全国卷数学高考分析及高考预测全国Ⅰ卷理科数学2011高考分析及高考预测

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文档介绍

全国卷数学高考分析及高考预测全国Ⅰ卷理科数学2011高考分析及高考预测

2011-2017 年新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析 及 2018 年高考预测 话说天下大势,合久必分,分久必合,中国高考也是如此.2000 年,教育部决定实施分省 命题.十多年后,由分到合. 2017 年,除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外(山东省语文、数学卷 最后一年使用),大陆其他省区全部使用全国卷. 研究发现,新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性.每个题型考查的 知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定.掌握了全国卷的各种题型,就把握住了 全国卷命题的灵魂.基于此,笔者潜心研究近 7 年全国高考理科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明, 精心分类汇总了全国卷近 7 年所有题型.为了便于读者使用,所有题目分类(共 21 类)列于表 格之中,按年份排序.高考题的小题(填空和选择)的答案都列在表格的第三列,便于同学们 及时解答对照答案,所有解答题的答案直接列在题目之后,方便查看. 一、集合与简易逻辑 1.集合: 7 年 5 考,都是交并补子运算为主,多与解不等式等交汇,新定义运算也有较小的可能,但 是难度较低;基本上是每年的送分题,相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大. 年份 题目 答案 2017 年 (1)已知集合 A={x|x<1},B={x| },则 A. B. C. D. A 2016 年 (1)设集合 , ,则 (A) (B) (C) (D) D 2014 年 (1)已知集合 A={ | },B= ,则 = .[-2,-1] .[-1,2) .[-1,1] .[1,2) A 2013 年 (1)已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x| },则 A、A∩B=∅ B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B   B         2012 年 (1)已知集合 ,则 中所含 元素的个数为   D 2.简易逻辑: { | 0}A B x x= < A B = R { | 1}A B x x= > A B = ∅ 3 1x < 2{ | 4 3 0}A x x x= − + < { | 2 3 0}B x x= − > A B = 3( 3, )2 − − 3( 3, )2 − 3(1, )2 3( ,3)2 x 2 2 3 0x x− − ≥ { }2 2x x− ≤ < A B A B C D 5 5x− < < {1,2,3,4,5}A = , {( , ) , , }B x y x A y A x y A= ∈ ∈ − ∈ B ( )A 3 ( )B 6 ( )C 8 ( )D 10 7 年 1 考(2017 年在复数题中涉及真命题这个概念),只有 2015 年考了一个全称与特称命 题的转化.这个考点包含的小考点较多,并且容易与函数,不等式、数列、三角函数、立体几 何交汇,热点就是“充要条件”;难点:否定与否命题;冷点:全称与特称(2015 考的冷点), 思想:逆否.要注意,这类题可以分为两大类,一类只涉及形式的变换,比较简单,另一类涉 及命题真假判断,比较复杂. 年份 题目 答案 2015 年 (3)设命题 P: n N, > ,则 P 为 (A) n N, > (B) n N, ≤ (C) n N, ≤ (D) n N, = C 二、复数: 7 年 7 考,每年 1 题,考查四则运算为主,偶尔与其他知识交汇,难度较小.考查代数运算 的同时,主要涉及考查概念有:实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等. 年份 题目 答案 2017 年 (3)设有下面四个命题 :若复数 满足 ,则 ; :若复数 满足 ,则 ; :若复数 满足 ,则 ; :若复数 ,则 . 其中的真命题为 A. B. C. D. B 2016 年 (2)设 ,其中 是实数,则 (A)1 (B) (C) (D)2 B 2015 年 (1)设复数 z 满足 ,则|z|= (A)1 (B) (C) (D)2 A 2014 年 2. = . . . . D 2013 年 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 A、-4 (B) (C)4 (D) D 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1 2,z z 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p ∃ ∈ 2n 2n ¬ ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n (1 i) 1 ix y+ = + ,x y i =x y+ 2 3 1+z 1 iz =− 2 3 3 2 (1 ) (1 ) i i + − A 1 i+ B 1 i− C 1 i− + D 1 i− − 4 5 − 4 5 2012 年 (3)下面是关于复数 的四个命题:其中的真命题为 的共轭复数为 的虚部 为 C 2011 年 (1)复数 的共轭复数是 (A) (B) (C) (D) C 三、平面向量: 7 年 7 考,每年 1 题,向量题考的比较基本,突出向量的几何运算或代数运算,不侧重于与 其它知识交汇,难度不大(与全国其它省份比较).我认为这样有利于考查向量的基本运算,符 合考试说明. 年份 题目 答案 2017 年 (13)已知向量 a,b 的夹角为 60°,| a|=2,| b|=1,则| a +2 b |= ________. 2016 年 (13) 设 向 量 a=(m , 1) , b=(1 , 2) , 且 |a+b|2=|a|2+|b|2 , 则 . -2 2015 年 (7)设 D 为 所在平面内一点, ,则 (A)   B) (C)   (D) A 2014 年 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 ,则 与 的夹角为 . 2013 年 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0, 则t=_____. 2 2012 年 13、已知向量 夹角为 ,且 ;则 2011 年 (10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ,有下列四个命题 其中的真命题是 Aθ 1 2: 1 0, 3P a b πθ  + > ⇔ ∈   2 2: 1 ,3P a b πθ π + > ⇔ ∈   3 : 1 0, 3P a b πθ  − > ⇔ ∈   4 : 1 ,3P a b πθ π − > ⇔ ∈   2 1z i = − + 1 : 2p z = 2 2 : 2p z i= 3 :p z 1 i+ 4 :p z 1− ( )A 2 3,p p ( )B 1 2,p p ( )C 2 4,p p ( )D 3 4,p p 2 1 2 i i + − 3 5 i− 3 5 i i− i 2 3 m = __________ ABC∆ 3BC CD=  1 4 3 3AD AB AC= − +   1 4 3 3AD AB AC= −   4 1 3 3AD AB AC= +   4 1 3 3AD AB AC= −   1 ( )2AO AB AC= +   AB AC 090 ,a b  45° 1, 2 10a a b= − =   _____b = 3 2 (A) (B) (C) (D) 四、线性规划: 7 年 7 考,每年 1 题,全国卷线性规划题考的比较基本,一般不与其它知识结合,不象部分 省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇,如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇.我 觉得这种组合式交汇意义不大,不利于考查基本功.由于线性规划的运算量相对较大,我觉得 难度不宜太大,不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度,有 可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题,或者利用一些含有几何意义的目 标函数(斜率、距离等), 如 2015 年新课标 15 题.(还有近年线性规划应用题较少考查,是否 再考?这是我写 5 年高考分析时的预测,果然 2016 年考了线性规划应用题,2017 年不会再考了 吧?果然没考,考了个最基本的). 年份 题目 答案 2017 年 (14)设 满足约束条件 ,则 的最小值为 ________. -5 2016 年 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙 材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润 之和的最大值为 元. 216000 2015 年 ( 15 ) 若 x,y 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 . 3 2014 年 9.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题: : , : , : , : . 其中真命题是 . , . , . , . , C 2012 年 (14) 设 满足约束条件: ;则 的取值范 围为 1 4,P P 1 3,P P 2 3,P P 2 4,P P 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 3 2z x y= −,x y __________ 1 0 0 4 0 x x y x y − ≥  − ≤  + − ≤ y x 1 2 4 x y x y + ≥  − ≤ D 1p ( , ) , 2 2x y D x y∀ ∈ + ≥ − 2p ( , ) , 2 2x y D x y∃ ∈ + ≥ 3P ( , ) , 2 3x y D x y∀ ∈ + ≤ 4p ( , ) , 2 1x y D x y∃ ∈ + ≤ − A 2p 3P B 1p 4p C 1p 2p D 1p 3P ,x y , 0 1 3 x y x y x y ≥  − ≥ −  + ≤ 2z x y= − [ 3,3]− 2011 年 (13)若变量 满足约束条件 则 的最小 值为 . -6 五、三角函数: 7 年 13 考,每年至少 1 题,当考 3 个小题时,当年就不再考三角大题了.题目难度较小, 主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题(含应用题),基本属于 “送分题”.小心平移(重点+难点+几乎年年考).2013 年 15 题对化简要求较高,难度较大.2016 年的考法也是比较难的,所以当了压轴题. 年份 题目 答案 2017 年 (9)已知曲线 ,则下面结论正确的是 A.把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向右平移 个单位长度,得到曲线 B.把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向左平移 个单位长度,得到曲线 C.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向右平移 个单位长度,得到曲线 D.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向左平移 个单位长度,得到曲线 D 2016 年 (12)已知函数 为 的零点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为 (A)11 (B)9 (C)7 (D)5 B 2015 年 (2) (A) (B) (C) (D) D π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12 ,x y 3 2 9, 6 9, x y x y ≤ + ≤  ≤ − ≤ 2z x y= + 1 2 2: cos , : sin(2 )3C y x C y x π= = + 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1C 2C ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −, ( )f x 4x π= ( )y f x= ( )f x 5( )18 36 π π, ω sin 20 cos10 cos160 sin10− =    3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 2015 年 (8)函数 的部分图象如图所示,则 的单调递 减区间为 (A) (B) (C) (D) D 2015 年 (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取 值范围是 . , 2014 年 6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是 圆上的动点,角 的始边为射线 ,终边为射线 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,将点 到直线 的距离表示为 的函数 ,则 = 在[0, ]上的图像大致为 B 2014 年 8.设 , ,且 ,则 . . . . B 2014 年 16.已知 分别为 的三个内角 的对边, =2,且 ,则 面积的最大值 为 . ( ) cos( )f x xω ϕ= + ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈ ( 6 2− 6 2)+ x OA OP P OA M M OP x ( )f x y ( )f x π (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 1 sintan cos βα β += A 3 2 πα β− = B 2 2 πα β− = C 3 2 πα β+ = D 2 2 πα β+ = , ,a b c ABC∆ , ,A B C a (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ABC∆ 3 2013 年 15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 2012 年 (9)已知 ,函数 在 上单调递减.则 的取值范围是( ) A 2011 年 (5)已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的正半轴重合,终边在 直线 上,则 = (A) (B) (C) (D) B 2011 年 1. 设函数 的最小正 周期为 ,且 ,则 (A) 在 单调递减 (B) 在 单调递减 (C) 在 单调递增 (D) 在 单调递增 A 2011 年 ( 16 ) 在 中 , , 则 的 最 大 值 为 . 六、立体几何: 7 年 13 考,一般考三视图和球,主要计算体积和表面积.其中,我认为“点线面”也有可 能出现在小题,但是难度不大,立体几何是否会与其它知识交汇?如:几何概型?有可能.但 是,根据全国卷的命题习惯,交汇可能性不大.但是异面直线所成的角是否可以考(对 2016 年 预测)年年考三视图,是否也太稳定了吧?球体是基本的几何体,是发展空间想象能力的很好 载体,是新课标的热点.(果然 2016 年 11 题考了线线角,虽然没有提到异面直线,但是在发展 空间想象能力和解题思路上与异面直线完全相同) 年份 题目 答案 2017 年 (7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正 方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为 等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这 些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 B 2 5 5 − 0ω > ( ) sin( )4f x x πω= + ( , )2 π π ω ( )A 1 5[ , ]2 4 ( )B 1 3[ , ]2 4 ( )C 1(0, ]2 ( )D (0,2] θ x 2y x= cos2θ 4 5 − 3 5 − 3 5 4 5 ( ) sin( ) cos( )( 0, )2f x x x πω ϕ ω ϕ ω ϕ= + + + > < π ( ) ( )f x f x− = ( )f x 0, 2 π     ( )f x 3,4 4 π π     ( )f x 0, 2 π     ( )f x 3,4 4 π π     ABC∆ 60 , 3B AC= = 2AB BC+ 2 7 2017 年 (16)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心 为 O.D、E、F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分 别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪 开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△ FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的 边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大 值为_______. 2016 年 (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 (A)17π (B)18π (C)20π (D)28π A 2016 年 (11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, //平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A) (B) (C) (D) A 2015 年 (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的 数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内 角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其 意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为 一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分 之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛   D.66 斛 B 2015 年 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r= (A)  1 (B)  2 (C)  4 (D)  8 B 2014 年 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画 C 4 15 28 3 π α α α α  3 2 2 2 3 3 1 3 出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 . . .6 .4 2013 年 6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注 水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果 不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) A、 cm3 B、 cm3 C、 cm3 D、 cm3 A 2013 年 8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为 . . . . A 2012 年 (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则 此几何体的体积为( ) B 2012 年 (11)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边长 为 的正三角形, 为球 的直径,且 ;则此棱锥的体积为( ) A A 6 2 B 4 2 C D 500 3 π 866 3 π 1372 3 π 2048 3 π A 16 8π+ B 8 8π+ C 16 16π+ D 8 16π+ 1 ( )A 6 ( )B 9 ( )C 12 ( )D 18 S ABC− O ABC∆ 1 SC O 2SC = ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 2 2011 年 (6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图 所示,则相应的侧视图可以为 D 2011 年 ( 15 ) 已 知 矩 形 的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球 的 球 面 上 , 且 ,则棱锥 的体积为 . 