构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用

构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用

构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用 函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。‎ ‎1．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是 A．　　　 B． C． 　 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，首先令得，排除B，D．‎ 令，则，‎ ‎①　当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而．‎ ‎②　当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而．综上．故选A．‎ ‎【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．‎ ‎2．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有．‎ 解：（Ⅰ）的定义域为．‎ ‎ …………………2分 ‎（i）若即，则，‎ 故在单调增加．‎ ‎（ii）若，而，故，则当时，；‎ 当及时，．故在单调减少，‎ 在单调增加．‎ ‎（iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加．‎ ‎（II）考虑函数．‎ 则 ．‎ 由于故，即在单调增加，从而当时有 ‎，即，故，当时，有． ………………………………12分 ‎3．已知曲线．从点向曲线引斜率为 的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线 ‎ （Ⅰ）依题意有，解得，又，‎ ‎ 联立可解得，‎ ‎ （Ⅱ），‎ ‎ 先证：， ‎ 证法一：利用数学归纳法 ‎ 当时，，命题成立，‎ ‎ 假设时，命题成立，即，‎ ‎ 则当时，‎ ‎ ∵，‎ 故．‎ ‎ ∴当时，命题成立 ‎ 故成立．‎ 证法二：，，‎ 下证：．‎ ‎ 不妨设，令，‎ 则在上恒成立，故在上单调递减，‎ 从而，即．‎ 综上，成立．‎ ‎4．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）‎ 设函数有两个极值点，且．‎ ‎（I）求的取值范围，并讨论的单调性；‎ ‎（II）证明：．‎ ‎【解】（I）由题设知，函数的定义域是 且有两个不同的根，故的判别式，即 ‎ ‎ 且 …………………………………①‎ ‎ 又故．因此的取值范围是．‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ 因此在区间和是增函数，在区间是减函数．‎ ‎（II）由题设和①知 ‎ ‎ 于是　　　　．‎ 设函数 　‎ 则 　‎ 当时，；‎ 当时，故在区间是增函数．‎ 于是，当时，‎ 因此 ． www．ks5u．com ‎5．【2008年山东理】　21．（本题满分12分）‎ 已知函数其中为常数．‎ ‎（I）当时，求函数的极值；‎ ‎（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有 ‎【标准答案】‎ ‎（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，‎ 当时，，所以．‎ ‎（1）当时，由得，，‎ 此时．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎（2）当时，恒成立，所以无极值．‎ 综上所述，时，‎ 当时，在处取得极小值，极小值为．‎ 当时，无极值．‎ ‎（Ⅱ）证法一：因为，所以．‎ 当为偶数时，‎ 令 ，‎ 则（）．‎ 所以 当时，单调递增，‎ 又，‎ 因此 恒成立，‎ 所以 成立．‎ 当为奇数时，‎ 要证，由于，所以只需证，‎ 令 ，‎ 则 （），‎ 所以 当时，单调递增，又，‎ 所以当时，恒有，即命题成立．‎ 综上所述，结论成立．‎ 证法二：当时，．‎ 当时，对任意的正整数，恒有，‎ 故只需证明．‎ 令 ，，‎ 则 ，‎ 当时，，故在上单调递增，‎ 因此 当时，，即成立．‎ 故 当时，有．‎ 即 ．‎ ‎【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值．第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断．‎ ‎【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式 ‎【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断 的正负漏掉符号．‎ ‎【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性．‎ ‎6．【2007年山东理】 （22）（本小题满分14分）‎ 设函数，其中．