历年平面向量高考试题汇集

历年平面向量高考试题汇集

高考数学选择题分类汇编 ‎1．【2011课标文数广东卷】已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　) ‎ ‎ A. B . C．1 D．2‎ ‎2．【2011·课标理数广东卷】若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A．0 　　　B. C. 　　　D. ‎ ‎4．【2011大纲文数全国卷】设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎.‎ ‎5．【2011课标文数湖北卷】若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎6．【2011课标理数辽宁卷】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　) A.－1 B．1 C. D．2‎ ‎【解析】 |a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故选B.‎ ‎7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　)‎ A．－12 B．－6 C．6 D．12‎ ‎8．【2011大纲理数1全国卷】设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°， ‎ 则|c|的最大值等于(　　) A．2 B. C. D．1‎ ‎　‎ ‎9．【2011课标理数北京卷】已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.　‎ ‎ 10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a 的坐标为________．‎ ‎【解析】 因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝.‎ ‎【解析】 因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.‎ ‎【解析】 ＋＋＝＋－＝－＝，所以选D.‎ ‎【解析】 2＝(a＋2b)2＝2＋4a·b＋42＝3，则＝，故选B ‎【解析】 因为2a＋b＝＋＝，a－b＝，所以＝3，＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈，所以θ＝.‎ ‎【解析】 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，即10－(k－2)＝0，所以k＝12，故选D.‎ ‎【解析】 设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是＝2，的最大值是2，故选A.‎ ‎【解析】 因为a－2b＝(，3)，由a－2b与c共线，有＝，可得k＝1.‎ ‎【解析】 因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ<0)，所以a＝(2λ，λ)．‎ 由＝2，得＝2⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．‎ ‎11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．‎ ‎12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．‎ ‎ 13．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b 的夹角为________．‎ ‎14．【2011·课标文数福建卷】若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________．‎ ‎15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.‎ ‎16．【2011课标理数江西卷】已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．‎ ‎17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.‎ ‎　‎ ‎18．【2011课标文数全国卷】 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.‎ ‎19．【10安徽文数】设向量,,则下列结论中正确的是 ‎(A) (B) (C) (D)与垂直 ‎20.【10重庆文数】若向量，，，则实数的值为 ‎（A） （B） （C）2 （D）6‎ ‎【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．‎ 设P(0，y)，(0≤y≤h) 则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，‎ ‎∴＝≥＝5.‎ ‎【解析】 由题意得：sinθ＝，∵＝1，≤1，∴sinθ＝≥.‎ 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈.‎ ‎【解析】 设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝.因为0≤θ≤π，故θ＝.‎ ‎【解析】 由已知a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.‎ ‎【解析】 由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，D(0,0)，B，E，故＝，＝，所以·＝－×＝－.‎ ‎【解析】 设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)(a－b)＝－2得 ‎|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝，∴θ＝.‎ ‎【解析】 |e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.‎ ‎【解析】 由题意，得(a＋b)·(ka－b)＝k2－a·b＋ka·b－2＝k＋(k－1)a·b－1‎ ‎＝(k－1)(1＋a·b)＝0，a与b不共线，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1.‎ ‎【解析】，，所以与垂直.‎ ‎【解析】 D ‎21.【10重庆理数】已知向量a，b满足，则 A. 0 B. C. 4 D. 8‎ 解析：‎ ‎22．【10湖南文数】若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为C A. 300 B. ‎600 C. 1200 D. 1500‎ ‎23.【10全国卷理数】中，点在上，平方．若，，，，则（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，选B.‎ ‎24. 【10辽宁文数】平面上三点不共线，设,则的面积等于 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎ ‎ ‎25.【10全国卷】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，‎ ‎= 2, 则=（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b ‎∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ‎ ‎26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（ ）‎ A.若与共线，则 B. ‎ C.对任意的，有 D. ‎ ‎【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而 ‎，所以有，故选项B错误，故选B。‎ ‎27.【10四川理数】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 ‎（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1w_w w. k#s5_u.c o*m 解析：由＝16，得|BC|＝4 ＝4‎ 而 故2‎ ‎28.【10天津文数】如图，在ΔABC中，，，，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎29.【10广东文数）w若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)满足条件 (8－)·=30，则= C A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎30.【10四川文数】设点是线段的中点，点在直线外，， ，则 （A）8 （B）4 （C）2 （D）1‎ 解析：由＝16，得|BC|＝4w_w w. k#s5_u.c o*m ‎＝4而故2‎ 计算题 ‎1．【09广东卷文】已知向量与互相垂直，其中 ‎（1）求和的值 ‎（2）若，,求的值 解 （１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴ ‎ ‎2.【09江苏卷】设向量 ‎ ‎（1）若与垂直，求的值； ‎ ‎（2）求的最大值; ‎ ‎（3）若，求证：∥. ‎ 解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。‎ ‎3.【09湖南卷文】已知向量 ‎（1）若，求的值； ‎ ‎（2）若求的值。 ‎ 解 （1） 因为，所以，故 ‎（2）由知，所以 从而，即，‎ 于是.又由知，，‎ 所以，或.因此，或 ‎ ‎ 4． 【09上海卷】 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，‎ ‎　， .‎ （1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形； ‎ （2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .‎ 证明：（1）‎ 即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形 解（2）由题意可知 由余弦定理可知， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