七、推理证明: 7 年 1 考,实在是个冷点,而且这 1 考也不是常规的数学考法,倒是很像一道公务员考试的 逻辑推理题,但这是个信号,虽然这个信号在 2015 年并没有连续出现.2003 年全国高考曾经出 过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题,这个题已经是教材的一个例题;上海市 是最喜欢考类比推理的,上海市 2000 年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已 进入教材习题.这类题目不会考察“理论概念”问题,估计是交汇其他题目命题,难度应该不 大.适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的. 另外,2017 年在全国 2 卷数学理科出了推理题,也列在下表中. 年份 题目 答案 2017 全 国 2 理科 (7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你 们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙 的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根 据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 D 2014 年 (13)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 城市; 乙说:我没去过 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. A 八、概率: 7 年 6 考,2013 年没考小题,但是在大题中考了.主要考古典概型和相互独立事件的概率.条 件概率、几何概型没有考过.是不是该考了?(当时写 5 年分析时的预测)果然在 2016 年考了 几何概型,而且在全国 II 中考了条件概率. 年份 题目 答案 2017 年 (2)如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的 B ABCD O 6, 2 3AB BC= = O ABCD− 8 3 A B C B C 中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. 2016 年 (4)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站 乘坐 班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A) (B) (C) (D) B 2015 年 (4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学 每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通 过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 A 2014 年 (5).4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率 . . . . D 2012 年 (15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工 作,且元件 3 正常工作,则部件正常工 作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小 时)均服从正态分布 ,且各 个元件能否正常相互独立,那么该部件的 使用寿命超过 1000 小时的概率为 2011 年 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学 参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A) (B) (C) (D) A 九、统计: 7 年 1 考,只在 2013 年考了一个抽样方法小题.这个考点内容实在太多:频率分布表、直 方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、 正态分布(文科不学)等.统计知识理科考的不多,文科较多. 2013 年 3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽 取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三 个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大, 在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 A、简单随机抽样    B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样    D、系统抽样 C 十、数列: 全国Ⅰ理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个,考解答题时一般不再考小题, 不考解答题时,就考两个小题,下表中列出了 2013 年和 2012 年的数列小题,其它三年没有考 1 4 π 8 1 2 π 4 1 3 1 2 2 3 3 4 A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 2(1000,50 )N 3 8 1 3 1 2 2 3 3 4 小题,而是考的大题.交错考法不一定分奇数年或偶数年.难度上看,一般会有一个比较难的 的小题,如 2013 年的 12 题,2012 年 16 题,2017 年 12 题,它们都是压轴题. 年份 题目 答案 2017 年 4.记 为等差数列 的前 项和.若 , ,则 的公差 为 A.1 B.2 C.4 D.8 C 2017 年 12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学 的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面 数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…, 其中第一项是 ,接下来的两项是 ,再接下来的三项是 ,依此类 推.求满足如下条件的最小整数 且该数列的前 项和为 2 的整数幂.那么 该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 A 2016 年 (3)已知等差数列 前 9 项的和为 27, ,则 (A)100 (B)99 (C)98 (D)97 C 2016 年 ( 15 ) 设 等 比 数 列 满 足 a1+a3=10 , a2+a4=5 , 则 a1a2 … an 的 最 大 值 为 . 64 2013 年 (7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, =-2, =0, =3,则 = A、3 B、4 C、5 D、6 C 2013 年 ( 12 ) 设 △ AnBnCn 的 三 边 长 分 别 为 an,bn,cn , △ AnBnCn 的 面 积 为 Sn , n=1,2,3,… 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则( ) A、{Sn}为递减数列        B、B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 B 2013 年 14、若数列{ }的前 n 项和为 Sn= ,则数列{ }的通项公式是 =______. 2012 年 ( 5 ) 已 知 为 等 比 数 列 , , , 则 ( ) D 2012 年 (16)数列 满足 ,则 的前 项和为 1830 nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na { }na 5 6 8a a = − 1 10a a+ = 02 0 12 ,2 0 1 22 ,2 ,2 : 100N N > N { }na 10 =8a 100 =a __________ 1mS − mS 1mS + m na 2 1 3 3na + na na 1( 2)n−− 4 7 2a a+ = ( )A 7 ( )B 5 ( )C 5− ( )D 7− { }na 1 ( 1) 2 1n n na a n+ + − = − { }na 60 十一、框图:7 年 7 考,每年 1 题!考含有循环体的较多,都比较简单,一般与数列求和联系较多, 难度不大. 2017 年 (8)右面程序框图是为了求出满足 的最小 偶数 ,那么在 和 两个空白框中,可以分别填 入 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 D 2016 年 C 2015 年 (9)执行右面的程序框图,如果输入的 , 则输出的 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 C 3 2 1000n n− > n 1000A > 1n n= + 1000A > 2n n= + 1000A ≤ 1n n= + 1000A ≤ 2n n= + 0.01t = n = 2014 年 7.执行下图的程序框图,若输入的 分别为 1,2,3,则输出的 = . . . . D 2013 年 5、运行如下程序框图,如果输入的 ,则输出 s 属于 .[-3,4] .[-5,2] .[-4,3] .[-2,5] A 2012 年 (6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 和 实 数 , 输 出 , 则 ( ) 为 的和 为 的算术平均数 和 分别是 中最大的数和最 小的数 和 分别是 中最小的数和最 大的数 C 2011 年 (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 B  ( 2)N N ≥ 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., na a a 2 A B+ 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., na a a , ,a b k M A 20 3 B 16 5 C 7 2 D 15 8 [ 1,3]t ∈ − A B C D ,A B ( )A A B+ ( )B ( )C A B ( )D A B (D)5040 十二、圆锥曲线: 7 年 14 考,每年 2 题!太稳定了!太重要了!!全国卷注重考查基础知识和基本概念,综合 一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系,多数题目比较单一. 年份 题目 答案 2017 年 (10)已知 为抛物线 的焦点,过 作两条互相垂直的直线 , 直线 与 交于 A、B 两点,直线 与 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的 最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 A 2017 年 (15)已知双曲线 的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为 半 径 做 圆 A , 圆 A 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 交 于 M 、 N 两 点 . 若 ,则 的离心率为________. 2016 年 (5)已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 为 4,则 n 的取值范围是 (A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3) A 2016 年 (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点. 已知 , ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 B B 2015 年 (5)已知 是双曲线 C: 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若 ,则 y0 的取值范围是 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) A 2015 年 (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 轴上,则 该圆的标准方程为 F 2: 4C y x= F 1 2,l l 1l C 2l C 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 60MAN∠ =  C 2 3 3 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − | | 4 2AB = | | 2 5DE = 0 0( , )M x y 2 2 12 x y− = 1 2 0MF MF <   3 3( )3 3 − , 3 3( , )6 6 − 2 2 2 2( , )3 3 − 2 3 2 3( , )3 3 − − 2 2 116 4 x y+ = x 23( )2x − 2 25 4y+ = 2014 年 4.已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为 . .3 . . A 2014 年 10.已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与 的一个交点,若 ,则 = . . .3 .2 C 2013 年 4、已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为 . . . . C 2013 年 10、已知椭圆 的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直 线交椭圆于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方 程为 A、 B、 C、 D、 D 2012 年 (4)设 是椭圆 的左、右焦点, 为直线 上一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率 为 C 2012 年 (8)等轴双曲线 的中心在原点,焦点在 轴上, 与抛物线 的准线交于 两点, ;则 的实轴长为( ) C 2011 年 (7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) (B) (C)2 (D)3 B 1 2F F 3 2 ax = 2 1F PF 30 F C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > F C A 3 B C 3m D 3m C 2 8y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  | |QF A 7 2 B 5 2 C D C 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 5 2 C A 1 4y x= ± B 1 3y x= ± C 1 2y x= ± D y x= ± 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 2 2 145 36 x y+ = 2 2 136 27 x y+ = 2 2 127 18 x y+ = 2 2 118 9 x y+ = 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > P ∆ E ( )A 1 2 ( )B 2 3 ( )C 3 4 ( )D 4 5 C x C 2 16y x= ,A B 4 3AB = C ( )A 2 ( )B 2 2 ( )C 4 ( )D 8 AB 2 3 2011 年 (14)在平面直角坐标系 中,椭圆 的中心为原点,焦点 在 轴上,离心率为 .过 的直线 交于 两点,且 的 周长为 16,那么 的方程为 . 十三、函数: 7 年 15 考,可见其重要性!主要考查:定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、 平移、导数、切线、定积分、零点等,分段函数是重要载体!绝对值函数也是重要载体!函数 已经不是值得学生“恐惧”的了吧? 年份 题目 答案 2017 年 5 . 函 数 在 单 调 递 减 , 且 为 奇 函 数 . 若 , 则 满 足 的 的取值范围是 A. B. C. D. D 2017 年 11.设 为正数,且 ,则 A. B. C. D. D 2016 年 D 2016 年 (8)若 , ,则 (A) (B) (C) (D) C 2015 年 12.设函数 ,其中 ,若存在唯一的整数 ,使得 ,则 的取值范围是 (A)    (B) (C)    (D) D ( )f x ( , )−∞ +∞ ( 11)f = − 21 ( ) 1xf −− ≤ ≤ x [ 2,2]− [ 1,1]− [0,4] [1,3] xOy C 1 2,F F x AC l ,A B 2ABF C 2 16 x + 2 18 y = x y z, , 2 3 5x y z= = 2 3 5x y z< < 5 2 3z x y< < 3 5 2y z x< < 3 2 5y x z< < 1a b> > 0 1c< < c ca b< c cab ba< log logb aa c b c< log loga bc c< ( ) (2 1)xf x e x ax a= − − + 1a < 0x 0( ) 0f x < a 3[ ,1)2e − 3 3[ , )2 4e − 3 3[ , )2 4e 3[ ,1)2e 2015 年 (13)若函数 为偶函数,则 . 1 2014 年 3.设函数 , 的定义域都为 R,且 是奇函数, 是偶函数, 则下列结论正确的是 . 是偶函数 .| | 是奇函数 . | |是奇函数 .| |是奇函数 C 2014 年 11.已知函数 = ,若 存在唯一的零点 ,且 >0,则 的取值范围为 .(2,+∞) .(-∞,-2) .(1,+∞) .(-∞,-1) B 2013 年 11、已知函数 = ,若| |≥ ,则 的取值范围是 . . .[-2,1] .[-2,0] D 2013 年 16、若函数 = 的图象关于直线 =-2对称,则 的 最大值是______. 