高中数学 圆锥曲线练习题及答案 历年高考试题精选

高中数学 圆锥曲线练习题及答案 历年高考试题精选

‎2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 ‎1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )‎ ‎（A） （B）2 （C） （D） ‎ 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 解得: . ‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=‎ ‎(A). (B). ‎2 ‎ (C). (D). 3 ‎ 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A ‎ ‎3.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ ‎【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．‎ ‎4.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．‎ ‎【解析】对于椭圆，因为，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎6.（2009北京理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且 ‎，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）‎ ‎ A．直线上的所有点都是“点”‎ ‎ B．直线上仅有有限个点是“点”‎ ‎ C．直线上的所有点都不是“点”‎ ‎ D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”‎ ‎【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ ‎ 本题采作数形结合法易于求解，如图，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎（第8题解答图）‎ 消去n,整理得关于x的方程 （1）‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.‎ ‎7.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). ‎ A. B. ‎5 C. D.‎ ‎【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,‎ 所以,,故选D. ‎ 答案:D.‎ ‎【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.‎ ‎8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】: 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B. ‎ 答案:B.‎ ‎【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.‎ ‎9.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆相切，则r=‎ ‎（A） （B）2 （C）3 （D）6‎ 答案：A 解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=‎ ‎10.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案：D 解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=。‎ ‎11.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎[解析]由得，选B ‎12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】依据双曲线的离心率可判断得..选B。‎ ‎13.（2009安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是 ‎ A． B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析】可得斜率为即，选A。‎ ‎14.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ‎ ‎ A． B． C． D．3‎ 答案：B ‎【解析】由有,则,故选B.‎ ‎15.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：B ‎【解析】因为，再由有从而可得，故选B ‎16.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A B C D ‎【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 ‎【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。‎ ‎17.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】易得准线方程是 ‎ 所以 即所以方程是 联立可得由可解得A ‎18.（2009四川卷文）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点 在双曲线上.则·＝‎ ‎ A. －12 B. －‎2 C. 0 D. 4‎ ‎【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，‎ ‎.∴·＝‎ ‎19.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D ‎20.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.‎ m A． B. C. D. ‎ 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,‎ 由双曲线的第二定义有.‎ 又 故选A ‎21.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是【 B 】 ‎ A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）‎ 解:由,易知焦点坐标是，故选B. ‎ ‎22.（2009辽宁卷文）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 ‎（A） (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可 答案B ‎23.（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 ‎（A） （B）2 （C） （D）1‎ 解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A ‎24.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.‎ 解析：抛物线的方程为，‎ 答案：y=x ‎25.（2009陕西卷文）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网 ‎（A） （B）2 （C）（D）2 ‎ 答案:D. ‎ 解析:,圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为 故选D.‎ ‎26.（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎ 答案:C. ‎ 解析:将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以，故选C.‎ ‎27.（2009四川卷文）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点 在双曲线上.则·＝‎ ‎ A. －12 B. －‎2 C. 0 D. 4‎ ‎【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，‎ ‎.∴·＝‎ ‎28.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ ‎【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。‎ 解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C。‎ ‎29.（2009全国卷Ⅰ文）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=‎ ‎(A) (B) 2 (C) (D) 3‎ ‎【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。‎ 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A ‎ ‎30.（2009湖北卷文）已知双曲线（b＞0）的焦点，则b=‎ A.3 B. C. D. ‎ ‎【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.‎ ‎31.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。‎ 解析：由题知，‎ 又 由A、B、M三点共线有即，故， ‎ ‎∴，故选择A。‎ ‎32.（2009四川卷理）已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=‎ A. B. C .0 D. 4 ‎ ‎【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）‎ 解析：由题知，故，‎ ‎∴，故选择C。‎ 解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程，则左、右焦点坐标分别为，再将点代入方程可求出，则可得，故选C。‎ ‎33.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B‎.3 C. D. ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。‎ 解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。‎ 解析2：如下图，由题意可知 ‎34.（2009宁夏海南卷文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ‎（A）+=1 （B）+=1‎ ‎（C）+=1 （D）+=1 ‎ ‎【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。‎ ‎35.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于 A. 2 B. C. D. 1‎ 解析解析 由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.‎ ‎36.（2009重庆卷理）直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。‎ ‎37.（2009重庆卷理）已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得 令 由 同样由与第二个椭圆由可计算得 综上知 ‎38.（2009重庆卷文）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。‎ 解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。‎ ‎39.（2009年上海卷理）过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）‎ ‎（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 ‎【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。