高考数学一轮复习共87节273参数方程

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高考数学一轮复习共87节273参数方程

‎27.3 参数方程 ‎【知识网络】‎ ‎1. 参数方程的概念.‎ ‎2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.‎ ‎3.利用曲线的参数方程解决有关问题.‎ ‎【典型例题】‎ 例1.(1)3.将参数方程为参数化为普通方程为(C)‎ A. B. C. D. 提示:将代入即可,但是.‎ ‎(2)参数方程为为参数表示的曲线是(D)‎ A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线 提示:表示一条平行于轴的直线,而,所以表示两条射线 ‎(3)直线为参数和圆交于两点,则的中点坐 标为(D)‎ A.B.C.D. 提示:,得, ‎ 中点为 ‎(4)直线为参数的斜率为______________________. 提示: ‎(5)抛物线(为参数)在轴上截得的弦长为. ‎ 提示:令,得.‎ 当时,;当时,,∴抛物线与轴交于点.‎ 例2.分别在下列两种情况下,把参数方程化为普通方程:‎ ‎(1)为参数,为常数;‎ ‎(2)为参数,为常数;‎ 解:(1)当时,,即;‎ ‎ 当时, ‎ 而,即 ‎(2)当时,,,即;‎ 当时,,,即;‎ 当时,得,即 得 即。‎ 例3.求经过点倾斜角为的直线的参数方程.‎ 解:设点为直线上的任意一点,过点作轴的平行线,过点作轴的平行线,‎ 两直线相交于点.规定直线向上的方向为正方向.‎ 当与同方向或重合时,因,由三角函数定义,‎ 有;‎ 当与反方向时,同时改变符号,上式依然成立.‎ 设,取为参数, ∵,‎ ‎∴, 即,‎ ‎∴直线的参数方程为.‎ 例4.已知点是圆上的动点,‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)若恒成立,求实数的取值范围。‎ 解:(1)设圆的参数方程为,‎ ‎∵ ‎∴,即的取值范围为.‎ ‎(2) ‎∴,‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【课内练习】‎ ‎1.与参数方程为为参数等价的普通方程为(D)‎ A.B. C.D. 提示:而得 ‎2.若曲线的参数方程为(为参数),则曲线上的点的轨迹是(D)‎ A.直线B.以为端点的射线 ‎ C.圆D.以和为端点的线段 提示:将曲线的参数方程化为普通方程得 ‎3.曲线为参数与坐标轴的交点是(B)‎ A. B. C.D. 提示:令,得,此时,∴曲线与轴的交点为;‎ 令,得,此时, 曲线与轴的交点为.‎ ‎4.直线为参数被圆所截得的弦长为(C)‎ A.B.C. D. 提示:,把直线代入 得 ,弦长为 ‎5.直线为参数恒过定点_____________. 提示:将参数方程化为乭方程得,当且时,此方程对于任 何都成立,所以直线恒过定点.‎ ‎6.直线为参数被圆截得的弦长为______________. 提示:直线为,圆心到直线的距离,‎ 弦长的一半为,得弦长为.‎ ‎7.已知曲线为参数,为正常数上的两点对应的参数分别为和,且,那么=_______________. 提示:参数方程表示的曲线为抛物线,线段垂直于抛物线的对称轴,‎ ‎∴ ‎8.选取适当参数,把直线方程化为参数方程.‎ 解:选,则, 由此得直线的参数方程为.‎ 也可选,则, 由此得直线的参数方程为.‎ 可见,曲线的参数方程随参数选取的不同而不同,同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.‎ ‎9.已知弹道曲线的参数方程为.‎ ‎(1)求发射角时,弹道曲线的普通方程和射程;‎ ‎(2)设是定值,可以变动,求证:当时射程最大.‎ 解:(1)发射角时,弹道曲线的参数方程为,‎ 由,得, 代入并化简,得.‎ 令,得或,可知射程为.‎ ‎∴弹道曲线的普通方程为,射程为.‎ ‎(2)证明:由弹道曲线的参数方程消去,‎ 得到它的普通方程为,由(1)知,射程为, ‎ ‎∵, ∴,∴当时射程最大,为.‎ ‎10.在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离的最小值.‎ 解:设椭圆的参数方程为, ‎ 当,即时,,此时所求点为.‎ 作业本 ‎1.把方程化为以参数的参数方程是(D)‎ A.B.C.D. 提示:,可取一切非零实数,而A,B,C中的都取不到一切非零实数.‎ ‎2.直线:与圆:(其中为参数)的位置关系是(D)‎ A.相切 B.相离C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 提示:圆的普通方程为,圆心到直线的距离为 .‎ ‎3.椭圆(为参数)的焦距为(B)‎ A. B.‎2‎C.D.2 提示:椭圆的普通方程为,‎ 椭圆可通过平移将其方程化为,.‎ ‎4.直线的参数方程为为参数,上的点对应的参数是,则点与 之间的距离是. 提示:距离为.‎ ‎5.直线与圆相切,则_______________. ,或 提示:直线为,圆为,圆心为,‎ 由, ∴或,‎ ‎∴或.‎ ‎6.动点作等速直线运动,它在轴和轴方向的分速度分别为和,运动开始时,点 位于,求点的轨迹的参数方程.‎ 解:设动点运动的时间为,点的坐标为,‎ 由题设知,,‎ ‎∴点的轨迹的参数方程为().‎ ‎7.设直线的参数方程为,求直线被圆截得的弦长.‎ 解:把直线的参数方程代入圆的方程,得,得, ∴或,‎ 分别代入直线方程,得, ∴直线与圆的交点为和,‎ ,即直线被圆所截得的弦长为.‎ ‎8.设直线,椭圆.求椭圆到直线的最小距离(即椭圆 上任意一点到直线的距离的最小值).‎ 解:把椭圆方程化为参数方程为参数,则椭圆上任意一点为 ,它到直线的距离为,‎ ‎∴, ∴椭圆到直线的最小距离为.‎
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