贵州省高考理科数学试题真题与答案解析

贵州省高考理科数学试题真题与答案解析

‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（　　）‎ A．‎ ‎∅‎ B．‎ ‎{x|0＜x＜3}‎ C．‎ ‎{x|1＜x＜3}‎ D．‎ ‎{x|2＜x＜3}‎ ‎2．（5分）（2009•石景山区一模）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（　　）‎ A．‎ ‎2π B．‎ ‎4π C．‎ D．‎ ‎3．（5分）=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ i D．‎ ‎﹣i ‎4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（　　）度．‎ A．‎ ‎40‎ B．‎ ‎50‎ C．‎ ‎70‎ D．‎ ‎80‎ ‎5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）‎ A．‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ D．‎ ‎12‎ ‎6．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（　　）‎ A．‎ y=ex+1（x∈R）‎ B．‎ y=ex﹣1（x∈R）‎ C．‎ y=ex+1（x＞1）‎ D．‎ y=ex﹣1（x＞1）‎ ‎7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（　　）‎ ‎2：1‎ B．‎ ‎3：1‎ C．‎ ‎3：2‎ ‎4：3‎ A．‎ D．‎ ‎8．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ f（x）=﹣log2x（x＞0）‎ D．‎ f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）‎ ‎9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（　　）‎ A．‎ ‎2﹣sin2x B．‎ ‎2+sin2x C．‎ ‎2﹣cos2x D．‎ ‎2+cos2x ‎11．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎12．（5分）函数的最小值为（　　）‎ A．‎ ‎190‎ B．‎ ‎171‎ C．‎ ‎90‎ D．‎ ‎45‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）（2012•肇庆一模）在的展开式中常数项为　_________　（用数字作答）．‎ ‎14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为　_________　．‎ ‎15．（4分）（2012•甘肃一模）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　_________　．‎ ‎16．（4分）（2014•江苏一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　_________　人．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求θ；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．‎ ‎（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；‎ ‎（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．‎ ‎20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．‎ ‎（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；‎ ‎（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．‎ ‎24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．‎ ‎25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．‎ ‎（Ⅰ）证明为定值；‎ ‎（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．‎ ‎27．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，n=1，2，3，…．‎ ‎（1）求a1，a2；‎ ‎（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．‎ ‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）‎ 参考答案与试卷解读 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（　　）‎ A．‎ ‎∅‎ B．‎ ‎{x|0＜x＜3}‎ C．‎ ‎{x|1＜x＜3}‎ D．‎ ‎{x|2＜x＜3}‎ 考点：‎ 交集及其运算．‎ 分析：‎ 解出集合N，结合数轴求交集．‎ 解答：‎ 解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，‎ 用数轴表示可得答案D 故选D．‎ 点评：‎ 考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易 ‎2．（5分）（2009•石景山区一模）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（　　）‎ A．‎ ‎2π B．‎ ‎4π C．‎ D．‎ 考点：‎ 三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦．‎ 分析：‎ 将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：所以最小正周期为，‎ 故选D 点评：‎ 考查知识点有二倍角公式，最小正周期公式本题比较容易 ‎3．（5分）=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ i D．‎ ‎﹣i 考点：‎ 复数代数形式的混合运算．‎ 分析：‎ 化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．‎ 解答：‎ 解：‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．‎ ‎4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（　　）度．‎ A．‎ ‎40‎ B．‎ ‎50‎ C．‎ ‎70‎ D．‎ ‎80‎ 考点：‎ 弦切角．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．‎ 解答：‎ 解：连接OA、OB、OP，‎ ‎∵∠P=40°，‎ ‎∴∠AOB=140°，‎ ‎∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，‎ ‎∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，‎ ‎∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知识，要熟练掌握．‎ ‎5．（5分）（2014•四川二模）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）‎ A．‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ D．‎ ‎12‎ 考点：‎ 椭圆的简单性质．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．‎ 解答：‎ 解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，‎ 可得△ABC的周长为4a=，‎ 所以选C 点评：‎ 本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等 ‎6．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（　　）‎ A．‎ y=ex+1（x∈R）‎ B．‎ y=ex﹣1（x∈R）‎ C．‎ y=ex+1（x＞1）‎ D．‎ y=ex﹣1（x＞1）‎ 考点：‎ 反函数．‎ 分析：‎ 本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；‎ 将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．‎ 解答：‎ 解：由y=lnx+1解得x=ey﹣1，即：y=ex﹣1‎ ‎∵x＞0，∴y∈R 所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=ex﹣1（x∈R）‎ 故选B 点评：‎ 由于是基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，所以容易解答；解答时注意函数f（x）=lnx+1（x＞0）值域的确定，这里利用对数函数的值域推得．‎ ‎7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（　　）‎ A．‎ ‎2：1‎ B．‎ ‎3：1‎ C．‎ ‎3：2‎ D．‎ ‎4：3‎ 考点：‎ 平面与平面垂直的性质．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．‎ 解答：‎ 解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，‎ 在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，‎ 所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，‎ 所以AB：A'B'=，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度 ‎8．