‎ 二、填空题 ‎1.（2009四川卷理）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w ‎ ‎【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。‎ 解析：由题知，且，又，所以有 ‎，∴。‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ文）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ‎ ① ② ③ ④ ⑤ ‎ 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）‎ ‎【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。‎ 解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤‎ ‎3.（2009天津卷理）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，‎ 则___________ 。‎ ‎【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。‎ 解析：由知的半径为，由图可知解之得 ‎4.（2009湖北卷文）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。‎ ‎【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 ‎5.（2009重庆卷文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．‎ ‎. 解法1，因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即 设点由焦点半径公式，得则 记得由椭圆的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 解法2 由解析1知由椭圆的定义知 ‎ ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ ‎6.（2009重庆卷理）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 解法1，因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，‎ 设点由焦点半径公式，得则 解得由双曲线的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 解法2 由解析1知由双曲线的定义知 ‎ ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ ‎7.（2009北京文）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .‎ ‎.w【解析】u.c.o.m本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴， ‎ 又由余弦定理，得， ∴，故应填.‎ ‎8.（2009北京理）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.‎ ‎【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ 取，如图，采用数形结合法，‎ 易得该曲线在处的切线的斜率为.‎ 故应填.‎ ‎9.（2009北京理）椭圆的焦点为，点在 ‎（第11题解答图）‎ 椭圆上，若，则_________；‎ 的小大为__________. ‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴，又由余弦定理，得，‎ ‎∴，故应填.‎ ‎10.（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . ‎ ‎【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。‎ 直线的方程为：；‎ 直线的方程为：。二者联立解得：， ‎ 则在椭圆上，‎ ‎， ‎ 解得：‎ ‎11.（2009全国卷Ⅱ文）已知圆O：‎ 和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。‎ 解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。‎ ‎12.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．‎ ‎【解析】，，，，则所求椭圆方程为.‎ ‎13.(2009年广东卷文)以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎14.（2009天津卷文）若圆与圆的公共弦长为，则a=________.‎ ‎ 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1‎ ‎【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。‎ ‎15.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .‎ ‎【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2‎ ‎16.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，‎ ‎ 切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 . ‎ 解: , ‎ ‎17.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ ‎ 解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又 ‎。‎ ‎18.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。‎ ‎【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),‎ ‎ 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝‎2a＝4‎ ‎ 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5‎ ‎ 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.‎ ‎【答案】9‎ ‎19.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .‎ ‎【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2‎ ‎20.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。‎ ‎【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故.‎ ‎21.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 .‎ ‎【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率 ‎22.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________. ‎ ‎【解析】依题意，有，可得‎4c2＋36＝‎4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。‎ ‎23.（2009上海卷文）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . ‎ ‎【解析】依题意，有，可得‎4c2＋36＝‎4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。‎ 三、解答题 ‎1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ ‎【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。‎ ‎ （I）求得取值范围；‎ ‎ （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．‎ ‎（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．‎ ‎ 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由（I）根据韦达定理有，‎ 则 ‎ ‎ 令，则 下面求的最大值。‎ 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。‎ 下面来处理点的坐标。设点的坐标为：‎ 由三点共线，则得。‎ 以下略。‎ ‎3.（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．‎ ‎ （I）求椭圆的方程；‎ ‎ （II）设点在抛物线：上，在点处 的切线与交于点．当线段的中点与的中 点的横坐标相等时，求的最小值．‎ 解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，‎ 设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；‎ 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．‎ ‎4.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．‎ ‎ （I）求与的值；‎ ‎ （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．‎ 解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得 抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得 ‎（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。‎ 则，当 则。‎ 联立方程，整理得：‎ 即：，解得或 ‎，而，直线斜率为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，联立方程 整理得：，即：‎ ‎ ，解得：，或 ‎，‎ 而抛物线在点N处切线斜率：‎ MN是抛物线的切线，， 整理得 ‎，解得（舍去），或，‎ ‎5.（2009北京文）（本小题共14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值. ‎ ‎【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，解得，‎ ‎ ∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，‎ ‎ 由得（判别式）,‎ ‎ ∴,‎ ‎∵点在圆上，‎ ‎∴，∴.‎ ‎6.（2009北京理）（本小题共14分）‎ 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交 于不同的两点，证明的大小为定值.‎ ‎【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，解得，‎ ‎ ∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得.‎ 由及得，‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，‎ ‎∴，且，‎ 设A、B两点的坐标分别为，‎ 则，‎ ‎∵，且 ‎，‎ ‎.‎ ‎∴ 的大小为.‎ ‎【解法2】（Ⅰ）同解法1.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得.