高考数学专题讲座高频考点分析之选修系列探讨

高考数学专题讲座高频考点分析之选修系列探讨

【备战 2014 高考数学专题讲座】 第 28 讲：高频考点分析之选修系列探讨 1～2 讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8 讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12 讲对数 学解题方法进行了探讨，第 13 讲～第 28 讲我们对高频考点进行探讨。 结合 2012 年全国各地高考的实例，我们从以下四方面探讨选修系列问题的求解： 1. 几何证明； 2. 矩阵与变换； 3. 极坐标与参数方程； 4. 不等式。 一、几何证明： 典型例题： 例 1. （2012 年广东省理 5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A、B、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过 点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交 P，则 PA=　　▲　　。 【答案】 。 【考点】切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。 【解析】连接 OA，则由 AP 是圆 O 的切线得 OA⊥AP。 ∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∠APO=30°。 ∴ ， 。 例 2. （2012 年湖北省理 5 分）如图，点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动，AB=4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂 线交⊙O 于点 C，则 CD 的最大值为 ▲ 。 3 tan 3PAAOC OAÐ = = 3PA = 【答案】2。 【考点】动点问题，勾股定理，垂线段的性质，垂径定理。 【解析】连接 ， ∵ ，∴ 。 ∵线段 长为定值（圆的半径）， ∴要使 最大，即要 最小。 根据垂直线段最短的性质和垂径定理， 当点 为 的中点，即点 与点 重合时 最小。 ∴CD 的最大值为 。 例 3. （2012 年湖南省理 5 分）如图，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A，B 两点.若 PA=1，AB=2，PO=3，则 圆 O 的半径等于 ▲ . 【答案】 。 【考点】割线定理。 【解析】如图，设 交圆 O 于 C，D，设圆的半径为 ，由割线定理得 ，即 ， 解得， 。 例 4. （2012 年陕西省理 5 分）如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E， ，垂足为 OC OD CD⊥ 2 2=CD OC OD− OC CD OD D AB C B OD 1= 22CD AB = 6 PO r PA PB PC PD⋅ = ⋅ 1 (1 2) (3 )(3 )r r× + = +− 6r = EF DB⊥ F，若 ， ，则 ▲ 【答案】5。 【考点】垂径定理，相交弦定理，射影定理。 【解析】∵ ， ，∴ 。 　　　　∵直径 AB 与弦 CD 垂直，∴根据垂径定理，得 DE=CE。 ∴根据相交弦定理，得 ，即 。 在 中，根据射影定理，得 。 例 5. （2012 年天津市文 5 分）如图，已知 和 是圆的两条弦，过点 作圆的切线与 的延长线 相交于 .过点 作 的平行线与圆交于点 ,与 相交于点 , , , ,则线段 的长为 ▲ 【答案】 。 【考点】与圆有关的比例线段。 【分析】如图，连接 ，则∠1=∠2，∠2=∠ 。 ∵ ，∠ =∠ ，∴ ∽ 。∴ 。 代入数值得 =2， =4。 又由平行线等分线段定理得 ，解得 = 。 例 6. （2012 年广东省文 5 分）（几何证明选讲选做题）如图，直线 PB 与圆 相切与点 B，D 是弦 AC 上 的点， ，若 ，则 AB= ▲ ． 6AB = 1AE = DF DB⋅ = 6AB = 1AE = 5BE = 2 5DE AE EB= ⋅ = 5DE = Rt DEBD 2 5DF DB DE⋅ = = AB AC B AC D C BD E AB F 3AF = 1FB = 3 2EF = CD 3 4 ,BC BE A 1A∠ = ∠ B B CBF∆ ABC∆ ,CB BF CB CF AB BC AB AC = = BC AC FB AF CD AC = CD 3 4 O DBAPBA ∠=∠ ,AD m AC n= = 【答案】 。 【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。 【解析】由弦切角定理知: , 又∵ ，∴ 。 又∵ ，∴ 。∴ ,解得 AB= 。 例 7. （2012 年全国课标卷理 10 分）如图， 分别为 边 的中点，直线 交 的 外接圆于 两点，若 ，证明：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 （1） ；（2） 【答案】证明：（1）连接 AF， ∵ 分别为 边 的中点， ∴ 。 又∵ ，∴四边形 是平行四边形。 ∴ 。∴ 。 ∴四边形 是平行四边形。∴ 。 