上海市虹口区高考数学一模试卷

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上海市虹口区高考数学一模试卷

‎2018年上海市虹口区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)函数f(x)=lg(2﹣x)定义域为   .‎ ‎2.(4分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣1)+f(0)+f(1)=   .‎ ‎3.(4分)首项和公比均为的等比数列{an},Sn是它的前n项和,则=   .‎ ‎4.(4分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,如果a:b:c=2:3:4,那么cosC=   .‎ ‎5.(4分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=1,则a•b的范围是   .‎ ‎6.(4分)某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是   .‎ ‎7.(5分)已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点,记三棱锥P﹣ABC的体积为V1,三棱锥N﹣MBC的体积为V2,则等于   .‎ ‎8.(5分)在平面直角坐标系中,双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为   .‎ ‎9.(5分)已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC,则△ABC的面积等于   .‎ ‎10.(5分)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点,若△MNF2的内切圆的面积为π,则=   .‎ ‎11.(5分)在△ABC中,D是BC的中点,点列Pn(n∈N*)在线段AC上,且满足,若a1=1,则数列{an}的通项公式an=   .‎ ‎12.(5分)设f(x)=x2+2a•x+b•2x,其中a,b∈N,x∈R,如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))都有零点且它们的零点完全相同,则(a,b)为   .‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)异面直线a和b所成的角为θ,则θ的范围是(  )‎ A. B.(0,π) C. D.(0,π]‎ ‎14.(5分)命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为(  )‎ A.若x≠1,则x≠1或x≠﹣1 B.若x=1,则x=1或x=﹣1‎ C.若x≠1,则x≠1且x≠﹣1 D.若x=1,则x=1且x=﹣1‎ ‎15.(5分)已知函数,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=(  )‎ A.2017 B.1513 C. D.‎ ‎16.(5分)已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面内有两个动点M和N,满足,,则的取值范围是(  )‎ A. B.[4,6]‎ C. D.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.‎ ‎(1)求证:PM⊥平面ABC;‎ ‎(2)求直线PB和平面ABC所成的角的大小.‎ ‎18.(14分)已知函数,其中x∈R,ω>0,且此函数的最小正周期等于π.‎ ‎(1)求ω的值,并写出此函数的单调递增区间;‎ ‎(2)求此函数在的最大值和最小值.‎ ‎19.(14分)如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2km,宽为1km的矩形,矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上,现要过点C修一条直线的路l,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点P和Q.‎ ‎(1)设AQ=x(km),将△APQ的面积S表示为x的函数;‎ ‎(2)求△APQ的面积S(km)的最小值.‎ ‎20.(16分)已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p(p>0),动圆M过点F且与直线l相切,记圆心M的轨迹为曲线C,在曲线C上任取一点A,过A作l的垂线,垂足为E.‎ ‎(1)求曲线C的轨迹方程;‎ ‎(2)记点A到直线l的距离为d,且,求∠EAF的取值范围;‎ ‎(3)判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.‎ ‎21.(18分)已知无穷数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=4.‎ ‎(1)如果a2=2,且对于一切正整数n,均有,求Sn;‎ ‎(2)如果对于一切正整数n,均有an•an+1=Sn,求Sn;‎ ‎(3)如果对于一切正整数n,均有an+an+1=3Sn,证明:a3n﹣1能被8整除.