哈尔滨工大学附中高考数学一轮复习空间几何体单元练习

哈尔滨工大学附中高考数学一轮复习空间几何体单元练习

哈尔滨工程大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2．正四面体的各条棱比为，点在棱上移动，点在棱上移动，则点和点的最短距离是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎4．过△AB所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA、PB、PC且PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的( )‎ A．内心 B．外心 C．垂心 D． 垂心 ‎【答案】C ‎5．已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎6．如图是一个几何体的三视图，其正视图和侧视图是两个全等的等腰梯形，上底边长为2，下底边长为6，腰长为5，则该几何体的侧面积为( )‎ A．10 B．20 C．30 D．40 ‎ ‎【答案】B ‎7．已知空间直角坐标系中且，则B点坐标为( )‎ A．（9,1,4） B．（9,－1，－4）‎ C．（8,－1，－4） D．（8,1,4）‎ ‎【答案】A ‎8．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎9．已知A(1,－2,3)，B(4,－4,－3)，则向量在向量＝(6,2,3)的方向上的投影是( )‎ A．－ B．－ C． D． ‎【答案】B ‎10．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）‎ A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 ‎【答案】B ‎11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于，点E、F分别是边BC、AD的中点，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎12．下列说法中正确的是( )‎ ‎①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；‎ ‎③圆心和圆上两点可以确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面。‎ A．①③④ B. ②③④ C.①②④ D. ①②③‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 ‎ ‎【答案】13‎ ‎14．如图,正方体中,,点为的中点,点在上,若 平面,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎15．点关于平面的对称点的坐标是 ‎ ‎【答案】(1,1,2 )‎ ‎16．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共 面，则实数λ等于 ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO. ‎ ‎(1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；‎ ‎(2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.‎ ‎【答案】(1)不妨设正方体的棱长为1，以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，‎ E， ‎ 于是，.‎ 由cos＝＝.‎ 所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.‎ ‎(2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0‎ 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .‎ 由D1E＝λEO，则E，=.‎ 又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.‎ 得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .‎ 因为平面CDE⊥平面CD‎1F，所以m·n＝0，得λ＝2．‎ ‎18．如图，已知平面，，△是正三角形，，且是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小。‎ ‎【答案】（1）取CE中点P，连结FP、BP，‎ ‎∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=‎ 又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，‎ ‎∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。 ‎ 又∵AF平面BCE，BP平面BCE，‎ ‎∴AF//平面BCE。 ‎ ‎ (2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE//AB，‎ ‎∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，‎ ‎∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，‎ ‎∴AF⊥平面CDE。 ‎ 又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE。‎ ‎ (3）法一、由（2），以F为坐标原点，‎ FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），‎ 建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，‎ 则C（0，—1，0），-‎ ‎ ‎ 显然，为平面ACD的法向量。‎ 设面BCE与面ACD所成锐二面角为 则.‎ 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.‎ 法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO．‎ 则．‎ 由ＡＢ是的中位线，则．‎ 在， ．‎ ‎，又．‎ ‎．‎ 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.‎ ‎19．如图，三棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD ‎ ‎ ‎(1）求证：EF//平面PAD；‎ ‎ (2）求三棱锥C—PBD的体积．‎ ‎【答案】（1）证明：连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点 ‎ ‎ 故在 ‎ ‎ 且 ‎ ‎ (2）取AD的中点M，连结PM，‎ ‎ ‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴PM⊥平面ABCD，‎ ‎20．正三棱柱中, ,是中点,且 ‎(Ⅰ）求侧棱的长；‎ ‎(Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）取中点,可证明平面所以 ‎。所以 ‎ ‎(Ⅱ）过做,垂足为.过做垂足为.‎ 连接则为所求. ‎ 余弦值为 ‎21．如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点. ‎ ‎(1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；‎ ‎(2）求证：平面BDE⊥平面SAC；‎ ‎(3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，‎ 试判断点E在SC上的位置，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）连接，由条件可得∥.‎ ‎ 因为平面，平面，‎ ‎ 所以∥平面. ‎ ‎(Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，‎ 所以，‎ 又因为四边形是正方形，所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以平面平面. -‎ ‎(Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设四棱锥的底面边长为2，‎ 则，，，‎ ‎，，.‎ 所以，.‎ 设（），由已知可求得.‎ 所以，.‎ 设平面法向量为， ‎ 则 即 ‎ 令，得. ‎ 易知是平面的法向量.‎ 因为，‎ 所以，所以平面平面. ‎ ‎(Ⅲ）设（），由（Ⅱ）可知，‎ 平面法向量为.‎ 因为，‎ 所以是平面的一个法向量.‎ 由已知二面角的大小为.‎ 所以，‎ 所以，解得.‎ 所以点是的中点. ‎ ‎22．如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，O为中点。‎ ‎(Ⅰ）求证：平面 ；‎ ‎(Ⅱ）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值。 ‎ ‎【答案】（Ⅰ）如图，连接， ‎ 则四边形为正方形， ‎ ‎，且 ‎ 故四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面 平面 ‎ ‎(Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，‎ 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ 设为平面的一个法向量，由，得，‎ 令，则 又设为平面的一个法向量，由，得，令 ‎，则，‎ 则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为