2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-1函数及其表示
第1讲 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．
知 识 梳 理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．
(4)分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N＋
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( )(3)函数y＝－1的值域是{y|y≥1}．( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) 解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．
(3)由于x2＋1≥1，故y＝－1≥0，故函数y＝－1的值域是{y|y≥0}．
(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2,2]，C中图像不表示函数，D中函数值域不是[0,2]．
答案 B
3．(2017·合肥一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1]
B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞)
D.∪
解析 由题意，得
解之得－1≤x≤1且x≠－.
答案 D
4．(2015·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))等于( )
A．－1 B. C. D.
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝，故选C.
答案 C
5．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图像过点(－1,4)，则a＝________.
解析 由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图像上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.
答案 －2
考点一 求函数的定义域
【例1】 (1)(2017·郑州调研)函数f(x)＝ln ＋的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 017]，则函数g(x)＝的定义域是____________．
解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋的定义域为(1，＋∞)．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1,2 017]，
∴g(x)有意义，应满足
∴0≤x≤2 016，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且x≠1}．
答案 (1)B (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
规律方法 求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足
∴则2
1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
则2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
答案 (1)lg(x>1) (2)x2－x＋2 (3)＋
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
【训练2】 (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________.
解析 (1)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．
(3)当x∈(－1,1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
将x换成－x，则－x换成x，
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－x(x＋1)
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x)(－11
∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
答案 C
命题角度二 求参数的值或取值范围
【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B.
C. D.
(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析 (1)f＝3×－b＝－b，
若－b<1，即b>时，
则f＝f＝3－b＝4，
解之得b＝，不合题意舍去．
若－b≥1，即b≤，则－b＝4，解得b＝.
(2)当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，
所以x<1.
当x≥1时，≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.
综上可知x的取值范围是(－∞，8]．
答案 (1)D (2)(－∞，8]
规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
解析 (1)当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，
即2a－1＝－1，不成立，舍去；
当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，
此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.故选A.
(2)当x≤0时，由题意得＋1≥－1，
解之得－4≤x≤0.当x>0时，
由题意得－(x－1)2≥－1，
解之得00，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案 D
2．(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：
映射f的对应法则
x
1
2
3
4
f(x)
3
4
2
1
映射g的对应法则
x
1
2
3
4
g(x)
4
3
1
2
则f[g(1)]的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，
由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.
答案 A
3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2，
得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2.
∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1.
答案 A
4．(2017·衡阳八中一模)f(x)＝则f＝( )
A．－2 B．－3
C．9 D．－9
解析 ∵f＝log3＝－2，
∴f＝f(－2)＝－2＝9.
答案 C
5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析 取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B.
答案 B
6．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析 函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B，故选D.
答案 D
7．(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.
若f＝f，则f(5a)的值是( )
A. B.
C．－ D.
解析 由题意f＝f＝－＋a，
f＝f＝＝，
∴－＋a＝，则a＝，
故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案 C
8．(2017·铜陵一模)设P(x0，y0)是函数f(x)图像上任意一点，且y≥x，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝tan x
解析 对于A项，当x＝1，f(1)＝0，此时02≥12不成立．对于B项，取x＝－1，f(－1)＝－1，此时2≥(－1)2不成立．在D项中，f＝tanπ＝1，此时12≥2不成立．∴
A，B，D均不正确．选C.事实上，在C项中，对任意x0∈R，y＝2有y－x＝＋8>0，有y≥x成立．
答案 C
二、填空题
9．(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是________．
解析 要使函数有意义，则3－2x－x2≥0，
∴x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1.
答案 [－3,1]
10．已知函数f(x)＝则f＝________.
解析 ∵f＝－tan＝－1.
∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案 －2
11．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是________．
解析 根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案 f(x)＝－log2 x
12．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x
＝2－，故x的集合为.
答案
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．(2015·湖北卷)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析 当x>0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x；
当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1，则|x|＝xsgn x；
当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn x＝0，则|x|＝xsgn x.
答案 D
14．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C. D．[1，＋∞)
解析 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
答案 C
15．函数f(x)＝ln＋的定义域为________．
解析 要使函数f(x)有意义，则⇒⇒0
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