 1 0
3 2 1
x
x x
+
− ≥
2 3 2 3x− +≤ ≤
yxk
yx
yx
yx
+=
>
≤−+
≤−+
3,
0,
087
032
则目标函数
≥+
≤+
≥−
22
2
0
yx
yx
yx
3
1
答案
9、（2009 杭州二中第六次月考）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是 ．
答案 或
10、（2009 日照一模理）设
若 的 充 分 不
必要条件，则 r 的取值范围是 .
答案 （0， ］
11、（2009 上海九校联考）已知点 在不等式组 所表示的平面区域
内，
则 的值域为
答案
12 、 （ 2009 杭 州 学 军 中 学 第 七 次 月 考 ） 已 知 变 量 满 足 约 束 条 件
，若目标函数 的最小值是 ，则实数 = 。
答案 －6
0
1
2 2 0
x
y
x y
≤
≥ −
− + ≥
0
0
2 4
x
y
y x s
y x
≥
≥ + ≤
+ ≤
s
0 s< ≤2 s≥4
( ) ( )2 2 2
4 3 12 0
: 3 0 , : , 0
3 12
x y
p x x y R q x y r x y R r
x y
+ −
− ≥ ∈ + ∈
+ ≤
、 、 q p¬ ¬是
12
5
( , )M x y
2 0,
2 1 0,
0
x y
x y
y
+ + ≥
+ + ≤
≥
2 2( 1) ( 2)z x y= − + −
[8, 17]
,x y
0
( )
2 0
x
y x k
x y k
≥
≤
+ + ≤
为常数 3z x y= − 4− k
13、（2009 金华十校 3 月模拟）不等式组 ，表示的平面区域的面积是
答案
14、（2009 上海闸北区）设实数 满足条件 则 的最大值是
____________.
答案 4
15、（2009 金华一中 2 月月考）．若实数 满足 ，则 的最大值
是_________________。
答案 9
16、（2009 宁波十校联考）.已知点 在由不等式 确定的平面区域内，则
点 所在平面区域的面积是 。
答案 4
17、（2009 上海卢湾区一模考）解不等式：
解：原不等式的解集为
2009 年联考题
第一节 简单不等式及其解法
一、选择题
1、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）已知 为非零实数，且 ，则下列命题
1 0
0
0
x y
x y
y
− + ≥
+ ≤
≥
1
4
yx,
≤+
≤
≥
.32
,
,0
yx
yx
x
yxz −= 2
yx ,
≤
≥+
≥+−
0
0
01
x
yx
yx
yxz 23 +=
( ),M a b
0
0
2
x
y
x y
≥
≥
+ ≤
( ),N a b a b+ −
2 2
1 1
2 2
log (3 2 5) log (4 5)x x x x− − ≤ + −
5{ | 3 }4x x− ≤ < −
,a b a b<
成立的是 （ ）
A . B. C. D.