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市虹口区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)函数f(x)=lg(2﹣x)定义域为 (﹣∞,2) .‎ ‎【解答】解:要使函数有意义,可得2﹣x>0,即x<2.‎ 函数f(x)=lg(2﹣x)定义域为:(﹣∞,2).‎ 故答案为:(﹣∞,2).‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣1)+f(0)+f(1)= 0 .‎ ‎【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,‎ ‎∴f(﹣1)=﹣f(1),f(0)=0,‎ 即f(﹣1)+f(0)+f(1)=0,‎ 故答案为:0.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)首项和公比均为的等比数列{an},Sn是它的前n项和,则= 1 .‎ ‎【解答】解:根据题意,等比数列{an}的首项和公比均为,‎ 则其前n项和Sn==1﹣()n,‎ 则=1;‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,如果a:b:c=2:3:4,那么cosC= ﹣ .‎ ‎【解答】解:因为a:b:c=2:3:4,所以设a=2k,b=3k,c=4k,‎ 则根据余弦定理得:cosC===﹣.‎ 故答案为:﹣‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=1,则a•b的范围是 [,] .‎ ‎【解答】解:∵z=a+bi(a,b∈R),且|z|=1,‎ ‎∴,即a2+b2=1,‎ 令a=cosθ,b=sinθ,‎ 则ab=cosθ•sinθ=,‎ ‎∴ab∈[,].‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是 18 .‎ ‎【解答】解:根据题意,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,‎ 分2种情况讨论:‎ ‎①、从物理、化学、生物这三门中选1门,政治、历史、地理这三门选2门,有C31C32=9种选法,‎ ‎②、从物理、化学、生物这三门中选2门,政治、历史、地理这三门选1门,有C31C32=9种选法,‎ 则一共有9+9=18种选法;‎ 故答案为:18‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点,记三棱锥P﹣ABC的体积为V1,三棱锥N﹣MBC的体积为V2,则等于  .‎ ‎【解答】解:如图,‎ 设三棱锥P﹣ABC的底面积为S,高为h,‎ ‎∵M是AB的中点,∴,‎ ‎∵N是PC的中点,∴三棱锥N﹣MBC的高为,‎ 则,,‎ ‎∴=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)在平面直角坐标系中,双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为  .‎ ‎【解答】解:根据题意,抛物线y2=12x的焦点为(3,0),‎ 若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,‎ 则双曲线的顶点坐标为(±3,0),‎ 则有a2=9,‎ 则双曲线的方程为:﹣y2=1,‎ 双曲线的焦点在x轴上,则其渐近线方程为 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC,则△ABC的面积等于  .‎ ‎【解答】解:由题意正余弦函数的图象可得:y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形,‎ ‎∵底边长为一个周期T=2π,高为,‎ ‎∴△ABC的面积=2=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点,若△MNF2的内切圆的面积为π,则= 4 .‎ ‎【解答】解:∵椭圆+的左右焦点分别为F1,F2,a=2,‎ 过焦点F1的直线交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,‎ ‎△MNF2的内切圆的面积为π,‎ ‎∴△MNF2内切圆半径r=1.‎ ‎∴△MNF2面积S=×1×(MN+MF2+MF2)=2a=4,‎ 故答案为:4‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)在△ABC中,D是BC的中点,点列Pn(n∈N*)在线段AC上,且满足,若a1=1,则数列{an}的通项公式an=  .‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ ‎∵D是BC的中点,∴=+=+,‎ 又=+,,‎ ‎∴+=+an(+),‎ 化为:=(1﹣an﹣an+1)+,‎ ‎∵点列Pn(n∈N*)在线段AC上,‎ ‎∴1﹣an﹣an+1+=1,‎ 化为:an+1=﹣,又a1=1,‎ 则数列{an}是等比数列,首项为1,公比为﹣.