16 2012 年 (10) 已知函数 ;则 的图象大致为 B 2012 年 (12)设点 在曲线 上,点 在曲线 上,则 最小值为 B 2011 年 (2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是 B+∞(0, ) 2( ) ln( )f x x x a x= + + ________a = ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x A ( )f x ( )g x B ( )f x ( )g x C ( )f x ( )g x D ( )f x ( )g x ( )f x 3 23 1ax x− + ( )f x 0x 0x a A B C D ( )f x 2 2 , 0 ln( 1), 0 x x x x x − + ≤  + > ( )f x ax a A ( ,0]−∞ B ( ,1]−∞ C D ( )f x 2 2(1 )( )x x ax b− + + x ( )f x 1( ) ln( 1)f x x x = + − ( )y f x= P 1 2 xy e= Q ln(2 )y x= PQ ( )A 1 ln 2− ( )B 2(1 ln 2)− ( )C 1 ln 2+ ( )D 2(1 ln 2)+ (A) (B) (C) (D) 2011 年 (9)由曲线 ,直线 及 轴所围成的图形的面积为 (A) (B)4 (C) (D)6 C 2011 年 (12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横 坐标之和等于 (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8 B 十四、排列组合二项式定理: 7 年 7 考,二项式定理出现较多,这一点很合理,因为排列组合可以在概率统计和分布列中 考查.排列组合考题的难度不大,无需投入过多时间(无底洞),而且排列组合难题无数,只要 处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可!二项式定理“通项问题”出现较多. 年份 题目 答案 2017 年 (6) 展开式中 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 C 2016 年 (14) 的展开式中,x3 的系数是 .(用数字填写答案) 10 2015 年 (10)( 的展开式中, 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 C 2014 年 13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案) -20 2013 年 9.设 m 为正整数, 展开式的二项式系数的最大值为 , 展开式的二项式系数的最大值为 ,若 13 =7 ,则 A、5 B、6 C、7 D、8 B 2012 年 (2)将名教师,名学生分成个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会 实践活动,每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方 案共有 A 3y x= 1y x= + 2 1y x= − + 2 xy −= y x= 2y x= − y 10 3 16 3 6 2 1(1 )(1 )xx + + 2x 1 1y x = − 2sin ( 2 4)y x xπ= − ≤ ≤ 5(2 )x x+ __________ 2 5( )x x y+ + 5 2x y 8( )( )x y x y− + 2 2x y 2( ) mx y+ a 2 1( ) mx y ++ b a b m 种 种 种 种 2011 年 (8) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常 数项为 (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 D 十五、三角函数大题和数列大题: 在全国Ⅰ卷中每年只考一个,不考的那一个一般用两道或三道小题代替.三角函数大题侧 重于考解三角形,重点考查正、余弦定理,小题中侧重于考查三角函数的图象和性质.数列一 般考求通项、求和.数列应用题已经多年不考了,总体来说数列的地位已经降低,题目难度 小. 年份 题目及答案 2017 年 (17)(本题满分为 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题意可得 , 化简可得 , 根据正弦定理化简可得: . (2)由 , 又 ,所以 由余弦定理 得 2 3sin a A 21 sin2 3sinABC aS bc A A∆ = = 2 22 3 sina bc A= 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B= ⇒ = ( ) 2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C π  = ⇒ = − + = − = ⇒ =  = ( )A 12 ( )B 10 ( )C 9 ( )D 8 512ax xx x   + −     21 bcsin2 3sin aA A = 8bc = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2( ) 3 9b c bc b c bc+ − = + − = 所以 故而三角形的周长为 2016 年 (17)(本题满分为 12 分) 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 (I)求 ; (II)若 的面积为 ,求 的周长. 解:(I)由正弦定理得: ,…………1 分 ,…………2 分 ∵ , , ∴ ,…………3 分 ∴ , ,…………4 分 ∵ ,…………5 分 ∴ .…………6 分 (II)由余弦定理得: , , ,…………8 分 又 , ∴ ,…………10 分 ∴ , , ∴ 周长为 .…………12 分 2015 年 (17)(本小题满分 12 分) 为数列 的前 项和.已知 , (Ⅰ)求 的通项公式; 33b c+ = 3 33+ ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= C 7,c ABC= ∆ 3 3 2 ABC∆ ( )2cos sin cos sin cos sinC A B B A C⋅ + ⋅ = ( )2cos sin sinC A B C⋅ + = πA B C+ + = ( )0 πA B C ∈、 、 , ( )sin sin 0A B C+ = > 2cos 1C = 1cos 2C = ( )0 πC ∈ , π 3C = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ⋅ 2 2 17 2 2a b ab= + − ⋅ ( )2 3 7a b ab+ − = 1 3 3 3sin2 4 2S ab C ab= ⋅ = = 6ab = ( )2 18 7a b+ − = 5a b+ = ABC△ 5 7a b c+ + = + nS { }na n 0na > 2 2 4 3n n na a S+ = + { }na (Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和. 2014 年 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ }的前 项和为 , =1, , ,其中 为常数. (Ⅰ)证明: ; (Ⅱ)是否存在 ,使得{ }为等差数列?并说明理由. 解:(Ⅰ)由题设 , ,两式相减 ,由于 ,所以 ……6 分 (Ⅱ)由题设 =1, ,可得 ,由(Ⅰ)知 假设{ }为等差数列,则 成等差数列,∴ ,解得 ; 证明 时,{ }为等差数列:由 知 数列奇数项构成的数列 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 令 则 ,∴ 1 1 n n n b a a + = { }nb n na n nS 1a 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ 2n na a λ+ − = λ na 1 1n n na a Sλ+ = − 1 2 1 1n n na a Sλ+ + += − ( )1 2 1n n n na a a aλ+ + +− = 0na ≠ 2n na a λ+ − = 1a 1 2 1 1a a Sλ= − 2 1 1a λ= − 3 1a λ= + na 1 2 3, ,a a a 1 3 22a a a+ = 4λ = 4λ = na 2 4n na a+ − = { }2 1ma − 2 1 4 3ma m− = − 2 1,n m= − 1 2 nm += 2 1na n= − ( 2 1)n m= − 数列偶数项构成的数列 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 令 则 ,∴ ∴ ( ), 因此,存在存在 ,使得{ }为等差数列. ………12 分 2013 年 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°, AB= 3,BC=1,P为△ABC内一点, ∠BPC=90° (1)若 PB= 1 2,求 PA; (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 解:(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理 得 = = ,∴PA= ; (Ⅱ)设∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA 中,由正弦定理得, ,化简得, , ∴ = ,∴ = . 2012 年 (17)(本小题满分 12 分) 已 知 分 别 为 三 个 内 角 的 对 边 , (1)求 (2)若 , 的面积为 ;求 . 解:(1)由正弦定理得: { }2ma 2 4 1ma m= − 2 ,n m= 2 nm = 2 1na n= − ( 2 )n m= 2 1na n= − *n N∈ 1 2n na a+ − = 4λ = na o60 2PA o1 13 2 3 cos304 2 + − × × 7 4 7 2 α sinα o o 3 sin sin150 sin(30 ) α α= − 3 cos 4sinα α= tanα 3 4 tan PBA∠ 3 4 , ,a b c ABC∆ , ,A B C cos 3 sin 0a C a C b c+ − − = A 2a = ABC∆ 3 ,b c cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C + − − = ⇔ − = + (2) 解得: 2011 年 (17)(本小题满分 12 分) 等比数列 的各项均为正数,且 求数列 的通项公式. 设 求数列 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 得 所以 .有条 件可知 a>0,故 . 由 得 , 所 以 . 故 数 列 {an} 的 通 项 式 为 an= . (Ⅱ ) 故 所以数列 的前 n 项和为 . 十六、立体几何大题: 7 年 7 考,每年 1 题.第 1 问多为证明垂直问题,第 2 问多为求三种角的某种三角函数值.特 点:证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理. sin cos 3sin sin sin( ) sin 13sin cos 1 sin( 30 ) 2 30 30 60 A C A C A C C A A A A A ° ° ° ° ⇔ + = + + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = 1 sin 3 42S bc A bc= = ⇔ = 2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c= + − ⇔ + = 2b c= = { }na 2 1 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a+ = = { }na 3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a= + + + 1 nb       2 3 2 69a a a= 3 2 3 49a a= 2 1 9q = 1 3q = 1 22 3 1a a+ = 1 22 3 1a a q+ = 1 1 3a = 1 3n 1 1 1 1 1 1 ( 1)log log ... log (1 2 ... ) 2n n nb a a a n += + + + = − + + + = − 1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n = − = − −+ + 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2... 2((1 ) ( ) ... ( ))2 2 3 1 1n n b b b n n n + + + = − − + − + + − = −+ + 1{ } nb 2 1 n n − + 年份 题目及答案 2017 年 18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 . (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. (1)证明: , 又 ,PA、PD 都在平面 PAD 内, 故而可得 . 又 AB 在平面 PAB 内,故而平面 PAB⊥平面 PAD. (2)解: 不妨设 , 以 AD 中点 O 为原点,OA 为 x 轴,OP 为 z 轴建立平面直角坐标系. 故而可得各点坐标: , 因此可得 , 假设平面 的法向量 ,平面 的法向量 , 故而可得 ,即 , 同理可得 ,即 . 因此法向量的夹角余弦值: . 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  / / ,AB CD CD PD AB PD⊥ ∴ ⊥ ,AB PA PA PD P∴ ⊥ ∩ = AB PAD⊥ 2PA PD AB CD a= = = = ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a− ( ) ( ) ( )2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a= − = − = − −   PAB ( )1 , ,1n x y= PBC ( )2 , ,1n m n= 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 n PA ax a x n PB ax ay a y  ⋅ = − = ⇒ = ⋅ = − − = ⇒ =     ( )1 1,0,1n = 2 2 2 2 2 0 0 22 2 2 0 2 n PC am an a m n PB am an a n  ⋅ = − + − = ⇒ = ⋅ = + − = ⇒ =     2 20, ,12n  =      1 2 1 3cos , 332 2 n n< >= = ⋅   所以所求二面角的余弦值为 . 2016 年 (18)(本题满分为 12 分) 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中, 面 ABEF 为正方形, AF=2FD, , 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 . (I)证明平面 ABEF 平面 EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. (I)证明:∵ 为正方形, ∴ .…………1 分 ∵ , ∴ .…………2 分 又∵ , ∴ 面 .…………3 分 又 面 , ∴平面 平面 .…………4 分 (II) 由⑴知 …………5 分 ∵ 平面 平面 ∴ 平面 3 3 − 90AFD∠ =  60 ⊥ ABEF AF EF⊥ 90AFD∠ = ° AF DF⊥ =DF EF F AF ⊥ EFDC AF ⊂ ABEF ABEF ⊥ EFDC 60DFE CEF∠ = ∠ = ° AB EF∥ AB ⊄ EFDC EF ⊂ EFDC AB∥ ABCD F E D C B A 平面 ∵面 面 ∴ ∴ ∴四边形 为等腰梯形…………6 分 以 为原点,如图建立坐标系,设 …………7 分 , , …………8 分 设面 法向量为 . ,即 …………9 分 设面 法向量为 .即 …………10 分 设二面角 的大小为 . …………11 分 二面角 的余弦值为 …………12 分 2015 年 ( 18 ) 如 图 ,,四 边 形 ABCD 为 菱 形 , ∠ ABC=120 °,E ,F 是平面 ABCD 同一侧的两 点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF, AE⊥EC. AB ⊂ ABCD ABCD  EFDC CD= AB CD∥ CD EF∥ EFDC E FD a= ( ) ( )0 0 0 0 2 0E B a, , , , ( )30 2 2 02 2 aC a A a a       , , , , ( )0 2 0EB a= , , 322 2 aBC a a  = −     , , ( )2 0 0AB a= − , , BEC ( )m x y z= , , 0 0 m EB m BC  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 2 0 32 02 2 a y a x ay a z ⋅ = ⋅ − + ⋅ = 1 1 13 0 1x y z= = = −, , ( )3 0 1m = − , , ABC ( )2 2 2n x y z= , , =0 0 n BC n AB  ⋅ ⋅ =     2 2 2 2 32 02 2 2 0 a x ay az ax  − + =  = 2 2 20 3 4x y z= = =, , ( )0 3 4n = , , E BC A− − θ 4 2 19cos 193 1 3 16 m n m n θ ⋅ −= = = − + ⋅ +⋅     ∴ E BC A− − 2 19 19 − (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 2014 年 19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 中,侧面 为菱形, . (Ⅰ) 证明: ; (Ⅱ)若 , ,AB=BC 求二面角 的余弦值. 解:(Ⅰ)连结 ,交 于 O,连结 AO.因 为侧面 为菱形,所以 ,且 O 为 与 的中点.又 ,所以 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = 1 1 1A A B C− − 1BC 1B C 1 1BB C C 1B C 1BC⊥ 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ 平面 ,故 又 ,故 ………6 分 (Ⅱ)因为 且 O 为 的中点,所以 AO=CO 又因为 AB=BC,所以 ,故 OA⊥OB,从而 OA,OB, 两两互相垂直. 以 O 为坐标原 点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- . 因为 ,所以 为等边三角形.又 AB=BC,则 , , , , 设 是平面的法向量,则 ,即 , 所以可取 设 是平面的法向量,则 ,同理可取 ,则 ,所以二面角 的余弦值为 . 2013 年 18、(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的 正弦值. 