‎ ‎（I）当时，判断函数在定义域上的单调性；‎ ‎（II）求函数的极值点；‎ ‎（III）证明对任意的正整数，不等式都成立．‎ ‎【解】（Ⅰ）由题意知，的定义域为，‎ 设，其图象的对称轴为，‎ ‎　‎ 当时，，即在上恒成立，‎ 当时，，‎ 当时，函数在定义域上单调递增　‎ ‎（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当时，函数无极值点　‎ ‎②时，有两个相同的解，‎ 时，， 时，，‎ 时，函数在上无极值点　‎ ‎③当时，有两个不同解，，，‎ 时，，，‎ 即，　‎ 时，，随的变化情况如下表：‎ 极小值 由此表可知：时，有惟一极小值点，‎ 当时，， ，‎ 此时，，随的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点 ‎；‎ 综上所述：时，有惟一最小值点；‎ 时，有一个极大值点和一个极小值点；‎ 时，无极值点　‎ ‎（Ⅲ）当时，函数，‎ 令函数，‎ 则．‎ 当时，，所以函数在上单调递增，‎ 又　 时，恒有，即恒成立　‎ 故当时，有．‎ 对任意正整数取，则有 所以结论成立．‎ ‎7．【2008年湖南理】 21．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．‎ 求的最大值．‎ 解： （Ⅰ）函数的定义域是，‎ 设，则 令则 当时， 在上为增函数，‎ 当x＞0时，在上为减函数．‎ 所以在处取得极大值，而，所以，‎ 函数在上为减函数．‎ 于是当时，‎ 当时，‎ 所以，当时，在上为增函数．‎ 当时，在上为减函数．‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，‎ 设则 由（Ⅰ）知，即 所以于是在上为减函数．‎ 故函数在上的最小值为 所以a的最大值为 ‎1．2009潍坊文科（22）（本小题满分14分）‎ ‎ 设函数表示的导函数．‎ ‎ （I）求函数的单调递增区间；‎ ‎ （Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）当k为奇数时， 设，数列的前项和为，证明不等式 对一切正整数均成立，并比较与的大小．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），‎ ‎ 又 ， …………1分 ‎ 当k为奇数时，，‎ 即的单调递增区间为． …………2分 ‎ 当k为偶函数时，‎ 由，得，即的单调递增区间为，‎ 综上所述：当k为奇数时，的单调递增区间为，‎ 当k为偶数时，的单调递增区间为 …………4分 ‎（Ⅱ）当k为偶数时，由（Ⅰ）知 ‎ 所以 根据题设条件有 ‎∴{}是以2为公比的等比数列，‎ ‎∴ ………………………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k为奇数时，‎ 由已知要证两边取对数，即证…………………10分 事实上：设则 因此得不等式 …………………………………………①‎ 构造函数下面证明在上恒大于0．‎ ‎∴在上单调递增，‎ 即 ‎∴ ∴‎ 即成立． ………………………………………………………12分 由 得 即 当时， ……………………………………………14分 ‎2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分14分）‎ 已知，函数．‎ ‎（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若在区间 上是单调递增函数，试求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当 时，设数列 的前项和为，求证：‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，，由得． ……2分 ‎ 当时，，递减；‎ ‎ 当时，，递增．‎ ‎ 所以不是定义域上的单调函数． ……………………………4分 ‎（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立．‎ ‎…………………………．…6分 ‎ 即 ． ……………8分 ‎ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数，‎ ‎ ‎ ‎ 又当时，， ，即．‎ ‎ 令则，当时，‎ ‎ 从而函数在上是递增函数，所以有即得 ‎ 综上有： ………………………………10分 ‎ ………………………………………12分 ‎ 令时，不等式也成立，‎ ‎ 于是代入，将所得各不等式相加，得 ‎ ‎ ‎ 即 即 ……………………14分 ‎3．山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，如果 在其定义域上是增函数，且存在零点（的导函数）．‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）设是函数的图象上两点，‎ 解：（I）因为 ‎ 所以 ‎ 因为上是增函数． ‎ ‎ 所以上恒成立 ……………………………1分 ‎ 当 ‎ 而上的最小值是1．‎ ‎ 于是（※）‎ ‎ 可见 ‎ 从而由（※）式即得 ① ………………．．