上海市高考数学一轮复习专题突破训练立体几何理

上海市高考数学一轮复习专题突破训练立体几何理

上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练 立体几何 一、填空、选择题 ‎1、（2015年上海高考）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为　　．‎ ‎2、（2014年上海高考）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 ‎ （结果用反三角函数值表示）.‎ ‎3、（2013年上海高考）在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________‎ A B l C N P O ‎4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则此扇形的弧长为 ．‎ ‎5、（闵行区2015届高三二模） 如图，已知直线平面，‎ 垂足为，在中，，‎ 点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由 移动：(1)，(2).则的最大值为 (　 　) ‎ ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ ‎6、（浦东新区2015届高三二模）已知球的表面积为64，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是 . ‎ ‎7、（普陀区2015届高三二模）一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 ‎ ‎8、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）如图所示：在直三棱柱中，，,则平面与平面所成的二面角的大小为 ‎ ‎9、（长宁、嘉定区2015届高三二模）在四棱锥中，，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为………………（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、（奉贤区2015届高三上期末）如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 ‎ ‎11、（黄浦区2015届高三上期末）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是　　　　‎ ‎12、（金山区2015届高三上期末）如图所示，在长方体ABCD–EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH的距离是 ▲ ‎ ‎13、（浦东区2015届高三上期末）如图，已知平面，，，,、分别是、的中点. 则异面直线与所成角的大小为 . ‎ P C D E ‎14、（松江区2015届高三上期末）在正四棱柱中，与平面所成的角为，则与所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）．‎ ‎15、（宝山区2015届高三上期末）正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于 ‎ 二、解答题 ‎1、（2015年上海高考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．‎ ‎2、（2014年上海高考）底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.‎ ‎3、（2013年上海高考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.‎ ‎4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）如图，在直三棱柱中，已知，⊥．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎ （2）求二面角的大小．‎ P S A Q O B ‎5、（闵行区2015届高三二模）如图，已知圆锥的底面半径为，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点．若直线与所成的角为，求此圆锥的表面积．‎ ‎6、（浦东新区2015届高三二模） 如图，在四棱锥中，底面正方形的边长为， 底面, 为的中点，与平面所成的角为．‎ ‎ （1） 求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； ‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．‎ ‎（1）求该圆锥的全面积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小．‎ ‎（结果用反三角函数值表示）‎ ‎8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值．‎ E P A C D B ‎9、（青浦区2015届高三上期末）‎第19题图 ‎ 如图所示，在长方体中，，，‎ ‎，为棱上一点.‎ ‎（1）若，求异面直线和所成角的正切值；‎ ‎（2）若，求证平面.‎ ‎10、（松江区2015届高三上期末）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．‎ ‎（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？‎ ‎（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11、（徐汇区2015届高三上期末）如图所示，某传动装置由两个陀螺组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且的轴相互垂直，它们相接触的直线与的轴所成角．若陀螺中圆锥的底面半径为． ‎ ‎（1）求陀螺的体积；‎ ‎（2）当陀螺转动一圈时，陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点，求与之间的距离．‎ ‎12、（上海市八校2015届高三3月联考）如图：将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为的矩形。‎ ‎（1）求此圆柱的体积；‎ ‎（2）由点拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。‎ ‎13、（嘉定区2015届高三上期末）F C A E B A1‎ C1‎ B1‎ 如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱与的中点．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小．‎ ‎14、（静安区2015届高三上期末）如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.‎ ‎（1）设，将长表示为的函数；‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ P M N ‎（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）‎ ‎15、（普陀区2015届高三上期末）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.‎ ‎（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；‎ ‎（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.‎ ‎19‎ ‎38‎ ‎20‎ 图1‎ ‎38‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎19‎ ‎20‎ 图2‎ 参考答案 一、填空、选择题 ‎1、解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，‎ 过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，‎ 设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，‎ 故答案为：．‎ ‎2、【解析】：设圆锥母线长为，底面圆半径为，∵，∴，即，∴，即母线与底面夹角大小为 ‎3、【解答】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．