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ f（x）=﹣log2x（x＞0）‎ D．‎ f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）‎ 考点：‎ 奇偶函数图象的对称性．‎ 分析：‎ 先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．‎ 解答：‎ 解：设（x，y）在函数f（x）的图象上 ‎∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），‎ 所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上 ‎∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查对称的性质和对数的相关性质，比较简单，但是容易把与f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）搞混，其实 ‎9．（5分）（2011•普宁市模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 双曲线的简单性质．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题设条件可知双曲线焦点在x轴，可得a、b的关系，进而由离心率的公式，计算可得答案．‎ 解答：‎ 解：双曲线焦点在x轴，‎ 由渐近线方程可得，‎ 故选A 点评：‎ 本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，涉及a，b，c间的关系，比较简单 ‎10．（5分）（2004•安徽）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（　　）‎ A．‎ ‎2﹣sin2x B．‎ ‎2+sin2x C．‎ ‎2﹣cos2x D．‎ ‎2+cos2x 考点：‎ 二倍角的余弦．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题考查的知识点是函数解读式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解读式进行凑配，不难得到函数f（x）的解读式，然后将cosx代入，并化简即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，‎ ‎∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）‎ ‎∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．‎ 故选D 点评：‎ 求解读式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解读式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．‎ ‎11．（5分）（2010•锦州二模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 等差数列的前n项和．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．‎ 解答：‎ 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由等差数列的求和公式可得且d≠0，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查等比数列的求和公式，难度一般．‎ ‎12．（5分）函数的最小值为（　　）‎ A．‎ ‎190‎ B．‎ ‎171‎ C．‎ ‎90‎ D．‎ ‎45‎ 考点：‎ 数列的求和．‎ 专题：‎ 压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ 利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．‎ 解答：‎ 解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，‎ 可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，‎ 故选C．‎ 解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；‎ ‎|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；‎ ‎|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；‎ ‎…‎ ‎|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；‎ ‎|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；‎ 将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查求和符号的意义和绝对值的几何意义，难度较大，且求和符号不在高中要求范围内，只在线性回归中简单提到过．‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）（2012•肇庆一模）在的展开式中常数项为　45　（用数字作答）．‎ 考点：‎ 二项式定理．‎ 分析：‎ 利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．‎ 解答：‎ 解：要求常数项，‎ 即40﹣5r=0，‎ 可得r=8代入通项公式可得Tr+1=C108=C102=45‎ 故答案为：45．‎ 点评：‎ 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．‎ 考点：‎ 解三角形．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列 ‎∴A+C=2B ‎∵A+B+C=π ‎∴‎ ‎∵AD为边BC上的中线 ‎∴BD=2，‎ 由余弦定理定理可得 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度一般．‎ ‎15．（4分）（2012•甘肃一模）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．‎ 考点：‎ 直线的斜率；直线和圆的方程的应用．‎ 专题：‎ 压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ 本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．‎ 解答：‎ 解：如图示，由图形可知：‎ 点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，‎ 圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，‎ 只能是直线l⊥OA，‎ 所以．‎ 点评：‎ 垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所地的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小…．‎ ‎16．（4分）（2014•江苏一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　25　人．‎ 考点：‎ 分层抽样方法．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．‎ 解答：‎ 解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人 按分层抽样应抽出人 故答案为：25‎ 点评：‎ 本题主要考查直方图和分层抽样，难度不大．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求θ；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 考点：‎ 数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．‎ ‎（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式 ‎，化简，利用三角函数的有界性求出范围．‎ 解答：‎ 解：（1）因为，所以 得 又，‎ 所以θ=‎ ‎（2）因为 ‎=‎ 所以当θ=时，的最大值为5+4=9 ‎ 故的最大值为3‎ 点评：‎ 本题考查向量垂直的充要条件|数量积等于0；向量模的平方等于向量的平方；三角函数的同角三角函数的公式；‎ ‎19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．‎ ‎（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；‎ ‎（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．‎ 考点：‎ 离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．‎ ‎（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ 解答：‎ 解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎∴ξ的数学期望E（ξ）=‎ ‎（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的 ‎∴P（ξ≥2）=‎ 点评：‎ 本题主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．‎ ‎20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．‎ ‎（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；‎ ‎（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．