江苏高考数学试卷及答案

江苏高考数学试卷及答案

绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学 参考公式：‎ 一组数据的方差 其中为这组数据的平均数 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知，函数为奇函数，则a＝‎ ‎ （A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1‎ ‎（2）圆的切线方程中有一个是 ‎（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0‎ ‎（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 ‎ （A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）‎ ‎ （B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）‎ ‎ （C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）‎ ‎ （D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）‎ ‎（5）的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 ‎（A）0 （B）2 （C）4 （D）6‎ ‎（6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）若A、B、C为三个集合，，则一定有 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ A D C B ‎（9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 ‎（A）1个　　　 （B）2个 ‎（C）3个　　　 （D）无穷多个 ‎（10）右图中有一个信号源和五个接收器。‎ 信号源 图1‎ 接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ‎ （A）　　　 （B）‎ ‎ （C）　　 （D）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。‎ ‎（11）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ ‎ ‎（12）设变量x、y满足约束条件，则的最大值为 ‎ ‎（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ‎ ‎ 种不同的方法（用数字作答）。‎ ‎（14）＝ ‎ ‎（15）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 ‎ ‎（16）不等式的解集为 ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）‎ ‎　　　已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.‎ ‎ （Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；‎ O ‎（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。‎ ‎（18）（本小题满分14分）‎ 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？‎ O1‎ ‎（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）‎ 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）‎ ‎（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；‎ ‎（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）‎ 图1‎ 图2‎ ‎（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）‎ 设a为实数，设函数的最大值为g(a)。‎ ‎（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎（Ⅱ）求g(a)‎ ‎（Ⅲ）试求满足的所有实数a ‎（21）（本小题满分14分）‎ 设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），‎ 证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）‎ 数学试题参考答案 ‎（1）A （2）C （3）D （4）C （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D ‎（11） （12）18 （13）1 260 （14）2 （15）2n+1 （16）‎ ‎（17） 解：（Ⅰ） 所以所求椭圆的标准方程为 ‎ （Ⅱ） 所以所求双曲线的标准方程为 ‎（18） 解：设OO1为x m，则 ‎ 设题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）‎ ‎ ‎ ‎ 求导数，得 令，解得（不合题意，舍去），x=2‎ ‎ 当为增函数； 当为减函数。‎ ‎ 所以当x=2时，最大。‎ ‎ （19）（Ⅱ）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线。‎ 又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BP，‎ 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。‎ 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则 ‎∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，‎ 且BP⊥A1Q。‎ 在△EBP中， ∵BE=BP=2，∠EBP=60°，‎ ‎∴△EBP是等边三角形， ∴BE=EP 又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1P， ∴Q为BP的中点，且。‎ 又A1E=1，在Rt△A1EQ中， ∴∠EA1Q=60°‎ ‎（Ⅲ）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF。‎ ‎∵CF=CP=1， ∠C=60°，‎ ‎∴△FCP是正三角形， ∴PF=1。‎ 又， ∴PF=PQ。 ①‎ ‎∵A1E⊥平面BEP， ‎ ‎∴A1F=A1Q； ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ②‎ 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，‎ ‎∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，‎ 从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角。‎ 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴。‎ ‎∵MQ⊥A1P， ∴‎ 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=。‎ 在△FMQ中，‎ ‎（20） 解：（Ⅰ）∵∴要使t有意义，必须 ‎∵ ① ∴t的取值范围是 由①得 ∴‎ ‎（Ⅱ）由题意知即为函数的最大值 注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。‎ ‎（1）当a>0，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，由 上单调递增。∴‎ ‎（2）当a=0时，m(t)=t，， ∴‎ ‎（3）当a<0时，函数y=m(t)，的图像是开口向下的抛物线的一段。‎ 若 若 若 综上有 ‎ ‎（Ⅲ）解法一：情形1：当 由解得矛盾。‎ 情形2：当，此时，‎ 矛盾。‎ 情形3：当，此时 所以。‎ 情形4：当，此时 矛盾。‎ 情形5：当，此时 由矛盾。‎ 情形6：当a>0时，，此时 由 综上知，满足的所有实数a为：‎ 解法二：当 ‎ 当，所以 ‎。因此，当 当，由 当 要使，必须有 此时。综上知，满足的所有实数a为： ‎ ‎（21）证明：必要性. 设是公差为d1的等差数列，则 所以）成立.‎ 又 ‎ （常数）（n=1，2，3，…），所以数列为等差数列.‎ 充分性，设数列是公差d2的等差数列，且（n=1，2，3，…）.‎ 证法一：‎ ‎①－②得 ‎ ，‎ ‎， ③‎ 从而有 ④‎ ‎④－③得 ⑤‎ ‎，‎ ‎∴由⑤得 由此 不妨设（常数）.‎ 由此，‎ 从而，‎ 两式相减得，‎ 因此，‎ 所以数列是等差数列.‎ 证法二：令 ‎ 从而 由 得，即 ‎. ⑥‎ 由此得. ⑦‎ ‎⑥－⑦得. ⑧‎ 因为，‎ 所以由⑧得 于是由⑥得， ⑨‎ 从而 ⑩‎ 由⑨和⑩得即 所以数列是等差数列.‎