‎ ‎4、5　　　5、C　　6、　　7、　　　8、　　9、C ‎10、　　11、　　12、　13、（）‎ ‎14、　　15、‎ 二、解答题 ‎1、解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，‎ 所以EF∥A1C1，‎ 所以A1、C1、F、E四点共面．‎ 以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得 ‎，‎ 设平面A1C1EF的法向量为 则，所以，即，‎ z=1，得x=1，y=1，所以，‎ 所以=，‎ 所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．‎ ‎2、【解析】：根据题意可得共线，‎ ‎ ∵，，‎ ‎ ∴，∴，同理，‎ ‎ ∴△是等边三角形，是正四面体，所以△边长为4；‎ ‎ ∴‎ ‎3、【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，‎ 故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；‎ ‎ 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得 而中，，故 所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．‎ ‎4、解：（理科）(1)因为⊥，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高. ……………………………………2分 四棱锥的体积为…………………………4分 ‎（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．‎ 则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），‎ B1（0，0，2），C1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC的中点为M，‎ 是平面A1C1C的一个法向量．‎ 设平面A1B1C的一个法向量是， …8分 令z=1，解得x=0，y=1．， …………………………………………9分 设法向量与的夹角为，二面角B1—A1C—C1的大小为，显然为锐角．‎ ‎………………………………………………12分 ‎5、[解] 取OA的中点M,连接PM,又点P为母线的中点 P S A Q O B M 所以，故为与所成的角．………………………2分 在中，，，………………………4分 由点Q为半圆弧的中点知 ，‎ 在中，‎ 故，所以，． ………………………8分 所以，………………10分 ‎．…………………………………12分 ‎6、解：方法１,（1）因为底面为边长为的正方形，底面, 则 平面，‎ 所以就是与平面所成的角．……………………………………………2分 在中，由，得，…………………………3分 在中，．分别取、的中点、，联结、、，‎ P A B C D E M N 则异面直线与所成角或补角．……………4分 在中，，，‎ ‎，由余弦定理得，，‎ 所以，…………………………6分 即异面直线与所成角的大小为．……7分 ‎（2）设点到平面的距离为，因为，…………………………9分 所以，，得．……………………………14分 方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得，……………3分 P A B C D E x y z 则有关点的坐标分别为，，，．………………………5分 所以，．设为异面直线与所成角，‎ 则，‎ 所以，， ‎ 即异面直线与所成角的大小为．…………………………………7分 ‎（2）因为，，，设，‎ 则由，………………………………………………11分 可得，所以．……………………………………14分 ‎7、解：（1）在中，，即圆锥底面半径为2‎ B C D A O z x y 圆锥的侧面积………………..4’‎ 故圆锥的全面积……………….6’‎ ‎（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．‎ 则 ‎………………..8’‎ 设与所成角为 则………………..10’‎ 异面直线与所成角为………………..12’‎ 解法二：过作交于，连 则为异面直线与所成角………………..8’‎ ‎ ‎ 在中， ‎ 是的中点 是的中点 ‎ 在中，，………………..10’‎ ‎，即异面直线与所成角的大小为……………….12’‎ ‎8、E P A C D B （1）连结，由已知得△与△都是正三角形，‎ 所以，，， ………………（1分）‎ 因为∥，所以，……………（2分）‎ 又平面，所以，……（4分）‎ 因为，所以平面．…（6分）‎ ‎（2）以为原点，，，所在直线 分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．‎ 由（1）知平面的一个法向量为，‎ 又，，，，‎ 所以，，……（2分）‎ E P A C D B z x y 设平面的一个法向量为，‎ 由得 取，则，故， …………（4分）‎ 设与的夹角为，‎ 则．…………（7分）‎ 所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为．……（8分）‎ ‎（2）解法二（图略）‎ 在平面上，过作∥且，连结，则四边形是平行四边形，即直线是平面与平面的交线．………………（2分）‎ 因为，，所以平面，故，‎ 所以，又，所以就是平面与平面 所成二面角的平面角． …………（5分）‎ 在△中，，，…………（6分）‎ ‎． ……………………（7分）‎ 所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为．……（8分）‎ ‎9、解:（1）由题意，，，得………… 1分 ‎，所以异面直线和所成角即为和所成角 ………… 3分 长方体中，，面，‎ ‎，故可得为锐角且…………………… 6分 ‎（2）由题意，，， ‎ ‎，，即 ……………………………… 8分 又由面可得 ………………………………………… 10分 ‎ 故平面. ………………………………………………………………12分 ‎102、解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 ‎ ‎ ‎ ‎ 为，底面半径为……………2分 ‎39.71……………5分 ‎（秒）‎ 所以，沙全部漏入下部约需1986秒。……………7分 ‎（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为 ‎……………12分 锥形沙堆的高度约为2.4cm. ……………14分22．‎ ‎11、解：（1）设陀螺圆锥的高为，则，即……………………..2’‎ 得陀螺圆柱的底面半径和高为……………………..3’‎ ‎……………………..5’‎ ‎……………………..7’‎ ‎……………………..8’‎ ‎（2）设陀螺圆锥底面圆心为，‎ 则，……………………..10’‎ 得……………………..12’‎ 在中，……………………..14’‎ ‎12、（1）设圆柱的底面半径为，高为，则，即---------2分 ‎ --------5分 ‎（2）设中点为，侧面展开图矩形为，中点为。则绳长的最小值即为侧面展开图中的。 -------7分 ‎。 -------10分 ‎ 所以绳长的最小值为。 -------12分 ‎13、（1）． ……（5分）‎ ‎（参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）‎ ‎（2）取中点，联结，，则∥， ………（1分）‎ 所以，是异面直线与所成的角（或其补角）， …………（2分）‎ 在△中，，， ………………………（4分）‎ 所以，，故． ……（6分）‎ 所以，异面直线与所成角的大小为． ………………………（7分）‎ ‎14、（1）在△中，，； ………………………（ 2分）‎ 其中； ………………………（ 3分）‎ 在△中，， …………………………（ 4分）‎ 在△中，，……………………………（ 6分）‎ ‎（2）当时，最小，此时．……………………………（8分）‎ 因为在底面中，，所以，又，Ð为异面直线与所成角的平面角，…………………（ 11分）‎ 在△中，Ð为直角，，所以，‎ 异面直线与所成角的大小（或等）……………（ 14分）‎ ‎15、设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：……1分 （1） 圆柱的高……2分 圆柱的侧面积……3分 半球的表面积……5分 所以铆钉的表面积()……7分 ‎（2）……8分 ‎ ……9分 设钉身长度为，则……10分 由于,所以，……12分 解得……13分 答：钉身的表面积为，钉身的长度约为。‎