解:(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, , , ∵AB= , = ,∴ 是正三角形, ∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 , ∴AB⊥ ; ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, ⊥AB, ABO 1B C AO⊥ 1B O CO= 1AC AB= 1AC AB⊥ 1B C BOA BOC∆ ≅ ∆ 1OB xyz 0 1 60CBB∠ = 1CBB∆ 30,0, 3A       ( )1,0,0B 1 30, ,03B       30, ,03C  −    1 3 30, ,3 3AB  = −     1 1 31,0, ,3A B AB  = = −      1 1 31, ,03B C BC  = = − −      ( ), ,n x y z= 1 1 1 0 0 n AB n A B  = =       3 3 03 3 3 03 y z x z  − =  − = ( )1, 3, 3n = m 1 1 1 1 0 0 m A B n B C  = =       ( )1, 3, 3m = − 1cos , 7 n mn m n m = =       1 1 1A A B C− − 1 7 1A B 1A E 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆ 1A E 1CE A E∩ 1CEA 1AC 1EA 又∵面 ABC⊥面 ,面 ABC∩面 =AB ,∴ EC ⊥ 面 ,∴ EC ⊥ ,∴EA,EC, 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示空间直 角坐标系 , 有 题 设 知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B( - 1,0,0), 则 = ( 1,0 , ), = =(-1,0, ), =(0,- , ), ……9 分 设 = 是平面 的法向量, 则 ,即 ,可取 =( ,1,-1), ∴ = , ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . ……12 分 2012 年 (19)(本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 中 , , 是棱 的中点, (1)证明: (2)求二面角 的大小. 解 : ( 1 ) 在 中 , 得 : 同理: 得: 面 (2) 面 1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA 1EA EA x EA O xyz− 1A 3 3 BC 3 1BB 1AA 3 1AC 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C 1 0 0 BC BB  • = • =   n n 3 0 3 0 x z x y  + = + = n 3 1cos , ACn 1 1 | AC AC •   n | n || 10 5 10 5 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AC BC AA= = D 1AA BDDC ⊥1 BCDC ⊥1 11 CBDA −− Rt DAC∆ AD AC= 45ADC °∠ = 1 1 145 90A DC CDC° °∠ = ⇒ ∠ = 1 1 1,DC DC DC BD DC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1BCD DC BC⇒ ⊥ 1 1,DC BC CC BC BC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1 1ACC A BC AC⇒ ⊥ 取 的中点 ,过点 作 于点 ,连接 ,面 面 面 得:点 与点 重合 且 是二面角 的平面角 设 ,则 , 既二面角 的大小为 . 2011 年 (18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 解:(Ⅰ)因为 , 由余弦定理得 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD AD 又 PD 底面 ABCD,可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 D- ,则 , , , . 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 由 得 ,因此 可取 设平面 PBC 的法向量为 , 1 1A B O O OH BD⊥ H 1 1,C O C H 1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B= ⇒ ⊥ 1 1 1A B C ⊥ 1A BD 1C O⇒ ⊥ 1A BD 1OH BD C H BD⊥ ⇒ ⊥ H D 1C DO∠ 11 CBDA −− AC a= 1 2 2 aC O = 1 1 12 2 30C D a C O C DO °= = ⇒ ∠ = 11 CBDA −− 30° 60 , 2DAB AB AD∠ = ° = 3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ x xyz ( )1,0,0A ( )0 3,0B , ( )1, 3,0C − ( )0,0,1P ( 1, 3,0), (0, 3, 1), ( 1,0,0)AB PB BC= − = − = −   0 0 n AB n PB  = =       3 0 3 0 x y y z − + = − = ( 3,1, 3)n = m 同理得 (0,-1, ) ,所以 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 . 十七、概率统计大题: 7 年 7 考,每年 1 题.第 1 问多为统计问题,第 2 问多为分布列、期望计算问题;特点:实 际生活背景在加强.冷点:回归分析,独立性检验.但 2015 年课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了 回归分析,独立性检验在 2010 年课标卷考过,估计近年不会再考回归分析,可能会在求分布列 上设计应用情景.有人说,理科的概率分布列应该属于创新行列.我不这么认为,概率与分布 列不是追求创新,而是追求与实际的完美结合.概率不是新颖,而是力求联系实际,与实际问 题相吻合.但苦于找不到合适的案例,所以有时会事与愿违,但命题人员的初衷却是如此,概 率的初衷不是创新,而是应用,目标是贴近生活、背景公平、控制难度. 年份 题目及答案 2017 年 (19)(本小题满分 12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的 尺寸服从正态分布 . (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之 外的零件数,求 及 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 之外的零件,就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 , ,其 中 为抽取的第 个零件的尺寸, . 用样本平均数 作为 的估计值 ,用样本标准差 作为 的估计值 ,利用估计值判断 是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01). 附:若随机变量 服从正态分布 ,则 , 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + ( 1)P X ≥ X ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + 16 1 1 9.9716 i i x x = = =∑ 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x = = = − = − ≈∑ ∑ ix i 1,2, ,16i = ⋅⋅⋅ x µ ˆµ s σ ˆσ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + µ σ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = m = 3− 4 2 7cos , 72 7 m n −= = −  2 7 7 − , . 解:(1)由题可知尺寸落在 之内的概率为 ,落在 之外 的概率为 . , . 由题可知 , . (2)(i)尺寸落在 之外的概率为 ,由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理. (ii) , 需对当天的生产过程检查. 因此剔除 . 剔除数据之后 的估计值为: 剩下样本数据的方差为 所以 的估计值为为 2016 年 (19)(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年 使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 160.997 4 0.959 2= 0.008 0.09≈ ( )3 3µ σ µ σ− +, 0.9974 ( )3 3µ σ µ σ− +, 0.0026 ( ) ( )00 16 160 C 1 0.9974 0.9974 0.9592P X = = − ≈ ( ) ( )1 1 0 1 0.9592 0.0408P X P X≥ = − = ≈ − = ( )~ 16 0.0026X B , ( ) 16 0.0026 0.0416E X∴ = × = ( )3 3µ σ µ σ− +, 0.0026 ( )3 3µ σ µ σ− +, 3 9.97 3 0.212 9.334µ σ− = − × = 3 9.97 3 0.212 10.606µ σ+ = + × = ( ) ( )3 3 9.334 10.606µ σ µ σ− + =, , ( )9.22 9.334 10.606∉ , ∴ 9.22 µ 9.97 16 9.22 10.0215 × − ≈ i 16 2 2 2 i=1 =16 0.212 +16 9.97 1591.134x × × ≈∑ 2 21 1591.134-9.22 -15 10.02 0.00815 × ≈( ) σ 0.008 0.09≈ 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 表 示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (I)求 的分布列; (II)若要求 ,确定 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用 哪个? 19.(I)由题意每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 , , , .…………1 分 两台机器甲乙需要同时购买的易损零件个数 的情况可由下面的表格得到 8 9 10 11 8 16 17 18 19 9 17 18 19 20 10 18 19 20 21 11 19 20 21 22 所以 …………2 分 且结合表格容易得 …………7 分 所以 的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 …………8 分 (II)由分布列知 , , 所以 的最小值为 19.…………10 分 (III) 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备 件不足时额外购买的费用 当 时,费用的期望为 当 时,费用的期望为 所以应选用 …………12 分 X n X ( ) 0.5P X n≤ ≥ n 19n = 20n = 0.2 0.4 0.2 0.2 X X 16,17,18,19,20,21,22X = ( )16 0.2 0.2 0.04P X = = × = ( )17 0.2 0.4 0.4 0.2 0.16P X = = × + × = ( )18 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24P X = = × + × + × = ( )19 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.2P X = = × + × + × 0.2 0.4 0.24+ × = ( )20 0.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2P X = = × + × + × = ( )21 0.2 0.2 0.2 0.2 0.08P x = = × + × = ( )22 0.2 0.2 0.04P x = = × = X X P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 ( 18) 0.04 0.16 0.24 0.44 0.5P X ≤ = + + = < ( 19) 0.04 0.16 0.24 0.24 0.5P X ≤ = + + + ≥ n 19n = 19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 4040× + × + × + × = 20n = 20 200 500 0.08 1000 0.04 4080× + × + × = 19n = 2015 年 (19)(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 (单位:千元) 对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 和年销售量 (i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些 统计量的值. 46. 6 56 3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 , . (Ⅰ)根据散点图判断, 与 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 与 的关系为 .根据(Ⅱ)的结果回答 下列问题: (i) 年宣传费 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 , ,…, ,其回归线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为: x 1x 1y x y ω 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i ω ω = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i y yω ω = − −∑ i ixω = 8 1 1 8 i i ω ω = = ∑ y a bx= + y c d x= + x x z ,x y 0.2z y x= − 49x = x 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v v uα β= + 2014 年 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量 指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 (同一组数据用该区 间的中点值作代表); (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 服从正态分布 , 其中 近似为样本平均数 , 近似为样本方差 . x 2s Z 2( , )N µ δ µ x 2δ 2s (i)利用该正态分布,求 ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 表示这 100 件产品中质量指标值 为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 . 附: ≈12.2. 若 ~ ,则 =0.6826, =0.9544. 解:(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为 …………6 分 (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知 ~ ,从而 ………………9 分 (ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意知 ,所以 ………12 分 2013 年 19、(本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检 验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检 验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件 产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批 产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件A1,第一次取出的 4 件产 品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出 的 1 件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪ (A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) (187.8 212.2)P Z< < X EX 150 Z 2( , )N µ δ ( )P Zµ δ µ δ− < < + ( 2 2 )P Zµ δ µ δ− < < + x 2s 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200 x = × + × + × + × + × + × + × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02 s = − × + − × + − × + × + × + × + × 150= Z (200,150)N (187.8 212.2)P Z< < = (200 12.2 200 12.2) 0.6826P Z− < < + = (100,0.6826)X B 100 0.6826 68.26EX = × = =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) = . (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X=400)= ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 所以 X 的分布列为 X 400 500 800 P EX= =506.25. 