‎ ‎∴an=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)设f(x)=x2+2a•x+b•2x,其中a,b∈N,x∈R,如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))都有零点且它们的零点完全相同,则(a,b)为 (0,0)或(1,0) .‎ ‎【解答】解:根据题意,函数y=f(x)的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根,‎ 如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点完全相同,则有f(x)=x,即x2+2a•x+b•2x=x,‎ 方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点,‎ 则有,解可得x=0,‎ 即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0,分析可得b=0,‎ 则f(x)=x2+2a•x,‎ 解可得x1=0或x2=﹣2a,‎ f(f(x))=(x2+2a•x)2+2a(x2+2a•x),‎ 若函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点完全相同,‎ 分析可得a=0或a=1,‎ 则(a,b)为(0,0)或(1,0);‎ 故答案为(0,0)或(1,0).‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)异面直线a和b所成的角为θ,则θ的范围是(  )‎ A. B.(0,π) C. D.(0,π]‎ ‎【解答】解:∵异面直线a和b所成的角为θ,‎ ‎∴θ的范围是(0,].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为(  )‎ A.若x≠1,则x≠1或x≠﹣1 B.若x=1,则x=1或x=﹣1‎ C.若x≠1,则x≠1且x≠﹣1 D.若x=1,则x=1且x=﹣1‎ ‎【解答】解:命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为 ‎“若x≠1,则x2≠1”;‎ 即“若x≠1,则x≠1且x≠﹣1”.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知函数,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=(  )‎ A.2017 B.1513 C. D.‎ ‎【解答】解:∵函数,‎ ‎∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)‎ ‎=1009×f(﹣1)+1008×f(0)‎ ‎=1009×2﹣1+1008×20‎ ‎=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面内有两个动点M和N,满足,,则的取值范围是(  )‎ A. B.[4,6]‎ C. D.‎ ‎【解答】解:以AB,AC为坐标轴建立坐标系,则B(4,0),C(0,6),‎ ‎∵||=2,∴M的轨迹是以A为圆心,以2为半径的圆.‎ ‎∵,∴N是MC的中点.‎ 设M(2cosα,2sinα),则N(cosα,sinα+3),‎ ‎∴=(cosα﹣4,sinα+3),‎ ‎∴||2=(cosα﹣4)2+(sinα+3)2=6sinα﹣8cosα+26=10sin(α﹣φ)+26,‎ ‎∴当sin(α﹣φ)=﹣1时,||取得最小值=4,‎ 当sin(α﹣φ)=1时,||取得最大值=6.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.‎ ‎(1)求证:PM⊥平面ABC;‎ ‎(2)求直线PB和平面ABC所成的角的大小.‎ ‎【解答】证明:(1)在三棱锥P﹣ABC中,‎ ‎∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.‎ ‎∴PM⊥AC,AB⊥平面PAC,‎ ‎∴PM⊥AB,‎ ‎∵AB∩AC=A,∴PM⊥平面ABC.‎ 解:(2)连结BM,‎ ‎∵PM⊥平面ABC,∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角,‎ ‎∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点,‎ ‎∴PM==,‎ BM===,‎ ‎∴tan∠PBM===,‎ ‎∴.‎ ‎∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)已知函数,其中x∈R,ω>0,且此函数的最小正周期等于π.‎ ‎(1)求ω的值,并写出此函数的单调递增区间;‎ ‎(2)求此函数在的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:函数=sinωx+cosωx=2sin(ωx),‎ ‎(1)∵函数的最小正周期等于π.即 ‎∴ω=2.‎ 可得f(x)=2sin(2x),‎ 由2x,k∈Z 得:≤x≤‎ 故得函数的单调递增区间为[,],k∈Z ‎(2)∵f(x)=2sin(2x),‎ 当,‎ ‎(2x)∈[]‎ ‎∴当2x=时,函数f(x)取得最大值为2.