第6讲 分层演练直击高考
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
解析：选C．要使函数有意义，(log2x)2－1>0，
即log2x>1或log2x<－1，
所以x>2或0
f(2) B．f(a＋1)f(2)．
3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：选D.因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72，又0log62>log72>0，所以a>b>c，故选D.
4．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．00，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，
所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由得x∈(－1，3)，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a＞1时，求使f(x)＞0成立的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得－1＜x＜1.
故所求函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2)f(x)为奇函数．证明如下：
由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1，1)内是增函数，
所以f(x)＞0⇔＞1，
解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的解集是(0，1)．
1．已知函数f(x)＝－x＋log2＋2，则f()＋f(－)的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．10
解析：选B．因为函数g(x)＝－x＋log2是奇函数，所以g()＋g(－)＝0，则f()＋f(－)＝g()＋2＋g(－)＋2＝4.故选B．
2．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．01时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.
当00，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3.
4．设函数f(x)＝|logax|(00，a>0.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0.
因为x>0，所以x2－2x＋a>0.
当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；
当00，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，
记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