2012 年 18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 元的价 格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 枝玫瑰花,求当天的利润 (单位:元)关于当天需求量 (单位:枝, )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 枝玫瑰花, 表示当天的利润(单位:元),求 的分 布列、数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 解:(1)当 时, , 当 时, , 得: (2)(i) 可取 , , 的分布列为 4 1 1 1 3 16 16 16 2 64 × + × = 4 1 111 16 16 16 − − = 1 16 1 4 11 16 1 16 1 4 11 1 1400 +500 +80016 16 4 × × × 5 10 16 y n n N∈ 16 X X 16n ≥ 16 (10 5) 80y = × − = 15n ≤ 5 5(16 ) 10 80y n n n= − − = − 10 80( 15)( )80 ( 16) n ny n Nn − ≤= ∈ ≥ X 60 70 80 ( 60) 0.1, ( 70) 0.2, ( 80) 0.7P X P X P X= = = = = = X X 60 70 80 (ii)购进 17 枝时,当天的利润为 得:应购进 17 枝. 2011 年 (19)(本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指 标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方) 做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试 验结果: (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式 为 从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分布列 及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标 值落入相应组的概率) 解:(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 ,所以用 P 0.1 0.2 0.7 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76EX = × + × + × = 2 2 216 0.1 6 0.2 4 0.7 44DX = × + × + × = (14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76.4y = × − × × + × − × × + × − × × + × × = 76.4 76> 22 8 =0.3100 + A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 所以 X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 十八、函数与导数大题: 函数与导数大题 6 年 6 考,每年 1 题.第 1 问一般考查导数的几何意义,第 2 问考查利用 导数讨论函数性质.函数载体上:无论文科理科,基本放弃纯 3 次函数,对数函数很受“器重”! 指数函数也较多出现!两种函数也会同时出现!(2014 年全国Ⅰ卷).全国Ⅰ卷第 2 问:2015 年讨论函数零点,2014 年证明不等式,2013 年、2012 年、2011 年都是不等式恒成立问题.但 是,无论怎么考,讨论单调性永远是考查的重点,而且紧紧围绕分类整合思想的考查.在考查 分离参数还是考查不分离参数上,命题者会大做文章!分离(分参)还是不分离(部参),的确 是一个问题!!一般说来,主要考查不分离问题(部参).另外,函数与方程的转化也不容忽视, 如函数零点的讨论.函数题设问灵活,多数考生做到此题,时间紧,若能分类整合,抢一点分 就很好了.还有,灵活性问题:有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的,如增函数+ 增函数=增函数,复合函数单调性,显然成立的不等式,放缩法等等,总之,导数是很重要,但 是有些解题环节,不要“吊死”在导数上,不要过于按部就班!还有,数形结合有时也是可以 较快得到答案的,虽然应为表达不严谨不得满分,但是在时间紧的情况下可以适当使用.导数 题强调用,用就是导数的应用,即用导数来研究函数的单调性与极值.主要包括:导数的几何 意义、导数与函数的单调性、极值、用导数解决不等式问题、恒成立问题、分离参数以及式子 的变形与调整、构造函数等等.在命题的载体上,即使用何种函数上,命题者的函数是如何构 32 10 0.42100 + = [ ) [ ) [ ]90,94 , 94,102 , 102,110 造出来的?首先确定是多项式函数、还是指对函数、分式函数、根式函数,指对函数是单独的 指数函数、对数函数,还是指对函数组合在一起,一个省份往往是指数函数、对数函数交替出 现.在很大程度上是先有的导函数,再有是原函数.再把原函数适当调整,这样就出现了式子 的调整与变形.调整变形是最难的一个环节!!分离参数是从方法的需要,式子的调整是在原 函数的基础上适当变形所致. 2016 年的函数载体和 2013 年的函数载体相同,都是一次函数与指数函数的积与一个二次 函数的积,它们的导数有相同的结构,我在考前曾经改变了一个导数为 的题目,和 高考题的导数 完全类似. 想不到 2017 年继续延续了 2016 的考法:两个因式都含有 ,且都含有参数,2018 年是不 是要考 了?比如编一个导数为 或导数数为 . 值得一提的是 2017 年(作为山东卷的关门题,还是给下一步的导数命题提供了一个新的思 路,留下了一些回忆)山东的考法,学习了 2016 全国的考法,却比全国卷更上一层, 这个导数为 . 总之,导数题命题关键是如何构造一个导数,使这个导数的讨论层次体现选拔性,达到压轴 的目的. 年份 题目及答案 2017 年 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 . (1)讨论 的单调性; (2)若 有两个零点,求 的取值范围. 解:(1)由于 故 当 时, , .从而 恒成立. 在 上单调递减 当 时,令 ,从而 ,得 . 单调减 极小值 单调增 综上,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增 (2)由(1)知, 当 时, 在 上单调减,故 在 上至多一个零点,不满足条件. ( 1)( )xx e a− − ( 1)( 2 )xx e a− + xe ln x ( ) ( 1)(ln )f x x x a′ = − − ( ) ( 2)(ln )xf x e x a′ = − − ( ) ( )( sin )f x x a x x′ = − − ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ( )f x ( )f x a ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ( ) ( ) ( )( )22 e 2 e 1 e 1 2e 1x x x xf x a a a′ = + − − = − + ① 0a ≤ e 1 0xa − < 2e 1 0x + > ( ) 0f x′ < ( )f x R ② 0a > ( ) 0f x′ = e 1 0xa − = lnx a= − x ( )ln a−∞ −, ln a− ( )ln a− + ∞, ( )f x′ − 0 + ( )f x 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( , ln )a−∞ − ( ln , )a− +∞ 0a ≤ ( )f x R ( )f x R 当 时, . 令 . 令 ,则 .从而 在 上单调 增,而 .故当 时, .当 时 .当 时 若 ,则 ,故 恒成立,从而 无零点, 不满足条件. 若 ,则 ,故 仅有一个实根 ,不满足 条件. 若 ,则 ,注意到 . . 故 在 上有一个实根,而又 . 且 . 故 在 上有一个实根. 又 在 上单调减,在 单调增,故 在 上至多两 个实根. 又 在 及 上均至少有一个实数根,故 在 上恰有两个实根. 综上, . 2016 年 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 有两个零点. (I)求 的取值范围; (II)设 是 的两个零点,证明: . 21.(I)解:因为 所以 0a > ( )min 1ln 1 lnf f a aa = − = − + ( ) 11 lng a aa = − + ( ) ( )11 ln 0g a a aa = − + > ( ) 2 1 1' 0g a a a = + > ( )g a ( )0 + ∞, ( )1 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a = ( ) 0g a = 1a > ( ) 0g a > 1a > ( )min 11 ln 0f a g aa = − + = > ( ) 0f x > ( )f x 1a = min 11 ln 0f aa = − + = ( ) 0f x = ln 0x a= − = 0 1a< < min 11 ln 0f aa = − + < ln 0a− > ( ) 2 21 1 0e e e a af − = + + − > ( )f x ( )1 ln a− −, 3 1ln 1 ln ln aa a  − > = −   3 3ln 1 ln 13 3ln( 1) e e 2 ln 1a af a aa a    − −           − = ⋅ + − − −          ( )3 3 3 31 3 2 ln 1 1 ln 1 0a aa a a a        = − ⋅ − + − − − = − − − >               ( )f x 3ln ln 1a a   − −     , ( )f x ( )ln a−∞ −, ( )ln a− + ∞, ( )f x R ( )f x ( )1 ln a− −, 3ln ln 1a a   − −     , ( )f x R 0 1a< < 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x= − + − a 1 2,x x ( )f x 1 2 2x x+ < ( ) ( )2( ) 2 1xf x x e a x= − + − ( ) ( ) ( ) ( )( )' 1 2 1 1 2x xf x x e a x x e a= − + − = − + ① 若 ,那么 , 只有唯一的零点 , 不合题意; ② 若 ,那么 , 所以当 时, , 单调递增 当 时, , 单调递减 即: 极小值 故 在 上至多一个零点,在 上至多一个零点 由于 , ,则 , 根据零点存在性定理, 在 上有且仅有一个零点,从而在 上只有 一个零点. 而当 时,考虑 其中 ,(罗比达法则,高等数学内容) 当 时, ,所以 ,所以在 上只有一个 零点. ③若 ,由 得 或 1) 当 即 时, , 单调递增, 至多一个零点, 不合题意. 2) 当 即 时,注意到 时,总有 ,只研究 时 当 时, , 单调递增, 至多一个零点,不合题意. 3)当 即 时,仍然是注意到 时,总有 ,只研究 时 0a = ( ) ( )0 2 0 2xf x x e x= ⇔ − = ⇔ = ( )f x 2x = 0a > 2 0x xe a e+ > > 1x > ( )' 0f x > ( )f x 1x < ( )' 0f x < ( )f x x ( ),1−∞ 1 ( )1,+∞ ( )'f x − 0 + ( )f x   ( )f x ( )1,+∞ ( ),1−∞ ( )2 0f a= > ( )1 0f e= − < ( ) ( )2 1 0f f < ( )f x ( )1,2 ( )1,+∞ 1x < ( ) ( )2lim ( ) lim[ 2 1 ]x x x f x x e a x→−∞ →−∞ = − + − 2 ( 2) 1lim lim lim 0( )x x xx x x x x e e e− − −→−∞ →−∞ →−∞ ′− −= = =′ − x → −∞ ( )21a x − → +∞ ( )f x → +∞ ( ),1−∞ 0a < ( ) 0f x′ = 1x = ln( 2 )x a= − ln( 2 ) 1a− = 2 ea = − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )f x ln( 2 ) 1a− < 02 e a− < < 1x ≤ ( ) 0f x < 1x > 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ln( 2 ) 1a− > 2 ea < − 1x ≤ ( ) 0f x < 1x > 而当 时, 由负变正, 先减后增, 至多一个零点,不合题 意. 综上所述, 的取值范围为 . ( II ) 证 法 一 : 不 妨 设 , 由 ( 1 ) 知 , , , 而 在 上单调递减,所以 , 注意到 ,因此只要证 . 而 , , 所以 考 虑 函 数 , 其 中 , 则 , 所以 单调递减,所以 ,从而 , 所以 . 证法二:由已知得: ,不难发现 , , 故可整理得: 设 ,则 那么 ,当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增. 设 ,构造代数式: 设 , 1x > ( )f x′ ( )f x ( )f x a ( )0,+∞ 1 2x x< 1 ( ,1)x ∈ −∞ 2 (1, )x ∈ +∞ 22 ( ,1)x− ∈ −∞ ( )f x ( ,1)−∞ 1 2 1 2 1 22 2 ( ) (2 )x x x x f x f x+ < ⇔ < − ⇔ > − 1( ) 0f x = 2(2 ) 0f x− < ( )2 22 2 2 2(2 ) 1xf x x e a x−− = − + − ( ) ( )2 2 2 2 2( ) 2 1 0xf x x e a x= − + − = ( )2 22 2 2 2(2 ) 2x xf x x e x e−− = − − − ( )2( ) 2x xg x xe x e−= − − − 1x > 2( ) ( 1)( ) (1) 0x xg x x e e g−′ ′= − − < = ( )( 1)g x x > ( ) (1) 0g x g< = 2(2 ) 0f x− < 1 2 2x x+ < ( ) ( )1 2 0f x f x= = 1 1x ≠ 2 1x ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 x xx e x ea x x − −− = = − − ( ) ( ) ( )2 2 1 xx eg x x −= − ( ) ( )1 2g x g x= ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1' 1 xxg x e x − += − 1x < ( )' 0g x < ( )g x 1x > ( )' 0g x > ( )g x 0m > ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 11 1 11 m m m mm m m mg m g m e e e em m m m + − −− − − + − + − − = − = + +  ( ) 21 11 mmh m em −= ++ 0m > 则 ,故 单调递增,有 . 因此,对于任意的 , . 由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上,不妨设 ,则 必有 令 ,则有 而 , , 在 上 单 调 递 增 , 因 此 : 整理得: . 2015 年 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ)当 为何值时, 轴为曲线 的切线; (Ⅱ)用 表示 中的最小值,设函数 , 讨论 零点的个数. 解:(Ⅰ)设曲线 与 轴相切于点 ,则 , ,即 ,解得 . 因此,当 时, 轴是曲线 的切线. ……5 分 (Ⅱ)当 时, ,从而 , ∴ 在(1,+∞)无零点. 当 =1 时,若 ,则 , ,故 =1 是 的零点;若 ,则 , ( ) ( ) 2 2 2 2' 0 1 mmh m e m = > + ( )h m ( ) ( )0 0h m h> = 0m > ( ) ( )1 1g m g m+ > − ( ) ( )1 2g x g x= 1x 2x ( )g x 1 2x x< 1 21x x< < 11 0m x= − > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 21 1 1 1 2g x g x g x g x g x+ − > − − ⇔ − > =       12 1x− > 2 1x > ( )g x ( )1,+∞ ( ) ( )1 2 1 22 2g x g x x x− > ⇔ − > 1 2 2x x+ < 3 1( ) , ( ) ln4f x x ax g x x= + + = − a x ( )y f x= min{ , }m n ,m n }{( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x= > ( )h x ( )y f x= x 0( ,0)x 0( ) 0f x = 0( ) 0f x′ = 3 0 0 2 0 1 04 3 0 x ax x a  + + =  + = 0 1 3,2 4x a= = 3 4a = x ( )y f x= (1, )x∈ +∞ ( ) ln 0g x x= − < ( ) min{ ( ), ( )} ( ) 0h x f x g x g x= ≤ < ( )h x x 5 4a ≥ − 5(1) 04f a= + ≥ (1) min{ (1), (1)} (1) 0h f g g= = = x ( )h x 5 4a < − 5(1) 04f a= + < ,故 =1 不是 的零点. 当 时, ,所以只需考虑 在(0,1)的零点个数. (ⅰ)若 或 ,则 在(0,1)无零点,故 在(0,1)单 调,而 , ,所以当 时, 在(0,1)有一个零点; 当 0 时, 在(0,1)无零点. (ⅱ)若 ,则 在(0, )单调递减,在( ,1)单调递 增,故当 = 时, 取的最小值,最小值为 = . ① 若 >0,即 < <0, 在(0,1)无零点. ② 若 =0,即 ,则 在(0,1)有唯一零点; ③ 若 <0,即 ,由于 , ,所以当 时, 在(0,1)有两个零点;当 时, 在(0,1) 有一个零点.…10 分 综上,当 或 时, 由一个零点;当 或 时, 有 两个零点;当 时, 有三个零点. ……12 分 2014 年 21. (本小题满分 12 分)设函数 ,曲线 在点(1, 处的切线为 . (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)证明: . 解:(Ⅰ) 函数 的定义域为 , 由题意可得 ,故 ……………6 分 (1) min{ (1), (1)} (1) 0h f g f= = < x ( )h x (0,1)x∈ ( ) ln 0g x x= − > ( )f x 3a ≤ − 0a ≥ 2( ) 3f x x a′ = + ( )f x 1(0) 4f = 5(1) 4f a= + 3a ≤ − ( )f x a ≥ ( )f x 3 0a− < < ( )f x 3 a− 3 a− x 3 a− ( )f x ( )3 af − 2 1 3 3 4 a a− + ( )3 af − 3 4 − a ( )f x ( )3 af − 3 4a = − ( )f x ( )3 af − 33 4a− < < − 1(0) 4f = 5(1) 4f a= + 5 3 4 4a− < < − ( )f x 53 4a− < ≤ − ( )f x 3 4a > − 5 4a < − ( )h x 3 4a = − 5 4a = − ( )h x 5 3 4 4a− < < − ( )h x 1 ( ) ln x x bef x ae x x − = + ( )y f x= (1)f ( 1) 2y e x= − + ,a b ( ) 1f x > ( )f x ( )0,+∞ 1 1 2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x − −′ = + − + (1) 2, (1)f f e′= = 1, 2a b= = (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,从而 等价于 设函数 ,则 ,所以当 时, , 当 时, ,故 在 单调递减,在 单调递增,从而 在 的最小值为  . ……………8 分 设函数 ,则 ,所以当 时, ,当 时, ,故 在 单调递增,在 单调递减,从而 在 的最小值为 . 综上:当 时, ,即 . ……………12 分 2013 年 (21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 = , = ,若曲线 和曲线 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 (Ⅰ)求 , , , 的值 (Ⅱ)若 ≥-2 时, ≤ ,求 的取值范围. 