又由 和圆的对称性，得四边形 是等腰梯形，∴ 。 ∴ 。 mn PBA ACB∠ = ∠ DBAPBA ∠=∠ DBA ACB∠ = ∠ A A∠ = ∠ ABD ACB∆ ∆∽ m AB AB n = mn ,D E ABC∆ ,AB AC DE ABC∆ ,F G / /CF AB CD BC= BCD GBD∆ ∆∽ ,D E ABC∆ ,AB AC / /DE BC / /CF AB BCFD CF BD CF DA DCFA CD FA= / /CF AB DCFA BC AF= CD BC= CB FED G A （2）∵ ，∴四边形 是等腰梯形。∴ 。 又∵ = ，∴ 。∴ 。 又∵ ， ，∴ 。 又∵ （同弧所对圆周角相等），∴ 。 ∴ 。 【考点】平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆的对称性，等腰梯形的性质，平行的性质，圆 周角定理，相似三角形的判定。 【解析】（1）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质，经过等量代换可证。 （2）根据相似三角形的判定定理，由 和 可证。 例 8. （2012 年辽宁省理 10 分）如图，⊙O 和⊙ 相交于 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C， D 两点，连接 DB 并延长交⊙O 于点 E。证明 (Ⅰ) ； (Ⅱ) 。 【答案】证明：（I）∵AC 与⊙O'相切于点 A，∴ 。 同理可得 。∴ 。∴ 。 ∴ 。 （II）∵AD 与⊙O 相切于点 A，∴ 。 又∵ ，∴ 。∴ 。∴ 。 由（I）的结论 可得 。 【考点】圆的基本性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质。 【解析】（I）利用圆的切线的性质得 ，从而有 ，根据相 似三角形对应线段成比例得 ，由此得到所证。 / /DE BC BCFG CF BG= CF BD BD BG= CD CB BD BG = / /DE BC / /AF DC BCD CDF AFD∠ = ∠ = ∠ AFD GBD∠ = ∠ BCD∠ = GBD∠ BCD GBD∆ ∆∽ CD CB BD BG = BCD∠ = GBD∠ /O ,A B AC BD AD AB⋅ = ⋅ AC AE= CAB ADB∠ = ∠ ACB DAB∠ = ∠ ACB DAB∆ ∆∽ AC AB AD BD = AC BD AD AB⋅ = ⋅ AED BAD∠ = ∠ ADE BDA∠ = ∠ EAD ABD∆ ∆∽ AE AB AD BD = AE BD AD AB⋅ = ⋅ AC BD AD AB⋅ = ⋅ AC AE= CAB ADB ACB DAB∠ = ∠ ∠ = ∠， ACB DAB∆ ∆∽ AC AB AD BD = （II）利用圆的切线的性质得 ，又 ，可得 ，根据相 似三角形对应线段成比例得 ，即 ，再结合（I）的结论 可 得 。 例 9. （2012 年江苏省 10 分）如图， 是圆 的直径， 为圆上位于 异侧的两点，连结 并延 长至点 ，使 ，连结 ． 求证： ． 【答案】证明：连接 。 ∵ 是圆 的直径，∴ （直径所对的圆周角是直角）。 ∴ （垂直的定义）。 又∵ ，∴ 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）。 ∴ （线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 ∴ （等腰三角形等边对等角的性质）。 又∵ 为圆上位于 异侧的两点， ∴ （同弧所对圆周角相等）。 ∴ （等量代换）。 【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。 【解析】要证 ，就得找一个中间量代换，一方面考虑到 是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由 是圆 的直径和 可知 是线段 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段 两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 。从而得证。 本题还可连接 ，利用三角形中位线来求证 。 例 10. （2012 年北京市理 5 分）如图. ∠ACB=90º。CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E. 则【 】 A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ² AED BAD∠ = ∠ ADE BDA∠ = ∠ EAD ABD∆ ∆∽ AE AB AD BD = AE BD AD AB⋅ = ⋅ AC BD AD AB⋅ = ⋅ AC AE= AB O ,D E AB BD C BD DC= , ,AC AE DE E C∠ = ∠ AD AB O 090ADB∠ = AD BD⊥ BD DC= AD BC AB AC= B C∠ = ∠ ,D E AB B E∠ = ∠ E C∠ = ∠ E C∠ = ∠ B E∠ ∠和 AB O BD DC= AD BC B C∠ = ∠ OD B C∠ = ∠ 【答案】C。 【考点】射影定理。 【解析】由射影定理可得 AD·AB=CD ²。故选 C。 