答案 C
2.若 ，则(安徽省示范高中皖北协作区 2009 届高三第一次联考试题)下列不等式中正
确的是 （ ）
A B C D
答案 D
3．（福建省福州市普通高中 09 年高三质量检查）已知
，则不等式
的解集是 （ ）
A．（—2，0） B．
C． D．
答案 C
4．（安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测）不等式 的解集为
A． B．
C． D．
答案 C
5. (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农
贸市场蔬菜价格的调查得知，购买 2 千克甲种蔬菜与 1 千克乙种蔬菜所需费用之和大于 8
元，而购买 4 千克甲种蔬菜与 5 千克乙种蔬菜所需费用之和小于 22 元. 设购买 2 千克甲
种蔬菜所需费用为 元，购买 3 千克乙种蔬菜所需费用为 元，则 （ ）
A． B． C． D． 大小不确定
答案 A
6．(北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理)设 R， 且 ，
2 2a b< 2 2a b ab< 2 2 0a b− < 1 1
a b
>
a b
1 1
a b
2 2a b
2 2ac bc
2 2
2 2
a b a b+ +
0)2(,0)(,0,),0)(( =−>′<∈≠ fxfxRxxxf 且时当是奇函数
0)( >xf
),2( +∞
),2()0,2( +∞− ),2()2,( +∞−−∞
2 1x <
{ | 1 1}x x− < < { | 1}x x <
{ | 1}x x > − { | 1 1}x x x< − >或
A B
A B> A B< A B= ,A B
,a b Î ( 1)<0b a b+ +
，则 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
7.(北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)已知 ， 都是定义在 上的函数，
且 满 足 以 下 条 件 ： ① = · （ ） ； ② ； ③
。若 ，则使 成立的 x 的取值范围是
A.（ ， ）∪（ ，+∞ ） B.（ ， ）
C.（－∞， ）∪（ ，+∞ ） D.（ ，+∞ ）
答案 B
8、（2009 福州三中理）已知互不相等的正数 a、b、c 满足 ，则下列不等在中
可能成立的是 （ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
答案 B
9、（2009 龙岩一中理）若不等式 的解集为非空集合，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 C
10、（2009 龙岩一中文）已知 a,b∈R，且 a>b，则下列不等
式中恒成立的是 （ ）
A．a2>b2 B．( ) a <( )b C．lg(a－b)>0 D． >1
答案 B
11、（2009 泉州市）
答案 D
( 1)<0b a b+ -
1a > 1a < −
1 1a− < < | | 1a >
)(xf )(xg R
)(xf xa )(xg 0,0 ≠> aa )(xg 0≠
)()()()( '' xgxfxgxf ⋅>⋅
2
5
)1(
)1(
)1(
)1( =−
−+
g
f
g
f 1log >xa
0 2
1 2 0 2
1
2
1 2 2
2 2 2a c bc+ =
| 4 | | 3|x x a− + − < a
7a > 1 7a< < 1a > 1a ≥
2
1
2
1
b
a
0, 0 4,a b a b+ = 若 ，且 则下列不等式中恒成立的是
1 1. 2A ab
1 1. 1B a b
+ ≤ . 2C ab ≤ 2 2
1 1. 8D a b
≤+
12、（2009 广州一模）已知 p：关于 x 的不等式 x2+2ax－a>0 的解集是 R，q：－1
1{ | 1 }3x x x> <或
)(xf ′ )(xfy ′=
1)2( <+ baf 3
3
+
+
a
b
3
7,5
3
x 62 <+ax
( )2,1− a
021 >−
x
)2
1,0(
(1 2)x∈ ， 2 4 0x mx+ + < m
5m −≤
2 24 3 0x ax a− + <
－2
x
y
O
x 2 0 4
f (x) 1 －1 1
,命题 实数 满足 .
(Ⅰ)若 且 为真，求实数 的取值范围；
(Ⅱ)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
解 由 得 ，
又 ,所以 ,
当 时，1< ,即 为真时实数 的取值范围是 1< . …………2 分
由 ,得 ,即 为真时实数 的取值范围是 . ……4 分
若 为真，则 真且 真，
所以实数 的取值范围是 . ……………………6 分
(Ⅱ) 是 的充分不必要条件，即 ,且 , ……………8 分
设 A= ,B= ,则 ,
又 A= = , B= = }， ……………10 分
则 0< ,且
所以实数 的取值范围是 . ……………………12 分
第二节 基本不等式
一、选择题
1、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）下列结论正确的是 ( )
A .当 且 时， B. 时，
C．当 时， 的最小值为 2 D. 时， 无最大值
答案 B
2、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）
0a > :q x
2
2
6 0,
2 8 0.