解:(Ⅰ)由已知得 , 而 = , = ,∴ =4, =2, =2, =2;……4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , , 设函数 = = ( ), = = , 有题设可得 ≥0,即 , 12( ) ln x x ef x e x x − = + ( ) 1f x > 2ln xx x xe e −> − ( ) lng x x x= ( ) lng x x x′ = + 10,x e  ∈   ( ) 0g x′ < 1 ,x e  ∈ +∞   ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      1 ,e  +∞   ( )g x ( )0,+∞ 1 1( )g e e = − 2( ) xh x xe e −= − ( )( ) 1xh x e x−′ = − ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x ( )g x ( )0,+∞ 1(1)h e = − 0x > ( ) ( )g x h x> ( ) 1f x > ( )f x 2x ax b+ + ( )g x ( )xe cx d+ ( )y f x= ( )y g x= 4 2y x= + a b c d x ( )f x ( )kg x k (0) 2, (0) 2, (0) 4, (0) 4f g f g′ ′= = = = ( )f x′ 2x b+ ( )g x′ ( )xe cx d c+ + a b c d 2( ) 4 2f x x x= + + ( ) 2 ( 1)xg x e x= + ( )F x ( ) ( )kg x f x− 22 ( 1) 4 2xke x x x+ − − − 2x ≥ − ( )F x′ 2 ( 2) 2 4xke x x+ − − 2( 2)( 1)xx ke+ − (0)F 1k ≥ 令 =0 得, = , =-2, (1)若 ,则-2< ≤0,∴当 时, <0,当 时, >0,即 在 单调递减,在 单调递增,故 在 = 取最小值 ,而 = = ≥0, ∴当 ≥-2 时, ≥0,即 ≤ 恒成立, (2)若 ,则 = , ∴当 ≥-2 时, ≥0,∴ 在(-2,+∞)单调递增,而 =0, ∴当 ≥-2 时, ≥0,即 ≤ 恒成立, (3)若 ,则 = = <0, ∴当 ≥-2 时, ≤ 不可能恒成立, 综上所述, 的取值范围为[1, ]. 2012 年 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 满足满足 ; (1)求 的解析式及单调区间; (2)若 ,求 的最大值. 解:(1) 令 得: 得: 在 上单调递增 得: 的解析式为 ( )F x′ 1x ln k− 2x 21 k e≤ < 1x 1( 2, )x x∈ − ( )F x 1( , )x x∈ +∞ ( )F x ( )F x 1( 2, )x− 1( , )x +∞ ( )F x x 1x 1( )F x 1( )F x 2 1 1 12 2 4 2x x x+ − − − 1 1( 2)x x− + x ( )F x ( )f x ( )kg x 2k e= ( )F x′ 2 22 ( 2)( )xe x e e+ − x ( )F x′ ( )F x ( 2)F − x ( )F x ( )f x ( )kg x 2k e> ( 2)F − 22 2ke−− + 2 22 ( )e k e−− − x ( )f x ( )kg x k 2e ( )f x 1 21( ) (1) (0) 2 xf x f e f x x−′= − + ( )f x 21( ) 2f x x ax b≥ + + ( 1)a b+ 1 2 11( ) (1) (0) ( ) (1) (0)2 x xf x f e f x x f x f e f x− −′ ′ ′= − + ⇒ = − + 1x = (0) 1f = 1 2 11( ) (1) (0) (1) 1 (1)2 xf x f e x x f f e f e− −′ ′ ′= − + ⇒ = = ⇔ = 21( ) ( ) ( ) 12 x xf x e x x g x f x e x′= − + ⇒ = = − + ( ) 1 0 ( )xg x e y g x′ = + > ⇒ = x R∈ ( ) 0 (0) 0, ( ) 0 (0) 0f x f x f x f x′ ′ ′ ′> = ⇔ > < = ⇔ < ( )f x 21( ) 2 xf x e x x= − + 且单调递增区间为 ,单调递减区间为 (2) 得 ①当 时, 在 上单调递增 时, 与 矛盾 ②当 时, 得:当 时, 令 ;则 当 时, 当 时, 的最大值为 2011 年 (21)(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 , 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 . (Ⅰ)求 、 的值; (Ⅱ)如果当 ,且 时, ,求 的取值范围. (21)解:(Ⅰ) 由于直线 的斜率为 ,且过点 ,故 即 解得 , . (0, )+∞ ( ,0)−∞ 21( ) ( ) ( 1) 02 xf x x ax b h x e a x b≥ + + ⇔ = − + − ≥ ( ) ( 1)xh x e a′ = − + 1 0a + ≤ ( ) 0 ( )h x y h x′ > ⇒ = x R∈ x → −∞ ( )h x → −∞ ( ) 0h x ≥ 1 0a + > ( ) 0 ln( 1), ( ) 0 ln( 1)h x x a h x x a′ ′> ⇔ > + < ⇔ < + ln( 1)x a= + min( ) ( 1) ( 1)ln( 1) 0h x a a a b= + − + + − ≥ 2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)( 1 0)a b a a a a+ ≤ + − + + + > 2 2( ) ln ( 0)F x x x x x= − > ( ) (1 2ln )F x x x′ = − ( ) 0 0 , ( ) 0F x x e F x x e′ ′> ⇔ < < < ⇔ > x e= max( ) 2 eF x = 1,a e b e= − = ( 1)a b+ 2 e ln( ) 1 a x bf x x x = ++ ( )y f x= (1, (1))f 2 3 0x y+ − = a b 0x > 1x ≠ ln( ) 1 x kf x x x > +− k 2 2 1( ln ) '( ) ( 1) x x bxf x x x α + − = −+ 2 3 0x y+ − = 1 2 − (1,1) (1) 1, 1'(1) ,2 f f = = − 1, 1 ,2 2 b a b = − = − 1a = 1b = (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,所以 . 考虑函数 ,则 . (i)设 ,由 知,当 时, .而 , 故当 时, ,可得 ; 当 x (1,+ )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 从而当 x>0,且 x 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . (ii )设 00, 故 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0, 与题设矛盾. (iii )设 k 1. 此时 h’ (x )>0, 而 h (1 )=0 ,故当 x (1 ,+ )时,h (x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(- ,0] 十九、解析几何大题: 7 年 7 考,每年 1 题.特点:全国Ⅰ卷中,载体用过圆、抛物线和椭圆!不侧重两类圆锥 曲线的整合,只侧重于直线与圆锥曲线的联系.圆锥曲线一定过方法关、运算关.其实近几年 的圆锥曲线题目更侧重于运算.方法还是比较常规的.为什么这样呢?这与命题人的苦衷有关 系,因为圆锥曲线是压轴题,压轴题不能简单,简单了肯定不行.但太难、或是思维量太大又 怕把很多人拒之门外,所以又不敢出思维量太大的题目,最后就只剩下运算了,谁有能耐谁就 能算出来,没有能耐就算不出来,但不能说题目难. 年份 题目及答案 2017 年 20. (12分)已知椭圆 : ,四点 , , , ln 1 1 x x x ++ 2 2 ln 1 ( 1)( 1)( ) ( ) (2ln )1 1 x k k xf x xx x x x − −− + = +− − ( ) 2lnh x x= + 2( 1)( 1)k x x − − ( 0)x > 2 2 ( 1)( 1) 2'( ) k x xh x x − + += 0k ≤ 2 2 2 ( 1) ( 1)'( ) k x xh x x + − −= 1x ≠ '( ) 0h x < (1) 0h = (0,1)x∈ ( ) 0h x > 2 1 ( ) 01 h xx >− ∈ ∞ 21 1 x− ≠ 1 ln −x x x k 1 ln −x x x k ∈ k−1 1 ∈ k−1 1 21 1 x− ≥ ∈ ∞ 21 1 x− ∞ C 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > ( )1 1 1P , ( )2 0 1P , 3 31 2P  −    , 中恰有三点在椭圆 上. (1)求 的方程; (2)设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点,若直线 与直线 的斜率的和为 , 证明: 过定点. 解:(1)根据椭圆对称性,必过 、 又 横坐标为 1,椭圆必不过 ,所以过 三点 将 代入椭圆方程得 ,解得 , ∴椭圆 的方程为: . (2) 当斜率不存在时,设 得 ,此时 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足题意. 当斜率存在时,设 联立 ,整理得 则 ,此时 ,存在 使得 成立. ∴直线 的方程为 ,即 当 , 时,上式恒成立,所以 过定点 . (2)的解法 2:由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在, 4 31 2P       , C C l 2P C A B 2P A 2P B 1− l 3P 4P 4P 1P 2 3 4P P P, , ( )2 3 30 1 1 2P P  −    , , , 2 2 2 1 1 3 1 4 1 b a b  =   + = 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ① ( ) ( ): t A Al x A t y B t y= −, , , , 2 2 1 1 2 1A A P A P B y yk k t t t − − − −+ = + = = − 2t = l ② ( )1l y kx m m= + ≠∶ ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y, , , 2 24 4 0 y kx m x y = +  + − = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 8 ,1 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k −⋅ = + 2 2 1 2 1 2 1 1 P A P B y yk k x x − −+ = + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 x kx m x x kx m x x x + − + + −= 2 2 2 2 2 8 8 8 8 1 4 4 4 1 4 km k km km k m k − − + += − + ( ) ( )( ) 8 1 1 14 1 1 k m mm m −= = − ≠+ − , 2 1m k∴ = − − 64k∆ = − k 0∆ > l 2 1y kx k= − − ( 2) ( 1) 0k x y− + + = 2x = 1y = − l ( )2 1−, 不妨设直线 P2A 为: ,P2B 为: . 联立 , 假设 , 此时可得: , 此时可求得直线的斜率为: , 化简可得 ,此时满足 . ○1 当 时,AB 两点重合,不合题意. ○2 当 时,直线方程为: , 即 , 当 时, ,因此直线恒过定点 . 2016 年 (20)(本小题满分 12 分) 设圆 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合, 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 为定值,并写出点E的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积 的取值范围. (I) 圆 A 整理为 , 1y kx= + ( )1 1y k x= − + ( )2 22 2 1 4 1 8 0 14 y kx k x kxx y = + ⇒ + + = + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1 k kk kA Bk k k k  + − + − −     + + + + + +    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk − + −− ++ +−= = +− −− ++ + ( )2 1 1 2ABk k = − + 1 2k ≠ − 1 2k = − 1 2k ≠ − ( ) 2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk − = − + + + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1 2 k k x y k + − + = − + 2x = 1y = − ( )2, 1− 2 2 2 15 0x y x+ + − = l EA EB+ l l ( )2 21 16x y+ + = 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 14 12 10 8 6 4 2 2 4 x E D A B C A 坐标 ,…………1 分 如图, ,则 ,…………2 分 由 , 则 …………3 分 所以由椭圆的定义得 E 的轨迹为方程为 ,( ).…………4 分 (II)由题意 ,设 ,……5 分 因为 ,设 ,…………6 分 联立 得 ,…………7 分 所以 ;…8 分 圆心 到 距离 ,…………9 分 所以 ,…………10 分 …………11 分 因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 所以 ,所以 所以四边形 MPNQ 面积的取值范围是 …………12 分 ( )1,0− BE AC ∥ C EBD=∠ ∠ ,AC AD D C= =则∠ ∠ EBD D∴ =∠ ∠ , EB ED= 4AE EB AE ED AD∴ + = + = = 2 2 14 3 x y+ = 0y ≠ 2 2 1 : 14 3 x yC + = : 1l x my= + PQ l⊥ ( ): 1PQ y m x= − − 1l C与椭圆 2 2 1 14 3 x my x y = + + = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 36 36 3 4 12 1 | | 1 | | 1 3 4 3 4M N m m m MN m y y m m m + + + = + − = + =+ + A PQ ( ) 2 2 | 1 1 | | 2 | 1 1 m md m m − − −= = + + 2 2 2 2 2 2 4 4 3 4| | 2 | | 2 16 1 1 m mPQ AQ d m m += − = − =+ + ( )2 2 2 2 2 2 2 12 11 1 4 3 4 24 1 1| | | | 24 12 2 3 4 1 3 4 3 1 MPNQ m m mS MN PQ m m m m + + +∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ = =+ + + + + 2 1 1m + ≥ 2 10 11m < ≤+ 2 13 3 41m < + ≤+ 2 1 1 1 14 331m < ≤ ++ 2 1 1 3 12 331m < ≤ ++ MPNQS )12,8 3∈  [12,8 3). 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 12 10 8 6 4 2 2 4 x Q P N M A B 2015 年 (20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 中,曲线 C: 与直线 交与 两点, (Ⅰ)当 时,分别求 C 在点 和 处的切线方程; (Ⅱ) 轴上是否存在点 P,使得当 变动时,总有 ?说明理 由. 解:(Ⅰ)由题设可得 , ,或 , . ∵ ,故 在 = 处的到数值为 ,C 在 处的切线方程 为 ,即 . 故 在 =- 处的到数值为- ,C 在 处的切线方程为 ,即 . 故所求切线方程为 或 . ……5 分 (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, , ,直线 PM,PN 的斜率分别 为 . 将 代入 C 得方程整理得 . ∴ . ∴ = = . 当 时,有 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 符合题意. ……12 分 2014 年 20. (本小题满分 12 分) 已知点 (0,-2),椭圆 : 的离心 xOy 2 4 xy = : ( 0)l y kx a a= + > ,M N 0k = M N y k OPM OPN∠ = ∠ (2 , )M a a ( 2 2, )N a− ( 2 2, )M a− (2 , )N a a 1 2y x′ = 2 4 xy = x 2 2a a (2 2 , )a a ( 2 )y a a x a− = − 0ax y a− − = 2 4 xy = x 2 2a a ( 2 2 , )a a− ( 2 )y a a x a− = − + 0ax y a+ + = 0ax y a− − = 0ax y a+ + = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1 2,k k y kx a= + 2 4 4 0x kx a− − = 1 2 1 24 , 4x x k x x a+ = = − 1 2 1 2 1 2 y b y bk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 2 2 ( )( )kx x a b x x x x + − + ( )k a b a + b a= − 1 2k k+ (0, )P a− A E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 率为 , 是椭圆的焦点,直线 的斜率为 , 为坐标原点. (Ⅰ)求 的方程;(Ⅱ)设过点 的直线 与 相交于 两点,当 的面积 最大时,求 的方程. 解:(Ⅰ) 设 ,由条件知 ,得  又 , 所以 a=2, ,故 的方程 . ……….6 分 (Ⅱ)依题意当 轴不合题意,故设直线 l: ,设 将 代入 ,得 , 当 ,即 时, 从而   又点 O 到直线 PQ 的距离 ,所以 OPQ 的面积 , 设 ,则 , , 当且仅当 , 等号成立,且满足 ,所以当 OPQ 的面积最大时, 的方程为: 或 . …………………12 分 2013 年 (20)(本小题满分 12 分) 已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内 切,圆心 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 3 2 F AF 2 3 3 O E A l E ,P Q OPQ∆ l ( ),0F c 2 2 3 3c = 3c = 3 2 c a = 2 2 2 1b a c= − = E 2 2 14 x y+ = l x⊥ 2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2y kx= − 2 2 14 x y+ = ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = 216(4 3) 0k∆ = − > 2 3 4k > 2 1,2 2 8 2 4 3 1 4 k kx k ± −= + 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 1 4 k kPQ k x x k + −= + − = +  2 2 1 d k = + ∆ 2 2 1 4 4 3 2 1 4OPQ kS d PQ k∆ −= = + 24 3k t− = 0t > 2 4 4 144OPQ tS t t t ∆ = = ≤+ + 2t = 7 2k = ± 0∆ > ∆ l 7 22y x= − 7 22y x= − − M 2 2( 1) 1x y+ + = N 2 2( 1) 9x y− + = P M N P l P M l 的半径最长时,求|AB|. 