高考数列试题分析

高考数列试题分析

高中数学高考试题命题分析 —————数列某块 一、 数列 数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，在实际生活有着广泛的 应用，特别是等差数列与等比数列。如利用数列可以刻画出自然界树木的分叉、花瓣的数 量、植物种子的排列都是遵循着某种规律，生活中遇到的像存款利息、购房贷款等实际问 题，都需要用有关数列的知识来解决。 二、数列的地位与作用 由于我国的地域的不同、文化上的差异，从而使高中阶段的数学教材也出现了不同的版 本，虽然版本不同，但是整体高中数学的知识点是大同小异，都是依据《普通高中数学课程 标准（实验）》编写的，只是在安排顺序上根据各地的经济发展状况、教育程度、学生的发 展状况、数学学科的特点等，选择相应的版本，目前，在我国大概有这样几个版本，分别是 人教 A 版、人教 B 版、苏教版、北师大版、湘教版和华师大版等。下面我将从人教 A 版来看 数列这一模块，在人教 A 中，数列的内容是安排在必修 5 的第二章里，其中有 5 个小节，内 容是“数列的概念与简单表示法”、“等差数列”、“等差数列的前 n 项和”、“等比数 列”、“等比数列的前 n 项和”，在数列中主要的知识的结构如下： 数列是按照一定顺序排列的一列数[1]，从知识结构上看内容较少，但实则其内容涉及到 了众多的数学思想和数学方法，其知识广的特点，数列在整个中学数学教学内容中，处于一 个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数等 知识在数列中均得到了较为充分的应用， 数列模块在高中数学中具有相当重要的地位。 首 先，数列模块是构成高中数学知识体系的重点内容之一， 同时又是后续学习相关数学学科 等差数列 数 列 等差数列的通项公式 等差数列的前 n 项和 等差数列的性质 等比数列 等比数列的前 n 项和 等比数列的性质 等比数列的通项公式 的重要基础， 是高中数学与大学数学衔接的一个关键点，又为后面学习数列的极限作了铺 垫。 数列中蕴含了非常多的数学思想方法，如：递归思想、归纳思想、逼近思想等等。另外 数列的学习可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握 等差数列和等比数列的变化规律；能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问 题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与线性函数、等比数列与指数函数的联 系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性；提升逻辑推理、数学运算和数学建 模素养[2]。 从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力以及提高数学学习的兴趣。 所以数列在数学高考中占据着举足轻重的地位。 三、 近 5 年理科数学高考数列题分析 在安徽省自主命题历年高考中， 有关数列模块的试题题型及难度分布的范围比较大，不 仅有比较简单的选择和填空题，又有相对复杂的解答题。这就要求我们必须学好数列的基础 知识。数列模块在高考试题中的选择题、填空题注重考查基础知识的掌握和运用，所以要加 强对数列基础知识的学习； 而解答题相对而言难度系数就比较大，既有对基础知识的考察， 又有对学生综合能力的考察。 在 2016 年新课标高考全国卷中，数列的试题则是以基础等差数列或等比数列的简单综合 运用。下面将针对 2012-2015 年安徽省自主命题与 2016 年使用新课标高考全国卷中，关于 数列的问题在高考中的分布情况，主要从题型、考点、分值及难易程度等方面进行统计，然 后再根据信息的统计情况对数列问题做一个简单的分析，并对数列问题的解题方法做一个简 单的研究， 这样不仅有助于一线教师在教学时把握高考导向，也有助于学生学好数列及了 解数列知识在中学阶段的重要性。 年份 题号 内容 分值 难度 第 4 题 数列：等比数列与对数 5 分 中等 12 年 第 21 题 递推数列： 1.数列单调性递减与充要条件 2.数列单调性递增与参量取值范围 偏难 第 14 题 递推数列：数列 的通项公式 5 分 偏难 13 年 第 20 题 递推数列：递推数列、数列不等式、数学归纳法 偏难 第 12 题 数列：等比数列的性质 5 分 简单 14 年 第 21 题 递推数列：递推数列、数列不等式、数学归纳法 偏难 第 14 题 数列：等比数列前 n 项和 5 分 简单 15 年 第 18 题 数列：数列与导函数、递推数列、数列不等式、数学归纳法12 分 偏难 { }na 第 3 题 数列：等差数列与对数 5 分 简单 16 年 第 15 题 数列：等比数列与最值的求解 5 分 中等 近 5 年理科数学数列高考题如下：其中 2012~2015 年是安徽省自主命题，2016 年是全 国卷 2012 年 （4）公比为 等比数列 的各项都是正 数，且 ，则 log2a16（ ） (21) 数列 满足： （I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 （II）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。 2012 高考试卷就比较符合正常思维。像第（4）题考查等比数列的性质和指数对数的运算， 需要学生有转化能力，属于中等难度的题。第（21）题数列，2012 年将数列作为最难的一 道题目放在最后，也是符合一般试卷结构的，在证明过程中加入了充要条件的概念，第二问 又需要利用反证法来证明，这都给学生解决这道题增加的难度，要求学生有创新意识。 