高考数学模拟试题二新课标全解全析

高考数学模拟试题二新课标全解全析

‎2015年高考数学模拟试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，集合，那么（ ）‎ A. B. C． D．‎ ‎2. 已知＝(cos40°，sin40°)，＝(cos80°，sin80°)，则· = （ ）‎ A. 1 B. C． D． ‎3.复数，是z的共轭复数，复数在复平面内对应的点位于 　（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4.已知的定义域为R，的导函数的图象如图 所示，则 (　 )‎ A．在处取得极小值 B．在处取得极大值 C．是R上的增函数 D．是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 ‎5.下列结论错误的个数是 （ ）‎ ‎①命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题；‎ ‎②命题，命题则为真；‎ ‎③ “若则”的逆命题为真命题；‎ ‎④若为假命题，则、均为假命题．‎ A. 0 B. ‎1 C．2 D．3‎ ‎6.奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是 （ ）‎ A. B. ‎ C． D．‎ ‎7．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)‎ A． B． C． D． ‎8.已知函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则(　　)‎ A．0<ω≤1　　　　　　B．－1≤ω<‎0　‎　　C．ω≥1 　　 D．ω≤－1‎ ‎9.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的体积是 （ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线的两个焦点分别为(－，0)，(，0)，P是双曲线上的一点，‎ ‎，则双曲线方程是(　　)‎ A. B. ‎ C. 　　 D．‎ ‎11. 在如图所示的程序框图中，当时，函数 表示函数的导函数，若输入函数 ‎，则输出的函数可化为(　　)‎ A. sin(＋) B．－sin(－)‎ C. －sin(－) D．sin(＋)‎ ‎12. 已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）‎ A.(－∞，1) B.(0,1) 　　　C.(－∞，1] D.[0，＋∞)‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13. 如图所示两个立体图形都是由相同的小正方体拼成的．‎ 图(1)的正(主)视图与图(2)的________视图相同．‎ ‎14.若x，y满足约束条件 目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是 .‎ ‎15.已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是 .‎ ‎16.在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量＝(b－c，c－a)，＝(b，c＋a)，若向量，则角A的大小为 ．‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. (本小题满分12分)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上．‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设是数列的前项和， 求证：．‎ ‎18. (本小题满分12分) ‎ 如图，为圆的直径，点、在 圆上，，矩形所在的平面 和圆所在的平面互相垂直，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）设平面将几何体分成的两个 锥体的体积分别为，，求．‎ ‎19. (本小题满分12分) 某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：‎ 高一 高二 高三 女生 ‎373‎ x y 男生 ‎377‎ ‎370‎ z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.‎ ‎（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）已知求高三年级女生比男生多的概率.‎ ‎20. (本小题满分12分) ‎ 已知函数. ‎（Ⅰ）若在区间［1，+∞）上是增函数，求实数的取值范围； ‎（Ⅱ）若是的极值点，求在［1，］上的最大值； ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.‎ ‎21. (本小题满分12分) ‎ ‎（文）如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动．‎ ‎ (Ⅰ) 若，求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的 两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围．‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．‎ A C P D O E F B ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,‎ 为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,‎ ‎ （I）求的长度.‎ ‎ （II）若圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度 ‎23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求直线的倾斜角；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1.