天津理科高考试题含解析

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天津理科高考试题含解析

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(天津卷)‎ 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.‎ 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第Ⅰ卷 注意事项:‎ ‎1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.‎ ‎2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.‎ 参考公式:‎ ‎·如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎·如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.‎ ‎·球的体积公式V=.其中R表示球的半径.‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(2013天津,理1)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=(  ).‎ A.(-∞,2] B.[1,2]‎ C.[-2,2] D.[-2,1]‎ 答案:D 解析:解不等式|x|≤2,得-2≤x≤2,所以A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤1}.故选D.‎ ‎2.(2013天津,理2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为(  ).‎ A.-7 B.-4‎ C.1 D.2‎ 答案:A 解析:作约束条件所表示的可行区域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0过点A(5,3),此时z最小为-7,故选A.‎ ‎3.(2013天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出S的值为(  ).‎ A.64 B.73‎ C.512 D.585‎ 答案:B 解析:由程序框图,得x=1时,S=1;x=2时,S=9;x=4时,S=9+64=73,结束循环输出S的值为73,故选B.‎ ‎4.(2013天津,理4)已知下列三个命题:‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;‎ ‎②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;‎ ‎③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切,‎ 其中真命题的序号是(  ).‎ A.①②③ B.①②‎ C.①③ D.②③‎ 答案:C 解析:设球半径为R,缩小后半径为r,则r=,而V=,V′=‎ ‎,所以该球体积缩小到原来的,故①为真命题;两组数据的平均数相等,它们的方差可能不相等,故②为假命题;圆x2+y2=的圆心到直线x+y+1=0的距离d=,因为该距离等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选C.‎ ‎5.(2013天津,理5)已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(  ).‎ A.1 B. C.2 D.3‎ 答案:C 解析:设A点坐标为(x0,y0),则由题意,得S△AOB=|x0|·|y0|=.抛物线y2=2px的准线为,所以,代入双曲线的渐近线的方程,得|y0|=.由得b=,所以|y0|=.所以S△AOB=,解得p=2或p=-2(舍去).‎ ‎6.(2013天津,理6)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=(  ).‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案:C 解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC==5,即得AC=.由正弦定理,即,所以sin∠BAC=.‎ ‎7.(2013天津,理7)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(  ).‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ 答案:B 解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=,作g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.‎ ‎8.(2013天津,理8)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若A,则实数a的取值范围是(  ).‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案:A 解析:f(x)=x(1+a|x|)=‎ 若不等式f(x+a)<f(x)的解集为A,且,‎ 则在区间上,函数y=f(x+a)的图象应在函数y=f(x)的图象的下边.‎ ‎(1)当a=0时,显然不符合条件.‎ ‎(2)当a>0时,画出函数y=f(x)和y=f(x+a)的图象大致如图.‎ 由图可知,当a>0时,y=f(x+a)的图象在y=f(x)图象的上边,故a>0不符合条件.‎ ‎(3)当a<0时,画出函数y=f(x)和y=f(x+a)的图象大致如图.‎ 由图可知,若f(x+a)<f(x)的解集为A,且,‎ 只需即可,‎ 则有(a<0),‎ 整理,得a2-a-1<0,解得.‎ ‎∵a<0,∴a∈.‎ 综上,可得a的取值范围是.‎ 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.‎ ‎2.本卷共12小题,共110分.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(2013天津,理9)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则a+bi=__________.‎ 答案:1+2i 解析:由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,得解方程组,得a=1,b=2,则a+bi=1+2i.‎ ‎10.(2013天津,理10)的二项展开式中的常数项为__________.‎ 答案:15‎ 解析:二项展开式的通项为,得r=4,所以二项展开式的常数项为T5=(-1)4=15.‎ ‎11.(2013天津,理11)已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=__________.‎ 答案:‎ 解析:由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,),所以|CP|=.‎ ‎12.(2013天津,理12)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为__________.‎ 答案:‎ 解析:如图所示,在平行四边形ABCD中,=+,=+=+.‎ 所以·=(+)·=||2+||2+·=||2+||+1=1,解方程得||=(舍去||=0),所以线段AB的长为.‎ ‎13.(2013天津,理13)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为__________.‎ 答案:‎ 解析:∵AE为圆的切线,‎ ‎∴由切割线定理,得AE2=EB·ED.‎ 又AE=6,BD=5,可解得EB=4.‎ ‎∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,‎ ‎∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.‎ ‎∴EA∥BC.又BD∥AC,‎ ‎∴四边形EBCA为平行四边形.‎ ‎∴BC=AE=6,AC=EB=4.‎ 由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,‎ ‎∴.‎ 又CF+BF=BC=6,∴CF=.‎ ‎14.(2013天津,理14)设a+b=2,b>0,则当a=__________时,取得最小值.‎ 答案:-2‎ 解析:因为a+b=2,所以 ‎1==‎ ‎≥,‎ 当a>0时,,;‎ 当a<0时,,,当且仅当b=2|a|时等号成立.‎ 因为b>0,所以原式取最小值时b=-‎2a.‎ 又a+b=2,所以a=-2时,原式取得最小值.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(2013天津,理15)(本小题满分13分)已知函数f(x)=+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解:(1)f(x)=sin 2x·+3sin 2x-cos 2x ‎=2sin 2x-2cos 2x=.‎ 所以,f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.