高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题 考点预测和题型解析 在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。‎ l 考题预测 离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。‎ 从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。‎ l 知识点回顾 ‎ 1．离散型随机变量的期望：‎ ‎（1）若离散型随机变量的概率分布为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ 则称为的数学期望（平均值、均值）‎ ‎ 简称为期望。‎ ‎ ① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。‎ ‎② 是一个实数，由的分布列唯一确定。‎ ‎③ 随机变量是可变的，可取不同值。‎ ‎④ 是不变的，它描述取值的平均状态。‎ ‎（2）期望的性质：‎ ‎ ① ‎ ‎ ② ‎ ‎ ③ 若，则 ‎ ‎ ‎ ‎2．离散型随机变量的方差 ‎（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为 则称 ……；为 的方差。‎ ‎① 反映随机变量取值的稳定与波动。‎ ‎② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。‎ ‎③ 是一个实数，由的分布列唯一确定。‎ ‎④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散。‎ ‎⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差，‎ 记作。‎ 注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。‎ ‎（2）方差的性质：‎ ‎ ① ‎ ‎ ② ‎ ‎ ③ 若，则 ‎ ‎⑤ ‎ l 考点预测 根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测：‎ 考点1：产品检验问题 ‎【例1】已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求 ‎（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）取得正品元件个数的数学期望.‎ ‎【例2】‎ ‎ 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.‎ ‎（I）求第一天通过检查的概率；‎ ‎（II）求前两天全部通过检查的概率；‎ ‎（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.‎ 考点2：比赛问题 ‎【例3】A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立.‎ ‎ （1）求A队夺冠的概率；‎ ‎ （2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.‎ ‎【例4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为.‎ ‎ （Ⅰ）求的概率分布；‎ ‎ （Ⅱ）求E.‎ 考点3：射击，投篮问题 ‎【例5】甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中标，‎ 相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响.‎ ‎ （1）甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率；‎ ‎ （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；‎ ‎ （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？‎ ‎【例6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：‎ ‎ （1）乙投篮次数不超过1次的概率；‎ ‎1.3.5‎ ‎ （2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.‎ 考点4：选题，选课，做题，考试问题 ‎【例7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：‎ ‎ （1）求该题被乙独立解出的概率。‎ ‎ （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。‎ ‎【例8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.‎ ‎ （Ⅰ）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；‎ ‎ （Ⅱ）求的分布列和数学期望.‎ 考点5：试验，游戏，竞赛，研究性问题 ‎【例9】‎ 某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.‎ ‎ （I）求ξ的所有可能取值；‎ ‎ （II）求ξ的分布列；‎ ‎ （III）求ξ的期望Eξ.‎ 考点5：试验，游戏，竞赛，研究性问题 ‎【例9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.‎ ‎ （I）求ξ的所有可能取值；‎ ‎ （II）求ξ的分布列；‎ ‎ （III）求ξ的期望Eξ.‎ ‎【例10】某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.‎ ‎ （1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；‎ ‎ （2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.‎ 点6：旅游，交通问题 ‎【例11】春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：‎ ‎ （Ⅰ）随机变量的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）随机变量的期望.‎ ‎【例12】 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.‎ ‎ （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 ‎ （2）求恰有2条线路没有被选择的概率.‎ ‎ （3）求选择甲线路旅游团数的期望.‎ 考点7：摸球问题 ‎1,3,5‎ ‎【例13】甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为 ‎ （1）求n的值；‎ ‎ （2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.‎ ‎【例14】一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。‎ ‎ （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；‎ ‎ （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.‎ 考点8：摸卡片，数字问题 ‎【例15】在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.‎ ‎ （I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；‎ ‎ （II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由 例16】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎ （Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎ （Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；‎