（理）答案：D.‎ ‎【解析】，，‎ 则 ‎（文）答案：C.‎ ‎【解析】，，则 ‎2. 答案：B.‎ ‎【解析】由数量积的坐标表示知·＝cos40°sin80°＋sin40°cos80°＝sin120°= sin60°＝.‎ ‎3.（理）答案：A.‎ ‎【解析】显然，因为 ‎，，则有，故选A．‎ ‎（文）答案：A．‎ ‎【解析】，，故选A．‎ ‎4. 答案：C.‎ ‎【解析】由图象易知≥0在R上恒成立，所以在R上是增函数．故选C．‎ ‎5.答案：B.‎ ‎【解析】根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题是真命题，命题是假命题，故为真命题，选项B中的结论正确；当时，，故选项C中的结论不正确；选项D中的结论正确．‎ ‎6.（理）答案：D.‎ ‎【解析】如图，曲边形的面积为．本题如果是以为积分变量，则曲边形的面积是．‎ ‎（文）答案：B.‎ ‎【解析】当时，，由于函数是奇函数，故。‎ ‎7. （理）答案：Ｂ ‎【解析】本题主要考查独立重复试验事件概率的求法及数学期望的求法．抛掷－次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为，服从二项分布模型，即：则有．‎ ‎（文）答案：D ‎【解析】本题主要考查古典概型.随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10种，其中数字之和为3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，∴数字之和为3或6的概率是P＝.‎ ‎8.（理）答案：C ‎【解析】本题主要考查复合函数的单调性．由sin(－2x)>0，得sin(2x－)<0，∴π＋2kπ<2x－<2π＋2kπ，k∈Z；又f(x)＝lgsin(－2x)的增区间即sin(－2x)在定义域内的增区间，即sin(2x－)在定义域内的减区间，故π＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z.化简得＋kπ-7且≠-3. ……………………12分 ‎21.（理）【解析】（Ⅰ）由已知得直线，：，：， ‎ ‎ 在直线上运动，直线上运动，‎ ‎,， 　　　…………………… 2分 由得，‎ 即，，‎ 由 所以动点的轨迹的方程为＋＝1 　　　 …………………… 4分 ‎ （Ⅱ）解法一：当直线l⊥x轴时，得A(－1，)、B(－1，－)，‎ S△AOB＝·|AB|·|OF1|＝×3×1＝，不符合题意． ………………………………5分 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，‎ 由消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ 又|AB|＝＝ ＝ ‎＝ ＝ ，‎ 即|AB|＝ ·＝. 　　　　　　　………………………8分 又圆O的半径r＝＝，‎ 所以S△AOB＝·|AB|·r＝··＝＝.‎ 化简得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0，‎ 解得k＝1，k＝－(舍)，　　　　　　　　…………………………………10分 所以r＝＝，‎ 故圆O的方程为x2＋y2＝. 　　　　　　　……………………………………12分 解法二：设直线l的方程为x＝ty－1，‎ 由消去x，‎ 得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0.‎ 因为Δ＞0恒成立，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝，y1·y2＝－，‎ 所以|y1－y2|＝ ‎＝＝.　　　　　………………………………………8分 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝.‎ 化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，‎ 解得t＝1，t＝－(舍)． 　　　　　…………………………………………10分 又圆O的半径为r＝＝，‎ 所以r＝＝，‎ 故圆O的方程为x2＋y2＝ 　　　　　　………………………………………………12分 ‎（文）【解析】（Ⅰ）由已知得直线，：，：， ‎ ‎ 在直线上运动，直线上运动，‎ ‎,， 　　 …………………… 2分 由得，‎ 即，， ‎ 所以动点的轨迹的方程为． …………………… 4分 ‎（Ⅱ）直线方程为，将其代入，‎ 化简得， ‎ 设、‎ ‎，， ‎ 且， …………………… 6分 为锐角，， ‎ 即，， ………………… 8分 ‎　．‎ 将代入上式，‎ 化简得，． …………………… 10分 由且，得． 　　……………………12分 ‎22.【解析】（I）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 A C P D O E F B 结合题中条件弧长等于弧长可得 ‎,‎ 又,,‎ 从而,故∽,‎ ‎∴, …………4分 由割线定理知,故. …………6分 ‎（II）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为即 所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT 则，即 …………10分 ‎23. 【解析】（Ⅰ）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，‎ 这条直线经过点，倾斜角为 ……………………5分 ‎（Ⅱ）的直角坐标方程为，‎ 的直角坐标方程为，…………………8分 所以圆心到直线的距离，。……………………10分 ‎24.【解析】（Ⅰ）不等式，即。‎ 当时，不等式的解集是；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，即，即或者，‎ 即或者，解集为。……………………5分 ‎（Ⅱ）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。‎ 由于，故只要。‎ 所以的取值范围是。 ……………………10分