‎ 当2x=时,函数f(x)取得最小值为﹣1.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2km,宽为1km的矩形,矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上,现要过点C修一条直线的路l,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点P和Q.‎ ‎(1)设AQ=x(km),将△APQ的面积S表示为x的函数;‎ ‎(2)求△APQ的面积S(km)的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)设AQ=x,‎ 则由得:‎ 即AP=‎ 故S==(x>1);‎ ‎(2)由(1)得:S′=(x>1);‎ 当x∈(1,2)时,S′<0,当x∈(2,+∞)时,S′>0,‎ 故x=2时,Smin=4.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p(p>0),动圆M过点F且与直线l相切,记圆心M的轨迹为曲线C,在曲线C上任取一点A,过A作l的垂线,垂足为E.‎ ‎(1)求曲线C的轨迹方程;‎ ‎(2)记点A到直线l的距离为d,且,求∠EAF的取值范围;‎ ‎(3)判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)如图,以FK的中点为坐标原点O,‎ FK所在的直线为x轴,过O的垂线为y轴建立直角坐标系,‎ 即有F(,0),直线l:x=﹣,‎ 动圆M过点F且与直线l相切,‎ 可得|AE|=|AF|,‎ 由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线,‎ 可得方程为y2=2px;‎ ‎(2)点A到直线l的距离为d,可得|AE|=|AF|=d,且,‎ 设A(x0,y0),可得y02=2px0,‎ 即有d=x0+,则x0=d﹣,‎ 即有|EF|2=p2+y02=p2+2p(d﹣)=2pd,‎ 在△EAF中,‎ cos∠EAF==1﹣,‎ 可得﹣≤cos∠EAF≤,‎ 可得arccos≤π﹣arccos,‎ 则∠EAF的取值范围是[arccos];‎ ‎(3)∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.‎ 设A(x0,y0),可得y02=2px0,‎ 当A与O重合时,显然一个交点;‎ 当A不与O重合,由∠EAF的平分线交x轴于M,连接EM,‎ 可得∠AMF=∠MAF,‎ 即有|MF|=|AF|=d,‎ 四边形AEMF为菱形,EF垂直平分AM,‎ 可得∠AMF+∠EFM=90°,‎ tan∠AMF=cot∠EFM==,‎ 可设y0>0,‎ 则直线AM的方程为y﹣y0=(x﹣x0),‎ 则y0y﹣y02=px﹣px0,‎ 化为y0y=px+px0,‎ 代入抛物线的方程y2=2px,‎ 消去x可得,y2﹣2y0y+2px0=0,‎ 即为(y﹣y0)2=0,‎ 可得y=y0,x=x0,‎ 即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.‎ ‎ ‎ ‎21.(18分)已知无穷数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=4.‎ ‎(1)如果a2=2,且对于一切正整数n,均有,求Sn;‎ ‎(2)如果对于一切正整数n,均有an•an+1=Sn,求Sn;‎ ‎(3)如果对于一切正整数n,均有an+an+1=3Sn,证明:a3n﹣1能被8整除.‎ ‎【解答】解:(1)∵无穷数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=4.‎ a2=2,且对于一切正整数n,均有,‎ ‎∴==1,=,‎ 由此猜想=23﹣n.‎ 再利用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1时,=4,成立.‎ ‎②假设n=k时,成立,即,‎ 则ak+1====2(6﹣2k)﹣(4﹣k)=22﹣k=23﹣(k+1).‎ 由①②得,‎ ‎∴{an}是首项为4,公比为的等比数列,‎ ‎∴Sn==8(1﹣).‎ ‎(2)∵对于一切正整数n,均有an•an+1=Sn,‎ ‎∴Sn=anan+1,Sn﹣1=an﹣1an,‎ ‎∴an=an(an+1﹣an﹣1),∴an+1﹣an﹣1=1.‎ a1=4,由an•an+1=Sn,得a2=1,a3=5,a4=3,…‎ ‎∴当n为偶数时,+‎ ‎===.‎ 当n为奇数时,Sn=++‎ ‎==.‎ 证明:(3)∵对于一切正整数n,均有an+an+1=3Sn,‎ ‎∴an+an+1=3Sn,an﹣1+an=3Sn﹣1,‎ ‎∴an+1﹣an﹣1=3an,‎ a1+a2=3a1,‎ a2=2a1=8,能被8整除,‎ a3﹣a1=3a2,a3=28,假设a3k﹣1=8m,m∈N*.‎ 则a3k+2=3a2k+1+a3k=3(3a3k+a3k﹣1)+a3k ‎=10a3k+a3k﹣1‎ ‎=40p+24q,p,q∈N*能被8整除,‎ 综上,a3n﹣1能被8整除.‎ ‎ ‎
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