解:由已知得圆 的圆心为 (-1,0),半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半 径 =3.设动圆 的圆心为 ( , ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴|PM|+|PN|= = =4,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 . (Ⅱ)对于曲线C上任意一点 ( , ),由于|PM|-|PN|= ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 , 当 的倾斜角为 时,则 与 轴重合,可得|AB|= . 当 的倾斜角不为 时,由 ≠R知 不平行 轴,设 与 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),∴设 : ,由 于圆M相切得 ,解 得 . 当 = 时,将 代入 并整理得 , 解得 = ,∴|AB|= = . 当 =- 时,由图形的对称性可知|AB|= , 综上,|AB|= 或|AB|= . 2012 年 (20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 的焦点为 ,准线为 , ,已知以 为圆心, 为半径的圆 交 于 两点; M M 1r N N 2r P P x y P M N 1 2( ) ( )R r r R+ + − 1 2r r+ 3 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ − P x y 2 2R − 2 2( 2) 4x y− + = l 090 l y 2 3 l 090 1r l x l x | | | | QP QM 1 R r l ( 4)y k x= + l 2 | 3 | 1 1 k k = + 2 4k = ± k 2 4 2 24y x= + 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ − 27 8 8 0x x+ − = 1,2x 4 6 2 7 − ± 2 1 21 | |k x x+ − 18 7 k 2 4 18 7 18 7 2 3 2: 2 ( 0)C x py p= > F l A C∈ F FA F l ,B D (1)若 , 的面积为 ;求 的值及圆 的方程; (2)若 三点在同一直线 上,直线 与 平行,且 与 只有一个公 共点,求坐标原点到 距离的比值. 解:(1)由对称性知: 是等腰直角 ,斜边 点 到准线 的距离 圆 的方程为 (2)由对称性设 ,则 点 关于点 对称得: 得: ,直线 切点 直线 坐标原点到 距离的比值为 . 2011 年 (20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA•AB = MB•BA,M 点的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由题意得知( + )• =0, 090=∠BFD ABD∆ 24 p F , ,A B F m n m n C ,m n BFD∆ ∆ 2BD p= A l 2d FA FB p= = = 14 2 4 2 22ABDS BD d p∆ = ⇔ × × = ⇔ = F 2 2( 1) 8x y+ − = 2 0 0 0( , )( 0)2 xA x xp > (0, )2 pF ,A B F 2 2 2 20 0 0 0( , ) 32 2 2 x x pB x p p x pp p − − ⇒ − = − ⇔ = 3( 3 , )2 pA p 3 32 2: 3 02 23 p p p pm y x x y p − = + ⇔ − + = 2 2 3 32 2 3 3 x xx py y y x pp p ′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6 p pP 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6 p pn y x x y p− = − ⇔ − − = ,m n 3 3: 32 6 p p = MA MB AB MA MB AB 即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. (Ⅱ)设 P(x ,y )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 的斜率为 x , 因此直线 的方程为 ,即 . 则 O 点到 的距离 .又 ,所以 当 =0 时取等号,所以 O 点到 距离的最小值为 2. 二十、坐标系与参数方程大题: 7 年 7 考,而且是作为 2 个选做大题之一出现的,主要考查两个方面:一是极坐标方程 与普通方程的转化,二是极坐标方程的简单应用,难度较小. 年份 题目及答案 22. 22.(本小题满分 10 分)[选修 4-4:坐标系与参考方程] 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程 为 ( 为参数). 23. (1)若 ,求 与 的交点坐标; (2)若 上的点到 距离的最大值为 ,求 . 24.解:(1) 时,直线 的方程为 . 曲线 的标准方程是 , 联立方程 ,解得: 或 , 则 与 交点坐标是 和 (2)直线 一般式方程是 . 设曲线 上点 . 则 到 距离 ,其中 . 依题意得: ,解得 或 1 4 2 0 0 1 4 2 ' 1 2 l 1 2 0 l 0 0 0 1 ( )2y y x x x− = − 2 0 02 2 0x x y y x− + − = l 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y xd x −= + 2 0 0 1 24y x= − 2 0 2 02 2 0 0 1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4 x d x x x + = = + + ≥ + + 2 0x l xOy C 3cos sin x y θ θ =  = , , θ l 4 1 x a t y t = +  = − , , t 1a = − C l C l 17 a 1a = − l 4 3 0x y+ − = C 2 2 19 x y+ = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l ( )3 0, 21 24 25 25  −  , l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos sinp θ θ, P l ( )5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4 ϕ = 17maxd = 16a = − 8a = 2016 年 (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数,a>0) 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: . (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 ,其中满足 =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 . 解:(I) ( 均为参数),∴ ① ∴ 为以 为圆心, 为半径的圆.方程为 ∵ ,∴ 即为 的极坐标方程 (II) 两边同乘 得 即 ② :化为普通方程为 由题意: 和 的公共方程所在直线即为 ①—②得: ,即为 ∴ ,∴ 2015 年 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,直线 : ,圆 ,以坐标原点为极 点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 ,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标为 = (ρ R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面 积. cos , 1 sin , x a t y a t =  = + cosaρ θ= 0 θ α= 0tanα 0 α cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 1C ( )0 1, a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =, 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=: ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = , 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a = xOy 1C 2x = − 2 2 2 :( 1) ( 2) 1C x y− + − = x 1C θ 4 π ∈ 2014 年 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 ,直线 ( 为参数) (1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程; (2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30°的直线,交 于点 ,求 的最大值与 最小值. (3)解:(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ( 为参数), 直线 l 的普通方程为: ………5 分 (Ⅱ)(2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 ,则 ,其中 为锐角.且 .当 时, 取得最大值,最大值为 ; 当 时, 取得最小值,最小值为 . …………10 分 2013 年 23.(本小题满分 10 分)修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 194: 22 =+ yxC    −= += ty txl 22 2: t C l C P l l A PA 2cos 3sin x y θ θ =  = θ 2 6 0x y+ − = θ θ 5 4cos 3sin 65d θ θ= + − ( )0 2 5| | 5sin 6sin30 5 dPA θ α= = + − α 4tan 3 α = ( )sin 1θ α+ = − | |PA 22 5 5 ( )sin 1θ α+ = | |PA 2 5 5 4 5cos , 5 5sin x t y t = +  = + 4 5cos , 5 5sin x t y t = +  = + 将 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. 由 解得 或 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 , . 2012 年 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 .正方形 ABCD 的顶点 都在 上, 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 为 上任意一点,求 的取值范围. 解:(1)曲线 的参数方程 化为直角坐标方程为 , 曲线 的极坐标方程 化为直角坐标方程为 , 因为点 A 的极坐标为(2, ),所以点 B 的极坐标为(2, ), 点 C 的极坐标为(2, ),点 D 的极坐标为(2, ), 因此点 A 的直角坐标为(1, ),点 B 的直角坐标为( ,1), 点 C 的直角坐标为(-1,- ),点 D 的直角坐标为( ,-1). (2)设 P( , ),则 cos , sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2 2 8 10 16 0, 2 0 x y x y x y y  + − − + =  + − = 1, 1 x y =  = 0, 2. x y =  = π2, 4      π2, 2      1C    = = ϕ ϕ sin3 cos2 y x ϕ x 2C 2=ρ 2C 3 π P 1C 2222 |||||||| PDPCPBPA +++ 1C    = = ϕ ϕ sin3 cos2 y x 2 2 14 9 x y+ = 2C 2=ρ 2 2 4x y+ = 3 π 5 6 π 4 3 π 11 6 π 3 3− 3 3 2cosϕ 3sinϕ 2222 |||||||| PDPCPBPA +++ 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − + + + − 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + + − + + 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − + + + − 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + + − + + . 因为 ,因此 的取值范围为[32,52]. 2011 年 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 的参数方程为 为参数),M 为 上的 动点,P 点满足 ,点 P 的轨迹为曲线 . (I)求 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 与 的异于极 点的交点为 A,与 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 解:(I)设 P(x,y),则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1 上,所以 即 从而 的参数方程为 ( 为参数) (Ⅱ)曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的极坐标方程为 . 射线 与 的交点 的极径为 , 射线 与 的交点 的极径为 . 所以 . 二十一、不等式大题: 7 年 7 考,而且是作为 2 个选做大题之一出现的,主要考绝对值不等式的解法(出现频 率太高了,应当高度重视),偶尔也考基本不等式.全国卷很少考不等式小题,如果说考的话, 可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题.不等式作为一种工具,解题经常用到,不单独 命小题显然也是合理的.不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现. 年份 题目及答案 2017 年 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已 已知函数 (1)当 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; 220sin 32ϕ= + [32,52]∈ 20 sin 1ϕ≤ ≤ 2222 |||||||| PDPCPBPA +++ 1C 2cos (2 2sin x y α αα =  = + 1C 2OP OM=  2C 2C 3 πθ = 1C 2C 2,2 YX 2cos ,2 2 2sin2 x y α α  =  = + 4cos 4 4sin x y α α =  = + 2C 4cos 4 4sin x y α α =  = + α 1C 4sinρ θ= 2C 8sinρ θ= 3 πθ = 1C A 1 4sin 3 πρ = 3 πθ = 2C B 2 8sin 3 πρ = 2 1| | | | 2 3AB ρ ρ−= = 2( ) 4, ( ) | 1| | 1|f x x ax g x x x= − + + = + + − 1a = (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围. 解:(1)当 时, 等价于 , 当 时, ,无解; 当 时, ,解得 ; 当 时, , 解得 . 综上所述, 解集为 . (2)依题意得: 在 恒成立. 即 在 恒成立. 则只须 ,解出: . 故 取值范围是 . 2016 年 (24)(本小题满分 10 分),选修 4—5:不等式选讲 已知函数 . (I)画出 的图像; (II)求不等式 的 解集. 24.解:(I) 如图所示: (II) 当 , ,解得 或 当 , , 解 得 或 或 当 , ,解得 或 ( ) | 1| | 2 3|f x x x= + − − ( )y f x= | ( ) | 1f x > ( ) 4 1 33 2 1 2 34 2 x x f x x x x x   − − = − − < <   − , ≤ , , ≥ ( ) 1f x > 1x −≤ 4 1x − > 5x > 3x < 1x −∴ ≤ 31 2x− < < 3 2 1x − > 1x > 1 3x < 11 3x− < <∴ 31 2x< < 3 2x≥ 4 1x− > 5x > 3x < 1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 1 1 4 0x x x x− + + + − − ≤ 1x < − 2 3 4 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤ 2 2 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤ 1x > 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x − +< ≤ ( ) ( )f x g x≥ 1 17{ |1 }2x x − +< ≤ 2 4 2x ax− + + ≥ [ ]1 1− , 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1 1− , ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 a a  − ⋅ − − − − − ≤ ≤ 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1 1− , 或 综上, 或 或 ,解集为 2015 年 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 , . (Ⅰ)当 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)若 的图象与 轴围成的三角形面积大于 6,求 的取值范围. 2014 年 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 且 (I)求 的最小值; (II)是否存在 ,使得 ?并说明理由. 