………………………… 4分 ‎ 同时，‎ ‎ 由 ‎ 解得②，或 ‎ 由①②得 ‎ ‎ 此时，即为所求 ……………………………6分 ‎ 注：没有提到（验证）时，不扣分．‎ ‎ （II）由（I），‎ ‎ 于是 ……………………………7分 ‎ 以下证明（☆）‎ ‎ （☆）等价于 ……………………………8分 ‎ 构造函数 ‎ 则时，‎ ‎ 上为增函数．‎ ‎ 因此当 即 ‎ 从而得到证明． ……………………………11分 ‎ 同理可证 ……………………………12分 ‎ 注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分．‎ ‎4．烟台市三月诊断性检测数学理22．（本小题满分14分）‎ ‎ 设函数（为自然对数的底数）．‎ ‎ （1）求的极值；‎ ‎ （2）若存在实常数k和b，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足和，则称直线为和的“隔离直线”．‎ ‎ 试问函数和是否存在“隔离直线”?若存在．求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴当时，．‎ ‎∵当时此时递减；……………………………………3’‎ 当时，，此时递增．‎ ‎∴当时，取极小值，其极小值为0．…………………………………6’‎ ‎（2）由（1）可知，当时，（当且仅当时取等号）．‎ 若存在和的“隔离直线”，则存在实常数和，‎ 使得和恒成立．‎ ‎∵和的图象在处有公共点，因此若存在和的“隔离直线”，‎ 则该直线过这个公共点． …………………………………………………8’‎ 设“隔离直线”方程为，即 由可得当时恒成立．‎ ‎∵‎ ‎∴由，得……………………………………………………………10’‎ 下面证明当时恒成立．‎ 令则 当时，；‎ 当时，，此时递增；‎ 当时，此时递减．‎ ‎∴当时，取极大值．其极大值为0．‎ 从而 即恒成立．………………………………………………13’‎ ‎∴函数和存在唯一的“隔离直线”………………………14’‎ ‎5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）‎ 已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数．‎ ‎（1）求、的表达式；‎ ‎（2）求证：当时,方程有唯一解；‎ ‎（3）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围．‎ 解：（1）依题意,即,．‎ ‎∵上式恒成立,∴ ① …………………………1分 又,依题意,即,．‎ ‎∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分 ‎ 由①②得． …………………………3分 ‎ ‎∴ …………………………4分 ‎（2）由（1）可知,方程,‎ 设,‎ 令,并由得解知………5分 令由 …………………………6分 ‎ 列表分析：‎ ‎（0,1）‎ ‎1‎ ‎（1,+¥）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 ‎0‎ 递增 可知在处有一个最小值0, …………………………7分 当时,＞0,‎ ‎∴在（0,+¥）上只有一个解．‎ 即当x＞0时,方程有唯一解． …………………………8分 ‎（3）设, …………9分 在为减函数 又………11分 所以：为所求范围． …………………………12分 ‎6．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）22．‎ 已知函数 （注：）‎ ‎（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若直线与函数的图象在上有两个不同交点，求实数的取值范围：‎ ‎（3）求证：对大于1的任意正整数 解：（1）因为 所以 依题意可得，对恒成立，‎ 所以 对恒成立，‎ 所以 对恒成立，，即 ‎（2）当时，若，，单调递减；‎ 若单调递增；‎ 故在处取得极小值，即最小值 又 所以要使直线与函数的图象在上有两个不同交点，‎ 实数的取值范围应为，即；‎ ‎（3）当时，由可知，在上为增函数，‎ 当时，令，则，故，‎ 即所以．‎ 故 ‎ 相加可得 又因为 所以对大于1的任意正整书 ‎（二）2009年4月后 ‎7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点 ‎ ，求证：．‎ 解：（Ⅰ）略 ‎（Ⅱ）当时，‎ 以下先证， ‎ 所以只需证，即 设，则．‎ 所以在时，为减函数， ．‎ 即．又，‎ ‎∴成立，即．‎ 同理可证．‎ ‎∴．‎ ‎8．山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22．（本题满分14分）‎ 设函数．（是自然对数的底数）‎ ‎（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足：，且 ‎ ①求证：；‎ ‎②比较与的大小．‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 令 ‎ 当时，在上是增函数 ‎ 当时，在上是减函数 ……………．2分 ‎ 从而…………．4分 ‎ 注意到函数在上是增函数，‎ ‎ 从而 从而 ‎ 综上可知：有两个零点． …………………………………………………．