北京市高考数学试卷理科

北京市高考数学试卷理科

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 第Ⅰ部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎（1）已知集合，，则（　　）‎ ‎　（A）　（B）　（C）　（D）‎ ‎（2）若，满足则的最大值为（　　）‎ ‎　（A）0　　（B）3　　（C）4　　（D）5‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，若输入的值为，‎ 则输出的值为（　　）‎ ‎　（A）1　　（B）2　　（C）3　　（D）4‎ ‎（4）设a，b是向量．则“”是“”的（　　）‎ ‎　（A）充分而不必要条件　　（B）必要而不充分条件 ‎　（C）充分必要条件　　　　（D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知，且，则（　　）‎ ‎　（A）　（B）　（C）　（D）‎ ‎（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ ‎　（A）‎ ‎　（B）‎ ‎　（C）‎ ‎　（D）‎ 第 11 页 共 11 页 ‎（7）将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上，则（　　）‎ ‎　（A），的最小值为　　　　（B），的最小值为 ‎　（C），的最小值为　　　　（D），的最小值为 ‎（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）‎ ‎　（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球　　（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎　（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球　　（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第Ⅱ部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　　　　　．‎ ‎（10）在的展开式中，的系数为　　　　　　．（用数字作答）‎ ‎（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则　　　　　　．‎ ‎（12）已知为等差数列，为其前项和．若，，则　　　　　　．‎ ‎（13）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为，则　　　　　　．‎ ‎（14）设函数 ‎① 若，则的最大值为　　　　　　；‎ ‎② 若无最大值，则实数的取值范围是　　　　　　．‎ 第 11 页 共 11 页 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在中，．‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎（16）（本小题 13分）‎ A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：‎ A组 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B组 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C组 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎（Ⅰ）试估计C班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙， 假设所有学生的锻炼时间相互独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明）‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间．‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点N．‎ 求证：为定值．‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 设数列．如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”．记是数列的所有“时刻”组成的集合．‎ ‎（Ⅰ）对数列，写出的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）证明：若数列中存在使得，则；‎ ‎（Ⅲ）证明：若数列满足，则的元素个数不小于．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎2016年北京高考数学（理科）答案与解析 1. C ‎【解析】集合，集合，所以.‎ 2. C ‎【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为，最大值为.‎ ‎3. B ‎【解析】开始，；第一次循环，；第二次循环，，第三次循环，条件判断为“是”跳出，此时. ‎ ‎4. D ‎【解析】若成立，则以，为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，，表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以不一定成立，从而不是充分条件；反之，成立，则以，为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以不一定成立，从而不是必要条件.‎ ‎5. C ‎【解析】 .考查的是反比例函数在单调递减，所以即所以错； .考查的是三角函数在单调性，不是单调的，所以不一定有，错；.考查的是指数函数在单调递减，所以有即所以对；考查的是对数函数的性质，，当时，不一定有，所以错.‎ ‎6．A 第 11 页 共 11 页 ‎【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高，底面积，所以体积.‎ ‎7．A ‎【解析】点在函数上，所以，然后 向左平移个单位，即，所以，所以的最小值为.‎ ‎8．B ‎【解析】取两个球往盒子中放有种情况：‎ ‎①红+红，则乙盒中红球数加个；‎ ‎②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；‎ ‎③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个；‎ ‎④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．‎ 因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．‎ ‎③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．‎ ‎①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．‎ 综上，选B．‎ ‎9.‎ ‎【解析】‎ ‎∵其对应点在实轴上 ‎∴，‎ ‎10.‎ ‎【解析】由二项式定理得含的项为 ‎11.‎ ‎【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，‎ ‎ 直线的直角坐标方程为 ‎∵，∴‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ 圆的直角坐标方程为 ‎ 圆心在直线上，因此为圆的直径，‎ ‎12.‎ ‎【解析】∵∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎13. 2‎ ‎【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图 ‎∵为正方形，∴，‎ ‎∵直线是渐近线，方程为，∴‎ 又∵∴‎ ‎14．，．‎ ‎【解析】由，得，如下图，是的两个函数在没有限制条件 时的图象．‎ ‎⑴ ；‎ ‎⑵ 当时，有最大值；‎ 当时，在时无最大值，且．‎ 所以，．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎15．‎ ‎【解析】⑴ ∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎⑵∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴最大值为1‎ 上式最大值为1‎ ‎16．‎ ‎【解析】⑴，C班学生40人 ‎⑵在A班中取到每个人的概率相同均为 设班中取到第个人事件为 C班中取到第个人事件为 班中取到的概率为 所求事件为 则 ‎⑶‎ 三组平均数分别为总均值 但中多加的三个数据平均值为，比小，‎ 故拉低了平均值 ‎17．‎ ‎【解析】⑴∵面面 第 11 页 共 11 页 面面 ‎∵，面 ‎∴面 ‎∵面 ‎∴‎ 又 ‎∴面 ‎⑵取中点为，连结，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 以为原点，如图建系 易知，，，，‎ 则，，，‎ 设为面的法向量，令 ‎，则与面夹角有 ‎⑶假设存在点使得面 设，‎ 由（2）知，，，，‎ 有 ‎∴‎ ‎∵面，为的法向量 ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∴综上，存在点，即当时，点即为所求.‎ ‎18．‎ ‎【解析】 （I） ‎ ‎∴‎ ‎∵曲线在点处的切线方程为 ‎∴，‎ 即①‎ ‎ ②‎ 由①②解得：，‎ 第 11 页 共 11 页 ‎（II）由（I）可知：，‎ ‎ 令，‎ ‎∴‎ 极小值 ‎∴的最小值是 ‎∴的最小值为 即对恒成立 ‎∴在上单调递增，无减区间.‎ ‎19．‎ ‎【解析】⑴由已知，，又，‎ ‎ 解得 ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎⑵方法一：‎ 设椭圆上一点，则.‎ 直线：,令，得.‎ ‎∴‎ 直线：,令，得.‎ ‎∴‎ 将代入上式得 故为定值.‎ 方法二：‎ 设椭圆 上一点，‎ 第 11 页 共 11 页 直线PA:,令，得.‎ ‎∴‎ 直线:,令，得.‎ ‎∴‎ 故为定值.‎ ‎20．‎ ‎【解析】⑴ ‎ ‎⑵ 因为存在，设数列中第一个大于的项为，则，‎ 其中，所以，．‎ ‎⑶ 设数列的所有“时刻”为，‎ 对于第一个“时刻”，有，，则 ‎．‎ 对于第二个“时刻”，有（）．‎ 则．‎ 类似的，…，．‎ 于是，．‎ 对于，若，则；‎ 若，则，否则由⑵，知中存在“时刻”，与只有个“时刻”矛盾．‎ 从而，，证毕．‎ 第 11 页 共 11 页