解:(Ⅰ) 由 ,得 ,且当 时等号成立, 故 ,且当 时等号成立, 3 32 x <∴ ≤ 5x > 1 3x < 1 3x< < 5x > ( ) 1f x >∴ ( ) ( )1 1 3 53  −∞ + ∞    , , , ( ) | 1| 2 | |f x x x a= + − − 0a > 1a = ( ) 1f x > ( )f x x a ,0,0 >> ba abba =+ 11 33 ba + ba, 632 =+ ba 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3 3 33 4 2a b a b+ ≥ = 2a b= = ∴ 的最小值为 . ………5 分 (Ⅱ)由 ,得 ,又由(Ⅰ)知 ,二者矛盾, 所以不存在 ,使得 成立. ……………10 分 2013 年 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 则 y= 其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x ∈ (0,2) 时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ 时,f(x)=1+a. 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. 所以 x≥a-2 对 x∈ 都成立.故 ≥a-2,即 a≤ . 从而 a 的取值范围是 . 2012 年 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若 的解集包含[1,2],求 的取值范围. 解:(1)当 时, . 所以不等式 可化为 3 3a b+ 4 2 6 2 3 2 6a b ab= + ≥ 3 2ab ≤ 2ab ≥ ,a b 2 3 6a b+ = 1[ , )2 2 a− 15 , ,2 12, 1,2 3 6, 1. x x x x x x − < − − ≤ ≤  − >  1,2 2 a −   1,2 2 a −   2 a− 4 3 41, 3  −   ( ) | | | 2 |f x x a x= + + − 3−=a 3)( ≥xf |4|)( −≤ xxf a 3−=a 5 2 ( 2) ( ) | 3| | 2 | 1 (2 3) 2 5 ( 3) x x f x x x x x x − < = − + − = ≤ ≤  − > 3)( ≥xf ,或 ,或 . 解得 ,或 . 因此不等式 的解集为 或 . (2)由已知 即为 , 也即 . 若 的 解 集 包 含 [1 , 2] , 则 , , 也就是 , , 所以 , ,从而 , 2011 年 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 ,其中 . (I)当 a=1 时,求不等式 的解集. (II)若不等式 的解集为{x| ,求 a 的值. 解:(Ⅰ)当 时, 可化为 . 由此可得 或 .故不等式 的解集为 或 . (Ⅱ) 由 得 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为 ,所以不等式组的解集为 由题设可得 = ,故 . 2 5 2 3 x x <  − ≥ 2 3 1 3 x≤ ≤  ≥ 3 2 5 3 x x >  − ≥ 1x ≤ 4x ≥ 3)( ≥xf { | 1x x ≤ 4}x ≥ |4|)( −≤ xxf | | | 2 | | 4 |x a x x+ + − ≤ − | | | 4 | | 2 |x a x x+ ≤ − − − |4|)( −≤ xxf [1,2]x∀ ∈ | | | 4 | | 2 |x a x x+ ≤ − − − [1,2]x∀ ∈ | | 2x a+ ≤ [1,2]x∀ ∈ 2 2 x a x a + ≥ −  + ≤ 1 2 2 2 a a + ≥ −  + ≤ ( ) | | 3f x x a x= − + 0a > ( ) 3 2f x x≥ + ( ) 0f x ≤ 1}x ≤ − 1a = ( ) 3 2f x x≥ + | 1| 2x − ≥ 3x ≥ 1x ≤ − ( ) 3 2f x x≥ + { | 3x x ≥ 1}x ≤ − ( ) 0f x ≤ 3 0x a x− + ≤ 3 0 x a x a x ≥  − + ≤ 3 0 x a a x x ≤  − + ≤ 4 x a ax ≥ ≤ 2 x a aa ≤ ≤ − 0a > { }| 2 ax x ≤ − 2 a− 1− 2a = 参考资料: 不等式恒成立问题中的参数求法 已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点,这里汇集了 这类问题的通法和巧法,包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离 法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等,都是高考压轴题最常用到的方法. 一、 直接求导法 题目:当 时, 恒成立,求 的取值范围. 分 析 : 注 意 型 函 数 不 分 离 最 好 , 这 里 是 有 理 函 数 , 它 的 导 数 为 ,这里 是有理函数,容易讨论其性质. 解: , 由 可知,我们可以按照二次函数的讨论要求处理,比较复杂, 于是可以考虑分离参数 , 即 , 注 意 到 当 时 , , 所 以 当 时 , , 是 增 函 数 , 所 以 , 当 时, 可解得 ,即当 时, 是减函数, 所以 ,不合题意. 综上, 的取值范围 . 二、二次求导法 题目:当 时, 恒成立,求 的取值范围. ln x (0,1)x∈ 1( ) 11 axxf x ex −+= >− a ( )xe f x ( )f x [ ( )] ( )x xe f x e f x′ = + ( ) [ ( ) ( )]x xe f x e f x f x′ ′= + ( ) ( )f x f x′+ 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )1 1 (1 ) 1 ax ax ax axx x xf x e e e e ax x x x − − − −+ + +′ ′ ′= + = + −− − − −  2 2 (1 )[ ](1 ) 1 ax a xe x x − += − =− − 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2[ ](1 ) (1 ) (1 ) ax axa x ax ae ex x x − −− + −− =− − − 2 2ax a+ − a 2 2 2 2 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1)( ) ( 1)( )1 1ax a a x x a x ax x + − = − + = − + = − −− − (0,1)x∈ 2 2 (2, )1 x ∈ +∞− 2a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) (0) 1f x f> = 2a > 2 2 2( ) 0(1 ) axax af x ex −+ −′ = <− 20 ax a −< < 20 ax a −< < ( )f x ( ) (0) 1f x f< = a ( ,2]−∞ 0x ≥ 2( ) 1 0xf x e x ax= − − − ≥ a 分析: 型函数一般用到二次求导法. 解: , , 因为 ,所以 , 当 即 时, , 是增函数,所以 ,所以 是增函数,所以 ; 当 即 时,则当 时, , 是减函数,所以 ,所以 是减函数,所以 . 所以 的取值范围 . 三、特值压缩法 题目:当 时, 恒成立,求 的取值范围. 分析:特值法先压缩参数范围,可以大大减少讨论步骤,但是这是一个特殊方法,不被重视. 解:由 得 得 , , 当 时,由 得 , 当 时,显然当 时, , 为增函数,从而 , 当 时,则 ,所以 当 时, , 为减函数, 当 时, , 为增函数, 所以 的最小值为 2( ) xf x ke ax bx c= + + + ( ) 1 2xf x e ax′ = − − ( ) 2xf x e a′′ = − 0x ≥ 1xe ≥ 2 1a ≤ 1 2a ≤ ( ) 0f x′′ ≥ ( )f x′ ( ) (0) 0f x f′ ′≥ = ( )f x ( ) (0) 0f x f≥ = 2 1a > 1 2a > 0 ln(2 )x a< < ( ) 0f x′′ < ( )f x′ ( ) (0) 0f x f′ ′< = ( )f x ( ) (0) 0f x f< = a 1( , ]2 −∞ 2x ≥ − 2( ) 2 ( 1) 4 2 0xf x ke x x x= + − − − ≥ k 2 2 0 2 ( 2) 2 ( 2 1) ( 2) 4 ( 2) 2 0 (0) 2 (0 1) 0 4 0 2 0 f ke f ke − − = − + − − − × − − ≥  = + − − × − ≥ 22 2 0 2 2 0 ke k −− + ≥  − ≥ 21 k e≤ ≤ ( ) 2 [ ( 1) ] 2 4 2( 2)( 1)x x xf x k e x e x x ke′ = + + − − = + − 21 k e≤ ≤ ( ) 2( 2)( 1) 0xf x x ke′ = + − = 21 1[ ,1] ln [ 2,0]xe e xk k −= ∈ ⇒ = ∈ − 2k e= 2x ≥ − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ) ( 2) 0f x f≥ − = 21 k e≤ < 1ln ( 2,0]k ∈ − 1( 2,ln )x k ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x 1(ln , )x k ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x 1ln 21 1 1 1(ln ) 2 (ln 1) (ln ) 4(ln ) 2kf kek k k k = + − − − , 所以求 的取值范围是 . 四、分离 法 题目:当 且 时, 恒成立,求 的取值范围. 分析:把 分离出来可以使导数非常简单. 解: (这一步的目的是提取因式 ,分离出 ,由于 的符号不确定,所以分类讨论如下) 令设 ,于是原题等价于 ,若是通分,分子是一个关于 的二次函数,讨论比较复杂, 不如再次提取 ,分离参数 ,这样会转化为对号函数,可谓一举两得: 于是 令 ,由对号函数的单调性, 在 单调递减, 当 时, ,从而 ,所以当 , 即 时, 恒成立,从而 为增函数,所以 恒成立; 当 时, ,所以存在 ,使得当 时, ,从而 为减函数,所以 ,不合题意. 2 21 1 1 1 12(ln 1) (ln ) 4(ln ) 2 (ln ) 2lnk k k k k = + − − − = − − 2 21 1(ln ) 2ln (ln ) 2ln (2 ln )(ln ) 0k k k kk k = − − = − + = − ≥ k 21 k e≤ ≤ ln x 0x > 1x ≠ ln 1 ln 1 1 x x k x x x x + > ++ − k ln x 2 ln ln 1 1 1 1 2 1( ) ( )ln ln1 1 1 1 1 x x k k kx xx x x x x x x x x − − −− − − = − − = −+ − + − − 2 2 2 1 1 1 1[ 2ln ( 1)] [ 2ln ( 1)( )]1 1 kx x x k xx x x x −= − − × − = − − − −− − 2 1 1x − ln x 2 1 1x − 1( ) 2ln ( 1)( )g x x k x x = − − − − ( ) 0, (1, ) ( ) 0, (0,1) g x x g x x > ∀ ∈ +∞  < ∀ ∈ 2 2 1( ) ( 1)(1 )g x kx x ′ = − − − + x 2 1(1 )x + k 2 2 2 2 1 1 2 1( ) ( 1)(1 ) (1 )[ ( 1)]11 g x k kx x x x x ′ = − − − + = + − × − − + 2 2 1 2 1 2(1 )[ ( 1)] (1 ) ( 1)1 1k kx xx xx x    = + − − − = + − − −   + +  2( ) 1h x x x = + ( )h x (1, )+∞ 1x > 1 2x x + > ( ) (0,1)h x ∈ ( 1) 1k− − ≥ 0k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ) (1) 0g x g> = 0k > ( 1) 1k− − < 0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g< = 同理可讨论当 时, 仍然是 时, 恒成立,从而 为增函数,所以 恒成立; 当 时, ,所以存在 ,使得当 时, ,从而 为减函数,所 以 ,不合题意. 综上, 五、重构函数法 题目: 恒成立,求 的最大值. 分析:构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型. 解:令 ,则 (1)当 时, , 在 R 上单调递增,当 时, ,不合题意. (2)当 时,则当 时, , 是减函数, 当 时, , 是增函数, 所以当 时, , 所以 ,所以 ,其中 , 令 ,则 , 当 时, , 是增函数, 当 时, , 是减函数, 所以当 时, , 所以 的最大值是 . 六、解不等式法 题目:设函数 . (1)证明: 在 单调递减,在 单调递增; (2)若对于任意 ,都有 ,求 m 的取值范围. 分析:求参数范围时,把参数看成未知数,解不等式. 0 1x< < 0k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ) (1) 0g x g< = 0k > ( 1) 1k− − < 0 (0,1)x ∈ 0( ,1)x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g> = 0k ≤ ( 1) 0xe a x b− + − ≥ ( 1)a b+ ( ) ( 1)xf x e a x b= − + − ( ) ( 1)xf x e a′ = − + 1 0a + ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x x → −∞ ( )f x → −∞ 1 0a + > ln( 1)x a< + ( ) 0f x′ < ( )f x ln( 1)x a> + ( ) 0f x′ > ( )f x ln( 1)x a= + min( ) (ln( 1)) 1 ( 1)ln( 1) 0f x f a a a a b= + = + − + + − ≥ 1 ( 1)ln( 1)b a a a≤ + − + + 2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)a b a a a+ ≤ + − + + 1 0a + > 2 2( ) ln ( 0)g x x x x x≤ − > ( ) 2 (2 ln ) (1 2ln )g x x x x x x x′ = − + = − 0 x e< < ( ) 0g x′ > ( )g x x e> ( ) 0g x′ < ( )g x x e= max 1( ) ( ) 2 2 eg x g e e e= = − × = ( 1)a b+ 2 e 2( ) mxf x e x mx= + − ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1 2, [ 1,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x e− ≤ − 解:(1) , , 因为 ,所以 在 上是增函数,注意到 ,所 以当 时, ,当 时, ,所以 在 单调递减,在 单调递增. (2)由(1)可知, 在 上的最小值为 , 的最大值是 和 ,所以 的最大值为 或 , 所以只要 或 , 令 ,则 , 当 时, , 是减函数, 当 时, , 是增函数, 而 , ,且 ,所以存在 ,使得 ,所以由 即 可得 ,其中 ① 而 即 ,所以 , 即 ,其中 ,② 由①、②得 . 七、设而不求法 已知函数 ,(1)设 ,当 时, ,求 的最大值, (2)已知 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 分析:设而不求那些不容易求出的极值点. 解:(1) , , 令 ,则 , 所以 , ( ) 2mxf x me x m′ = + − 2( ) 2mxf x m e′′ = + 2( ) 2 0mxf x m e′′ = + > ( ) 2mxf x me x m′ = + − R (0) 0f ′ = 0x < ( ) (0) 0f x f′ ′< = 0x > ( ) (0) 0f x f′ ′> = ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )f x [ 1,1]− (0) 1f = ( )f x (1) 1mf e m= + − ( 1) 1mf e m−− = + + 1 2| ( ) ( ) |f x f x− me m− me m− + 1m ee m ≤ −− 1m ee m− ≤ −+ ( ) mg m e m= − ( ) 1mg m e′ = − 0m < ( ) 0g m′ < ( )g m 0m > ( ) 0g m′ > ( )g m (1) 1g e= − 1( 1) 1g e − = + (1) ( 1)g g> − 0 1m < − 0( ) (1)g m g= 1m ee m ≤ −− ( ) (1)g m g< 0 1m m< < 0 1m < − 1m ee m− ≤ −+ ( ) (1)g m g− ≤ 0 1m m< − < − 01 m m− < < − 0 1m < − 1 1m− < < ( ) 2x xf x e e x−= − − ( ) (2 ) 4 ( )g x f x bf x= − 0x > ( ) 0g x > b 1.4142 2 1.4143< < 2 2( ) 4 4 ( 2 )x x x xg x e e x b e e x− −= − − − − − ( ) 2 22( 2) 4 ( 2)x x x xg x e e b e e− −′ = + − − + − x xe e t−+ = 2 2 2 2x xe e t−+ = − 2( ) 2( 4) 4 ( 2) ( 2)( 2 2 ) ( 2)[ (2 2)]g x t b t t t b t t b′ = − − − = − + − = − − − 注意到 , 所以当 即 时, , 为增函数,所以 , 当 时,存在 ,当 时, , 为减函数,所以 ,不合题意, 所以 的最大值 2. (2)考虑 , 由(1)知道,当 时, , 所以 , 那么,下一步如何再取 的值呢?这是不可以随意取的,我们不得不考虑第二问中的 这个分界点满足的条件,可以考虑 满足 ,考虑到满足等号成立的 的值, ,解得 ,则由(1)知, 当 时, , 所以 , 所以 ,所以 . 2 2( 0)x x x xt e e e e x− −= + > = > 2 2 2b − ≤ 2b ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ) (0) 0g x g> = 2b > 0 0x > 0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (0) 0g x g< = b 2ln 2 2ln 2 ln 2 ln 2(ln 2) 4ln 2 4 ( 2ln 2)g e e b e e− −= − − − − − 2 312 2ln 2 4 ( 2 ln 2) 2 2 (4 2)ln 22 2 2b b b= − − − − − = − + − 2b = 3(ln 2) 2 2 2 (4 2 2)ln 2 02g = − × + × − > 4 2 1.5 4 1.4142 1.5ln 2 0.69286 6 − × −> > = b 0x x= ln 2x = (2 2) 0x xe e b−+ − − ≤ b ln 2 ln 2 (2 2) 0e e b−− − − = 3 2 14b = + 3 2 14b = + 3 2 3 23(ln 2) 2 2 ( 1) [4 ( 1) 2]ln 2 02 4 4g = − × + + × + − < 18 2 18 1.4143ln 2 0.693428 28 + +< = = 0.6928 ln 2 0.6934< < ln 2 0.693=
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