由及得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，‎ ‎∴，设A、B两点的坐标分别为，‎ 则，‎ ‎∴，∴ 的大小为.‎ ‎（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.‎ ‎7.（2009江苏卷）（本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；‎ ‎（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。‎ ‎【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎ ‎ ‎8.(2009山东卷理)（本小题满分14分）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.‎ ‎9. (2009山东卷文)（本小题满分14分）‎ 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.‎ ‎（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;‎ ‎(3)已知,设直线与圆C:(10）与x轴 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.‎ ‎(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；‎ ‎（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 ‎ 解法一：‎ ‎(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.‎ ‎(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.‎ 又AB=2,故在△SAE中,有 ‎ (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上, ‎ ‎(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.‎ 由于点M在以SB为直线的圆上,故.‎ 显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.‎ 由 设点 故,从而.‎ 亦即 由得 由,可得即 经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.‎ 由于点M在以SO为直径的圆上,故.‎ 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为 由 设点,则有 故 由所直线SM的方程为 O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.‎ 故存在,使得O,M,S三点共线.‎ ‎23.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）‎ 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 ‎ ‎(22)解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。 ‎ 因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。‎ 所以椭圆方程为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得 ‎ 设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以 ‎， ‎ ‎。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ‎， ‎ ‎。‎ 所以直线EF的斜率。‎ 即直线EF的斜率为定值，其值为。 　　 ．．．．．．．12分 ‎24.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。‎ （1） 求椭圆C的方程； ‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）‎ 所以椭圆方程为。 ……………4分 ‎（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得 ‎ 设,,因为点在椭圆上，所以 ‎ ‎ ‎ ………8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分 ‎25.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 ‎ 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得 ‎， ‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得 ‎。‎ 整理得，其中。‎ ‎（i）时。化简得 ‎ 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。‎ ‎（ii）时，方程变形为，其中 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。‎ 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；‎ 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；‎ ‎26.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （I） 求双曲线C的方程；‎ ‎(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。‎ 解析：‎ 解法1（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，‎ 所以所以 由 所以曲线的方程是 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为 设 由 将P点的坐标代入 因为 又 所以 记 则 由 又S（1）=2，‎ 当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值 所以面积范围是 解答2（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，‎ 由 所以曲线的方程是.‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为 由题意知 由 由 将P点的坐标代入得 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）‎ ‎=‎ 以下同解答1‎ ‎27.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。‎ ‎（I）求双曲线C的方程； ‎ ‎(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。 ‎ ‎28．（本小题满分14分）‎ 已知双曲线C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 离心率顶点到渐近线的距离为 ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.‎ 解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线 ‎∴‎ 由 得 ∴双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为 设 ‎ 由得P点的坐标为 将P点坐标代入化简得 设∠AOB 又 记 由 当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是 解答二（Ⅰ）同解答一 ‎ （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 由{ 得A点的坐标为 ‎ 由{ 得B点的坐标为 ‎ 由得P点的坐标为 ‎ ‎ 将P点坐标代入 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.‎ ‎ = ‎ 以下同解答一.‎ ‎29.（2009四川卷文）（本小题满分12分） ‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。‎ ‎【解析】（I）由已知得，解得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 所求椭圆的方程为 …………………………………4分 ‎（II）由（I）得、‎ ‎①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得 设、， ‎ ‎∴ ，这与已知相矛盾。‎ ‎②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 设、，‎ 联立，消元得 ‎∴ ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴ ， ‎ 又∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 化简得 解得 ‎∴ ‎ ‎∴ 所求直线的方程为 …………………………………12分 ‎30.（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。‎ ‎（Ⅰ）求r的取值范围 ‎（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。‎ 解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根 ‎∴即。解这个方程组得 ‎.‎ ‎（II） 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由（I）根据韦达定理有，‎ 则 ‎ ‎ 令，则 下面求的最大值。‎ 方法1：由三次均值有：‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 法2：设四个交点的坐标分别为、、、‎ 则直线AC、BD的方程分别为 解得点P的坐标为。‎ 设，由及（Ⅰ）得 ‎ 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积 则将，代入上式，并令，等 ‎，‎ ‎∴，‎ 令得，或（舍去）‎ 当时，；当时；当时，‎ 故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 ‎ ‎31.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）‎ 如图，过抛物线y2＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1 ‎ ‎(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:‎ ‎(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。 ‎ 本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）‎ （1） 证法1：由抛物线的定义得 ‎ ‎ ‎ 2分 如图，设准线l与x的交点为 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 而 即 故 证法2：依题意，焦点为准线l的方程为 设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有 由 得 于是，，‎ ‎，故 ‎（Ⅱ）成立，证明如下：‎ 证法1：设，则由抛物线的定义得 ‎，于是 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 将与代入上式化简可得 ‎ ‎，此式恒成立。‎ 故成立。‎ 证法2：如图，设直线M的倾角为，‎ 则由抛物线的定义得 于是 在和中，由余弦定理可得 由（I）的结论，得 即，得证。‎ ‎32.