二、矩阵与变换： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例 1. （2012 年上海市理 4 分）函数 的值域是 ▲ . 【答案】 。 【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。 【解析】 ， ∵ ，∴ 。 例 2. （2012 年福建省理 7 分）设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩阵 A＝(a b　0 1 )(a＞0)对应的变换作用下得到的 曲线为 x2＋y2＝1. （Ⅰ）求实数 a，b 的值； （Ⅱ）求 A2 的逆矩阵． 【答案】解：（Ⅰ）设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 上任意点 P(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 P′(x′，y′)。 由(x′ y′ )＝(a b　0 1 )(x y )＝( ax bx＋y)，得 。 又点 P′(x′，y′)在 x2＋y2＝1 上，所以 x′2＋y′2＝1，即 a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1。 依题意得 解得 或 。 因为 a＞0，所以 。     −− 2 3,2 5 12sin1 ≤≤− x 2 3)(2 5 −≤≤− xf 1sin cos2)( −= x xxf ( ) 2 cos 1= =sin cos 2= sin 2 2sin 1 2 xf x x x xx − − - '= '= + x ax y bx y    2 2+ =2 2 =2 a b b    =1 =1 a b    = 1 =1 a b −   =1 =1 a b    （Ⅱ）由(1)知，A＝(1 1　0 1 )，A2＝(1 1　0 1 )(1 1　0 1 )＝(1 2　0 1 )， 所以|A2|＝1，(A2)－1＝( 1 －2　0 1)。 【考点】逆变换与逆矩阵，几种特殊的矩阵变换。 【解析】（Ⅰ）确定点在矩阵 A＝(a b　0 1 )(a＞0)对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的 方程，即可求得矩阵 A。 （Ⅱ）先计算 A2，即可得到 A2 的逆矩阵。 例 3. （2012 年江苏省 10 分）已知矩阵 的逆矩阵 ，求矩阵 的特征值． 【答案】解：∵ ，∴ 。 ∵ ，∴ 。 ∴矩阵 的特征多项式为 。 令 ，解得矩阵 的特征值 。 【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。 【解析】由矩阵 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵 ，从而求出矩阵 的特征值。 例 4. （2012 年上海市文 4 分）函数 的最小正周期是 ▲ 【答案】 。 【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。 【解析】∵ , ∴函数 的最小正周期是 。 三、极坐标与参数方程： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 A 1 1 3 4 4 1 1 2 2 −  −  =    −   A A 1−A A = E ( ) 11 −−A = A 1 1 3 4 4 1 1 2 2 −  −  =    −   A ( ) 11 2 3 2 1 −−  =   A = A A ( ) 22 3= = 3 42 1 f λλ λ λλ − −  − − − −  ( )=0f λ A 1 2= 1 =4λ λ− ， A A A sin 2( ) 1 cos xf x x = − π sin 2 1( ) sin cos 2 sin 2 21 cos 2 xf x x x xx = = + = +− sin 2( ) 1 cos xf x x = − 2 2 π π= 例 1. （2012 年上海市理 4 分）如图，在极坐标系中，过点 的直线 与极轴的夹角 ，若将 的极坐标方程写成 的形式，则 ▲ . 【答案】 【考点】点斜式直线方程的应用，直角坐标与极坐标互化。 【解析】∵该直线过点 ，与极轴的夹角 ， ∴该直线的直角坐标方程为： ，即 。 根据直角坐标与极坐标的关系， ，代入上式，得 ， ∴ 。 例 2. （2012 年北京市理 5 分）直线 (t 为参数)与曲线 (“α 为参数)的交点个数为 ▲ 【答案】2。 【考点】参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。 【解析】将参数方程化为直角坐标方程： 将直线方程的两式相加，得 ： 将曲线方程的两边平方后相加，得 ，它是圆心在（0，0）， 半径为 3 的圆。 )0,2(M l 6 πα = l )(θρ f= =)(θf )6sin( 1 θπ − )0,2(M 6 πα = ( ) ( )sin 6= tan 2 = 2 cos 6 y x x π α π− − sin cos =16 6x y π π− = cos = sinx yρ θ ρ θ， cos sin sin cos =1 cos sin sin cos =1 sin =16 6 6 6 6 π π π π πρ θ ρ θ ρ θ θ ρ θ   − ⇒ − ⇒ −       1= sin 6 ρ π θ −   x=2 t y= 1 t +  − − x=3cos y=3sin α α    x y 1=0+ − 2 2x y =9+ 由点到直线的距离公式，得圆心（0，0）到直线 的距离为 ，它小于圆 的半径。 ∴直线与圆相交，有两个交点。 【也可用一元二次方程根的判别式求解】 例 3. （2012 年天津市理 5 分）己知抛物线的参数方程为 （ 为参数），其中 ，焦点为 ， 准线为 ，过抛物线上一点 作的垂线，垂足为 ，若 ，点 的横坐标是 3，则 ▲ . 【答案】2。 【考点】参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质。 【分析】∵ ，可得抛物线的标准方程为 ，∴焦点 。 ∵ 点 的 横 坐 标 是 3 ， 则 ， ∴ 点 ， 。 由抛物线的几何性质得 。 ∵ ，∴ ，解得 。 例 4. （2012 年安徽省理 5 分）在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是 ▲ 【答案】 。 【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。 【解析】将 化为直角坐标方程： ，其圆心坐标为 。将 化 为直角坐标方程： 。 ∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线 的距离是 。 例 5. （ 2012 年 广 东 省 理 5 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为 和 ，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为　　▲　　。 【答案】（1,1）。 x y 1=0+ − 2 2 0 0 1 2= 21 1 + − + 2=2 , =2 , x pt y pt    t >0p F l M E | |=| |EF MF M =p 2=2 =2 x pt y pt    2 =2y px ( >0)p ( ,0)2 pF M (3, 6 )M p± ( , 6 )2 pE p− ± 2 2 2=( + ) +(0 6 )2 2 p pEF p = +32 pMF | |=| |EF MF 2 21+6 = +3 +94p p p p =2p 4sinρ θ= ( )6 R πθ ρ= ∈ 3 4sinρ θ= 2 2( 2) 4x y+ − = (0,2) ( )6 R πθ ρ= ∈ 3 0x y− = ( )6 R πθ ρ= ∈ 0 2 3 32 − = ( ) x t t y t = = 为参数 2 cos ( ) 2 sin x y θ θ θ  = = 为参数 【考点】参数方程。 【解析】曲线 C1 的普通方程为： ；曲线 C2 的普通方程为： 。 解 得 。 ∴曲线 C1 与 C2 的交点坐标为（1,1）。 例 6. （2012 年江西省理 5 分）曲线 的直角坐标方程为 ，以原点为极点， 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，则曲线 的极坐标方程为 ▲ 。 【答案】 。 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，转化与化归的数学思想的应用。 【解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 得 ， 又∵ ，∴ 。 例 7. （2012 年湖北省理 5 分）（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 与曲线 （t 为参数）相较于 A，B 来两点， 则线段 AB 的中点的直角坐标为 ▲ 。 【答案】 。 【考点】极坐标方程，参数方程，曲线的交点。 【解析】射线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 。 联立方程解得 。∴线段 AB 的中点的直角坐标为 。 例 8. （2012 年湖南省理 5 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 ： (t 为参数)与曲线 ： ( 为参数， ) 有一个公共点在 X 轴上，则 ▲ . 2 ( 0)x y x= ³ 2 2 2x y+ = 2 2 2 ( 0) 2 x y x x y ìï = ³ïíï + =ïî 1 1 x y ì =ïïíï =ïî C 2 2 2 0x y x+ − = x C 2cosρ θ= cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 22 2 cosx y x ρ ρ θ+ − = − 0= 0ρ > 2cosρ θ= xoy O x = 4 πθ ( )2 = +1 = -1 x t y t   5 5,2 2      = 4 πθ ( )= 0y x x ≥ ( )2 = +1 = 1 x t y t −   ( )2= 2y x − =1 =4,=1 =4 x x y y       5 5,2 2      1C 1 1 2 x t y t = +  = − 2C sin 3cos x a y θ θ =  = θ 0a > a = 【答案】 。 