‎ 考点：‎ 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；‎ ‎（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BO⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，‎ 故BO⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，‎ ‎∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）‎ ‎（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，‎ ‎∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，‎ ‎∴A1E⊥平面ADC1．‎ 作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．‎ 不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，‎ tan∠A1FE=，‎ ‎∴∠A1FE=60°．‎ 所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）‎ 点评：‎ 本题主要考查了异面直线公垂线的证明，二面角的度量，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．‎ 考点：‎ 函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=ea﹣1﹣1，‎ 当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜ea﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，ea﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜ea﹣1﹣1有g（x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立 综上所述即可得出a的取值范围．‎ 解答：‎ 解法一：‎ 令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，‎ 对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a 令g′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1，‎ ‎（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，‎ 又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），‎ 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．‎ ‎（ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，ea﹣1﹣1）是减函数，‎ 又g（0）=0，所以对0＜x＜ea﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），‎ 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．‎ 综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 解法二：‎ 令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，‎ 于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．‎ 对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a 令g′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1，‎ 当x＞ea﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，‎ 当﹣1＜x＜ea﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，‎ 所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为ea﹣1﹣1≤0．‎ 由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 点评：‎ 本题主要考查了函数的导数和利用导数判断函数的单调性，难度较大，涉及分类讨论的数学思想．‎ ‎25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．‎ ‎（Ⅰ）证明为定值；‎ ‎（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．‎ 考点：‎ 抛物线的应用．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．‎ ‎（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．‎ 解答：‎ 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，‎ 显然AB斜率存在且过F（0，1）‎ 设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，‎ 判别式△=16（k2+1）＞0．‎ x1+x2=4k，x1x2=﹣4‎ 于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）‎ 从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）‎ ‎•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．‎ 这就说明AB⊥FM．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．‎ ‎∵，‎ ‎∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，‎ 而4y1=x12，4y2=x22，‎ 则x22=，x12=4λ，‎ ‎|FM|====．‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以 ‎|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．‎ 于是S=|AB||FM|=（）3，‎ 由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．‎ 点评：‎ 本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．‎ ‎27．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，n=1，2，3，…．‎ ‎（1）求a1，a2；‎ ‎（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．‎ 考点：‎ 数学归纳法；类比推理．‎ 专题：‎ 证明题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；‎ ‎（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．‎ 解答：‎ 解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，‎ 于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．‎ 当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，‎ 于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，‎ 解得a2=．‎ ‎（2）由题设（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，‎ Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0．‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，‎ 代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①‎ 由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．‎ 由①可得S3=．由此猜想Sn=，n=1，2，3，．‎ 下面用数学归纳法证明这个结论．‎ ‎（i）n=1时已知结论成立．‎ ‎（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，即Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．‎ 综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．‎ 点评：‎ 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：‎ 设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）‎ ‎2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立 参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；wsj1012；zlzhan；zhwsd；yhx01248；涨停；wdnah；minqi5；qiss；翔宇老师；liuerq；xintrl；congtou；298520；jj2008（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2014年6月6日