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1‎ （I） 求椭圆的方程‘‎ （II） 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，‎ ‎（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 ‎ ‎{ 解得a=4,c=3, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以椭圆C的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得 而，故 ①‎ 由点P在椭圆C上得 ‎ 代入①式并化简得 所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. ‎ ‎33.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （Ⅰ）求点P的轨迹C；‎ ‎ （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。‎ ‎ 解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳‎ 由题设 ‎ 当x>2时，由①得 ‎ 化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当时 由①得 ‎ 化简得 ‎ 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1‎ ‎（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），‎ B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.‎ 当点P在上时，由②知 ‎. ④w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当点P在上时，由③知 ‎ ‎ ⑤‎ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为 ‎（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知 ‎∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - ‎ 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)‎ 由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 - ‎ 因为当 ‎ ‎ 当且仅当时，等号成立。‎ ‎（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，‎ ‎ 设直线AF与椭圆的另一交点为E ‎ ‎ ‎ 所以。而点A，E都在上，且 ‎ 有（1）知 ‎ 若直线的斜率不存在，则==3，此时 综上所述，线段MN长度的最大值为 ‎35.（2009天津卷理）（本小题满分14分）‎ ‎ 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。‎ （1） 求椭圆的离心率； ‎ （2） 求直线AB的斜率； ‎ （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 ‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 （I） 解：由//且，得，从而 ‎ 整理，得，故离心率 ‎ （II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 ‎ 设直线AB的方程为，即. ‎ ‎ 由已知设，则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得.‎ 依题意，‎ 而 ①‎ ‎ ② ‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎ ③‎ 联立①③解得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 将代入②中，解得.‎ ‎(III)解法一：由（II）可知 ‎ 当时，得，由已知得.‎ 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得. ‎ 解法二：由（II）可知 当时，得,由已知得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形.‎ ‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为.‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或.‎ 则，所以. ‎ 当时同理可得 ‎ ‎36.（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。‎ 本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）有条件有，解得。 ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。‎ ‎ 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.‎ ‎ 将x=-1代入椭圆方程得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 不妨设、，‎ ‎ .‎ ‎ ,与题设矛盾。‎ ‎ 直线l的斜率存在。‎ ‎ 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。‎ 设、，‎ 联立，消y得。‎ 由根与系数的关系知，从而，‎ 又，，‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 化简得 解得 ‎ ‎37.（2009福建卷文）（本小题满分14分）‎ 已知直线经过椭圆 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭 圆上位于轴上方的动点，直线，与直线 分别交于两点。‎ ‎ （I）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；‎ ‎ （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这 样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由 解法一：‎ ‎（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 ‎ 故椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0‎ 设则得，从而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 即又 由得 故 又 ‎ 当且仅当，即时等号成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 时，线段的长度取最小值 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，‎ ‎ 此时的方程为 ‎ 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。‎ 设直线 则由解得或 ‎ ‎ ‎ ‎38.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。‎ ‎ 已知双曲线设过点的直线l的方向向量 ‎ （1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；‎ （2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。‎ 解：（1）双曲线C的渐近线 直线l的方程………………..6分 ‎ 直线l与m的距离……….8分 ‎ ‎（2）设过原点且平行与l的直线 则直线l与b的距离 当 ‎ 又双曲线C的渐近线为 ‎ 双曲线C的右支在直线b的右下方，‎ 双曲线右支上的任意点到直线的距离为。‎ 故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。‎ ‎[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，‎ 则 由（1）得， ‎ 设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当，0………………………………..13分 将 代入（2）得 （*）‎ 方程（*）不存在正根，即假设不成立 ‎ 故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分 ‎39.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.‎ 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。‎ （1） 求双曲线C的方程； ‎ （2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；‎ （3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.‎ ‎【解】（1）设双曲线的方程为 ‎ ，解额双曲线的方程为 ‎（2）直线，直线 由题意，得，解得 ‎（3）【证法一】设过原点且平行于的直线 则直线与的距离当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又双曲线的渐近线为 ‎ ‎ 双曲线的右支在直线的右下方，‎ ‎ 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。‎ 故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 ‎【证法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，‎ 则 由（1）得 设，‎ 当时，；‎ 将代入（2）得 ‎， ‎ ‎ 方程不存在正根，即假设不成立，‎ 故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎40.（2009重庆卷理）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(20)（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.‎ ‎ 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .‎ ‎ 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,‎ ‎ 从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）如图（20）图，设 ‎ .因为，故 ‎ ①‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 . ②‎ 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点 所以 ‎ 由因为 ，结合①，②得 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故动点P的估计方程为 ‎41.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．‎ ‎（Ⅰ）求该双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由 得 解得 从而，该双曲线的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，‎ 所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而 当在线段CD上时取等号，此时的最小值为 直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故 由方程组 解得 ‎ ‎ 所以点的坐标为； ‎