【考点】直线的参数方程、椭圆的参数方程。 【解析】将曲线 与曲线 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 轴交点，即可求得： 曲线 ： 直角坐标方程为 ，与 轴交点为 ； 曲线 ： 直角坐标方程为 ，其与 轴交点为 。 由 ，曲线 与曲线 有一个公共点在 X 轴上，知 。 例 9. （2012 年陕西省理 5 分）直线 与圆 相交的弦长为 ▲ . 【答案】 。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。 【解析】将极坐标方程化为普通方程为 与 ，联立方程组成方程组求出两交点的坐标 和 ，故弦长等于 。 例 10. （2012 年全国课标卷理 10 分） 已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为 （1）求点 的直角坐标； （2）设 为 上任意一点，求 的取值范围。 【答案】解：（1）∵正方形 的顶点都在 ： 上， ∴点 的极坐标为 。 ∴点 的直角坐标为： ， 3 2 1C 2C x 1C 1 1 2 x t y t = +  = − 3 2y x= − x 3( ,0)2 2C sin 3cos x a y θ θ =  = 2 2 2 19 x y a + = x ( ,0),( ,0)a a− 0a > 1C 2C 3 2a = 2 cos 1ρ θ = 2cosρ θ= 3 1 2x = 2 2 2x y x+ = 1 3( , )2 2 1 3( , )2 2- 3 1C )(3siny 2cosx 为参数ϕϕ ϕ    = = x 2C 2=ρ ABCD 2C , , ,A B C D A (2, )3 π , , ,A B C D P 1C 2 2 2 2PA PB PC PD+ + + ABCD 2C 2=ρ , , ,A B C D 5 4 11(2, ),(2, ),(2, ),(2, )3 6 3 6 π π π π , , ,A B C D 5 5 4 4 11 112cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin3 3 6 6 3 3 6 6 π π π π π π π π                      ， ， ， ， ， ， ， 即 。 （2）设 ，则 。 ∵ ， ， ， ， ∴ 。 ∵ ， ∴ 的取值范围 。 【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。 【解析】（1）由正方形的性质，首先求得 的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。 （2）根据两点间距离公式，求出 的表达式即可求出其取值范围。 例 11. （2012 年福建省理 7 分）选修 4－4：（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 上两点 M，N 的极坐标分别为(2,0)，(2 3 3 ，π 2)，圆 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)． （Ⅰ）设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线 l 与圆 C 的位置关系． 【答案】解：（Ⅰ）由题意知，M，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，2 3 3 )， 又 P 为线段 MN 的中点，从而点 P 的平面直角坐标为(1， 3 3 )， 故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y＝ 3 3 x。 （Ⅱ）因为直线 l 上两点 M，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，2 3 3 )， 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x＋3y－2 3＝0。 又圆 C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径 r＝2， (1, 3),( 3,1),( 1, 3),( 3, 1)− − − − 0 0( , )P x y 0 0 2cos ( )3sin x y ϕ ϕϕ =  = 为参数 ( ) ( )22 2 2 2= 1 2cos 3 3sin =4 4cos 9sin 4cos 6 3sinPA ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− + − + + − − ( ) ( )22 2 2 2= 3 2cos 1 3sin =4 4cos 9sin 4 3 cos 6sinPB ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − + − + + + − ( ) ( )22 2 2 2= 1 2cos 3 3sin =4 4cos 9sin 4cos 6 3sinPC ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − + − − + + + + ( ) ( )22 2 2 2= 3 2cos 1 3sin =4 4cos 9sin 4 3 cos 6sinPD ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− + − − + + − + 2 2 2 2 2 2 216 16cos 36sin =32 20sinPA PB PC PD ϕ ϕ ϕ+ + + = + + + 20 sin 1ϕ≤ ≤ 2 2 2 2PA PB PC PD+ + + [32,52] , , ,A B C D 2 2 2 2PA PB PC PD+ + + 圆心到直线 l 的距离 d＝|2 3－3 3－2 3| 3＋9 ＝3 2＜r，故直线 l 与圆 C 相交。 