2013 年 (14)如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 A nBnBn+1An+1 的面积均相等,设 OA n=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是_______ (20)设函数 ,证明: (1)对每个 n∈N+,存在唯一的 ,满足 ; (2)对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满足 . 2013 高考理科数学试卷，可以看出试卷立足现行高中教材，在注重对基础知识和基本 方法全面考查的同时，又突出了对数学思想、数学核心能力进行综合考查，贯彻了有利于中 学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则，凸显了高考的选拔功能，又贯彻了“总体 保持稳定，深化能力立意，积极改革创新”的指导思想，充分体现了高考“能力立意”的中 心思想，具体四个鲜明特点。 其中数列的题目，像（14）题考查数列定义与等比性，需要在的推理基础上 归纳出数列的通项公式，需要学生有转化能力，渗透着数形结合的思想，属于偏难 3 2 { }na 3 11 16a a = ( )A 4 ( )B 5 ( )C 6 ( )D 7 { }nx 2 * 1 10, ( )n n nx x x x c n N+= = − + + ∈ { }nx 0c < c { }nx ),(...321)( 22 3 2 2 +∈∈+++++−= NnRxn xxxxxf n n ]1,3 2[∈nx 0)( =nn xf nxx pnn 10 <−< + O A1 B1 A2 B2 A3 B3 的题；(20)题关于数列、不等式的一个综合题目不仅考查了导数处理问题的方法，也考查 了数列中用错位相减法求和的技巧及等价转化思想，属于偏难的题。 2014 年 （12）数列 是等差数列，若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列，则 q= . （21）设实数 c > 0 , 整数 p > 1 , n . （ I ）证明：当 x > -1 且 x 0 时， > 1 =px ; （I I ）数列｛ ｝满足 > ， ，证明： 2014 年的安徽省高考理科数学试卷，数列的题目分别安排在填空题的地 12 题和解答题的第 21 题，其中第 12 题，主要考查等差数列与等比数列的定义，紧 扣教材，此题属于简单的题目；第 21 题主要考查递推数列、数列不等式、数学 归纳法，充分体现了化归与整合思想，以及考查思维能力，运算能力，属于偏难的题目。 2015 年 （14）.已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和等 于 （18）设 ， 是曲线 在点 处的切线与 x 轴交点的横坐标， （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，证明 . 2015 年的安徽省高考理科数学试卷，试卷主要以考查基础知识为主体的原 则，数列的题目分别安排在填空题的地 14 题和解答题的第 18 题，其中第 14 题， 主要考查等比数列的前 n 项和，紧扣教材，此题属于简单的题目；第 18 题主要 考查数列与导函数、递推数列、数列不等式、数学归纳法，充分体现了化归与整 合思想，以及考查思维能力，运算能力，属于偏难的题目。 2016 年 （3）已知等差数列 前 9 项的和为 27， ，则 （ ）{ }na 10 =8a 100 =a { }na ∈ N* ≠ x1 p+ an a1 cp 1 aaa p nn p c p − + +−= 1 1n 1p p nn ca 1 1a >> + { }na 1 4 329, 8a a a a+ = = { }na n *n N∈ nx 2 3 1ny x += + (1 2)， { }nx 2 2 2 1 2 2 1n nT x x x −=  1 4nT n ≥ （A）100（B）99（C）98（D）97 （15）设等比数列 an 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为 2016 年安徽省高考考的是全国数学卷 1 理科，试卷遵循了考查基础知识为 主体的原则，在全国卷中数列的考查相比安徽省自主命题要教偏向于基础，像第 3 题主要考查等差数列的定义与等差数列的前 n 项和，题来源于教材，属于简单 题，第 15 题以等比数列与数列的最值问题为主体考查学生知识的综合运用。 四、 教学建议 通过对安徽近 5 年理科数学高考数列题分析及新课标的全国卷的分析，结合教学情况、 学生的认知情况、数学学科的特点，自己以往的学习经历，本人提出如下几点建议： （1） 教师在教学时，应善于利用教材，分析教材，挖掘教材中内涵丰富的例题与习 题，反思知识中渗透的思想与方法、知识点之间的联系与区别； （2） 教师教学要注重基本概念的教学，着重突出核心概念的本质，要高度的重新审 视教材中的概念、定理、公式例题和习题，关注学生的现有的知识水平。 （3） 注重培养学生的观察能力、思维能力，如通过对习题的加强训练，做到举一反 三，反思解题过程。 3. 情境再现 此题看似简单容易，实则要求学生有一定的运算能力与推理能力，本题的 难度系数在左右，试题有多种途径解题，多种思考角度，其体现了高考题 低入宽出的原则。 学生再解答此题的主要有两个方面： 一是心理因素，对于填空，看起来简单，学生过于想 二是思维定式， （4）