又f(0)=-2,,,故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-2.‎ ‎16.(2013天津,理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).‎ ‎(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;‎ ‎(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则 P(A)=.‎ 所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X=1)=,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)=,‎ P(X=4)=.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=.‎ ‎17.(2013天津,理17)(本小题满分13分)如图,四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,侧棱A‎1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明B‎1C1⊥CE;‎ ‎(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;‎ ‎(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD‎1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.‎ 解:(方法一)‎ ‎(1)证明:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).‎ 易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,‎ 所以B‎1C1⊥CE.‎ ‎(2)=(1,-2,-1).‎ 设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),‎ 则即 消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).‎ 由(1),B‎1C1⊥CE,又CC1⊥B‎1C1,可得B‎1C1⊥平面CEC1,‎ 故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.‎ 于是cos〈m,〉=,‎ 从而sin〈m,〉=.‎ 所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.‎ ‎(3)=(0,1,0),=(1,1,1).‎ 设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).‎ 可取=(0,0,2)为平面ADD‎1A1的一个法向量.‎ 设θ为直线AM与平面ADD‎1A1所成的角,则 sin θ=|cos〈,〉|=‎ ‎=.‎ 于是,解得,‎ 所以AM=.‎ ‎(方法二)‎ ‎ (1)证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B‎1C1D1,B‎1C1平面A1B‎1C1D1,‎ 所以CC1⊥B‎1C1.‎ 经计算可得B1E=,B‎1C1=,EC1=,‎ 从而B1E2=,‎ 所以在△B1EC1中,B‎1C1⊥C1E,‎ 又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,‎ 所以B‎1C1⊥平面CC1E,‎ 又CE平面CC1E,故B‎1C1⊥CE.‎ ‎(2)过B1作B‎1G⊥CE于点G,连接C‎1G.‎ 由(1),B‎1C1⊥CE,故CE⊥平面B‎1C1G,得CE⊥C‎1G,‎ 所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.‎ 在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C‎1G=.‎ 在Rt△B‎1C1G中,B‎1G=,‎ 所以sin∠B1GC1=,‎ 即二面角B1-CE-C1的正弦值为.‎ ‎(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD‎1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD‎1A1所成的角.‎ 设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=,AH=.‎ 在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=.‎ 在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,‎ 由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得,‎ 整理得5x2--6=0,解得x=.‎ 所以线段AM的长为.‎ ‎18.(2013天津,理18)(本小题满分13分)设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.‎ 解:(1)设F(-c,0),由,知.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有,‎ 解得,于是,解得,‎ 又a2-c2=b2,从而a=,c=1,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),‎ 由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 求解可得x1+x2=,x1x2=.‎ 因为A(,0),B(,0),‎ 所以·+·‎ ‎=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)‎ ‎=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2‎ ‎=.‎ 由已知得=8,解得k=.‎ ‎19.(2013天津,理19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn=(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.‎ 解:(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,‎ 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,‎ 即‎4a5=a3,于是.‎ 又{an}不是递减数列且,所以.‎ 故等比数列{an}的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)得 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1<Sn≤S1=,‎ 故.‎ 当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以=S2≤Sn<1,‎ 故.‎ 综上,对于n∈N*,总有.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为.‎ ‎20.(2013天津,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2ln x.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);‎ ‎(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有.‎ 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f′(x)=0,得.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极小值 所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.‎ ‎(2)证明:当0<x≤1时,f(x)≤0.‎ 设t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).‎ 由(1)知,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.‎ h(1)=-t<0,h(et)=e2tln et-t=t(e2t-1)>0.‎ 故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.‎ ‎(3)证明:因为s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s>1,从而 ‎,‎ 其中u=ln s.‎ 要使成立,只需.‎ 当t>e2时,若s=g(t)≤e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.‎ 所以s>e,即u>1,从而ln u>0成立.‎ 另一方面,令F(u)=,u>1.F′(u)=,令F′(u)=0,得u=2.‎ 当1<u<2时,F′(u)>0;当u>2时,F′(u)<0.‎ 故对u>1,F(u)≤F(2)<0.‎ 因此成立.‎ 综上,当t>e2时,有.‎
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