【考点】极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离，直线和圆的位置关系。 【解析】（Ⅰ）求出点 P 的平面直角坐标，即可求出直线 OP 的平面直角坐标方程。 （Ⅱ）求出直线 l 的平面直角坐标方程和圆心坐标、半径，将圆心到直线 l 的距离与半径比较即可。 例 12. （2012 年辽宁省理 10 分）在直角坐标 中，圆 ，圆 。 (Ⅰ)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 的极坐标方程，并求出圆 的交点坐标(用极坐标表示)；【版权归锦元数学工作室，不得转载】 (Ⅱ)求出 的公共弦的参数方程。 【答案】解：（I）由 ，以及 可知： 圆 的极坐标方程为 =2； 圆 即 的极坐标方程为 。 解 得 。 ∴圆 的交点坐标为 。 （II）由 和圆 的交点坐标 得圆 交点的直角坐标为 。 故圆 的公共弦的参数方程为 （ ）。 【考点】直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成。 【解析】（I）利用 ，以及 ，直接写出圆 ， 的极坐标方程，求出圆 ， 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）。 （II）求出两个圆交点的直角坐标，直接写出圆 与 的公共弦的参数方程。 xOy 2 2 1 : 4C x y+ = 2 2 2 :( 2) 4C x y− + = 1 2,C C 1 2,C C 1 2C C与 x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 2x y ρ+ = 2 2 1 : 4C x y+ = ρ 2 2 2 :( 2) 4C x y− + = 2 2 4x y x+ = 4cosρ θ= 2 4cos ρ ρ θ =  = 2 3 πρ θ= = ±， 1 2,C C 2 23 3 π π   −      ， ， ， x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 1 2,C C 2 23 3 π π   −      ， ， ， 1 2,C C ( ) ( )1 3 1 3−， ， ， 1 2,C C 1 x y t =  = 3 3t− ≤ ≤ x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 2x y ρ+ = 1C 2C 1C 2C 1C 2C 例 13. （2012 年江苏省 10 分）在极坐标中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求圆 的极坐标方程． 【答案】解：∵圆 圆心为直线 与极轴的交点， ∴在 中令 ，得 。 ∴圆 的圆心坐标为（1，0）。 ∵圆 经过点 ，∴圆 的半径为 。 ∴圆 经过极点。∴圆 的极坐标方程为 。 【考点】直线和圆的极坐标方程。 【解析】根据圆 圆心为直线 与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆 经过点 求出圆 的半径。从而得到圆 的极坐标方程。 例14. （2012年广东省文5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 中，曲线 和曲线 的 参数方程分别为 （ 为参数， ）和 （ 为参数），则曲线 和曲线 的交点坐标为 ▲ ． 【答案】（2，1）。 【考点】参数方程，曲线上点的坐标与方程的关系，同角三角函数关系式。 【解析】由 （ 为参数， ）两式平方后相加，得 ； C ( )2 4P π， 3sin 3 2 ρ θ π − = −   C C 3sin 3 2 ρ θ π − = −   3sin 3 2 ρ θ π − = −   =0θ 1ρ = C C ( )2 4P π， C ( )2 22 1 2 1 2 cos =14PC π= + − × × C C =2cosρ θ C 3sin 3 2 ρ θ π − = −   C ( )2 4P π， C C xoy 1C 2C    = = θ θ sin5 cos5 y x θ 20 πθ ≤≤       −= −= 2 2 2 21 ty tx t 1C 2C    = = θ θ sin5 cos5 y x θ 20 πθ ≤≤ ( )2 2+ =5 0 0x y x y≥ ≥， 由 两式相减，得 。 二者联立，得 ，解得 或 。 ∵ ，∴ 舍去。 ∴曲线 和曲线 的交点坐标为（2，1）。 例 15. （2012 年湖南省文 5 分）在极坐标系中，曲线 ： 与曲线 ： 的一个交点在极轴上，则 a=　　▲　　. 【答案】 。 