高考数学立体几何空间几何体的表面积与体积理

高考数学立体几何空间几何体的表面积与体积理

第2讲　空间几何体的表面积与体积 ‎1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧 ‎＝2πrl S圆锥侧 ‎＝πrl S圆台侧＝‎ π(r＋r′)l ‎2.空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积 柱体 ‎(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 ‎(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体 ‎(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧 ‎＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ‎＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎3.几个与球有关的切、接的常用结论 ‎(1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2r＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R′＝a.‎ ‎(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；‎ ‎①外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝a；‎ ‎②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)‎ ‎(2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)‎ ‎(3)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)‎ ‎(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　　)‎ ‎(5)长方体既有外接球又有内切球．(　　)‎ ‎(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×‎ ‎ 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)‎ ‎　‎ A．8 cm3　　　　　　　　　 B．12 cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．‎ ‎ (2018·云南省11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．6‎ 解析：选C.依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为×3＝3.‎ ‎ 一直角三角形的三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．‎ 解析：旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为 S＝π××6＋π××8＝π(cm2)．‎ 答案：π cm2‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．‎ 解析：依题意得，长方体的体对角线长为＝，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝，R＝，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.‎ 答案：14π ‎　　　　　　空间几何体的表面积 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π　　　　B．18π C．20π　　　　D．28π ‎(2)(2018·合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．72＋6π B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π ‎【解析】　(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故×πr3＝π，所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.‎ ‎(2)由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故选A.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A 空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·兰州市诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．(9＋)π B．(9＋2)π C．(10＋)π D．(10＋2)π 解析：选A.由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋×2π×＝(9＋)π.‎ ‎2．(2018·河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．9＋4(＋) B．10＋2(＋)‎ C．11＋2(＋) D．11＋2(＋)‎ 解析：选C.如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱．其表面积为2×2＋2×1＋2×＋2×＋2×＝11＋2(＋)．‎ ‎　　　　　　空间几何体的体积(高频考点)‎ 空间几何体的体积是每年高考的热点，多与三视图结合考查，题型多为选择题、填空题，难度较小．高考对空间几何体的体积的考查常有以下两个命题角度：‎ ‎(1)求简单几何体的体积；‎ ‎(2)求组合体的体积．‎ ‎ [典例引领]‎ 角度一　求简单几何体的体积 ‎ (1)(补形法)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A．90π　　　　　　　　　 B．63π C．42π D．36π ‎(2)(等积法)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．‎ ‎【解析】　(1)法一：(补形法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并 将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.‎ 法二：(估值法)由题意，知V圆柱

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