6分 ‎（Ⅱ）因为即 ‎ 所以 …………………………………………………．7分 ‎ ①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立．‎ ‎ 假设时， 那么 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 这表明时，不等式成立．‎ ‎ 所以对， …………………………………………………．10分 ‎②因为 考虑函数 ……………………………………．12分 ‎ ‎ 从而在上是增函数 ‎ 所以 即 …………………………………………………………14分 ‎9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）‎ 已知函数在上为增函数，且，‎ ‎，．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若在上为单调函数，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．‎ 解：‎ ‎（1）由题意，在上恒成立，即 ‎ ．故在上恒成立， ……………2分 ‎ 只须，即，只有．结合得．…4分 ‎（2）由（1），得 在上为单调函数，‎ 或者在恒成立． ……………．． 6分 等价于即 而． …………………………………8分 等价于即在恒成立，‎ 而．‎ 综上，的取值范围是． ………………………………………10分 ‎（3）构造函数 当时，，，所以在上不存在一个，‎ 使得成立．‎ 当时， …………12分 因为所以，，所以在恒成立．‎ 故在上单调递增，，只要，‎ 解得 故的取值范围是 ……………………………………………14分 ‎10．山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 22．（本小题满分14分）‎ ‎ 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，=2．71828…）和任意正整数，总有；‎ ‎（3）在正数数列中，．求数列中的最大项．‎ 解：由已知：对于，总有成立…（1）‎ ‎ …（2） ……………………………………1分 ‎（1）—（2）得 均为正数， ‎ ‎ 数列是公差为1的等差数列 ………………………………………3分 ‎ 又时，，解得 ‎ ……………………………………………………………5分 ‎（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有……6分 ‎ ‎ ‎ ……………9分 ‎（3）解：由已知 ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎ 易得 ‎ 猜想时，是递减数列 ……………………………………………11分 ‎ 令，则 ‎ 当时，，则，即 ‎ 在内为单调递减函数，‎ ‎ 由知 ‎ 时，是递减数列，即是递减数列 ‎ 又，数列中的最大项为 …………………………14分 三、2010年模拟试题 ‎1．山东临沂罗庄补习学校数学资料 已知 ‎（1）求函数的极值点；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的最小值；‎ ‎（3）证明：当时，有成立；‎ ‎（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．‎ 解：（1）由题意，的定义域为 ……………1分 ‎ ……………………………………………………2分 函数的单调递增区间为和，的单调递减区间为，‎ 所以为的极大值点， ………………………………………………3分 为的极小值点， ………………………………………………4分 ‎（2）在上的最小值为 且 在上没有零点，……………………………………………5分 函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，……………………………………………6分 易验证 当时均有所以函数在上有零点，‎ 即函数在上有零点， 的最大值为 ……………9分 ‎（3）证明：当时，不等式 即为：‎ 构造函数则 所以函数在上是减函数，因而时，‎ 即：时，成立，所以当时，成立；…11分 ‎（4）因为 令，得：，结合得：时，‎ 因此，当时，有 所以当时，，即 ……………………………12分 又通过比较的大小知：，‎ 因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项可能相等，‎ 又，所以数列中存在唯一相等的两项，‎ 即． ……………………………………………………………………14分 ‎2．皖南八校2010届高三年级第二次联考21．（本小题满分13分）‎ ‎ 在数列中，‎ ‎ （I）求证：数列为等差数列；‎ ‎ （II）若m为正整数，当时，求证：．‎ 解：（I）由变形得：‎ 故数列是以为首项，1为公差的等差数列…………（5分）‎ ‎ （II）（法一）由（I）得 ‎…………（7分）‎ 令 当 又 则为递减数列．‎ 当m=n时，递减数列． （9分）‎ 要证：时，‎ 故原不等式成立． （13分）‎ ‎（法二）由（I）得 ‎ （7分）‎ 令 上单调递减．（9分）‎ ‎∴‎ 也即证，‎ 故原不等式成立． （13分）‎