【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。 【解析】曲线 的直角坐标方程是 ，曲线 的普通方程是直角坐标方程 ， ∵曲线 C1： 与曲线 C2： 的一个交点在极轴上， ∴ 与 轴交点横坐标与 值相等。 由 ，知 ＝ 。 四、不等式： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例 1. （2012 年广东省理 5 分）不等式 的解集为　　▲　　。 【答案】 。 【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式。 【解析】分类讨论：由不等式 得， 　　　　当 时，不等式为 ，即 恒成立；       −= −= 2 2 2 21 ty tx 1x y− = 2 2+ =5 1 x y x y   − = =2 1 x y   = = 1 2 x y −  = − 0 0x y≥ ≥， = 1 2 x y −  = − 1C 2C 1C ( 2 cos sin ) 1ρ θ θ+ = 2C aρ = ( 0)a > 2 2 1C 2 1x y+ = 2C 2 2 2x y a+ = ( 2 cos sin ) 1ρ θ θ+ = aρ = ( 0)a > 1C x a 20, 2y x= = a 2 2 2 1x x+ − ≤ 1 2x £- 2 1x x+ − ≤ 2x £- ( ) ( )2 1x x− + − − ≤ 2 1- £ 　　　　当 时，不等式为 ，解得， ； 当 时，不等式为 ，即 不成立。 综上所述，不等式 的解集为 。 　　　　另解：用图象法求解：作出图象，由折点——参考点——连线；运用相似三角形性质可得。 例 2. （2012 年上海市理 4 分）．若集合 ， ，则 = ▲ . 【答案】 。 【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。 【解析】由题意，得 ，∴ 。 例 3. （ 2012 年 天 津 市 理 5 分 ） 已知集合 ，集合 ,且 ，则 ▲ , ▲ . 【答案】 ， 。 【考点】集合的交集的运算及其运算性质，绝对值不等式与一元二次不等式的解法 【分析】由题意，可先化简 集合，再由 集合的形式及 直接作出判断，即可得出两个参 2 0x- < £ 2 2 1x+ £ 12 2x- < £- 0x > ( )2 1x x+ − ≤ 2 1£ 2 1x x+ − ≤ 1 2x £- }012|{ >+= xxA }21|{ <−= xxB BA  1 , 32  −    12 1 0 1 321 2 21 3 x > x > < x 1 4x x  >    ( ) 2 1 2 1f x x x= + − − ( )f x 13,( )2 14 1,( 1)2 3,( 1) x x x x  − < − = − − ≤ ≤  >  ( )f x 0> 1 4x x  >    ( ) 2f x x a x= + + − 3a = − ( ) 3f x ≥ ( ) 4f x x≤ − [1,2] a 3a = − ( ) 3f x ≥ 3 2 3x x− + − ≥ 2 3 2 3 x x x ≤  − + − ≥ 2 3 3 2 3 x x x < <  − + − ≥ 3 3 2 3 x x x ≥  − + − ≥ 1x ≤ 4x ≥ ( ) 4f x x≤ − [1,2] 2 4x a x x+ + − ≤ − [1,2] 2 2x a x− − ≤ ≤ − [1,2] 3 0a− ≤ ≤ ( ) 4f x x≤ − a ( ) | 1| ( )f x ax a R= + ∈ ( ) 3f x  { | 2x − x 1x | ( ) 2 ( ) |2 xf x f k−  【答案】解：（I）由 得 。 又∵不等式 的解集为 ｝， ∴当 时，不合题意； 当 时， ，得 。 (Ⅱ)由（I）得 。记 。 ∴ 。∴ 。 【考点】分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，分类讨论思想的应用。 【解析】（I）针对 的取值情况进行讨论即可。 (Ⅱ) 针对 的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出 k 的取值范围。 例 11.（2012 年江苏省 10 分）已知实数 x，y 满足： 求证： ． 【答案】证明：∵ ， 由题设 ∴ 。∴ 。 【考点】绝对值不等式的基本知识。 【解析】根据绝对值不等式的性质求证。 ( ) 3f x  24 ax− ≤ ≤ ( ) 3f x  { | 2x − x 1x 0a ≤ 0a > 24 xa a − ≤ ≤ =2a ( ) | 2 1|f x x= + ( ) 1 1 1= ( ) 2 ( )= 4 3 12 2 11 2 x xh x f x f x < x < x   ≤ − − − − − −  − ≥ − ， ， ， ( ) 1h x ≤ 1k ≥ a )2(2)( xfxf − 1 1| | | 2 |3 6x y x y+ < − <， ， 5| | 18y < ( ) ( )3| | =| 3 | = | 2 2 | 2 2y y x y x y x y x y+ + − ≤ + + − 1 1| | | 2 |3 6x y x y+ < − <， ， 1 1 53| | =3 6 6y < + 5| | 18y <