2008高考湖南文科数学试题及全解全析

2008高考湖南文科数学试题及全解全析

‎2008高考湖南文科数学试题及全解全析 一．选择题 ‎1．已知，，，则( )‎ A． ‎ C． D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，，易知B正确. ‎ ‎2．“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由得，所以易知选A.‎ ‎3．已条变量满足则的最小值是( )‎ A．4 B‎.3 C.2 D.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为代入验证知在点 时,最小值是故选C.‎ ‎4.函数的反函数是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。‎ ‎5.已知直线m,n和平面满足,则( )‎ ‎ 或 或 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】易知D正确.‎ ‎6．下面不等式成立的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 , 故选A.‎ ‎7．在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.‎ ‎8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，‎ 则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )‎ A．15 B．‎45 C．60 D．75‎ ‎【答案】C ‎【解析】用直接法：‎ 或用间接法：故选Ｃ.‎ ‎9．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，‎ ‎，则顶点A、B间的球面距离是( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设则 故选Ｂ.‎ ‎10．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 而双曲线的离心率故选Ｃ.‎ 二．填空题 ‎11．已知向量，，则=_____________________.‎ ‎【答案】２ ‎ ‎【解析】由 ‎ ‎12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：‎ ‎ ‎ 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。‎ ‎【答案】60 ‎ ‎【解析】由上表得 ‎13．记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】由得 所以解得 ‎14．将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.‎ ‎【答案】, ‎ ‎【解析】易得圆C的方程是, ‎ 直线的倾斜角为,‎ 所以直线的斜率为 ‎15．设表示不超x的最大整数，（如）。对于给定的,‎ 定义则________;‎ 当时，函数的值域是_________________________。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】当时，当时， ‎ 所以故函数的值域是.‎ 三．解答题 ‎16．甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试 合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：‎ ‎（I）至少一人面试合格的概率；‎ ‎（II）没有人签约的概率。‎ 解：用分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知相互独立，且.‎ (1) 至少有1人面试合格的概率是 (2) 没有人签约的概率为 ‎17．已知函数.‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）当且时，求的值。‎ ‎18．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，‎ E是CD的中点，PA底面ABCD，。‎ ‎（1）证明：平面PBE平面PAB；‎ ‎（2）求二面角A—BE—P和的大小。‎ 解 解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.‎ 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.‎ 又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.‎ 又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.‎ 在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°.‎ 故二面角A－BE－P的大小是60°.‎ 解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，P()，E().‎ ‎(Ⅰ)因为，平面PAB的一个法向量是＝(0,1,0)，所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),‎ 设=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则有 所以y1=0,x1=z1.故可取=(,0,1).‎ 而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).‎ 于是，cos＜,＞＝.‎ 故二面角的大小是.‎ ‎19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，‎ 求的取值范围。‎ 于是，当且仅当 (*)‎ 上述方程存在实根，即直线l存在.‎ 解(*)得所以4＜λ≤.‎ ‎20．数列满足 ‎（1）求，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，，‎ 求使的所有k的值，并说明理由。‎ ‎21．已知函数有三个极值点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。‎ 解 (Ⅰ)因为函数有三个极值点，所以 有三个互异的实根.‎ 设，则.‎ 当x＜-3时，,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,‎ 当-3＜x＜1时，,g(x)在(-3,1)上为减函数,‎ 当x＞1时，,g(x)在(1,+ ∞)上为增函数.‎ 所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值.‎ 当g(-3) ≤0或g(1) ≥0时，g(x)=0最多只有两个不同实根，因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)＞0，且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5.‎ 故-27＜c＜5.‎