高考真题—理科数学立体几何

高考真题—理科数学立体几何

‎2013高考真题分类汇编：立体几何 ‎1．【2013新课标】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．【2013广东】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )‎ ‎（A）若，，，则 ‎（B）若，，，则 ‎（C）若，，，则 ‎（D）若，，，则 ‎3．【2013湖北8】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( ) ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎4．【2013大纲版】已知正四棱柱中，则与平面所成角的正弦值等于( ) （A） （B） （C） （D）‎ ‎5．【2013新课标】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．【2013湖南】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎7．【2013新课标】已知为异面直线，平面，平面。直线满足 ‎，则（ ） （A），且 （B），且 正视图 俯视图 侧视图 第5题图 ‎（C）与相交，且交线垂直于 ‎（D）与相交，且交线平行于 ‎8．【2013广东5】某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） （A）4 （B） （C） （D）6‎ ‎9．【2013山东】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形。若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 10．【2013重庆5】某几何体的三视图如题图⑸所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）200 （D）240‎ ‎ 11．【2013辽宁】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（ ） （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ 12．【2013江西】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，那么（ ） （A）8 （B）9 （C）10 （D）11‎ ‎ 13．【2013安徽】在下列命题中,不是公理的是（ ）‎ ‎（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 ‎（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 ‎（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 ‎（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 ‎ 14．【2013新课标】‎ 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）‎ ‎ 15．【2013浙江】在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记。设是两个不同的平面，对空间任意一点，，，恒有，则（ ）‎ ‎（A） （B）平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎（C） （D）平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ 16．【2013四川】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）‎ ‎17．【2013上海】在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分。记绕轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为。试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_______。‎ ‎18．【2013陕西】某几何体的三视图如图所示, 则其体积为______。‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第12题图）‎ ‎ 19．【2013大纲版】已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，，且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为，则球的表面积等于_____________。‎ ‎20．【2013北京】在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________。‎ ‎ 21．【2013浙江12】若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则此几何体的体积等于________。‎ ‎ 22．【2013江苏】在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则______。‎ ‎23．【2013辽宁】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________。‎ ‎24．【2013安徽】正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为。则下列命题：①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，与的交点满足；④当时，为六边形；⑤当时，的面积为。其中正确的是_____(写出所有正确命题的编号)。‎ ‎25．【2013福建】已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧试图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_________。‎ ‎ 26．【2013辽宁】如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点。⑴求证:平面平面；⑵若，，，求二面角的余弦值。‎ ‎27．【2013重庆19】如图，四棱锥中,底面，，，，为的中点，。⑴求的长；⑵求二面角的正弦值。‎ A B C D P Q M ‎（第20题图）‎ ‎28．【2013安徽19】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为。和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为。⑴证明:平面 与平面的交线平行于底面；‎ ⑵求。‎ ‎ 29．【2013浙江20】如图,在四面体中,平面,，，。是的中点, 是的中点,点在线段上,且。⑴证明:平面；⑵若二面角为,求的大小。‎ ‎30．【2013上海春季】在正三棱锥中,，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。‎ ‎31．【2013江苏】如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点。求证:⑴平面平面；⑵。‎ ‎32．【2013上海】在长方体中，，，。证明直线平面，并求直线到平面的距离。‎ 第19题图 ‎33．【2013湖北19】如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点。⑴记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明；⑵设⑴中的直线与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:。‎ ‎ 34．【2013广东】如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点。将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中。⑴证明:平面；⑵求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎ 35．【2013天津17】如图, 四棱柱中, 侧棱底面，，，，，为棱的中点。‎ ⑴证明：；⑵求二面角的正弦值；⑶设点在线段上, 且直线与平面所成角正弦值为, 求线段的长。‎ ‎36．【2013新课标】如图，三棱柱中，，，。⑴证明：；⑵若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦。‎ ‎37．【2013陕西】如图, 四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，。⑴证明：⊥平面；⑵求平面与平面的夹角的大小。‎ ‎ 38．【2013江西】如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于。⑴求证：；⑵求平面与平面的夹角的余弦值。‎ ‎39．【2013四川】如图，在三棱柱中,侧棱底面,,‎ ‎，分别是线段的中点，‎ 是线段的中点。⑴在平面内，试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面；‎ ⑵设⑴中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值。‎ ‎ 40．【2013江苏22】如图,在直三棱柱中，，，，点是的中点。‎ ⑴求异面直线与所成角的余弦值；⑵求平面与所成二面角的正弦值。‎ ‎41．【2013大纲版】如图,四棱锥中,，，与都是等边三角形。⑴证明:； ⑵求二面角的大小。‎ ‎42．【2013山东】如图,在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，，，连接。⑴求证：；⑵求二面角的余弦值。‎ ‎ 43．【2013湖南】如图5，在直棱柱中，，，，，。⑴证明:；⑵求直线所成角的正弦值。‎ ‎ 44．【2013福建】如图，在四棱柱中，侧棱，，，，，，。⑴求证:平面；⑵若直线与平面所成角的正弦值为，求 的值；⑶现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案。问：共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)。‎ ‎45．【2013新课标】如图，直棱柱中,分别是的中点,。⑴证明:平面；⑵求二面角的正弦值。‎ ‎46．【2013北京】在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面⊥平面，，。⑴求证：⊥平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：在线段存在点，使得，并求的值。‎ 附答案 ADCAA CDBBC CAAAA D 17．； 18．；19．；20．；21．24；22．；23．；24．①②③⑤；25．；26．⑴略，⑵；‎ ‎27．⑴，⑵；28．⑴略，⑵；29．⑴略，⑵；30．；‎ ‎31．⑴略，⑵略；32．；33．⑴平行，⑵略；34．⑴略，⑵；35．⑴略，⑵，‎ ⑶；36．⑴略，⑵；37．⑴略，⑵；38．⑴略，⑵；39．⑴略，⑵；40．⑴，⑵；41．⑴略，⑵；42．⑴略，⑵；43．⑴略，⑵；44．⑴略，⑵1，⑶4，；45．⑴略，⑵；46．⑴略，⑵，⑶。‎