x x
x x
− − ≤ + − >
1,a = p q∧ x
p¬ ¬ q x
2 24 3 0x ax a− + < ( 3 )( ) 0x a x a− − <
0a > 3a x a< <
1a = 3x < p x 3x <
2
2
6 0
2 8 0
x x
x x
− − ≤ + − >
2 3x< ≤ q x 2 3x< ≤
p q∧ p q
x 2 3x< <
p¬ q¬ p¬ ⇒ q¬ q¬ ⇒/ p¬
{ | }x p¬ { | }x q¬ A B
{ | }x p¬ { | 3 }x x a x a≤ ≥或 { | }x q¬ { 2 3x x≤ >或
2a ≤ 3 3a >
a 1 2a< ≤
0x > 1x ≠ 1lg lgx x
+ 2≥ 0x >当 1 2x
x
+ ≥
2x ≥ 1x x
+ 0 2x< ≤ 1x x
−
若直线 ，始终平分圆 的周长，
则 的最小值为 （ ）
A．1 B．5
C． D．
答案 D
3.（2009 泰安一模）已知实数 x,y 满足 如果目标函数 z=x-y 的最小值为—1，
则实数 m 等于
A.7 B.5 C.4 D.3
答案 B
4、（2009 广东三校一模）若直线 通过点 ,则
.
答案 B
5、（2009 韶关一模）① ；②“ 且 ”是“ ”的充
要条件；③ 函数 的最小值为
其中假命题的为_________（将你认为是假命题的序号都填上）
答案 ①
二、填空题
6.（2009 滨州一模）(13)已知正数 满足 ，则 的最小值为 ；
答案 4
7.（2009 上海十四校联考）不等式 的解集为
则 中的点 到直线 距离的最大值是 。
答案
)0,0(022 >>=−+ babyax 082422 =−−−+ yxyx
1 2
a b
+
24 223 +
1
2 1
y
y x
x y m
≥
≤ −
+ ≤
1=+
b
y
a
x )sin,cos αα（M
A 122 ≤+ ba 1. 22 ≥+ baB 111. 22
≤+
baC 111. 22
≥+
baD
2, 2 1 0x R x x∀ ∈ − + > 1x > 2y > 3x y+ >
2
2
12
2
y x
x
= + +
+ 2
,a b a b ab+ = a b+
02
1 ≥+
−
x
x [ )+∞∪−−∞ ,1)2,(
D ),( yxP 10=+ yx
24
8.（2009 滨州一模）点 P(x,y)满足 ，点 A 的坐标是（1，2）,若∠AOP= ,
则︱OP︱cos 的最小值是 ；
答案
9.（2009 枣庄一模） 设
的最大值为 。
答案 73
第三节 不等式组与简单的线性规划
1、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）
若实数 x，y 满足不等式 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 C
2、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）已知满足约束条件 ，则
的最小值是 （ ）
A．5 B．－6 C．10 D．－10
答案 B
3．(福建省福州市普通高中 09 年高三质量检查)已知实数
1 0
0
0
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
θ
θ
2 5
5
1
1,
022
4
0
+
−=
≥−−
≤−
≥
x
y
yx
yx
y
ω则
]3
1,1[− ]3
1,2
1[−
− 2,2
1
+∞− ,2
1
≤
≥+
≥+−
3
0
05
x
yx
yx
yxz 42 +=
2 2
5 0
, 0 ,
3
x y
x y x y x y
x
− + ≥
+ ≥ +
≤
满足约束条件 则
的最小值为 （ ）
A．—6 B．—3 C． D．19
答案 B
4. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)设实数 x, y 满足 ，则
的最小值为（ ）
A. B.
C. 5 D. 27
答案 A
5．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)在如图所示的坐标平面
的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z＝x＋ay取得最
小值的最优解有无数个，则 的最大值是 ( )
A． B． C． D．
答案 B
6．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)在如下图所示的坐标平面的可行域内（阴影
部分且包括边界），若目标函数 z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a等于 ( )
A．1 B． C． D．
答案 B
7、（2009 福州三中理）已知 x，y 满足 则 S=|y-x|的最大值是______。
答案 3
8、（2009福州三中文）已知x，y满足 则S= 的最大值______。
yxz
yx
x
yx
yx 2,3
05
, +=
≥+
≤
≥+−
则目标函数满足
2
5
5 0
0
3
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
3z x y= +
6- 3−
y
x a−
2
3
2
5
1
6
1
4
1− 3 3−
≥
≥
≤−+
1
1
073
y
x
yx
≥
≥
≤−+
1
1
073
y
x
yx
yx 4+
答案 9
9、（2009 厦门一中）设二元一次不等式组
的图象没有
经过区域 的取值范围是______________
答案（0，1） （1，2） （9，+∞）；
w.w.10、（2009 广东三校一模）若点 在不等式组 表示的平面区域内运
动，
则 的取值范围是
答案 A
11、（2009 东莞一模）已知点 满足条件 的
最大值为 8，则 .
答案 －6
12、（2009 茂名一模）已知实数 满足不等式组 ,目标函数
.若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 的取值范围是 .
答案
13、（2009 湛江一模）若 , 满足约束条件 ，则
的最大值为 ．
答案 9
2 19 0
8 0 ( 0
2 14 0
x
x y
x y M y a a
x y
+ − ≥
− + ≥ = >
+ − ≤
所表示的平面区域为 ，若函数 , 1)a ≠
,M a则
y)x,（
≥−+
≤−
≤−
022
01
02
yx
y
x
yxt −=
]1,2.[ −−A ]1,2.[−B ]2,1.[−C ]2,1.[D
),( yxP yxzk
kyx
xy
x
3),(
02
,
,0
+=
≤++
≤
≥
若为常数
k =
,x y
2 0
4 0
2 5 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≥
− − ≤
( )z y ax a R= − ∈ a
(1, )+∞
x y
≤≤
≥+−
≥+
30
03
0
x
yx
yx
yxz −= 2
14、（2009 潮州实验中学一模）满足不等式组 ，则目标函数 的
最大值为
答案 4
15、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）
已知变量
（其中 a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。
16、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）
已知变量 ， 满足 则 的最大值为________.
17.( 安 徽 省 示 范 高 中 皖 北 协 作 区 2009 届 高 三 第 一 次 联 考 试 题 ) 已 知 函 数
，则不等式 的解集为
答案（-∞，2） （3，+∞）
18、(安徽省示范高中皖北协作区 2009 届高三第一次联考试题)已知实数 满足条件
，若使 取得最大值的有序数对 有无数个，则 =
答案 1/3
19、（山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）
某公司计划 2009 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用
不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和 200 元/分钟，规定
甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2
万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大
收益是多少万元？
>
≤−+
≤−+
0,
087
032
yx
yx
yx
yxk += 3
2 3 0
, 3 3 0.
1 0
x y
x y x y
y
+ − ≤
+ − ≥
− ≤
满足约束条件 若目标函数
z ax y= +
x y 2 0,
3 5 0,
x y
x y
−
− +
≤
≥
22x yz + −=
( ) 2 , 0
1, 0
x xf x
x x
= + ≥
( ) 4f x
,x y
1 0
1 0 ,
3 3 0
x
x y z y ax
x y
− ≥
− − ≤ = −
− + ≥
z ( ),x y a
500
【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，
由 题 意 得
……………………3 分
目标函数为 ．………5 分
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行
域． ………………8 分
如图：作直线 ，
即 ．
平移直线 ，从图中可知，当直线 过 点时，目标函数 取
得最大值．
联立 解得 ．
点 的坐标为 ． ………………………10 分
（元）
答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，
最大收益是 70 万元． …………………………12 分
x y z
300
500 200 90000
0 0.
x y
x y
x y
+
+
≤ ，
≤ ，
≥ ， ≥
3000 2000z x y= +
300
5 2 900
0 0.
x y
x y
x y
+
+
≤ ，
≤ ，
≥ ， ≥
:3000 2000 0l x y+ =
3 2 0x y+ =
l l M
300
5 2 900.
x y
x y
+ =
+ =
，
100 200x y= =，
∴ M (100 200)，
max 3000 2000 700000z x y∴ = + =
0 100 200 300
100
200
300
400
500
y
x
l M
